Định lí Taket

Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet A- Đặt vấn đề I - Lý do chọn đề tài 1. Cơ sở lí luận: Định lý Talet là một trong những định lý hình học cổ điển giữ vai trò quan trọng trong chơng trình toán THCS. Dịnh lý Talet đợc sử dụng nhiều trong giải toán, đặc biệt là những bài toán có liên quan đến đoạn thẳng và tỉ số hai đoạn thẳng. Thông qua việc vận dụng định lý Talet vào giải toán ta có thể ôn lại cho học sinh các tính chất về tỷ lệ thức các kỹ năng biến đổi đại số, chứng minh đẳng thức, giải phơng trình, chứng minh đờng thẳng song song, diện tích đa giác . Vận dụng định lý Talet vào giải toán ngoài việc học sinh đợc rèn luyện các kỹ năng toán học, chủ yếu còn đợc nâng cao về mặt t duy toán học. Các thao tác t duy nh: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, đặc biệt hoá, thờng xuyên đợc rèn luyện và phát triển. 2. Cơ sở thực tiễn. Từ năm học 2001 2002 đến nay, tôi đã đợc giao nhiệm vụ giảng dạy bộ môn Toán 8. Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy khả năng vận dụng định lý Talet vào giải bài toán của học sinh còn hạn chế. Khi học về phần này, học sinh còn khó khăn: - Việc sử dụng các kỹ năng về biến đổi đại số vào hình còn lúng túng hay mắc sai lầm. - Kỹ năng phân tích giả thiết, kết luận của bài toán để vẽ thêm yếu tố phụ, tìm lời giải cho bài toán còn chậm và hạn chế. - Khả năng vận dụng bài toán này cho bài toán khác, kỹ năng chuyển đổi bài toán, khai thác bài toán theo hớng đặc biệt hoá, khái quát hoá cha cao. - Học sinh cha có thói quen tổng hợp và ghi nhớ những tri thức phơng pháp qua từng bài toán, dạng toán. 3. Kết luận khái quát. Nhận thức rõ đợc vị trí và tầm quan trọng của chuyên đề: Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet trong chơng trình Toán THCS. Thông qua thực tế giảng dạy kết hợp với một số sách viết chuyên đề của các nhà giáo khác, tôi nghiên cứu và thực hiện đề tài này. II - Mục đích nghiên cứu. Từ thực tế giảng dạy môn Toán cho đối tợng học sinh khá, giỏi tôi đã rút ra đợc một số kinh nghiệm khi giảng dạy chuyên đề: Một số dạng bài tập ứng Trang: 1 Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet dụng định lý Talet với mục đích áp dụng kinh nghiệm này trong giảng dạy để giúp học sinh : - Nắm vứng nội dụng định lý Talet trong tam giác và định lý Talet tổng quát. - Trang bị cho học sinh một cách có hệ thống các dạng bài tập và phơng pháp giải. Qua đó rèn luyện cho học sinh các kỹ năng tính toán, vẽ hình, phân tích, tổng hợp, - Rèn luyện và phát triển cho học sinh các phẩm chất trí tuệ, các thao tác t duy: So sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hoá, III - Đối tợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu: 1. Đối tợng: Đối tợng nghiên cứu và thực hiện đề tài này là học sinh lớp 8. 2. Phạm vi nghiên cứu: Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài, ở đây tôi nêu ra một số dạng bài tập vận dụng địng lí Talet mà học sinh thờng gặp trong giải toán. Trong mỗi dạng bài tập đều có định hớng chung về cách giải, ở mỗi ví dụ đều có bớc hớng dẫn tìm lời giải. Do trong điều kiện thực tế khi học về chuyên đề này học sinh đã đợc học một số chuyên đề có liên quan: Tỉ lệ thức, diện tích đa giác, bất đẳng thức hình học, nên trong phạm vi nghiên cứu của đề tài này tôi không nhắc lại về các kiến thức cơ bản để giải các dạng toán đó mà học sinh đợc vận dụng các kiến thức đó vào giải tóan. IV. Phơng pháp nghiên cứu: Phơng pháp nghiên cứu chủ yếu là: - Phơng pháp thực nghiệm. - Phơng pháp phân tích tổng hợp. - Phơng pháp đặc biệt hoá - Khái quát hoá. B Nội dung và ph ơng pháp I - Kiến thức cơ bản. 1. Đoạn thẳng tỉ lệ. a) Tỉ số hai đoạn thẳng. - Tỉ số hai đoạn thẳng là tỉ số các độ dài của chúng với cùng một đơn vị đo. Nh vậy tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị mà ta chọn. Trang: 2 Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet b) Đoạn thẳng tỉ lệ: - Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng AB và CD nếu ta có hệ thức: AB và CD tỉ lệ với AB và CD Tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng cũng có các tính chất nh của tỉ lệ thức giữa các số. *1. Tích các trung tỉ bằng tích các ngoại tỉ. AB . CD = AB . CD *2. Có thể hoán vị các trung, ngoại tỉ: => *3. Các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: 2. Định lý Talet trong tam giác. 2.1. Định lý thuận: Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ. ABC. BC//BC => Trang: 3 D'C' B'A' CD AB = D'C' B'A' CD AB = D'C' B'A' CD AB = D'C' CD B'A' AB = CD D'C' AB B'A' = AB CD B'A' D'C' = )'( D'C'CD B'A' AB D'C' D'C' B'A' CD CD AB D'C' B'A' CD AB CDCD = = =>= AC AC' AB AB' = A C C B B D'C' B'A' CD AB = Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet 2.2 Định lý đảo. Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ thì đờng thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. ABC, => BC//BC Tóm tắt: ABC, BC//BC Chú ý: Định lí Talet thuận và đảo đúng trong cả ba trờng hợp hình vẽ sau: 2.3. Hệ quả : Một đờng thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có 3 cạnh tơng ứng tỉ lệ với 3 cạnh còn lại của tam giác đã cho. ABC, BC//BC => 3. Định lý Talet tổng quát: 3.1. Định lý thuận: Nhiều đờng thẳng song song định ra trên hai cát tuyến bất kỳ những đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ. a//b//c => Ta có thể chứng minh định lý này bằng cách qua A kẻ một đờng thẳng song song với d. Đờng thẳng này cắt b, c theo thứ tự tại B,C. Dễ dàng chứng minh đợc AB=AB, BC = BC. Sau đó áp dụng định lý Talet trong tam giác vào ACC để có: từ đây suy ra kết luận. Trang: 4 AC AC' AB AB' = AC AC' AB AB' = A C C B B A C C B B A C C B B A AC A C ' BC C'B' B AB' == C'B' B'A' BC AB = 'C'B" 'AB' BC AB = d d A A a b c B C B C B C C'B' B'A' BC AB = Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet 3.2 . Định lý đảo. Cho 3 đờng thẳng a, b, c cắt hai cát tuyến d, d tại các điểm theo thứ tự; A, B, C và A, B, C thoả mãn đẳng thức tỉ lệ: mà 2 trong 3 đờng thẳng a, b, c là song song với nhau thì 3 đờng thẳng a, b, c song song với nhau. và a//b => a//b//c 3.3 Hệ quả (các đờng thẳng đồng quy cắt hai đờng thẳng song song) - Nhiều đờng thẳng đồng quy định ra trên hai đờng thẳng song song những đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ. a//b => Ng ợc lại : Nếu nhiều đờng thẳng không song song định ra trên hai đờng thẳng song song các đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ thì chúng đồng quy tại một điểm . => AA, BB, CC đồng quy tại điểm O. II Các dạng bài tập ứng dụng định lý Talet. Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng - tỉ số hai đoạn thẳng. Định lý Talet cho ta mối quan hệ về độ dài giữa các đoạn thẳng: Cho nên muốn vận dụng định lý Talet vào tính toán độ dài đoạn thẳng hay tỉ số hai đoạn thẳng ta thờng: + Ghép đoạn thẳng cần tính độ dài vào hệ thức của định lý Talet. Trang: 5 C'B' B'A' BC AB = a b c A A B B C C C'A' AC C'B' BC BC AB == O A b B C C B A O a b A B C A B C AC AC' AB AB = 1 AB' AB d c b a = C'B' B'A' BC AB = Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet + Sử dụng định lý Talet chuyển các tỉ số cần tính về các tỉ số hai đoạn thẳng đã biết hoặc có thể tính đợc nhờ tính chất của tỉ lệ thức. Ví dụ 1: ABC nhọn có AC>AB, AC=45cm Đờng cao AH. Đờng trung trực của BC cắt cạnh AC tại N, biết HB = 15 cm;HC = 27 cm . Tính CN = ? * H ớng dẫn tìm lời giải : Theo giả thiết của bài toán có hai đờng thẳng nào song song cha? áp dụng định lý Talet CN đợc ghép vào hệ thức nào? Trong hệ thức đó: CI, CA, CH đã biết cha? Giải (tóm tắt): Gọi I là trung điểm của BC, NI là trung trực BC AH BC Suy ra: Trong đó: AC = 45; HC = 27; IC = * Nhận xét: Từ giả thiết của bài toán ta suy ra đợc hai đờng thẳng song song: NI //AH bằng cách áp dụng định lý Talet thuận ta đã tính đợc NC. Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD), điểm M thuộc cạnh AD sao cho , vẽ đờng thẳng MN song song với AB biết AB = 28, CD = 70. * H ớng dẫn tìm lời giải : Giả thiết của bài toán có các đờng song song: AB//MN//DC Yêu cầu của bài toán tính MN = ?. Trên hình vẽ MN cha đợc ghép vào định lí nào của định lý Talet. Trang: 6 CH CI CA CN = => NI//AH HC IC C NC = A 21 2 = BC cmCN CN 35 27 21 45 ==>= 5 2 MD = MA A B C D I O P M N H A B C I N Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet Ta hãy tìm cách tạo ra các tam giác để vận dụng định lý Talet. H ớng 1 : Nối AC cắt MN tại O. áp dụng định lý Talet vào trong các tam giác ADC, ABC thì MO, ON tính đợc. Từ đó tính đợc MN. H ớng 2 : Qua A kẻ đờng thẳng AI//BC, I DC. AI cắt MN tại P. PM = AB = 28 áp dụng định lý Talet vào tam giác ADI ta tính đợc PM. Lời giải: (tóm tắt theo hớng 2) Kẻ AI//BC, I DC, AI cắt MN tại P. Tứ giác ABNP là hình bình hành nên AB = PN AB = 28 Trong ADI: PM//AD. áp dụng hệ quả định lý Talet ta có: Theo giả thiết: Mặt khác DI = DC AB = 42 Suy ra: (2) Từ (1) và (2) suy ra: MN = 40 cm Nhận xét: Vẽ thêm đờng phụ để vận dụng định lý Talet trong tam giác. Ví dụ 3: ABC có AC = 3 AB. Lấy D AB, E AC sao cho CE = BD, DE cắt BC tại K. Tính . * H ớng dẫn tìm lời giải : Bài toán yêu cầu tình tỉ số . Giả thiết của bài toán cha cho ta có thể tính đợc trực tiếp tỉ số . Vậy ta phải tìm cách chuyển tỉ số về các tỉ số đã biết. Muốn làm đợc điều đó ta cần vận dụng định lý Talet. Nhng vấn để đặt ra là phải có đờng thẳng song song mới mong muốn vận dụng đợc định lý Talet, nhng vẽ nh thế nào? Vẽ thêm đờng thẳng song song ở bài này cần đạt đợc 2 yêu cầu: + Tỉ số đợc chuyển thành một tỉ số mới mà tỉ số này có liên hệ với tỉ số đã biết ( ). + Sử dụng đợc giả thiết: BD = EC. Cách 1: Qua E kẻ EF // AB, F BC. Trang: 7 => PN = 28 (1) AD AMPM = DI 7 2 AD5 2 MD == AMAM 7 2 DI = PM 1242. 7 2 == PM KD KE KD KE KD KE KD KE KD KE 3 1 = AC AB Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet Cách 2: Qua D kẻ DI // AC, I BC. Cách 3: Qua D kẻ DK // BC, K AC. Cách 4: Qua E kẻ EH // BC, H AB. * Lời giải tóm tắt (theo cách 1): Kẻ EF //AB, F BC. áp dụng hệ quả của định lý Talet vào các tam giác: + KDB: có tỉ số: mà BD = CE nên suy ra: (1) + ABC (có EF //AB): (2) Từ (1) và (2) suy ra: Nhận xét: ở Ví dụ 3 ta đã vẽ thêm đờng thẳng song song để có thể vận dụng đợc định lý Talet và hệ quả. Ví dụ 4: ABC, lấy D BC, E AC, sao cho AD cắt BE tại I. Tính * H ớng dẫn tìm lời giải : Từ tỉ số cần tính và các tỉ số đã biết Ta vẽ thêm đờng thẳng song song: Qua D kẻ DM //BE, với M AC. Lời giả i : Vẽ DM//BE, M AC, BEC có DM//BE (theo giả thiết). áp dụng định lý Talet ta có: ADM có: IE//DM theo định lý Talet trong tam giác ta có: Mà Do đó: Trang: 8 BDKD EFKE = CEKD EFKE = 3 1 ACECACAB === ABEFCEEF 3 1 KD = KE . 5 2 EC , 7 3 BC == AEBD . ID AI . ID AI . 5 2 EC , 7 3 BC == AEBD 7 3 BC BD EC EM == EM AE ID AI = 15 14 7 3 : 5 2 EC EM : EC AE EM AE === 15 14 ID = AI Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet Ví dụ 5: ABC có BAC = 120 o , AB = 6 cm, AC = 12cm, phân giác BAC cắt BC tại D. Tính AD. * H ớng dẫn tìm lời giả i : AD là phân giác góc BAC, mà BAC = 120 o nên BAD =DAC = 60 o . Sử dụng tính chất đờng phân giác ta đợc: , nên ta vẽ thêm đờng phụ để tạo tam giác đều : DE//AB thì ADE đều, ta chuyển từ việc tính AD về tính AE. * Lời giải tóm tắt: Kẻ DE //AB, với E AC. ADE đều, đặt AD = DE = AE = x (x>0). ABC có DE//AB => Kết luận 1: Nh vậy để vận dụng định lý Talet vào tính toán độ dài đoạn thẳng, tỉ số đoạn thẳng ta cần chú ý: + Từ giả thiết phát hiện các đờng thẳng song song, ghép các đoạn thẳng hay các tỉ số cần tính vào hệ thức của định lý Talet. + Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức. + Vẽ thêm đờng phụ để vận dụng định lý Talet trong tam giác. + Vẽ thêm đờng thẳng song song tạo thành các cặp đoạn thẳng tỉ lệ. + Trong thực hành đôi khi ta cần đặt một đại lợng cần tính là x, sau đó dùng các biến đổi đại số để tìm x. Trang: 9 2 1 A AB DC == C DB cmx C DE 4 12 x-12 6 x A CE AB === A B C B E D Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet Dạng 2: Chứng minh hệ thức đoạn thẳng. Dạng bài tập chứng minh hệ thức đoạn thẳng là dạng bài tập hay và khó. Nếu nh ở lớp 7, các hệ thức về đoạn thẳng còn đơn giản: Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, chứng minh đoạn thẳng này bằng tổng hai đoạn thẳng khác, thì lên lớp 8, học sinh sau khi học song về diện tích đa giác, nhất là định lý Talet thì lớp bài tập về chứng minh hệ thức đoạn thẳng trở lên đa dạng và phong phú. 2.1. Chứng minh a = b, b + d = mc(a,b,c,d là độ dài các đoạn thẳng, m là hằng số) Để chứng minh a = b hay b + d = mc chúng ta đã biết khá nhiều cách làm: Tam giác bằng nhau, tính chất cộng đoạn thẳng, ở đây chúng ta phân tích việc chứng minh hệ thức này theo lối sử dụng định lý Talet. + Để chứng minh a = b ta chứng minh bằng cách chọn đoạn thẳng c một cách hợp lý. + Để chứng minh b + d = mc ta chứng minh . Sử dụng định lý Talet chuyển các tỉ số về các tỉ số mới để có thể thực hiện phép cộng và rút gọn. Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD (AB//CD), AC cắt BD tại O. Qua O kẻ đờng thẳng d// AB, d cắt AD tại M, d cắt BC tại N. Chứng minh OM=ON. * H ớng dẫn tìm lời giải : Giả thiết của bài toán cho ta MN//AB//DC, chứng minh OM = ON. Ta có thể chọn AB (hoặc DC) để lập tỉ số và chứng minh * Lời giải tóm tắt : Ta có OM//AB, ON//AB (giả thiết), áp dụng hệ quả của định lý Talet vào các tam giác: + ABD: (1) + ABC: (2) ABCD là hình thang: AB//CD, áp dụng hệ quả của định lý Talet vào DOC: Trang: 10 c b c a = m =+ c d c b c d , c b AB ON , AB OM AB ON AB OM = DB DO AB OM = CA CO AB ON = A B C D M N O [...]... phân giác Kết luận 4: Vận dụng định lý Talet vào giải các bài toán về diện tích là dạng toán hay và khó Muốn làm tốt dạng toán này chúng ta cần chú ý đến các Trang: 32 Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet tính chất về diện tích đa giác, các công thức tính diện tích đa giác, định lí Talet và đặc biệt chú ý đến các nhận xét 1, 2, 3 Việc vận dụng hợp lí, linh hoạt định lí Talet và các nhận xét 1, 2,... sử dụng kết qủa suy ra từ định lí Talet Trang: 27 Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet Dạng 4: Định lí Talet và các bài toán về diện tích Các công thức diện tích cho ta mối quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng Do đó ta có thể biểu thị độ dài đoạn thẳng, tỉ số các độ dài của hai đoạn thẳng, tích các độ dài của hai đoạn thẳng qua diện tích của đa giác Hệ thức của đinh lí Talet có dạng một tỉ lệ... Kết luận 2: Sử dụng định lí Talet là một phơng pháp thờng dùng trong chứng minh hệ thức về đoạn thẳng đặc biệt là những hệ thức có dạng tỉ số hay tích các đoạn thẳng Muốn vận dụng đợc định lí Talet vào giải các bài tập dạng này cần chú ý: - Biến đổi hệ thức cần chứng minh về hệ thức có sự xuất hiện các tỉ số hai đoạn thẳng - Vẽ thêm các đờng thẳng song song để có thể vận dụng định lí Talet chuyển các... (định lí Talet đảo) Trang: 22 Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet Ví dụ 2: Qua giao điểm O của 2 đờng chéo tứ giác ABCD, kẻ 1 đờng thẳng tuỳ ý cắt cạnh AB tại M và CD tại N Đờng thẳng qua M song song với CD cắt AC ở E và đờng thẳng qua N song song với AB cắt BD ở F Chứng minh BE//CF * Hớng dẫn tìm lời giải: BE//CF OB = OE OF OC Hãy sử dụng các đờng thẳng song song trong giả thiết và định lí. .. Trang: 12 x Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet * Lời giải: áp dụng định lý Talet vào OEG: OE OG = DF//GE => (1) OD OF áp dụng định lý Talet vào OGH: EF//GH => OG = OH (2) OF OE Từ (1) và (2) suy ra: OE OH => = OD OE OE2 = OH.OD a c a c p + = m; + = m 2.3 Chứng minh hệ thức dạng (a,b,c,d là độ b d b d q dài đoạn thẳng, m là hằng số) a c , Sử dụng định lý Talet chuyển các tỉ số về các tỉ số... áp dụng định lí Talet vào BFC ta đợc Đpcm Lời giải (tóm tắt): Qua C kẻ CF //AD, F AB, ta có: F = DAB = 60o (1) FCA =CAD = 60o (2) Từ (1) và (2) suy ra AFC đều =>AF=FC=AC =>BF =AB+AF=AB + AC áp dụng hệ quả định lý Talet vào BFC, AD//FC: AD BA = FC BF Suy ra: hay AD AB = AC AB + AC => AD = AC.AB AB + AC 1 AB + AC 1 1 = = + (Đpcm) AD AB.AC AB AC Trang: 18 Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet... cắt AC tại I khi đó: QC AC QC AD CM AI CM - AI = = = QD BC QD DB MI MI MI Việc chứng minh CM- AI = IM đã rất đơn giản Trang: 15 Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet Lời giải: Qua D kẻ DI //BM, với I AC, I nằm giữa A và M áp dụng định lí Talet vào các tam giác: AD AI + ABM, có DI//BM: DB = IM + CDI, có QM//DI: QC = CM QD MI QC AD CM AI AM AI MI = = = = 1(1) QD DB MI MI MI Do vậy ta đợc:... từ đó chứng minh đợc hệ thức Trang: 21 Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng song song nhiều đờng thẳng đồng quy, nhiều điểm thẳng hàng ở lớp 7 để chứng minh hai đờng thẳng song song thì ta phải tìm các mối quan hệ về góc hoặc các mối quan hệ giữa các đờng thẳng Nên lớp 8, sau khi học song định lí Talet đảo, từ hệ thức về độ dài đoạn thẳng cũng cho ta kết luận... Trang: 17 1 1 1 = + AD AB AC Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet 2.4 Các hệ thức dạng khác Trong giải toán nhiều khi ta gặp các hệ thức chứng minh cha ở một trong các dạng mà chúng ta đã xét Nhng bằng cách biến đổi đại số ta vẫn có thể chuyển đợc các hệ thức này về các dạng quen thuộc hoặc về hệ thức dạng tỉ số các đoạn thẳng để vận dụng định lí Talet Ví dụ 1: Cho ABC, phân giác trong AD chứng minh... dạng bài tập ứng dụng định lí Talet Ví dụ 6: Cho tứ giác ABCD, vẽ các đờng thẳng d1//d2 // AC d1 cắt AD, BC theo thứ tự tại E và F d2 cắt BA, BC theo thứ tự tại G và H (GH khác EF) Chứng minh rằng EG, DB, HF đồng quy * Hớng dẫn tìm lời giải: A Theo giả thiết EF // AC // GH G yêu cầu bài toán phải chứng minh GE E , BD, HF đồng quy, ta suy nghĩ đến D M O N việc sử dụng hệ quả của định lí Talet B tổng quát, . số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet A- Đặt vấn đề I - Lý do chọn đề tài 1. Cơ sở lí luận: Định lý Talet là một trong những định lý hình học cổ điển. tập ứng dụng định lí Talet dụng định lý Talet với mục đích áp dụng kinh nghiệm này trong giảng dạy để giúp học sinh : - Nắm vứng nội dụng định lý Talet