Đề tài cấp Thị Xã

Trang 1 I. Lý do chọn đề tài Học toán là một cách tư duy sáng tạo về toán, đồng thời là một vấn đề trừu tượng và khá khó đối với học sinh, nhưng đó lại là điều rất cần thiết cho mỗi học sinh trong quá trình học toán ở trường THCS. Trong môn toán ở trường THCS có rất nhiều bài toán chưa hoặc không có thuật toán để giải. Đối với những bài toán đó, phải cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghó, tìm tòi lời giải. Nhiệm vụ khó khăn này đòi hỏi phải có nhiều thời gianvà kinh nghiệm sư phạm, phải có lần tận tâm và phương pháp đúng đắn. Đây là những cơ hội rất tốt để trang bò dần cho học sinh một số tri thức, phương pháp, phương pháp giải toán nhằm rèn luyện và phát triển ở các em năm lực tư duy. Biết đề ra cho học sinh đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi mở sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng học sinh. Để giải các bài toán, ngoài việc nắm vững các kiến thức còn cần phải có phương pháp suy nghó khoa học cùng với những kinh nghiệm cá nhân tích lũy được qua quá trình học tập, rèn luyện. Mỗi bài toán trong thực tế cũng như những bài toán, bài tập trong học tập ta phải tìm một cách tiếp cận, một cách giải, nhiều khi phải trải qua nhiều cách thử giải ta mới chọn được một cách giải thích hợp nhất hoặc là kết hợp nhiều cách giải cho 1 bài tập. Nhưng không ai cũng biết được hết cách giải các bài toán trong toán học, ngoài ra biết rồi còn phải áp dụng chúng như thế nào lai là một vấn đề khó. Nhằm cung cấp các cách giải cho các dạng toán Trang 2 tìm cực trò của biểu thức đại số tôi tiến hành nghiên cứu đề tài "Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của biểu thức đại số". C¸c bµi to¸n vỊ cùc trÞ ®¹i sè ë cÊp 2 cã ý nghÜa rÊt quan träng ®èi víi häc sinh ë bËc häc nµy. §Ĩ gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc ®¹i sè ngêi lµm to¸n ph¶i sư dơng c¸c phÐp biÕn ®ỉi ®ång nhÊt c¸c biĨu thøc ®¹i sè , ph¶i biÕn ®ỉi vµ sư dơng kh¸ nhiỊu c¸c d¹ng h»ng ®¼ng thøc tõ c¸c d¹ng ®¬n gi¶n ®Õn c¸c d¹ng phøc t¹p. Bëi thÕ, cã thĨ nãi c¸c bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè ë cÊp 2 t¹o ra kh¶ n¨ng gióp häc sinh cã ®iỊu kiƯn rÌn lun kü n¨ng biÕn ®ỉi ®ång nhÊt c¸c biĨu thøc ®¹i sè. II. Nội dung đề tài 1. "Phương pháp chung" khi tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của biểu thức đại số : Nếu với mọi giá trò của biến thuộc một khoảng xác đònh nào đó mà giá trò của ( )A k≥ ≤ và tồn tại giá trò biến để A = k thì k gọi là GTNN (GTLN) của biểu thức A ứng với giá trò của biến thuộc khoảng xác đònh trên. Để tìm GTNN của biểu thức A ta cần : - Chứng minh rằng A k ≥ với k là hằng số. - Chỉ ra trường hợp dấu "=" có thể xảy ra. - Min A là GTNN của A. Để tìm GTLN của biểu thức A ta cần : - Chứng minh rằng A k ≤ với k là hằng số. Trang 3 - Chỉ ra trường hợp dấu "=" có thể xảy ra. - Max A là GTLN của A. Ví dụ : Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức : A = (x – 1) 2 + (x – 3) 2 Giải : Chú ý : ( ) 2 1 0(1)x − ≥ ; ( ) 2 3 0(2)x − ≥ Nhưng không thể kết luận được giá trò nhỏ nhất của A bằng 0 vì không đồng thời xảy ra dấu đẳng thức ở (1) và (2). Ta có : A = (x – 1) 2 + (x – 3) 2 = x 2 – 2x + 1 + x 2 – 6x + 9 = 2x 2 – 8x + 10 = 2(x 2 – 4x + 5) = 2(x – 2) 2 + 2 Vì ( ) 2 2 0x − ≥ nên 2. ( ) 2 2 0x − ≥ Suy ra 2A ≥ Do đó : A = 2 khi x – 2 = 0 2x ⇔ = Vậy : Min A = 2 khi x = 2 2. Các dạng bài tập tìm GTNN, GTLN thường gặp: D¹ng 1 : Tìm GTNN, GTLN của tam thức bậc hai dạng ax 2 + bx + c ( 0a ≠ ) VÝ dơ 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa A= 3x 2 - 30x +88 Gi¶i: §KX§: ∀ x ∈ R A = 3x 2 - 30x + 88 Trang 4 A = 3(x 2 - 10x) + 88 A = 3(x 2 - 10x +25) - 75 + 88 A = 3(x- 5) 2 +13 min A= 13 x= 2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của B = - 7x 2 +12x -3 Giải: ĐKXĐ: x R B = -7(x 2 - 12 7 x) -3 B = -7(x 2 - 12 7 x + 36 49 ) + 36 7 -3 B = -7(x - 6 7 ) 2 + 15 7 15 7 max B = 15 7 x- 6 7 = 0 x = 6 7 Nhận xét : Qua hai ví dụ trên, muốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai dạng ax 2 +bx + c (a 0), ta làm nh sau: + Bớc 1: Tìm ĐKXĐ + Bớc 2: Nhóm các hạng tử chứa ẩn + Bớc 3: Đặt hệ số a làm nhân tử chung + Bớc 4: Thêm bớt vào trong ngoặc để bài toán trở thành bình phơng một nhị thức và một hạng tử tự do + Bớc 5: Dựa vào "phơng pháp chung" kết luận GTNN, GTLN * Tổng quát : Cho tam thức bậc hai : P = ax 2 + bx + c ( 0a ) Giải : P = ax 2 + bx + c = a(x 2 + b a x) + c = a(x + 2 b a ) 2 + c - 2 4 b a Trang 5 Đặt k = c - 2 4 b a Do (x + 2 b a ) 2 0 nên : - Nếu a 0 thì a(x + 2 b a ) 2 0 P k Do đó Min P = k khi x + 2 b a = 0 x = - 2 b a - Nếu a 0 thì a(x + 2 b a ) 2 0 P k Do đó Max P = k khi x + 2 b a = 0 x = - 2 b a Dạng 2: Đặt ẩn phụ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số. Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7) Giải: ĐKXĐ : x R Ta có : A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7) = (x 2 7x)(x 2 7x + 12) Đặt t = x 2 7x + 6 Nên : x 2 7x = t 6 và x 2 7x + 12 = t + 6 Do đó : A = (t 6)(t + 6) = t 2 36 - 36 Vây Min A = - 36 Khi t = 0 x 2 7x + 6 = 0 x = 1 hoặc x = 6 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất Trang 6 B = 2x - 3x Giải: ĐKXĐ: x 3 0 x 3 Đặt t = 3x (t 0) Ta có : t 2 = x 3 x = t 2 + 3 Do đó B = 2(t 2 + 3) - t B = 2t 2 t + 6 B = 2(t 2 - 1 2 t + 1 16 )+ 47 8 B = 2(t - 1 4 ) 2 + 47 8 47 8 Vậy max B= 47 8 t - 1 4 = 0 t = 1 4 t 2 = 1 16 Do đó : x 3 = 1 16 x = 49 16 (Thoả mãn) Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của C = y 4 - 6y 2 - 7 Giải: Đặt y 2 = x 0 Vậy C = x 2 - 6x - 7 = (x 2 - 6x +9) - 9 - 7 = (x -3) 2 - 16 - 16 Vậy min C = -16 Khi x - 3 = 0 x = 3(Thoả mãn) Do đó y 2 = 3 y = 3 Tổng quát : Muốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các dạng đa thức đặt biệt ta có thể đặt ẩn phụ bằng cách thực hiện các bớc sau : + Bớc 1: Tìm điều kiện xác định Trang 7 + Bớc 2: Tìm mối liên hệ đặt ẩn phụ và đặc biệt chú ý điều kiện của ẩn phụ + Bớc 3: Đa về dạng tam thức bậc hai ax 2 +bx + c (a 0) rồi tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức + Bớc 4: Kết luận (chú ý các điều kiện xảy ra dấu "=") Dạng 3 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số có dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (3x 1) 2 - 4 3 1x + 5 Giải: Đặt 3 1x = y (y 0) thì A = (3x 1) 2 - 4 3 1x + 5 = y 2 4y + 5 = (y 2) 2 + 1 1 Vậy Min A = 1 Khi y = 2 (Thỏa điều kiện) Do đó : 3 1x = 2 x = 1 hoặc x = 1 3 Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 2 3x x + Giải : * Xét khoảng x < 2 Thì B = 2 x + 3 x = 5 2x Do x < 2 nên - 2x > - 4 Do đó : 5 - 2x > 5 4 Vậy B > 1 (1) * Xét đoạn 2 3x Thì B = x - 2 + 3 x = 1 (2) * Xét khoảng x > 3 Thì B = x 2 + x 3 = 2x 5 Do x > 3 nên 2x > 6 Do đó : 2x 5 > 6 5 Vậy B > 1 (3) So sánh (1), (2), (3) ta đợc Min B = 1 khi 2 3x Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = 2 1 2x y x y + + Giải : Trang 8 Ta có : C = 2 1 2x y x y + + = 2 1 2x y y x + + 2 1 2x y y x + + = 1 Do đó : Min C =1 Khi (x- 2y + 1)(2y x) 0 2 1 2y x y Nhận xét : Qua các ví dụ trên, để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số có dấu giá trị tuyệt đối ta có thể làm nh sau : - Khử dấu giá trị tuyệt đối hoặc sử dụng các tính chất của dấu gia trị tuyệt đối. - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số dựa vào "Phửụng phaựp chung". Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đa thức bậc cao dạng P = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + c (a.c > 0) Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của B = - x 4 + 4x 3 - 5x 2 + 4x - 4 Giải: B = - x 4 + 4x 3 - 5x 2 + 4x - 4 = - x 2 (x 2 - 4x + 4) + 4x 2 - 5x 2 + 4x - 4 = - x 2 (x - 2) 2 - (c 2 - 4x + 4) = - x 2 (x - 2) 2 - (x - 2) 2 o x Vậy max B = 0 x (x - 2) = 0 x = 2 x - 2 = 0 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 4 + 2x 3 + 2x 2 + 2x - 8 Giải: A = x 4 + 2x 3 + 2x 2 + 2x - 8 = x 2 (x 2 + 2x + 1) - x 2 + 2x 2 + 2x + 1 - 9 Trang 9 = x 2 (x + 1) 2 - (x + 1) 2 - 9 - 9 x Vậy min A = -9 khi và chỉ khi x (x + 1) = 0 x = - 1 x + 1 = 0 Nhận xét: Muốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đa thức bậc cao dạng: P = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + c (a.c > 0) ta làm nh sau: Bớc 1: Biến đổi P = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + c = [f(x)] 2 . [g(x)] 2 + [h(x)] 2 + m (a . c > 0) ta biến đổi nh sau: P = ax 2 (x 2 + a b x) + cx 2 + dc + e = ax 2 (x 2 + a b 2 ) 2 + a bac 4 4 2 x 2 + dx + e = ax 2 (x + a b 2 ) 2 + kx 2 + dx + e Ta đặt a bac 4 4 2 = k (với a . k > 0) = ax 2 (x 2 + a b 2 ) 2 + k (x 2 + k d 2 2 x + 2 2 4k d ) - k d 4 2 + e = ax 2 (x 2 + a b 2 ) 2 + k (x + k d 2 ) 2 + k dke 4 4 2 Bớc 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P Bớc 3: Kết luận (Chú ý điều kiện xảy ra dấu "=") Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có tử là hằng số, mẫu số là tam thức bậc hai. Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của A = 2 956 2 xx ++ Trang 10 Giải: Xét mẫu - 6x + 5 + 9x 2 = (3x - 1) 2 + 4 4 > 0 x 2 )13( 1 x 4 1 A = 2 956 2 xx ++ 2 1 max A = 2 1 x = 3 1 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của B = 64 6 2 xx Giải: Ta có - x 2 + 4x - 6 = - (x 2 - 4x) - 6 = - (x - 2) 2 - 2 - 2 < 0 2)2( 1 2 x 2 1 2)2( 6 2 x 2 6 24 6 2 xx - 3 Vậy min B = - 3 khi x = 2 Chú ý: Với hai số cùng dấu a và b (a, b # 0) a b a 1 b 1 a b a 1 b 1 Giải ví dụ trên là ta đã sử dụng tính chất này (3x - 1) 2 + 4 4 > 0 4)13( 1 2 + x 4 1 [...]... đó P = ab = (1 - 2b) b = - 2b2 + b = - 2 (b2 - 2 = - 2 (b - Vậy max P = 1 8 b= 1 4 1 4 1 4 )2 + ;a= b+ 1 8 1 16 )+ 1 8 1 8 1 2 Nhận xét: Phơng pháp giải dạng này là: Bớc 1: Nhận dạng bài toán, biểu thị ẩn số này theo ẩn số kia rồi thế vào biểu thức cần tính Bớc 2: Sử dụng phơng pháp biến đổi tam thức bậc hai Bớc 3: Kết luận 3 Kết quả giảng dạy Qua quá trình giảng dạy tôi thấy: Sau khi đợc học cách... tập phải đợc chọn lọc, sắp xếp theo một trình tự, có logíc: từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp và qua mỗi hệ thống bài tập giáo viên phải khái quát hoá cách giải dạng bài tập đó * Dạy theo chuyên đề * Cần tạo ra không khí sôi nổi, tích cực làm việc, ngời dạy phải chú ý tới mức độ tiếp thu và kỹ năng trình bày của từng học sinh III Kết luận Trang 16 Trên đây là một vài kinh nghiệm, ý kiến của riêng . lai là một vấn đề khó. Nhằm cung cấp các cách giải cho các dạng toán Trang 2 tìm cực trò của biểu thức đại số tôi tiến hành nghiên cứu đề tài "Tìm. Trang 1 I. Lý do chọn đề tài Học toán là một cách tư duy sáng tạo về toán, đồng thời là một vấn đề trừu tượng và khá khó đối với học sinh,