PHÒNG GD - ĐT KỲ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XÃ THỊ XÃ ĐỒNG XOÀI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY Đề s: 2 Lớp 9 THCS - Năm học: 2009 - 2010 Thời gian làm thi: 150 phút – Ngày thi: 8/11/2009 Chú ý: - Đề thi này gồm 4 trang. - Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này. ĐIỂM TỒN BÀI THI GIÁM KHẢO (Họ, tên và chữ ký) SỐ PHÁCH (Do ban chấm thi ghi ) Bằng số Bằng chữ Giám khảo 1: Giám khảo 2 : Qui định : 1/ Thí sinh được sử dụng các loại máy tính Casio fx- 500MS, Casio fx – 500 ES, Casio fx- 570MS và Casio fx – 570 ES. 2/ Nếu khơng nói gì thêm ở mỗi bài hoặc mỗi câu, hãy tính chính xác đến 8 chữ số thập phân. Bài 1 (5 điểm ): Cho biểu thức: P = 5 + 55 + 555 + …+ 10 5 55 55 chu so 14442 4443 a) Tính chính xác giá trò của P, rồi điền kết quả vào ô vuông. b) Viết một qui trình ấn phím tính giá trò của P. a) P = b) Qui trình ấn phím: Bài 2 (5 điểm ): a) Tìm số tự nhiên N nhỏ nhất có 10 chữ số, biết rằng N chia cho 17 dư 2 và N chia cho 29 dư 5. Cách giải: Kết quả: N = b) Tìm số nguyên a lớn nhất có 10 chữ số, biết rằng a chia hết cho 125 và chia cho 2009 dư 975. Cách giải: Kết quả: a = 1 Bài 3 (5 điểm ): a) Tìm hai chữ số cuối cùng bên phải của số 13 2009 b) Chứng minh: 2222 5555 + 5555 2222 chia hết cho 7 a) Cách giải: Hai chữ số cuối cùng là: a) Chứng minh: B ài 4 (5 điểm ): a) Cho x > 0, tìm giá trò nguyên nhỏ nhất của biểu thức A = 2009 8112009x x− − b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2009 2 2010 2009 2 2010 2x x x x− + − + − − − = rồi điền kết quả vào ô vuông. a) Giá trò nguyên nhỏ nhất của biểu thức A là: b) Nghiệm nguyên của phương trình là: Bài 5 : (3 điểm) Trong đợt khảo sát chất lượng đầu năm, điểm của ba lớp 9A, 9B, 9C được cho trong bảng sau: Điểm 10 9 8 7 6 5 4 3 9A 16 14 11 5 4 11 12 4 9B 12 14 16 7 1 12 8 1 9C 14 15 10 5 6 13 5 2 a) Tính điểm trung bình của mỗi lớp. Kết quả làm tròn đến chữ số lẻ thứ hai. b) Nếu gọi X số trung bình cộng của một dấu hiệu X gồm các giá trị 1 2, 3 , , , k x x x x có các tần số tương ứng là 1 2 3 , , , , k n n n n , thì số trung bình của các bình phương các độ lệch của mỗi giá trị của dấu hiệu so với X : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 2 1 2 3 k k x k n x X n x X n x X n x X s n n n n − + − + − +×××+ − = + + +×××+ gọi là phương sai của dấu hiệu X và 2 x x s s= gọi là độ lệch chuẩn của dấu hiệu X. Áp dụng: Tính phương sai và độ lệch chuẩn của dấu hiệu điểm của mỗi lớp 9A, 9B, 9C. Kết quả làm tròn đến chữ số lẻ thứ hai. 2 a) Điểm trung bình của lớp 9A, 9B, 9C: A X ≈ ; B X ≈ ; C X ≈ b) Phương sai và độ lệch chuẩn của lớp 9A: 2 a s ≈ ; a s ≈ Phương sai và độ lệch chuẩn của lớp 9B: 2 b s ≈ ; b s ≈ Phương sai và độ lệch chuẩn của lớp 9A: 2 c s ≈ ; c s ≈ Bài 6: (5 điểm) Lãi suất của tiền gửi tiết kiệm của một số ngân hàng thời gian vừa qua liên tục thay đổi. Bạn An gửi số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng chưa đầy một năm, thì lãi suất tăng lên 1,15% tháng trong nửa năm tiếp theo và bạn An tiếp tục gửi; sau nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn 0,9% tháng, bạn An tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa, khi rút tiền bạn An được cả vốn lẫn lãi là 5 747 478,359 đồng (chưa làm tròn). Hỏi bạn An đã gửi tiền tiết kiệm trong bao nhiêu tháng ? Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máy tính để giải. Bài 7: (7 điểm) Cho 3 đường thẳng 1 2 3 ( ); ( ); ( )d d d lần lượt là đồ thị của các hàm số 2 3 5; 2 3 y x y x= + = − và 2 3y x= − + . Hai đường thẳng 1 ( )d và 2 ( )d cắt nhau tại A; hai đường thẳng 2 ( )d và 3 ( )d cắt nhau tại B; hai đường thẳng 3 ( )d và 1 ( )d cắt nhau tại C. a) Vẽ đồ thị và tìm tọa độ của các điểm A, B, C (viết dưới dạng phân số). b) Tính gần đúng hệ số góc của đường thẳng chứa tia phân giác trong góc A của tam giác ABC. a) Tọa độ các điểm A, B, C là: b) Hệ số góc của đường thẳng chứa tia phân giác trong góc A là: a ≈ Đồ thị: Bài 8 : (5 điểm) Hình thang vuông ( // )ABCD AB CD có góc nhọn BCD α = , độ dài các cạnh ,BC m CD n= = ( Hình 1) a) Tính diện tích, chu vi và các đường chéo của hình thang ABCD theo ,m n và α . b) Tính ( chính xác đến 4 chữ số thập phân ) diện tích, chu vi và các đường chéo của hình thang ABCD với , 4,25 ; 7,56 ; 54 30 o m cm n cm α = = = Các kết quả ghi vào bảng sau : Hình 1 Kết quả Công thức Bằng số Diện tích S ABCD Chu vi P ABCD Đường chéo AC Đường chéo BD 3 Số tháng gửi là: Quy trình bấm phím: Bài 9: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A . Từ A, kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC ) (Hình 2). Tính độ dài cạnh AB ( chính xác đến 2 chữ số thập phân), biết rằng diện tích tam giác AHC là 2 4,25S cm= , độ dài cạnh AC là 5,75m cm= . Cách giải: AB ≈ Hình 2 A m H B C Bài 10. (5 điểm) Tam giác ABC có cạnh BC = 9,95 cm, góc · 0 114 43'12"ABC = , góc · 0 20 46'48"BCA = . Từ A vẽ các đường cao AH, đường phân giác trong AD, đường phân giác ngoài AE và đường trung tuyến AM. a) Tính độ dài của các cạnh còn lại của tam giác ABC và các đoạn thẳng AH, AD, AE, AM. b) Tính diện tích tam giác AEM. (Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân) Rồi điền kết quả vào bảng sau : AB = ; AC = ; AH = AD = ; AE = ; AM = S AEM = HẾT 4 H ƯỚ NG D Ẫ N CH Ấ M VÀ THANG ĐIỂM H ƯỚ NG D Ẫ N CH Ấ M THANG ĐIỂM: Bài 1 (5 điểm ): a) P = 6 172 839 500 3 điểm b) Qui trình phím: 1: 1: 5.10 : Y X X Y Y A A B A B= + = + = + = + Cacl X? 0 = Y? -1 = A? 0 = B? 0 = Sau đó ấn = = …… 2 điểm Bài 2 (5 điểm ): a) Tìm số tự nhiên N lớn nhất có 10 chữ số biết rằng N chia cho 5 dư 2, N chia cho 9 dư 2 và N chia cho 753 dư 20 Cách giải:máy 570ES 17 2 19 5 ;N Y X X Y= + = + < ; (1000000000:19 < X < 9999999999:19) ( 52631578 < X < 526315789) Nhập dãy phím: X = X+1: 19 3 17 X Y + = Calc X? 52631578 = = … Y nguyên thì dừng. 1,5 điểm Kết quả: N = 1 000 000 335 1 điểm b) Tìm số nguyên a lớn nhất có 10 chữ số, biết rằng a chia hết cho 125 và chia cho 2009 dư 975. Cách giải: Ta có 9999999999 : 2009 = 4977600,796 Nhập dãy phím: X = X - 1: 2009 975: 125Y X A Y= + = ÷ Calc X? 4977600 = = … A nguyên thì dừng. 1,5 điểm Kết quả: a = 9 999 999 375 1 điểm Bài 3 (5 điểm ): a) Cách giải: Ta có: 1 1 (100) 100(1 )(1 ) 40 2 5 ϕ = − − = 40 13 01⇒ ≡ (mod 100) mà 2009 = 40.50 + 9 40.50 2000 13 13 01⇒ = ≡ (mod 100) 2009 9 13 3 83⇒ ≡ ≡ (mod 100) 1,5 điểm Hai chữ số cuối cùng là: 83 1 điểm b) Ta có 7 là số nguyên tố. 6 2222 1(mod7)⇒ ≡ mà 5555 = 6.925 + 5 5555 5 2222 2222⇒ ≡ , vì 2222 : 7 dư 3 nên 5 5 2222 3 5 (mod7)≡ ≡ (1) 1 điểm Tương tự : 6 5555 1 (mod 7)≡ mà 2222 = 6.370 + 2 2222 2 5555 5555 2 (mod7)⇒ ≡ ≡ (2) Từ (1) và (2) ⇒ 2222 5555 + 5555 2222 chia hết cho 7 1,5 điểm Bài 4 (5 điểm ): a) A = 2009 8112009x x− − Đặt t = x , 0t ≥ ; A = 2 2 2 2009 2009 2009 [ 2. ( ) ] ( ) 8112009 2 2 2 t t− + − − 5 A = 2 2009 ( ) 9121029,25 9121029,25 2 t − − ≥ − b) 2009 2 2010 2009 2 2010 2x x x x− + − + − − − = ĐK: 2010x ≥ 2010 1 2010 1 2010 1 1 2010 2 VT x x x x = − + + − − = − + + − − ≥ Đẳng thức xảy ra khi ( 2010 1)(1 2010) 0x x− + − − ≥ 1 2010 0x⇒ − − ≥ 2010 1x⇒ − ≤ 2011x⇒ ≤ Và 2010x ≥ suy ra 2010 2011x≤ ≤ a) Giá trò nguyên nhỏ nhất của biểu thức A là: - 9121029 2 ,5 điểm b) Nghiệm nguyên của phương trình là: 2010 ; 2011 2 ,5 điểm Bài 5: (3 điểm) Điểm trung bình của lớp 9A là: 7,12 A X ≈ ; Phương sai: 2 5,58; A s ≈ và độ lệch chuẩn là: 2,36 A s ≈ . 1 điểm Điểm trung bình của lớp 9B là: 7,38 B X ≈ ; Phương sai: 2 4,32; B s ≈ và độ lệch chuẩn là: 2,07 B s ≈ . 1 điểm Điểm trung bình của lớp 9C là: 7,39 C X ≈ ; Phương sai: 2 4,58; C s ≈ và độ lệch chuẩn là: 2,14 C s ≈ . 1 điểm Bài 6: (5 điểm) Gọi a là số tháng gửi với lãi suất 0,7% tháng, x là số tháng gửi với lãi suất 0,9% tháng, thì số tháng gửi tiết kiệm là: a + 6 + x. Khi đó, số tiền gửi cả vốn lẫn lãi là: 6 5000000 1.007 1.0115 1.009 5747478.359 a x × × × = 2 điểm Quy trình bấm phím: 5000000 × 1.007 ^ ALPHA A × 1.0115 ^ 6 × 1.009 ^ ALPHA X 2 điểm − 5747478.359 ALPHA = 0 SHIFT SOLVE Nhập giá trị của A là 1 = Nhập giá trị đầu cho X là 1 = SHIFT SOLVE Cho kết quả X là số khơng ngun. Lặp lại quy trình với A nhập vào lần lượt là 2, 3, 4, 5, đến khi nhận được giá trị ngun của X = 4 khi A = 5. Vậy số tháng bạn An gửi tiết kiệm là: 5 + 6 + 4 = 15 tháng. 1 điểm Bài 7: (7 điểm) a) ( ) 15 3 2 19 3; 4 , ; ; ; 8 4 5 5 A B C − − − − ÷ ÷ ( 2 điểm , đồ thị 1 điểm) b) µ 1 1 2 tan 3 tan 3 A − − = − ÷ Góc giữa tia phân giác At và Ox là: 6 µ 1 1 1 2 1 2 tan tan 3 tan 3 2 2 3 A − − − + = + ÷ ÷ ÷ Suy ra: Hệ số góc của At là: 1 1 1 2 tan tan 3 tan 2 3 a − − = + ÷ ÷ kết quả: 1.309250386a ≈ ( 2 điểm ) Bài 8 (5 điểm) Kẻ BH CD ⊥ , ta có: n m H D C A B AD = BH = m. sin α , .cosBC m α = , .cosAB CD HC n m α = − = − Kết quả Công thức Bằng số Diện tích S ABCD 2 1 sin sin cos 2 mn m α α α − 21,8879 (cm 2 ) 1 + 0,5 điểm Chu vi P ABCD 2 sin cosm n m m α α + + − 20,3620 (cm) 1 + 0,5 điểm Đường chéo AC 2 2 2 sinm n α + 8,3142 (cm) 0,5 + 0,5 điểm Đường chéo BD 2 2 2 cosm n mn α + − 6,1563 (cm) 0,5 + 0,5 điểm Bài 9 (5 điểm) Cách giải: AHC BAC ∆ ∆ : theo tỉ số đồng dạng AC m k BC BC = = Gọi AB = x , ta có BC 2 = m 2 + x 2 2 2 2 2 1 2 AHC ABC S S m k S m x mx = = = + , rút gọn được 2 3 2 1 0 2 Sx m x Sm⇒ − + = , với m = 5,75 ; S = 4,25 tính được 1 2 20,77429905 20,77 ; 1,591509775 1,59x x= ≈ = ≈ AB ≈ 20,77 cm ; 1,59 cm. 2,5 + 2,5 điểm. Hình 2 A m H B C Bài 10 (5 điểm) 1) AB = 5,04 cm; AC = 12,90 cm AH = 4,58 cm AD = 6,71 cm AE = 6,26 cm AM = 2,26 cm 3 điểm 2) S AEM = 25,98 cm 2 2 điểm 7 . CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XÃ THỊ XÃ ĐỒNG XOÀI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY Đề s: 2 Lớp 9 THCS - Năm học: 2009 - 2010 Thời gian làm thi: 150 phút – Ngày thi: 8/11/2009 Chú ý: - Đề thi này gồm. phút – Ngày thi: 8/11/2009 Chú ý: - Đề thi này gồm 4 trang. - Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này. ĐIỂM TỒN BÀI THI GIÁM KHẢO (Họ, tên và chữ ký) SỐ PHÁCH (Do ban chấm thi ghi ) Bằng. trên máy tính để giải. Bài 7: (7 điểm) Cho 3 đường thẳng 1 2 3 ( ); ( ); ( )d d d lần lượt là đồ thị của các hàm số 2 3 5; 2 3 y x y x= + = − và 2 3y x= − + . Hai đường thẳng 1 ( )d và 2 (