Bài toán 5: Tìm điều kiên để hàm số không có cực trị... Bài toán 17: Chứng minh rằng:đồ thị hàm số bậc ba có tâm đối xứng hoặc xác định tâm đối xứng của hàm số bậc ba Ph ơng pháp giải
Trang 1trờng trung học phổ thông quỳ hợp 1
lớp:12A
giáo viên:trần bá hải
tổ một * lớp 12A
Các dạng toán thờng gặp ở hàm bậc 3
Bài toán 1:Tìm điều kiện để hàm số đồng biến x R
Ph ơng pháp giải:Tìm điều kiện đểy, 0 x R
Ví dụ 1: Cho hàm số y=x3-3(2m+1)x2+(12m+5)x+2
Tìm m để hàm số luôn đồng biến
giải :
Để hàm số đồng biến trên R thì:
y’ 0 x R <=> y’=3x2 -6(2m+1)x+12m+5 0 x R
<=>
0 Δ
0 a
' <=>
0 5) 3(12m 1)
9(2m Δ
0 3
2 '
<=>
0 15 36m 1) 4m 9(4m
m
2 <=>36m2-6 0 <=>
6
6 m 6
6
Kết luận:Vậy
6
6 m 6
6
là những giá trị cần tìm
Ví dụ 2: Cho hàm số y=mx3-(2m-1)x2+(m-2)x-2
Tìm m để hàm số luôn đồng biến
giải :
Để hàm số đồng biến trên R thì:
y’ 0 x R <=> y’=3mx2 -4(2m-1)x+m-2 0 x R
<=>
0 Δ
0 a
' <=>
0 2) -3m(m 1)
(2m
0 m
2 ' 4
Δ
<=>
0 6m 3m 1) 4m 4(4m
0 m
2
0 13m
0 m
2 10m 4 <=>vô nghiệm
Kết luận:Vậy không tồn tại m thoả mãn ycbt
Ví dụ 3: Cho hàm số y=
3
1
x3
-2
1
(sina+cosa)x2+
4
3
x.sin2a+1 Tìm a để hàm số luôn đồng biến
12
5 a kΠ
Bài toán 2: Tìm điều kiện để hàm số nghịch biến x R
Ph
ơng pháp giải : Tìm điều kiện để y , 0 x R
Ví dụ : Cho hàm số y=
3
1
(a2-1) x3+(a-1)x2-2x+1 Tìm a để hàm số nghịch biến trên R
giải :
Để hàm số nghịch biến trên R thì:
y’ 0 x R <=> y’=(a2-1)x2 +2(a-1)x-2 0 x R
Trang 2<=>
0
0 a
'
Δ <=>
0 1) -2(a 1) (a
0 1) -(a
2 2 '
Δ
<=>
0 1 2a
3a
1 a 1
2 <=>
1 a 3 1
1 a 1
<=> a 1
3
1
Kết luận:Vậy a 1
3
1
là những giá trị cần tìm
Bài toán 3: a>Tìm điều kiện để hàm số đồng biến x A
b> Tìm điều kiện để hàm số nghịch biến x A
Ph ơng pháp giải:a>Tìm điều kiện đểy, 0 x A
b> Tìm điều kiện đểy, 0 x A
Ví dụ1: Cho hàm số y=2x3+3mx2-2m+1
Tìm m để hàm số nghịch biến trên (1;2)
Đáp số:m ≤ -2
v
í dụ 2: cho hàm số y=x3-3x2+3mx-1
tìm m để hàm số đồng biến trên 2;
Đáp số:m ≥ 0
Ví dụ3 : Cho hàm số y=x3-(m+3)x2+mx+m+5
Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2
Đáp số:
3 m 0 m
Bài toán 4: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Ph
ơng pháp giải:Tìm điều kiện đểy, 0 có 2 nghiệm p/b
Ví dụ 1: cho hàm số y=
3
1
x3
-2
1
(sina+cosa)x2+
4
3
x.sin2a+1 Tìm a để hàm số có cực trị
giải : Ta có :y’=x2-(sina +cosa)x+
4
3
sin2a
Để hàm số có cực trị thì y’=0 có 2 nghiệm phân biệt
<=> 0 <=>(sina +cosa)2-3sin2a >0
<=> 1-2sin2a >0 <=>
2
1 sin2a
6
13Π 2a
k2Π 6
5Π
12
13 a k2
12
5
Ví dụ 2: Cho hàm số y=
3
2
x3+ ( cosa-3 sina)x2-8(cos2a+1)x +1 CMR: Hàm số luôn có cực tri
Hớng dẫn: Tính y’=12cos2a-3sin2a+21 và chứng minh y’>0 a
Ví dụ 3: Cho hàm số y=x3-ax2+9
Với giá trị nào của a thì hàm số có cực trị.tìm tập hợp các điểm cực trị của đờng cong đã cho khi a biến thiên
Đáp số:Với a 0 thì hàm số có cực trị.Tập hợp tất cả các điểm M cần tìm là đồ thị của hàm số y=
2
1
x3+9
Bài toán 5: Tìm điều kiên để hàm số không có cực trị
Trang 3ơng pháp giải:Tìm điều kiện để
nghiệm 1
có
nghiệm vô
0
y ,
Ví dụ : Cho hàm số y=(x+a)3+(x+b)3-x3
Tìm diều kiện của a,b để hàm số không có cực trị
giải:
b a b)x 2(a x 3 y'
để hàm số không có cực trị =>y’=0 vô nghiệm koặc có nghiệm kép
<=>Δ' (a b)2 (a2 b2) 0 <=> ab0
Kết luận:với a,b thoả mãn ab0 thì hàm số đã cho không có cực trị
Bài toán 6: Viết phơng trình qua 2 điểm cực trị của hàm số
Ph
ơng pháp giải: Lấy y chia cho y’
=>Y=Y’.g(x)+R(x) và chứng minh :R(x) là đờng thẳng qua 2 điểm cực trị
Ví dụ : Cho hàm số y=x3-3(m-1)x2+(2m2-3m+2)x-m(m-1)
Viết phơng trình qua 2 điểm cực trị của hàm số
Đáp số: (m 3m 1)(x m 1)
3
2
y 2
Bài toán 7: Tìm điều kiên để hàm số đạt cực trị tại x=x 0
Ph
ơng pháp giải:Sử dụng phơng pháp điều kiện cần và điều kiện đủ
B1 :giả sử hàm số đạt cực trị tại x=x0
=>y’(x0)=0 =>đk
B2 :kiểm tra lại bằng dấu hiệu=>kết luận
ví dụ: cho hàm số y=mx3+3x2+5x+2
tìm m để hàm số đạt cực trị tại x=2
Đáp số :m=
12
17
Ví dụ1 : Cho hàm số y=-mx3+2m2x2+5
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x=
3
4
đó là điểm cực đại hay cực tiểu
Đáp số:m=1và x=
3
4
là điểm cực đại
Ví dụ2: Cho hàm số y=x3-3mx2+3(m2-1)x+m
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x=2
Đáp số:m=1
Ví dụ 3: Cho hàm số y=x3-(3+m)x2+mx+m+5
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x=2
Đáp số:m=0
Bài toán 8: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị và 2 điểm cực trị cách đều trục
tung
Ph
ơng pháp giải : Tìm điều kiện để :
oy uốn iểm
Đ
p/b nghiệm 2
có 0 y'
Ví dụ1: Cho hàm số y=x3+3(m-1)x2+2(m2-4m+1)x-4m(m-1)
Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị cách đều trục tung
Đáp số :m=-1
Ví dụ 2:Cho hàm số y=2x3+mx2-12x+13
Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị cách đều trục tung
Đáp số:m=0
Bài toán 9: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị và 2 điểm cực trị cách đều trục
hoành
Trang 4ơng pháp giải : Tìm điều kiện để :
ox uốn iểm
Đ
p/b nghiệm 2
có 0 y'
Ví dụ 1: Cho hàm số y=x3-(2m+1)x2-9x
Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị cách đều trục hoành
Đáp số:m=
2
1
Ví dụ 2: Cho hàm số y=x3-3ax2-x+4a3
Tìm a để hàm số có cực trị và cực trị cách đều trục hoành
Đáp số:a=0
Bài toán 10: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại một điểm
(Cách phát biểu khác :Tìm điều kiện để phơng trình ax3+bx2+cx+d=0 có 1 nghiệm,
a≠0
Ph
ơng pháp giải : Tìm điều kiện để
0 y y
trị cực có số Hàm
trị cực có không số
Hàm
CT CĐ
Ví dụ1:Cho hàm số y=x3-3mx+3m
Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm
Đáp số:
4
9
m
Ví dụ2:Cho hàm số y=x3-3x2+3(1-m)x+1+3m
Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm
Đáp số: m<1
Bài toán 11: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại hai điểm
(Cách phát biểu khác :Tìm điều kiện để phơng trình ax3+bx2+cx+d=0 có 2 nghiệm, a
≠0)
Ph
ơng pháp giải : Tìm điều kiện để
0 y y
trị cực có số Hàm
CT CĐ
Ví dụ:Cho hàm số y=x3-3x2+3(1-m)x+1+3m
Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm
Đáp số: m=1
Bài toán 12:Tìm điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại ba điểm
(Cách phát biểu khác :Tìm điều kiện để phơng trình ax3+bx2+cx+d=0 có 3 nghiệm ,a
≠0)
Ph
ơng pháp giải : Tìm điều kiện để
0 y y
trị cực có số Hàm
CT CĐ
Ví dụ:Cho hàm số y=x3+mx2-m
Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm
Đáp số:
2
3 3 m 2
3 3 m
Bài toán 13: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại 3 điểm
phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
(cách phát biểu khác:1.Tìm điều kiện để phơng trình bậc ba:ax3+bx2+cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng)
Trang 52.Tìm điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại 3
điểm phân biệt A,B,C =>AB=BC
=>xA , xB , xC lập thành cấp số cộng
Ph
ơng pháp giải : Tìm điều kiện để :
0 y y
trị cực có số Hàm
ox uốn iểm
Đ
CT CĐ
Ví dụ1: Cho hàm số y=x3-3mx2+4m3
Xác định m để đờng thẳng y=x cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt lập thành cấp
số cộng
Đáp số :m=0 hoặc m =
2
2
Ví dụ2: Cho hàm số y=x3+x2-16x+20
Tìm điều kiện của a,b để đ/t y=ax+b cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt A,B,C sao cho B là trung điểm của AC
Đáp số :
3
49 0 686 27
9 27
539686 0 27
9
a
b a b
b a
Bài toán 14:Tìm điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn cho trớc.
Ph
ơng pháp giải : ĐK:
0 ) a.f(
0 y y
) x x mãn thoả
p/b nghiệm 2
có 0 trị(y cực có số Hàm
CT CĐ
2 1 ,
α
α
Ví dụ 1: Cho hàm số y=(x-1)(x2+mx+m)
Tìm m để đồ thị hàm số cắt ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn -1
Đáp số:
8
1161 35
m
8
1161 35
m 0
Ví dụ 2:Cho hàm số y=x3-x2+18mx-2m
Tìm m để đồ thị hàm số cắt ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dơng
Đáp số:không tồn tại m thoả mãn ycbt
Ví dụ 3: Cho hàm số y=x3-(m+2)x2+(4m-1)x-2(2m-1)
Tìm m để đồ thị hàm số cắt ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1
Đáp số: m 4 2 3
Bài toán 15:Tìm điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn cho trớc.
Ph
ơng pháp giải : ĐK
0 ) a.f(
0 y y
) x x mãn thoả
p/b nghiệm 2
có 0 trị(y cực
có
số
Hàm
CT CĐ
2 1 ,
α
α
Ví dụ:Cho hàm số y=mx3-x2-2x+8m
Tìm m để đồ thị hàm số cắt ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn x<-1
Trang 6Đáp số:
7
1
; 6
1 m
Bài toán 16: Tìm điều kiện để GTLN-GTNN của hàm số trên đoạn ,hoặc
khoảng Alà lớn nhất ,bé nhất hoặc bằng .
Ph
ơng pháp giải : c 1 :sử dụng định nghĩa GTLN-GTNN
c2:tìm GTLN-GTNN và buộc nó bằng
Ví dụ : Cho hàm số y=-x3-m2x+2
Tìm m sao cho hàm số đạt GTNN trên 1 , bằng 1
Đáp số : m 2 là những giá trị cần tìm
Bài toán 17: Chứng minh rằng:đồ thị hàm số bậc ba có tâm đối xứng hoặc xác
định tâm đối xứng của hàm số bậc ba
Ph
ơng pháp giải : sử dụng phơng pháp chuyển hệ trục toạ độ cho trục hoành phải đi qua điểm uốn =>hàm số lẻ và gốc toạ độ mới là điểm uốn
Ví dụ : Cho hàm số y=-x3+3x2+9x+2
Xác định tâm đối xứng của hàm số
Đáp số:Tâm đối xứng là điểm uốn của hàm số U(1,13)
Bài toán 18: Chứng minh rằng:hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn của hàm
số bậc ba là lớn nhất hoặc bé nhất.
Ph
ơng pháp giải : Giả sửM(x0,y0) là điểm có hệ số góc lớn nhất hoặc bé nhất và chứng minh đợc rằng:
x α ) (x y
x α ) (x y
0 , 0 ,
Ví dụ:Cho hàm số y=x3+3x2-9x
trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số CMR:Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất
giải:Ta có :Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=x0 là:
k=y’(x0)=3x0 +6x0-9=3(x0+1)2-12 12
=>KMin=-12 tại x0=-1 =>y0=11
Mặt khác:y’’=6x+6 =>điểm uốn là :I(-1,11)
=>Tiếp tuyến qua I(-1,11) là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất
Bài toán 19:Tìm điều kiện để hàm số có cực trị và CĐ-CT đối xứng nhau qua đ-ờng thẳng y=Ax+B
Ph
ơng pháp giải : đk:
B Ax y d/t thuộc
và trị cực iểm
Đ 2 nối thẳng doạn diểm trung thuộc I
uốn
iểm
Đ
B Ax y thẳng
d ờng với góc
và vuông trị
cực diểm 2 qua
pt viết
p/b nghiệm 2
có 0 y'
Ví dụ1 : Cho hàm số y=x3
-2
3
mx2+
2
1
m3
Tìm m để hàm số có cực trị đồng thời cực đại –cực tiểu đối xứng nhau qua đ/t y=x Đáp số: m 2 là giá trị cần tìm
Ví dụ2 : Cho hàm số y=x3-3ax2+4a3
Tìm a để hàm số có cực trị đồng thời cực đại –cực tiểu đối xứng nhau qua đ/t y=x
Đáp số:
2
2
a là giá trị cần tìm
Bài toán 20:Tìm điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân
(cách phát biểu khác:Tìm điều kiện để phơng trình bậc ba:ax3+bx2+cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân)
Trang 7ơng pháp giải: Điều kiện cần:Phơng trình bậc ba ax3+bx2+cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân =>x2 =x1.x3
=> x23=x1.x2.x3
theo định lý viet cho hàm bậc ba ta có :
a
d x x x
a
c x x x x x x
a
b x x x
3 2 1
1 3 3 2 2 1
3 2 1
Điều kiện đủ: Thử lại
Ví dụ1 : Cho hàm số y=x3+2x2+(m+1)x+2(m+1) (1)
Xác định m để để hàm số có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân
Giải:
Điều kiện cần:Giải sử phơng trình bậc ba có 3 ngiệm lập thành cấp số nhân
Khi đó :
2 2 3 1
1 3 3 2 2 1
3 2 1
x x x
1 m a
c x x x x x x
2 a
b x x x
<=>
2
1 m x x
.x x
1 m a
c )x x x (x
2 a
b x x x
2 2
2 3 1
2 2 3 1
3 2 1
thay vào (1)
Ta có: <=>(m+1)(m2+2m-15)=0
5
m
3
m
1
m
Điều kiện đủ: Với m=-1 =>(1) <=>x3+2x2=0
2 x 0 x
(Loại) Với m=3 =>(1) <=>x3+2x2+4x+8=0 <=>x=-2 =>Loại
Với m=-5 =>(1) <=>x3+2x2-4x-8=0
2 x
2 x
(Loại) Kết luận:Vậy không tồn tại m thoả mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ2 : Cho hàm số y=2x3+mx2+(m+21)x+(m-1)
Xác định m để để hàm số có 3 nghiệm là x1=2,x2=4,x3=a lập thành cấp số nhân Đáp số : m=-7
Bài toán 21: Tìm điều kiện để hàm số có 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua
gốc toạ độ.
Ph
ơng pháp giải : Giả sử A(xA,yA) ;và B(xB,yB)
là 2 điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ => 0 là trung điểm của AB
=>
0 y
y
0 x
x
B
A
B
A
=>
B A
B A
y y
x x
ta có:yA=y(xA)=y(-xB)=-yB=-y(xB)
=> y(-xB) =-y(xB) =>giải pt này =>ĐK
Ví dụ : Cho hàm số y=2x3+3mx2-3m+1
Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ
Đáp số:
3
1 m
0 m
Trang 8
Bài toán 22: Tìm điều kiện để đồ thị hàm sốy=ax 3 +bx 2 +cx+d cắt ox tại ba điểm phân biệt sao cho:
a x 1 <A<x 2 <x 3
b x 2 <x 2 <A<x 3
Ph
ơng pháp giải : ĐK :
a
2
CT CĐ
,
x
0 ) a.f(
0 y
y
p/b nghiệm 2
có
0
y
α
α
b
1
CT CĐ
,
x
0 ) a.f(
0 y y
p/b nghiệm 2
có
0
y
α
α
Ví dụ : Cho hàm số y=x3-x2+18mx-2m
Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm p/b có hoành độ thoả mãn x1<0<x2<x3
Đáp số:m<0 là giá trị cần tìm
Bài toán 23: Cho hàm sốy=ax 3 +bx 2 +cx+d
Lập phơng trình parabol đi qua hai điểm cực trị thoả mãn điều kiện cho trớc
Ph
ơng pháp giải : Cách 1:Sử dụng đợc trong trờng hợp toạ độ hai điểm cực trị A;B của hàm số là các hàm số hữu tỷ khi đó thực hiện các bớc :
B1:Giả sử parabol có phơng trình: y=a1x2+b1x+c1 (c)
B2:sử dụng điều kiện ban đầu và đ/k A,B (c) ta thiết lập đợc hệ p/t theo ẩn a1,b1,c1
B3:Giải hệ => a1,b1,c1 =>p/t cần lập
Cách 2:
B1:Tìm các điểm cực trị thoả mãn hệ phơng trình:
N Mx g(x) y y
0 c 2bx 3a
f(x) y
0 y
'
2 '
=>y=Mx+N +m(3ax2+2bx +c) là phơng trình parabol đi qua hai điểm cực trị của hàm số
B2:sử dụng đ/k xác định m
B3:Kết luận
Ví dụ : Cho hàm số y=x3-3x2+4
Lập phơng trình parabol đi qua hai điểm cực trị và tiếp xúc với đ/t y=-2x+2
Đáp số :Phơng trình parabol cần lập :y=2x2-6x+4
Bài toán 24: Cho hàm sốy=ax 3 +bx 2 +cx+d
viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm M(x 0 ,f(x 0 ))
Ph
ơng pháp giải : Sử dụng ý nghĩa hình học ta có phơng trình tiếp tuyến là:
y=f’(x0)(x-x0)+f(x0)
Ví dụ : Cho hàm số y=x3-2x2
viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm M(1,-1)
Giải:
Phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm M(1,-1) là:
y=f’(1)(x-1)-1
Mà: f’(x)=3x2-4x => f’(1)=-1
=>phơng trình:y=-(x-1)-1=-x
Trang 9Bài toán 25: Cho hàm sốy=ax 3 +bx 2 +cx+d
viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng K
Ph
ơng pháp giải : Bớc 1:Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm
=>f’(x0)=K
Bớc 2:Giải phơng trình : =>f’(x0)=K =>x0
Bớc 3:Quy về (bài toán 1)
Ví dụ : Cho hàm số y=x3
a )Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đ/t y=3x+10
b) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đ/t
100 x
12
1
y
Giải: a) Do tiếp tuyến song song với đ/t y=3x+10 =>K=3
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm :
=>f’(x0)=3 <=> 3x0 =3
1 x
1 x
0 0
+Với x0=1 => y0=1 =>M0(1,1)
=>phơng trình tiếp tuyến tại M0(1,1) là:
y=f’(1)(x-1)+1=3(x-1)+1=3x-2
+ Với x0=-1 => y0=1 =>M1(-1,-1)
=>phơng trình tiếp tuyến tại M1(-1,-1) là:
y=f’(-1)(x+1)-1=3(x+1)-1=3x+2
Kết luận:Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn yêu cầu bài toán là :y=3x-2
và y=3x+2
b) Do tiếp tuyến vuông góc với đ/t x 100
12
1
y
=>K=12
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm :
=>f’(x0)=12 <=> 3x0 =12
2 x
2 x
0 0
+Với x0=2 => y0=8 =>M0(2,8)
=>phơng trình tiếp tuyến tại M0(2,8) là:
y=f’(2)(x-2)+8=12(x-2)+8=12x-16
+ Với x0=-2 => y0=-8 =>M1(-2,-8)
=>phơng trình tiếp tuyến tại M1(-2,-8) là:
y=f’(-2)(x+2)-8=12(x+2)-8=12x+16
Kết luận:Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn yêu cầu bài toán là :y=12x-16
và y=12x+16
Bài toán 26: Cho hàm sốy=ax 3 +bx 2 +cx+d
viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm
A(x 1 ,y 1 )
Ph
ơng pháp giải : cách 1:
Bớc 1:Gọi Mx0,y0) là tiếp điểm
=>p/t tiếp tuyến tại M(x0,y0) là: y=f’(x0)(x-x0)+f(x0)
Bớc 2:Do tiếp tuyến đi qua A(x1,y1)
=> y1=f’(x0)(x1-x0)+f(x0) (*)
Bớc 3:Giải (*) tìm x0 quy về bài toán 1
cách 2: B1:GIả sử p/t đ/t đi qua A(x1,y1) và có hệ số góc K là:
y=k(x-x1)+y1 (*)
B2: Để đờng thẳng trên là tiếp tuyến thì hệ sau có nghiệm:
Trang 10
(x) f' k
y ) x k(x f(x) 1 1
Giải phơng trình này tìm K và thế vào (*)
Ví dụ : Cho hàm số y=x4/4-x2
a)Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua A(0,0)
Đáp số:Có 3 phơng trình Là: x
x 9 6 2 y
9 6 2 y
o y
Bài toán 27: Cho hàm sốy=ax 3 +bx 2 +cx+d
Tìm những điểm trên mặt phẳng mà từ đó ta kẻ đợc n tiếp tuyến tới đồ thị hàm số
Ph
ơng pháp giải : Gọi Mx0,y0) là những điểm mà từ đó ta kẻ đợc n tiếp tuyến tới
đồ thị hàm số
B1:GIả sử p/t đ/t đi qua A(x1,y1) và có hệ số góc K là:
y=k(x-x1)+y1 (*)
B2: Để có n tiếp tuyến thì hệ sau n có nghiệm:
(x) f' k
y ) x k(x f(x) 1 1
Tìm điều kiện để phơng trình này có n nghiệm =>DDKBT
Trên đây là những bài toán cơ bản của hàm bậc ba mà Tổ Một đã tìm hiểu đợc –
Trong quá trình biên soạn thì không thể tránh thiếu sót Mong các bạn và thầy cô hãy góp ý cho thêm
quỳ hợp-Ngày17Tháng12Năm2007