Mô hình định giá tài sản tư bản

Mỗi nhà đầu tư trong thị trường tài chính, khi phải chọn lựa các phương án đầu tư khác nhau, nhưng chúng có cùng trung bình lợi tức, thì tùy theo mức độ e ngại rủi ro (thể hiện qua hàm lợi ích) mà lựa chọn phương án ít rủi ro nhất, nghĩa là phương án có phương sai bé nhất. Nội dung này, được giới thiệu qua mô hình định giá tài sản tư bản. Đây là một trong những kết quả nền tảng của Toán tài chính.

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Chí Long _ MƠ HÌNH ĐỊNH GIÁ TÀI SẢN TƯ BẢN NGUYỄN CHÍ LONG* TĨM TẮT Mỗi nhà đầu tư thị trường tài chính, phải chọn lựa phương án đầu tư khác nhau, chúng có trung bình lợi tức, tùy theo mức độ e ngại rủi ro (thể qua hàm lợi ích) mà lựa chọn phương án rủi ro nhất, nghĩa phương án có phương sai bé Nội dung này, giới thiệu qua mơ hình định giá tài sản tư Đây kết tảng Tốn tài Từ khóa: hàm lợi ích, lý thuyết đầu tư đại, mơ hình định giá tài sản tư ABSTRACT The capital asset pricing model In financial markets, when the investor has a choice of different portfolios that have the same average return, depending on the level of risk aversion (presented by the utility function); he chooses the least risky portfolio; i.e the portfolio that has the smallest variance This is presented through the capital asset pricing model This is one of the fundamental results of financial mathematics Keywords: utility function, modern portfolio theory, capital asset pricing model Lợi nhuận hàm lợi ích 1.1 Một số khái niệm, định nghĩa Xét mô hình tài chu kỳ với thời gian giao dịch T = {0,1} Thời điểm t = thời điểm tại, bắt đầu giao dịch thời điểm t = thời điểm đáo hạn, kết thúc giao dịch Thị trường tài gồm N + tài sản tảng để đầu tư, tài khoản tín dụng ngân hàng (hay trái phiếu không rủi ro) Bt, t = 0,1; với lãi suất cố định chu kỳ r N chứng khoán {S }, i = 1, 2, …, N; t = 0, i t Đối với tài khoản tín dụng Bt, giả thiết B0 = đơn vị tiền tệ gửi vào ngân hàng thời điểm t = có B1 = + r đơn vị tiền tệ t = Giá N chứng khoán thời điểm t = 0, S 01 , S 02 ,…, S 0N xác định, giá chứng khoán thời điểm t = lại phụ thuộc vào k kịch tài ωi, i = 1, …, κ thuộc Ω : = {ω1, ω2, …, ωκ } Giả sử xuất kịch ωi ∈ Ω có xác suất P(ωi) > 0, i = 1, …,κ Gọi F = P(Ω) tập hợp tất tập Ω F trường thơng tin lớn * TS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM 25 Số 30 năm 2011 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ thị trường tài xét Lúc S1i , i = 1, …, N biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P) S1i (ω) giá chứng khoán thứ i thời điểm t = kịch ω ∈ Ω xuất * Một phương án đầu tư (viết tắt PA) cặp (x, φ) x tổng số tiền đầu tư ban đầu φ danh mục chứng khoán đầu tư, véctơ gồm N thành phần φ: = (φ1, …, φN) với φi số đơn vị cổ phiếu chứng khoán thứ i mua thời điểm t = Số tiền lại sau mua N chứng khoán φ 0: = x - N ∑φ S i i =1 i gửi vào tài khoản tín dụng (hay mua trái phiếu khơng rủi ro) * Quá trình giá PA (x, φ) cặp (V0 (x, φ); V1 (x, φ)) Trong V0 (x, φ) = x V1 (x, φ) biến ngẫu nhiên V1 (x, φ) = φ0B1 + N ∑φ S i i i =1 R i Si − Si R i := i S0 lợi Gọi tức chứng khoán thứ i (i = 1,…,N): R lợi tức tài khoản tín dụng, số xác định dương r: B − B0 R := =r B0 * Quá trình lời G (x, φ) PA (x, φ) biến ngẫu nhiên N ∑ φ ∆S G(x, φ) = φ0r + i i =1 i , với ∆ S i : = S1i - S0i biểu diễn trình lời qua lợi tức N G(x, φ) = φ B R + ∑ φ i S 0i R i , i =1 * Trong trường hợp hàng hóa thị trường phải chiết khấu q trình giá chứng khốn chiết khấu Sˆ0i = S0i Sˆ1i = S1i ; lúc q trình giá chiết khấu PA (x, φ) B1 Vˆ0 (x, φ) = x Vˆ1 (x, φ) = φ0 + Gˆ (x, φ) = N ∑φ i =1 26 i ∆ Sˆ i , với N ∑φ i =1 i Sˆ1i , trình lời chiết khấu là: ∆ Sˆ i = Sˆ1i - Sˆ0i Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Chí Long _ * Từ khái niệm ta có : V1 (x, φ) = V0 (x, φ) + G (x, φ) Vˆt = Vt ; (t = 0;1) Vˆ1 (x, φ) = Vˆ0 (x, φ) + Gˆ (x, φ) B1 (1) (2) * Thị trường tài lành mạnh, thị trường không tồn PA (x, φ) thỏa mãn điều kiện sau: (1) x = V0(x, φ) = 0, (2) V1(x, φ) ≥ (hoặc Gˆ (x, φ) ≥ 0), (3) ∃ ω ∈ Ω : V1(x, φ)(ω) > (hoặc Gˆ (x, φ)(ω) > 0) * Một độ đo xác suất Q Ω gọi độ đo xác suất trung hòa rủi ro (1) Q(ω) > 0, ∀ω ∈ Ω (Mỗi kịch xảy với xác suất dương) (2) EQ [∆ Sˆ i ] = (Kỳ vọng số gia chứng khoán chiết khấu lấy theo độ đo Q 0) * Một quyền tài (hay phái sinh) biến ngẫu nhiên X xác định không gian xác định (Ω, F,P) biểu diễn thu hoạch thời điểm đáo hạn t = * Cho X quyền tài Một phương án đầu tư (x, φ) gọi phương án đáp ứng (a replicating strategy) hay bảo hộ (hedge) cho X V1 (x, φ) = X thời điểm t = * Một quyền tài X gọi đạt (attainable) hay mua bán (marketable) có phương án đầu tư (x, φ) bảo hộ cho X * Thị trường tài đầy đủ quyền tài X tìm phương án (x, φ) bảo hộ cho X Mơ hình tài khơng có tính chất gọi mơ hình tài khơng đầy đủ 2.2 Nguyên lý giá thị trường tài đầy đủ Trong [4] [2], chúng tơi giới thiệu chứng minh nguyên lý: Thị trường tài lành mạnh tồn độ đo xác suất trung hòa rủi ro Và nguyên lý: Trong thị trường tài lành mạnh thị trường tài đầy đủ tồn độ đo xác suất trung hòa rủi ro Đối với nhà đầu tư (viết tắt: NĐT) tài chính,vấn đề quan tâm là: Cách tối ưu để đầu tư vào thị trường tài chính? Lời đáp câu hỏi phụ thuộc vào mơ hình tài xét chọn lựa phương án đầu tư nào? Tính tối ưu hiểu xác nào? Hay cụ thể là, xác định giá trị cách biểu diễn phương án đầu tư nào? Giá trị thị trường tài thường bị chi phối ba đặc trưng sau: NĐT thích thu hoạch cao thu hoạch thấp phương án đầu tư 27 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 30 năm 2011 _ Đặc trưng hiển nhiên Tuy nhiên, thực tế thị trường tài chính, lợi ích thu từ phương án đầu tư có tính ngẫu nhiên; chẳng hạn, phương án đầu tư đạt thu hoạch cao trạng thái tài xảy ra, phương án đầu tư lại đạt thu hoạch cao trạng thái tài khác xảy Do đó, khơng có ý nghĩa so sánh hai phương án trạng thái, mà phải xét chung toàn trạng thái xảy thị trường tài chính, nghĩa xét kỳ vọng nó, đặc trưng thứ hai là: NĐT xét giá trị trung bình hay kỳ vọng phương án đầu tư NĐT thường có tâm lý e ngại rủi ro Để làm rõ đặc trưng ta xét Ví dụ 1: Giả sử NĐT mời chọn hai phương án 2, tương ứng với thu hoạch X X Nếu NĐT chọn phương án thu 100 triệu đồng; chọn phương án 2, phải tuân theo quy tắc may rủi sau: Nếu tung đồng xu (gồm mặt, mặt có hình Quốc huy mà ta ghi H mặt giá Trị đồng xu mà ta ghi T) mà mặt H xuất NĐT thu 200 triệu đồng, mặt T xuất NĐT khơng thu đồng Thơng thường, NĐT khơng phải tỷ phú, có tâm lý chọn phương án để thu hoạch chắn 100 triệu đồng chọn phương án xảy tình trạng trắng tay, nghĩa NĐT có tâm lý e ngại rủi ro, thu hoạch trung bình hai phương án nhau: Vì X = 100 tất định kỳ vọng nó, E[ X ] = 100 , X phụ thuộc ngẫu nhiên vào T H; X (T) = 0; X (H) = 200; đánh giá thu 1 hoạch theo kỳ vọng E[ X ] = + 200 = 100 = E[ X ] 2 Khái niệm e ngại rủi ro thường sử dụng mơ hình thơng qua hàm lợi ích (utility functions) Hàm lợi ích cho ta cách đo lường chọn lựa NĐT phụ thuộc vào tổng vốn có mức độ e ngại rủi ro, mà NĐT mong muốn đạt tổng tài sản sau lớn Do đó, hàm lợi ích hạt nhân lý thuyết đầu tư tối ưu đại Định nghĩa Một hàm U : R + × Ω → R gọi hàm lợi ích thỏa mãn hai điều kiện sau: Cố định ω ∈ Ω , hàm U(x, ω ) tăng ngặt theo biến x, nghĩa đạo hàm theo biến x U U’(x, ω ) > 0, với x > 0, Cố định ω ∈ Ω , hàm U(x, ω ) lõm ngặt theo biến x, nghĩa U( λx + (1 − λ ) y; ω ) > λ U(x; ω ) + (1 − λ ) U( y; ω ) Hay tương đương với U’’(x, ω ) < 0, với x > 28 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Chí Long _ Để đơn giản cách biểu diễn, ta thường viết hàm lợi ích dạng theo biến tổng tài sản x, U(x, ω ) = U(x( ω )) = U(x), ngầm hiểu phụ thuộc vào trạng thái ω Bây ta xét biến ngẫu nhiên X biểu diễn thu hoạch NĐT Cố định hàm lợi ích U Ta đo lường thu hoạch NĐT qua kỳ vọng k E[U ( X )] = ∑ P(ωi )U ( X (ωi )) i =1 Sự biểu diễn thu hoạch bao hàm ba đặc trưng vừa nêu trên: Đặc trưng thứ phản ảnh qua hàm lợi ích tăng ngặt, đặc trưng thứ hai phản ảnh qua giá trị trung bình, đặc trưng thứ ba, tính e ngại rủi ro, phản ảnh qua tính lõm ngặt hàm lợi ích Ví dụ 2: Giả sử NĐT có tổng tài sản triệu đồng thị trường có cách đầu tư mua loại cổ phiếu: S = (triệu) Cũng giả sử, thời điểm đáo hạn t = 1, hai kịch thị trường xảy giống việc tung đồng xu hai mặt H T: Ω := {H , T } với xác suất P ( H ) = P (T ) = 0,5 Nếu kịch H xảy (tình hình kinh tế phát triển tốt) giá chứng khốn tăng: S1 ( H ) = (triệu), nghĩa tăng thêm triệu; kịch T xảy (tình hình kinh tế khó khăn) giá chứng khốn giảm: S1 (T ) = (triệu), nghĩa giảm triệu (Trường hợp gọi trò chơi cơng kỳ vọng lợi nhuận E[G] = 0,5 + 0,5.(- 4)) = 0) Xét hàm lợi ích: U(x) = x Ta thử tìm hiểu, quan điểm đáp ứng nguyên lý cực đại kỳ vọng hàm lợi ích, NĐT chọn phương án đầu tư hay không chọn? Nếu NĐT từ chối phương án trên, giữ nguyên triệu đồng lúc đầu, đến thời điểm đáo hạn t = 1, số tiền nguyên triệu; hàm lợi ích trên: U(x) = U(5) = (hằng số) nên kỳ vọng E[U(5)] = U(5) = = 2,24 Nếu NĐT chọn phương án đầu tư kỳ vọng hàm lợi ích E[U(x)] = P(H).U(x(H)) + P(T).U(x(T)) = 0,5 + 0,5 = Vì kỳ vọng hàm lợi ích từ chối phương án đầu tư lớn kỳ vọng hàm lợi ích chọn phương án (2,24 > 2), nên NĐT từ chối phương án Một cách tổng quát, NĐT e ngại rủi ro thường từ chối trò chơi cơng kỳ vọng lợi tức 0% Nếu kỳ vọng lợi tức lớn 0%, NĐT chọn hay khơng chọn phương án đầu tư phụ thuộc vào hàm lợi ích tổng vốn ban đầu Chẳng hạn, xác suất xảy kịch H, P(H) = 75% thay P(H) = 50%, kỳ vọng lợi ích E[U(x)] = 0,75 + 0,25 = 2,5 > 2,24 nên NĐT chọn phương án đầu tư Sử dụng kết trên, từ việc tìm phương án đầu tư tối ưu thị trường tài chính, chuyển sang tìm phương án ( x, φ ) cho E[U (V1 ( x, φ ))] đạt giá trị tối ưu Bài 29 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 30 năm 2011 _ toán gọi toán đầu tư tối ưu Giá trị tối ưu dĩ nhiên phụ thuộc vào tổng vốn đầu tư ban đầu x Khi vốn đầu tư ban đầu x lớn, kỳ vọng thu hoạch cao, ta xem vốn đầu tư ban đầu tham số toán Định nghĩa Một phương án đầu tư ( x, φ * ) gọi nghiệm toán đầu tư tối ưu, với vốn đầu tư ban đầu V0 = x hàm lợi ích U E[U (V1 ( x, φ * ))] = Max( x ,φ ) E[U (V1 ( x, φ ))] Mệnh đề Nếu toán đầu tư tối ưu thị trường tài xét có nghiệm, mơ hình tài lành mạnh Chứng minh: Ta cần chứng minh rằng, thị trường tài khơng lành mạnh tốn đầu tư tối ưu vô nghiệm Giả sử thị trường tài khơng lành mạnh, nghĩa tồn phương án có độ chênh lệch thị giá (0,ψ ) Đối với phương án đầu tư ( x, φ ) phải có V1 ( x, φ + ψ )(ω ) = V1 ( x, φ )(ω ) + V1 (0,ψ )(ω ) đó: ( x, φ + ψ ) phương án đầu tư tổng hai phương án ( x, φ ) (0,ψ ) , nghĩa phương án đầu tư mua φ i + ψ i đơn vị cổ phiếu chứng khoán S i Theo định nghĩa độ chênh lệch thị giá, phương án cần đầu tư vốn ban đầu x bất đẳng thức thỏa ngặt với kịch ω ∈ Ω , với hàm lợi ích U ta có: E[U (V1 ( x, φ + ψ ))] > E[U (V1 ( x, φ ))] Điều rằng, thị trường tài khơng lành mạnh, phương án đầu tư ( x, φ ) , có phương án đầu tư khác, có số vốn đầu tư ban đầu với phương án ( x, φ ) thu hoạch trung bình lại cao Vậy toán đầu tư tối ưu khơng có nghiệm Do đó, bổ đề chứng minh.… Theo nguyên lý định giá phái sinh, tính chất lành mạnh thị trường tài tương đương với tồn độ đo xác suất trung hòa rủi ro Một độ đo xác suất trung hòa rủi ro tính qua nghiệm toán đầu tư tối ưu qua mệnh đề sau: Mệnh đề Gọi ( x, φ * ) nghiệm toán đầu tư tối ưu với tổng vốn đầu tư ban đầu x hàm lợi ích U, độ đo Q xác định Q(ω ) := P(ω )U ' (V1 ( x, φ * )(ω )) E[U ' (V1 ( x, φ * ))] độ đo xác suất trung hòa rủi ro Trong U ' ( x) đạo hàm U theo x 30 Nguyễn Chí Long Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Chứng minh: Vì Q(ω ) > với ω ∈ Ω k k i =1 i =1 Q(Ω) = ∑ Q(ωi ) = ∑ P(ωi )U ' (V1 ( x, φ * )(ωi )) E[U ' (V1 ( x, φ * ))] ( ) = k P (ωi )U ' (V1 x, φ * (ωi )) ∑ * E[U ' (V1 ( x, φ ))] i =1 = E[U ' (V1 ( x, φ * ))] * E[U ' (V1 ( x, φ ))] = Nên Q độ đo xác suất xác định Ω Ta cần chứng minh Q thỏa thêm điều kiện sau: EQ [∆Sˆ j ] = Do tính chất kỳ vọng, hàm hợp φ a E[U (V1 ( x, φ ))] với φ ∈ R N hàm khả vi đạt cực trị φ * Do đó, đạo hàm riêng hàm triệt tiêu φ * ∂ E[U (V1 ( x, φ ))] |φ =φ * = ∂φ j (3) Mặt khác, từ (1) (2), ta có Vt ( x, φ ) = B1Vˆt ( x, φ ) = B1 ( x + φ 1∆Sˆ + + φ N ∆Sˆ N ) , E[U (V1 ( x, φ ))] = E[U ( B1 ( x + φ 1∆Sˆ + + φ N ∆Sˆ N ))] Và từ (3), suy hệ phương trình sau: Với j = 1,2, , N k B1 ∑ P(ωi )U ' ( B1 ( x + φ *1∆Sˆ + + φ *N ∆Sˆ N )(ωi ))∆Sˆ j (ωi ) = i =1 Do k ∑ P(ω )U ' ( B ( x + φ i =1 Hay i k *1 ∆Sˆ + + φ *N ∆Sˆ N )(ωi ))∆Sˆ j (ωi ) = ∑ P(ω )U ' (V ( x, φ i =1 i * )(ωi ))∆Sˆ j (ωi ) = (4) (vì B1 = + r > ) Suy 31 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 30 năm 2011 _ k EQ [∆Sˆ j ] = ∑ Q(ωi )∆Sˆ j (ωi ) i =1 = k ∑ i =1 P(ωi )U ' (V1 ( x, φ * )(ωi )) ˆ j ∆S (ωi ) E[U ' (V1 ( x, φ * ))] k = P(ωi )U ' (V1 ( x, φ * )(ωi ))∆Sˆ j (ωi ) ∑ * E[U ' (V1 ( x, φ ))] i =1 = (do (4)) … Độ đo xác suất trung hòa rủi ro xác định mệnh đề dùng để tính giá quyền tài Do hai vấn đề cốt lõi tìm phương án đầu tư tối ưu định giá quyền tài liên hệ chặc chẽ với Trong thực tế, việc giải hệ phương trình (4) để tìm phương án đầu tư thông qua φ i , i = 1, , N không đơn giản Một kỹ thuật để giải toán dựa vào độ đo xác suất trung hòa rủi ro phương pháp nhân tử Lagrange; ý tưởng phương pháp phân tích toán xét thành hai toán theo hai bước sau: Bước 1: Xác định cực đại V1 hàm V a E[U (V )] tập hợp chấp nhận biến ngẫu nhiên V Bước 2: Tìm phương án đầu tư mà có giá trị thời điể t = 1, giá trị cực đại V1 xác định bước Phương án đầu tư tìm bước 2, phương án tối ưu Bài toán bước tốn tìm phương án bảo hộ, mà tương đương với việc giải hệ phương trình tuyến tính Trước tiên ta xét mơ hình tài đầy đủ, nghĩa mơ hình tồn độ đo xác suất gốc P độ đo xác suất trung hòa rủi ro Q Định nghĩa Tổng tài sản đạt từ vốn ban đầu x > định nghĩa tập ⎧ ⎫ ~ Wx := ⎨W ∈ R k : EQ [ W ] = x ⎬ B1 ⎩ ⎭ ~ Khi W ∈ Wx có phương án đầu tư ( x, φ ) cho V1 ( x, φ ) = W Bài toán bước tốn tối ưu E[U (W )] Tìm cực đại ~ Với ràng buộc W ∈ Wx Dùng phương pháp nhân tử Lagrange, với hàm Lagrange L(W , λ ) := E[U (W )] − λ ( EQ [ W ] − x) B1 32 (5) Nguyễn Chí Long Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Một nghiệm toán tối ưu có ràng buộc nghiệm hệ thức có từ đạo hàm riêng hàm Lagrange theo biến Wi ≡ W (ωi ) λ Trong biểu thức định nghĩa hàm Lagrange (5), ta phải tính kỳ vọng theo hai độ đo khác P Q; để tiện việc tính tốn, ta định nghĩa biến ngẫu nhiên Q(ω ) (6) L(ω ) := P(ω ) gọi mật độ giá trạng thái Lúc hàm Lagrange viết k L(W , λ ) = ∑ P(ωi )[U (W (ωi )) − λ ( L(ωi ) i =1 W (ωi ) − x)] B1 Đạo hàm riêng hàm Lagrange theo biến Wi 0, cho ta U ' (W (ωi )) = λ L(ωi ) B1 (7) Kết hợp với độ đo xác suất Q xác định mệnh đề λ = E[ B1U ' (W )] (8) Vì đạo hàm U’(x) hàm lợi ích tăng ngặt, tồn hàm ngược I(x) U’(x) cho U’(I(x)) = x = I(U’(x)), từ (7) suy L(ω ) ) W (ω ) = I (λ (9) B1 Phương trình cho ta nghiệm tốn tối ưu có ràng buộc ta biết xác giá trị λ Cơng thức (9) khơng giúp ta tính λ biểu diễn thơng qua biến chưa biết W, nhiên ta lại biết W phải thỏa mãn điều kiện EQ [ W ] = x (10) B1 Thay W (9) vào (10), ta L EQ [ I (λ )] = x B1 B1 (11) Giải phương trình (11) ta tìm λ , thay vào (9) ta tìm nghiệm tốn tối ưu có ràng buộc Trong trường hợp hàm lợi ích U(x) định nghĩa có thêm tính chất (3) lim x→0 U ' ( x) = +∞ lim x→+∞ U ' ( x) = 33 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 30 năm 2011 _ nghiệm λ phương trình (11) ln tồn nhất, lúc hàm L h(λ ) := E[ I (λ )] hàm giảm ngặt, liên tục thỏa mãn điều kiện B1 B1 lim λ →0 h(λ ) = +∞ ; lim λ →+∞ h(λ ) = Trong trường hợp mơ hình tài khơng đầy đủ, có hữu hạn độ đo xác suất trung hòa rủi ro Qi , i = 1,2, , l quyền tài X đạt kỳ vọng EQ [ X ] có giá trị độ đo xác suất trung hòa rủi ro B1 Q = Qi , i = 1,2, , l ; ta tổng quát hóa định nghĩa Định nghĩa Tập hợp tổng thu hoạch đạt từ vốn đầu tư ban đầu x > thị trường tài chính, khơng đầy đủ, định nghĩa tập: ⎧ ⎫ ~ Wx := ⎨W ∈ R k : EQ [ W ] = x, ∀Q = Qi ; i = 1, , l ⎬ B1 ⎩ ⎭ Bài tốn tối ưu viết lại toán tối ưu với hữu hạn ràng buộc: Tìm cực đại E[U (W )] Với ràng buộc EQi [ W ] = x, với i =1, 2,…, l B1 hàm Lagrange tương ứng l L(W , λ ) := E[U (W )] − ∑ λi ( E[ i =1 Li := Li W ] − x) B1 Qi λ := (λ1 , , λl ) nghiệm toán đầu tư tối ưu bước P l W (ω ) = I (∑ λi i =1 Li (ω ) ) B1 Để xác định nhân tử Lagrange λ ta giải hệ gồm l phương trình λ L + + λl Ll E[ Li I ( 1 )] = x B1 Phân tích trung bình phương sai phương án đầu tư Khi NĐT phải chọn hai phương án đầu tư mà chúng có trung bình lợi tức, NĐT chọn phương án có phương sai bé hơn, nghĩa rủi ro Vậy NĐT giải toán trung bình phương sai sau: Bài tốn Tìm cực tiểu Var[R] 34 Nguyễn Chí Long Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Với ràng buộc E[R] = ρ R lợi tức phương án đầu tư xác định bởi: V ( x, φ ) − V0 ( x, φ ) R ≡ R( x, φ ) := V0 ( x, φ ) Khái niệm phí rủi ro (risk premium), ký hiệu R − r , khái niệm quan trọng lãnh vực đầu tư, xác định qua bổ đề sau: Bổ đề Phí rủi ro phương án đầu tư có lợi tức R, thị trường tài mà lãi suất tài khoản tín dụng cố định r, xác định R − r = −Cov( R, L) (12) Trong L mật độ giá trạng thái Cov, viết tắc Covarian, hiệp phương sai Chứng minh: Xét độ đo xác suất trung hòa rủi ro Q cố định thị trường tài chính, từ khái niệm giá chứng khốn chiết khấu, ta có: S i − B1S 0i Sˆ1i − Sˆ0i = B1 = (1 + R i ) S 0i − (1 + R ) S 0i + R0 Ri − R0 = S ( ) + R0 i Lấy kỳ vọng hai vế theo độ đo xác suất Q, vế trái 0, nên = EQ [ S 0i ( Ri − R0 )] + R0 S 0i = EQ [ R i − R ] 1+ R Suy EQ [ R i ] = R = r Do đó, Co var ian( R i , L) ≡ Cov( R i , L) = E[ R i L] − E[ R i ]E[ L] = EQ [ R i ] − E[ R i ] = r − Ri R i := E[ R i ] ý định nghĩa mât độ giá trạng thái L, E[L] = Mặt khác từ định nghĩa V1 R, 35 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 30 năm 2011 _ R= φ0 V0 N φ i S 0i i =1 V0 r+∑ Ri Do đó, R − r = −Cov( R, L) đó, R := E[ R] Vậy ta có điều cần chứng minh.… Bổ đề Cho a, b hai số thực b ≠ Giả sử quyền tài a + b L sinh ~ phương án đầu tư bảo hộ mà có lợi tức R , phí rủi ro phương án ~ đầu tư có lợi tức R, tỷ lệ với phí rủi ro phương án đầu tư có lợi tức R , theo ~ Cov( R, R ) số tỷ lệ beta, với beta := ~ , hay nói cách khác, phí rủi ro thay đổi tỷ Var ( R ) lệ với beta qua phép biến đổi tuyến tính theo mật độ giá trạng thái: ~ R − r Cov( R, R ) = (13) ~ ~ Var ( R ) R −r Chứng minh: Xét quyền tài mua bán có dạng đặt biệt a + b L, a, b số b khác 0, có phương án đầu tư ( x, φ ) cho trình giá ~ ~ Vt ≡ Vt ( x, φ ) với t = 0, thỏa mãn ~ V1 = a + bL ~ Gọi R lợi tức tương ứng với phương án ~ ~ V0 (1 + R ) = a + bL Phương trình có nghiệm L ~ ~ V (1 + R ) − a L= b Đối với phương án đầu tư có lợi tức R ~ ~ V0 (1 + R ) − a Cov( R, L) = Cov( R, ) b ~~ ~ V R aV = Cov( R, − ) b b ~~ VR = Cov( R, ) b ~ V ~ = Cov( R, R ) b Do (12) trở thành 36 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Chí Long _ R −r =− ~ V0 ~ Cov( R, R ) b (14) ~ Trường hợp riêng R = R (14) trở thành ~ ~ V0 V0 ~ ~ ~ ~ R − r = − Cov( R , R ) = − Var ( R ) b b ~ ~ V R −r Hay − = ~ thay vào (14), suy b Var ( R ) ~ R − r Cov( R, R ) = ~ , điều cần chứng minh … ~ Var ( R ) R −r Để có kết cổ điển mà người ta thường gọi mơ hình định giá tài sản tư bản, ta chuyển tốn tìm cực tiểu phương sai lợi tức sang toán tối ưu sau: Bài tốn Tìm cực tiểu Var (V1 ) Với ràng buộc E[V1 ] = x.(1 + ρ ) V0 = x Ràng buộc đầu toán đẳng thức lấy giá trị trình giá thời điểm đáo hạn t = phương án đầu tư bổ sung tổng vốn ban đầu x, mà kỳ vọng x.(1 + ρ ) Điều kiện ràng buộc V0 = x tương đương với EQ [ V1 ] = x Bài tốn tương đương với toán 2; thật vậy, Vˆ1 B1 Vˆ − x nghiệm tốn 2, Rˆ = thỏa mãn ràng buộc toán 1, với x phương án mà lợi tức R thỏa mãn ràng buộc tốn Vˆ1 = x.(1 + R) thỏa mãn E[Vˆ ] = x.(1 + ρ ) , nghĩa thỏa mãn ràng buộc tốn 2, 1 Do Var ( Rˆ ) = Var (Vˆ1 ) ≤ Var (V1 ) = Var ( R) , điều chứng tỏ nghiệm x x ˆ toán 1, ngược lại R nghiệm tối ưu tốn 1, dễ thấy Vˆ1 = x.(1 + Rˆ ) nghiệm tối ưu toán Vậy toán tương đương Để giải toán phương pháp nhân tử Lagrange, ta đưa vào tham số β tìm cực tiểu hàm mục tiêu Var (V1 ) − βE[V1 ] với ràng buộc V0 = x , Var (V1 ) = E[V12 ] − ( E[V1 ]) , nên hàm mục tiêu xét dạng E[ V12 − β V1 ] Vậy ta xét toán tối ưu sau: 37 Số 30 năm 2011 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Bài tốn Tìm giá trị cực đại E[− V12 + βV1 ] Với ràng buộc V0 = x Hàm U ( x) := − x + βx hàm lợi ích đơn điệu ngặt theo định nghĩa 1, nhiên hàm lõm đạo hàm bậc âm Vì U ' ( x) = − x + β nên hàm ngược đồng I ( x) = − x + β Giải phương trình (11) ta tìm nhân tử Lagrange λ=− ( x.B1 − β ) B1 EQ [ L] Từ công thức (9), ta tìm nghiệm tối ưu, ký hiệu Vˆ1 (thay cho W (9)) Vˆ1 = β EQ [ L ] ( EQ [ L] − L) + x.B1 Do đó, E[Vˆ1 ] = β EQ [ L] L EQ [ L ] ( EQ [ L] − 1) + x.B1 (15) EQ [ L ] (16) Bây ta muốn Vˆ1 thỏa mãn điều kiện ràng buộc toán nên E[Vˆ1 ] = x.(1 + ρ ) (17) Khi P ≠ Q EQ [ L] > từ (16), (17) ta tìm nghiệm β β= x.( EQ [ L](1 + ρ ) − B1 ) (18) EQ [ L ] − Chú ý β hàm tăng ngặt theo ρ x.(1 + r ) ≡ x.B1 ρ = r Hơn ρ = r nghiệm tối ưu tốn Vˆ = x.(1 + r ) , số biết Với chọn lựa giá trị β (18) nghiệm Vˆ1 toán thỏa mãn ràng buộc toán Nếu V1 biến ngẫu nhiên mà thỏa mãn ràng buộc tốn 2, E[V1 ] = x.(1 + ρ ) = E[Vˆ1 ] 1 Và đó, E[− Vˆ12 + βVˆ1 ] ≥ E[− V12 + βV1 ] 2 1 ⇔ E[ Vˆ12 ] ≤ E[ V12 ] 2 ⇔ Var[Vˆ1 ] ≤ Var[V1 ] 38 Nguyễn Chí Long Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Mặt khác, lý lẽ ngược lại với ý trên, ta thấy nghiệm toán 3, nghiệm tốn 2; hai toán tương với β ρ xác định Bổ đề Gọi Rˆ lợi tức phương án đầu tư có phương sai cực tiểu so với tất phương án đầu tư mà lợi tức có kỳ vọng ρ , Rˆ hàm tuyến tính theo mật độ giá trạng thái L, cụ thể Rˆ xác định ρEQ [ L] − r ( ρ − r ) L Rˆ = − EQ [ L ] − EQ [ L ] − (19) Chứng minh: Với β xác định (18), thay vào nghiệm tối ưu Vˆ1 (15), ta có x[(1 + ρ ) EQ [ L] − B1 ] L Vˆ1 = ( EQ [ L] − L) + xB1 ( EQ [ L] − 1) EQ [ L] EQ [ L ] x[(1 + ρ ) EQ [ L] − (1 + r )] = ( EQ [ L] − 1) EQ [ L] = ( = ( = ( ( EQ [ L] − L) + x(1 + r ) L EQ [ L ] L x(1 + r ) x( ρ − r ) x(1 + r ) − )( EQ [ L] − L) + x(1 + r ) + EQ [ L ] EQ [ L] − EQ [ L] − ( EQ [ L] − 1) EQ [ L] x(1 + r ) EQ [ L] − x(1 + r ) ( EQ [ L] − 1) EQ [ L] + x( ρ − r ) L )( EQ [ L] − L) + x(1 + r ) EQ [ L ] − EQ [ L ] L x(1 + r ) x( ρ − r ) )( EQ [ L] − L) + x(1 + r ) + EQ [ L ] EQ [ L ] EQ [ L ] − = ( x(1 + r ) + = x(1 + r ) + L x(1 + r ) L x( ρ − r ) + )( EQ [ L] − L) + x(1 + r ) EQ [ L ] EQ [ L ] EQ [ L ] − x( ρ − r ) ( EQ [ L ] − L ) EQ [ L ] − Sự tương đương toán với toán cho ta x( ρ − r ) Vˆ − x )( EQ [ L] − L) =r+ Rˆ = EQ [ L ] − x = = r ( EQ [ L] − 1) EQ [ L ] − ρEQ [ L] − r EQ [ L ] − + − ρEQ [ L] − rEQ [ L] EQ [ L ] − − (ρ − r)L EQ [ L ] − (ρ − r)L EQ [ L ] − 39 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 30 năm 2011 _ Đây điều cần chứng minh.… Mơ hình định giá tài sản tư Điểm đáng quan tâm bổ đề nghiệm Rˆ tốn trung bình phương sai hàm tuyến tính theo L, mật độ giá trạng thái Cơng thức (13) cho ta hệ thức liên lạc kỳ vọng lợi tức phương án với kỳ vọng lợi tức phương án phụ thuộc tuyến tính vào mật độ giá trạng thái Rõ ràng nghiệm Rˆ tốn 1, trung bình phương sai, đạt Định lý có tên Mơ hình định giá tài sản tư sau hệ trực tiếp bổ đề Định lý Nếu Rˆ nghiệm toán trung bình phương sai với ρ ≥ r R lợi tức phương án bất kỳ, Cov( R, Rˆ ) E[ R] − r = ( E[ Rˆ ] − r ) Var ( Rˆ ) (20) Hệ thức quan trọng chỗ, giới nhà đầu tư dựa vào phân tích trung bình phương sai, thường tồn phương án mà xem nghiệm tốn (chẳng hạn, số chứng khoán), từ ước lượng kỳ vọng lợi tức phương án thông qua hệ thức (20) Hệ Giả sử Rˆ nghiệm tốn trung bình phương sai với tham số ρ ≥ r tổng vốn đầu tư ban đầu x Lấy ρ~ > r ρ~ ≠ ρ tham số khác, ρ − ρ~ ~ R := λr + (1 − λ ) Rˆ với λ := ρ −r Là nghiệm toán trung bình phương sai 1, với tham số ρ~ tổng vốn đầu tư ban đầu x ~ Hệ kiểm chứng dễ dàng E[ R ] = λr + (1 − λ ) E[ Rˆ ] = λr + (1 − λ ) ρ = ρ~ ~ với phương án đầu tư R thỏa mãn E[ R ] = ρ~ Var ( R ) ≤ Var ( R) Hệ quan trọng định lý rằng, ta cần tìm nghiệm tốn trung bình phương sai tốn có tham số ρ suy nghiệm khác tốn có tham số khác cách đầu tư theo tổ hợp lồi trái phiếu không rủi ro số lượng cổ phiếu tương ứng với nghiệm cố định toán trung bình phương sai Nguyên lý gọi nguyên lý quỹ hỗ tương đầu tư (Mutual Fund Principle), phát biểu qua mệnh đề sau: Mệnh đề Giả sử ta cố định phương án đầu tư mà lợi tức nghiệm tốn trung bình phương sai, tương ứng với tham số lợi tức trung bình ρ Thì nghiệm tốn trung bình phương sai tương ứng với tham số lợi tức trung bình khác, tìm phương án đầu tư bao gồm đầu tư vào tài 40 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Chí Long _ khoản tiết kiệm ngân hàng (hay trái phiếu không rủi ro) phương án đầu tư cố định ban đầu Để làm rõ từ mơ hình định giá tài sản tư bản, ta xét quyền tài có giá X thời điểm đáo hạn t = 1, mà ta muốn định giá quyền tài thời điểm t = Giả sử lợi tức Rˆ nghiệm tốn trung bình phương sai Theo X −x , thay vào (20), ta định nghĩa, lợi tức quyền tài X R := x E[ X ] − x Cov( X , Rˆ ) −r = ( E[ Rˆ ] − r ) x Var ( Rˆ ) Giải phương trình ta nghiệm x, quyền tài thời điểm t = 0: E[ X ] x= Cov( X , Rˆ ) 1+ r + ( E[ Rˆ ] − r ) Var ( Rˆ ) Vậy từ Rˆ người ta xác định giá tài sản tư X 10 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Văn Hữu, Vương Quân Hoàng (2007), Các phương pháp tốn học tài chính, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Chí Long (2011), “Bổ đề Fakas áp dụng thị trường tài chính”, Tạp chí Khoa học ĐHSP TPHCM, 27(61), tr 41-53 Nguyễn Chí Long (2011), “Định giá tài sản mơ hình nhị thức”, Số chuyên đề ĐH Sài Gòn: Hội thảo Khoa học Quốc tế Giải tích Tốn Ứng dụng, ĐHSG TPHCM, tr 513 – 525 Nguyễn Chí Long (2010), “Nguyên lý định giá tài sản thị trường tài chính”, Tạp chí Khoa học ĐHSP TPHCM, 21(55), tr 38 – 51 Nguyễn Chí Long (2008), Xác suất thống kê trình ngẫu nhiên, Nxb Đại học Quốc gia TPHCM Trần Hùng Thao (2004), Nhập mơn tốn học tài chính, Nxb KHKT Hà Nội Robert J Elliott and P E Kopp (2005), Mathematics of Financial Markets, Springe Finance, Second Edition Hans Foellmer and Alexander Schied (2002), An Introduction in Discrete time, Walter de Gruyter G Pennacchi (2008), Theory of Asset Pricing, Pearson Education, Increase affect Pliska (1997), Introduction to Mathematical Finance, Blackwell Publishing (Ngày Tòa soạn nhận bài: 23-3-2011; ngày chấp nhận đăng: 16-8-2011) 41 ... không rủi ro) phương án đầu tư cố định ban đầu Để làm rõ từ mơ hình định giá tài sản tư bản, ta xét quyền tài có giá X thời điểm đáo hạn t = 1, mà ta muốn định giá quyền tài thời điểm t = Giả sử... phụ thuộc tuyến tính vào mật độ giá trạng thái Rõ ràng nghiệm Rˆ tốn 1, trung bình phương sai, đạt Định lý có tên Mơ hình định giá tài sản tư sau hệ trực tiếp bổ đề Định lý Nếu Rˆ nghiệm tốn trung... hỏi phụ thuộc vào mô hình tài xét chọn lựa phương án đầu tư nào? Tính tối ưu hiểu xác nào? Hay cụ thể là, xác định giá trị cách biểu diễn phương án đầu tư nào? Giá trị thị trường tài thường bị chi