Lượng giác ( nâng cao)

CH 1 PHNG TRèNH LNG GIC i.lý thuyết 1.Giá trị l ơng giác của góc l ợng giác a.Các định nghĩa : sin = OK cos = OH tan = AT cot = BU b. Tính chất i> sin ( + k2 ) = sin cos ( + k2 ) = cos ; k Z tan ( + k ) = tan cot ( + k ) = cot ; k Z ii> với ta có : - 1 sin 1 ; - 1 cos 1 iii> cos 2 + sin 2 = 1 tan .cot = 1 1 + tan 2 = 2 cos 1 ( cos 0 ) 1 + cot 2 = 2 sin 1 ( sin 0 ) c. Dấu các hàm số l ợng giác : d. bảng hàm số của cung l ợng giác đặc biệt Chú ý : + > sin = 0 = k ; k Z + > sin = 1 = /2 + k2 ; k Z +> sin = - 1 = - /2 + k2 ; k Z + > cos = 0 = /2 + k ; k Z +> cos = 1 = k2 ; k Z +> cos = - 1 = + k2 ; k Z 2. giá trị l ơng giác của các góc có liên quan đặc biệt Góc phần t Số đo của góc sin cos tan cot I 0 < < /2 + + + + II /2 < < + - - - III < < 3 /2 - - + + IV 3 /2 < < 2 - + - - i>Cung đối nhau : cos ( - ) = cos sin ( - ) = - sin tan ( - ) = - tan cot ( - ) = - cot ii> Cung hơn kém : sin ( + ) = - sin cos( + ) = - cos tan( + ) = tan cot( + ) = cot iii> Cung bù nhau : sin ( - ) = sin cos ( - ) = - cos tan( - ) = - tan cot( - ) = - cot iv> Cung phụ nhau : sin ( /2 - ) = cos cos ( /2 - ) = sin tan ( /2 - ) = cot cot( /2 - ) = tan v> Cung hơn kém /2 : sin ( /2 + ) = cos cos ( /2 + ) = - sin tan ( /2 + ) = - cot cot( /2 + ) = - cot 3Công thức l ợng giác a. Công thức cộng : cos( x y ) = cosx.cosy + sinx.siny cos( x + y ) = cosx.cosy sinx.siny sin( x y ) = sinx.cosy cosx.siny sin( x + y) = sinx.cosy + cosx.siny tan( x y ) = yx yx tan.tan1 tantan + tan( x + y ) = yx yx tan.tan1 tantan + b. Công thức nhân đôi : sin 2x = 2sinx.cosx ( 7) công thức nhân 3 : cos 2x = cos 2 x sin 2 x ( 8 ) sin3x = 3sinx 4sin 3 x tan 2x = x x 2 tan1 tan2 ( 9 ) cos3x = 4cos 3 x 3cosx ii> Công thức hạ bậc : sin 2 x = 2 2cos1 x cos 2 x = 2 2cos1 x + tan 2 x = x x 2cos1 2cos1 + iii> Công thức tính theo t = tan x/2 : đặt t = tanx/2 khi đó ta có các công thức biểu diễn sau: sin x = 2 1 2 t t + cos x = 2 2 1 1 t t + tan x = 2 1 2 t t c. Công thức biến đổi tích thành tổng và ng ợc lại i> Công thức biến đổi tích thành tổng cosx.cosy = 2 1 [ cos ( x - y ) + cos ( x + y ) ] sinx.siny = 2 1 [ cos ( x - y ) - cos ( x + y ) ] sinx.cosy = 2 1 [ sin( x - y ) + sin ( x + y ) ] ii> Công thức biến đổi tổng thành tích : cosx + cosy = 2cos 2 yx + . cos 2 yx cosx - cosy = - 2sin 2 yx + . sin 2 yx sinx + siny = 2sin 2 yx + . cos 2 yx sinx - siny = 2cos 2 yx + . sin 2 yx tanx + tany = yx yx cos.cos )sin( + tanx - tany = yx yx cos.cos )sin( Chú ý một số công thức sau : sinx + cosx = 2 .sin( x + /4 ) sinx - cosx = 2 .sin( x - /4 ) cosx + sinx = 2 .cos( x - /4 ) cosx - sinx = 2 .cos( x + /4 ) II. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Phương trình sinx = a • Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm • Nếu |a| ≤ 1 : Phương trình có nghiệm là x = α + k2π và x = π - α + k2π, k ∈ , với sinα = a. 2. Phương trình cosx = a • Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm • Nếu |a| ≤ 1 : Phương trình có nghiệm là x = ± α + k2π, k ∈ , với cosα = a. 3. Phương trình tanx = a Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠ 2 π +kπ, k ∈ . Nghiệm của phương trình x = α + kπ, k ∈ , với tanα = a 4. Phương trình cotx = a Điều kiện: sinx ≠ 0 hay x ≠ kπ, k ∈ . Nghiệm của phương trình là x= α + kπ, k ∈  với cotα = a. II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN: 1. Phương trình đưa về phương trình tích: Bài 1: Giải phương trình: 3tan2x.cot3x + 3 (tan2x – 3cot3x) – 3 = 0 Giải Điều kiện của phương trình là cos2x ≠ 0 và sin3x ≠ 0 Ta biến đổi 3tan2xcot3x + 3 (tan2x – 3cot3x) – 3 = 0 ⇒ 3tan2xcot3x + 3 tan2x – 3 3 cot3x – 3 = 0 ⇒ tan2x (3cot3x + 3 ) - 3 (3cot3x + 3 ) = 0 ⇒ (3cot3x + 3 ) (tan2x - 3 ) = 0 ⇒ 2 3 3 cot 3 3 3 3 tan 2 3 3 x k x x k x π π π π   = +  = −  ⇒    = + =    (k ∈ ) ⇒ 2 9 3 6 2 x k x k π π π π  = +    = +   (k ∈ ) Caá giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình. Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: x = 2 9 3 k π π + và x = 6 2 k π π + , k ∈  Bài 2: Giải phương trình: 1 tan 2 sin 1 cot x x x + = + Giải: Điều kiện của phương trình đã cho là: cosx ≠ 0, sinx ≠ 0 và cot x ≠ -1. (Loại do điều kiện) Ta biến đổi phương trình đã cho: 1 tan cos sin sin 2 sin . 2 sin 1 cot cos sin cos x x x x x x x x x x + + = ⇒ = + + ⇒ sin 2 sin cos x x x = ⇒ sinx 1 2 0 cos x   − =  ÷   ⇒ sin 0 2 cos 2 x x =    =   ⇒ x = ± 2 4 k π π + , k∈  Giá trị x = - 2 4 k π π + , k∈  bị loại do điều kiện cot x ≠ -1. Vậy nghiệm của của phương trình đã cho là x = 2 4 k π π + , k∈ . Bài 3: Giải phương trình tan3x – 2tan4x + tan5x = 0 với x ∈ (0,2π) Giải: Điều kiện của phương trình đã cho: cos3x ≠ 0, cos4x ≠ 0 và cos5x ≠ 0. Ta có: tan3x -2tan4x + tan5x = 0 ⇒ sin8 2sin 4 0 cos3 cos5 cos4 x x x x x − = ⇒ 2sin 4 cos4 2sin 4 0 cos3 cos5 cos4 x x x x x x − = ⇒ 2sin4x 2 cos 4 cos3 cos5 0 cos3 cos 4 cos5 x x x x x x   − =  ÷   ⇒ 2sin4xsin 2 x = 0 ⇒ sin 4 0 sin 0 x x =   =  ⇒ 4 4 4 x k x k x k x k x k π π π π π  = =   ⇒ ⇒ =   =  =  (k ∈ ) Từ giả thiết và điều kiện, nghiệm của phương trình là: 1 2 3 4 5 3 5 7 ; ; ; ; 4 4 4 4 x x x x x π π π π π = = = = = 2. Phương trình đưa về phương trình bậc hai của các hàm số lượng giác. Bài 4: Giải phương trình: 1+sin2x = 2(cos 4 x + sin 4 x) Giải: Ta có: 1 + sin2x = 2(cos 4 x + sin 4 x) = 2[(cos 2 x + sin 2 x) 2 – 2sin 2 xcos 2 x] = 2 2 1 1 sin 2 2 x   −  ÷   = 2 – sin 2 2x Vậy ta được phương trình sin 2 2x + sin2x -1 = 0 Đặt t = sin2x với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 ta được phương trình: t 2 + t – 1 = 0 ⇒ t = 1 5 2 − ± . Giá trị 1 5 2 − − < -1 nên bị loại. Với t = 1 5 2 − + ta có phương trình sin2x = 1 5 2 − + Phương trình này có nghiệm: x= 1 1 5 arcsin 2 2 k π   − + +  ÷  ÷   , k ∈  Và x = 1 1 5 arcsin 2 2 2 k π π   − + − +  ÷  ÷   , k ∈  Đó cũng là các nghiệm của phương trình đã cho. Bài 5: Giải phương trình sin 2 x(tanx – 1) = cosx(5sinx – cosx) – 2. Giải: Điều kiện của phương trình là cosx ≠ 0 Chia hai vế của phương trình cho cos 2 x ta được: tan 2 x (tanx – 1) = 5tanx – 1 – 2(1+tan 2 x) ⇒ tan 3 x – tan 2 x = 5tanx – 3 – 2 tan 2 x ⇒ tan 3 x + tan 2 x – 5tanx + 3 = 0 Đặt t = tanx ta được phương trình. t 3 + t 2 – 5t +3 = 0 ⇔ (t – 1)(t 2 + 2t – 3) = 0 ⇔ 1 3 t t =   = −  Với t = 1, phương trình tanx = 1 có nghiệm 4 x k π π = + , k ∈  Với t = -3, phương trình tanx = -3 có nghiệm x = arctan(-3) + kπ, k ∈  Các giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình đã cho. Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x = 4 k π π + , x = arctan(-3) + kπ, k ∈  Bài 6: Giải phương trình: 3 3 2 3 1 3 1 sin cos sin 2 sin cos 3 2 2 3 x x x x x     − + = + −    ÷  ÷       Giải Ta biến đổi phương trình đã cho: 3 3 2 3 1 3 3 2 sin cos 2sin cos sin cos 3 2 6 x x x x x x   − − + − +     =0 ⇔ 3 2 2 3 2 2 2 2 sin 3 sin cos sin cos cos sin cos 3 sin cos 0 3 3 x x x x x x x x x x     − + + + − =  ÷  ÷     ⇔ 2 2 2 sin 3 sin cos cos (sin cos ) 0 3 x x x x x x   − + + =  ÷   ⇔ 2 2 sin cos 0 (1) 2 sin 3 sin cos cos 0 (2) 3 x x x x x x + =    − + =  • Giải phương trình (1) ta được: x = 3 4 π +kπ, k ∈  • Giải phương trình (2): sin 2 x - 3 sinxcosx + 2 3 cos 2 x = 0 Nếu cosx = 0 thì vế trái bằng 1 nên cosx = 0 không thoả mãn phương trình. Với cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos 2 x, ta được: tan 2 x - 2 3 tan 0 3 x + = Giải phương trình, ta được: x = 6 k π π + và x = arctan 2 3 3 + kπ, k ∈  Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x = 3 , 4 6 k x k π π π π + = + và x = arctan 2 3 3 + kπ, k ∈  3. Phương trình asinx + bcosx = c Bài 7: Giải phương trình 4cosx + 2 3 sinx + cos2x + 3 sin2x + 3 = 0 Giải: Ta có: 4cosx + 2 3 sinx + cos2x + 3 sin2x + 3 = 0 ⇔ 4cosx + 2 3 sinx + 2cos 2 x – 1 + 2 3 sinxcosx + 3 = 0 ⇔ 2 3 sinx(cosx+1) + 2(cosx +1) 2 = 0 ⇔ 2(cox +1)( 3 sinx + cosx + 1) = 0 ⇔ cos 1 0 3 sin cos 1 0 x x x + =   + + =  ⇔ (2 1) 2 3 x k x k π π π = +    = − +  (k ∈ ) Bài 8: Giải phương trình: 2cos 3 x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx + 2 ) - 2 (sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0 Giải: Ta biến đổi phương trình đã cho: 2cos 3 x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx + 2 ) - 2 (sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0 ⇔ 2 (cos2x – sin2x – 1) + sinx(cos2x – sin2x – 1) + 2cos 3 x – sin2xcosx – 2cosx = 0 ⇔ (cos2x – sin2x – 1) ( 2 + sinx) + cosx(2cos 2 x – sin2x – 2) = 0 ⇔ (cos2x – sin2x – 1) ( 2 + sinx) + cosx(cos2x + 1 – sin2x – 2) = 0 ⇔ (cos2x – sin2x – 1)(cosx + sinx + 2 ) =0 ⇔ cos 2 sin 2 1 0 cos sin 2 0 x x x x − − =   + + =  ⇔ 2 cos 2 4 2 cos 1 4 x x π π    + =   ÷       − = −   ÷    ⇔ 2 2 4 4 2 4 x k x k π π π π π π  + = ± +    − = +   (k ∈ ) ⇔ 4 5 2 4 x k x k x k π π π π π   =   = − +    = +  (k ∈ ) 4. Phương trình a(sinx + cosx) + bsinx + cosx = c Bài 9: Giải phương trình cos2x + cos 2 x + (5 – 3cosx)(sinx + cosx) – 2 = 0 Giải: Ta có: cos2x + cos 2 x + (5 – 3cosx)(sinx + cosx) – 2 = 0 ⇔ 5(sinx + cosx) – 3cosxsinx = 3 Đặt t = sinx + cosx (- 2 ≤ t ≤ 2 ), phương trình trở thành: 3t 2 – 10t + 30 = 0 ⇒ 3( ) 1 3 t loai t =    =  ⇒ sinx + cosx = 1 3 ⇒ sin 2 4 6 x π   + =  ÷   Giải ra ta được: 2 arcsin 2 4 6 3 2 arcsin 2 4 6 x k x k π π π π  = − + +    = − +   (k ∈ ) Bài 10: Giải phương trình 2sin 3 x + cos2x – 3cosx + 2 =0 Giải: Biến đổi phương trình đã cho, ta được: 2sin 3 x + cos2x – 3cosx + 2 = 0 ⇔ 2sinx (1-cos 2 x) + 2cos 2 x – 3cosx +1=0 ⇔ (1 – cosx)[2sinxcosx + 2(sinx – cosx) + 1} = 0 ⇔ cos 1 (1) 2sin cos 2(sin cos ) 1 0 (2) x x x x x =   + − + =  Phương trình (1)cho ta nghiệm x = k2π, k ∈  Giải phương trình (2), đặt t = sinx – cosx (- 2 ≤ t ≤ 2 ). Phương trình (2) trở thành: t 2 – 2t – 2 = 0 ⇒ 1 3( ) 1 3 t loai t  = +  = −   Với t = 1 - 3 , giải ra ta được: 2 6 arcsin 2 4 2 5 2 6 arcsin 2 4 2 x k x k π π π π    − = + +   ÷  ÷       −  = − +  ÷  ÷     (k ∈ ) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 2 2 6 arcsin 2 4 2 5 2 6 arcsin 2 4 2 x k x k x k π π π π π   =     −  = + +  ÷  ÷        − = − +   ÷  ÷     (k ∈ ) IV. BÀI TẬP: I/Giải các phương trình sau: 1. 3 cot2xtan3x-(cot2x + 3 tan 3x) + 1 =0 2. 4cos 2 2xsinx + 2cosxsin4x + 2 3 cos2x + 2sin3x + 3 = 0 3. 1 cos 2 sin 4 1 tan 2 x x x − = − 4. 3sin 2 x - 3 3 sinxcosx + sin2x - 3 cos2x = 3 5. sin4x 2 1 3 sin 4 sin 2 3 5sin 2 4sin 2 9 cos 2 (9 sin 4 ) 0 4 2 x x x x x x   − + + − − + − =  ÷   6. cos3x(3tanx + 6 + 2 3 ) – 3tanx + (3 - 2 3 ) sin2x = 2 3 . 7. sin2x – 2sin 2 x + 3sinx – cosx = 1 8. ( 2 - 1)sinx - 2 cosx-cos3x = 0 9. (sinx + cosx)(3cosx + 2) = cos2x + cos 2 x + 3 II. Gi¶i ph ¬ng tr×nh sau : 1. sinx.cosx + | cosx + sinx| = 1 2. 2 2 sinx( x + π /4 ) = 1 1 sin cosx x + 3. 2 + cos2x = - 5sinx 4. 2tanx + cot2x = 2sin2x + 1 sin 2x 5. sin 2 x = cos 2 2x + cos 2 3x 6. 8.cos 3 (x + π /3 ) = cos3x 7. |sinx - cosx| + | sinx + cosx | = 2 8. cos 6 x – sin 6 x = 13/8.cos 2 2x 9. 2sin2x – cos2x = 7.sinx + 2cosx – 4 10. sin3x = cosx.cos2x.( tan 2 x + tan2x ) 11. 4.cos 5 x.sinx – 4sin 5 x.cosx = sin 2 4x 12. sinx.cos4x – sin 2 2x = 4sin 2 ( π /4 – x/2) – 7/2 13. 4cos 3 x + 3 2 .sin2x = 8cosx 14. tanx + 2cot2x =sin2x 15. sin 2 x .sinx - cos 2 x .sin 2 x + 1 = 2.cos 2 ( π /4 - 2 x ) 16. 2.cos 2 x + 2cos 2 2x + 2cos 2 3x – 3 = cos4x(2sin2x + 1) 17. 4(sin 4 x + cos 4 x ) + 3 sin4x = 2 18. 1 + cot2x = 2 1 cos 2 sin 2 x x − 19. sin4x – cos4x = 1 + 4 2 sin( x - π /4 ) 20. ( 1 – tanx )( 1 + sin2x) = 1 + tanx 21. 3(sin tan ) 2cos 2 tan sin x x x x x + − = − 22. sin 2 x + sin 2 3x – 3cos 2 2x = 0 23. 4cos 2 x – cos3x = 6cosx – 2( 1 + cos2x) 24. sin3x + cos2x = 1 + 2sinx.cos2x 25. sin2x + 4( cosx – sinx) = 4 26. 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx 27. cos2x + cos3x/4 – 2 = 0 28. 2sin3x - 1 1 2cos3 sin cos x x x = + 29. 2 3.sin 2 2cos 2 2 2cos2x x x= − + 30. 2 2 sin x + 2tan 2 x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0 31. tan2x + sin2x = 3/2.cotx 32. sin 3 sin 5 3 5 x x = 33. sin( 3 1 3 ) sin( ) 10 2 2 10 2 x x π π − = + 34. sinx – 4 sin 3 x + cosx = 0 35. sinx.sin2x + sin3x = 6cos 3 x 36. 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 37. 5( sinx + cos3 sin 3 ) cos 2 3 1 2sin 2 x x x x + = + + 38. sin 2 3x – cos 2 4x = sin 2 5x – cos 2 6x 39. cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 40. cotx – 1 = 2 cos2 1 sin sin 2 1 tan 2 x x x x + − + 41. cotx – tanx + 4sinx = 2 sin 2x 42. sin 2 ( 2 2 ) tan cos 0 2 4 2 x x x π − − = 43. 5sinx – 2 = 3( 1 – sinx)tan 2 x 44. ( 2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx 45. cos 2 3x.cos2x – cos 2 x = 0 46. 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 47. cos 4 x + sin 4 x + cos( x - 4 π ).sin(3x - 4 π ) - 3 2 = 0 48. ( cos2x – cos4x ) 2 = 6 + 2sin3x 49. ( cos2x – cos4x) 2 = 6 + 2sin3x 50. 3 sinx + cosx = 1 cos x 51. ( 1 + cosx ).( 1 + sinx ) = 2 52. 2cosx + 2 sin10x = 3 2 + 2cos28x.sinx 53. sin2x + cos2x = 1 + sinx – 4cosx 54. ( 1 cos cosx x− + ).cos2x = 1 2 sin4x 55. 1 2(cos sin ) tan cot 2 cot 1 x x x x x − = + − 56. 4 4 sin cos 1 (tan sin 2 2 x x x x + = + cotx ) 57. sin2x + 2tanx = 3 58. sin 3 ( x + 4 π ) = 2 sinx 59. 8 2 cos 6 x + 2 2 sin 3 x.sin3x - 6 2 cos 4 x – 1 = 0. 60. 1 – 5sinx + 2cos 2 x = 0. tho¶ m·n cosx ≥ 0. 61. cos 3 x + sin 3 x = sin2x + sinx + cosx 62. sinx.cos4x + 2sin 2 2x = 1 – 4.sin 2 ( 4 π - 2 x ) 63. 4 3 sinx.cosx.cos2x = sin8x 64. sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx ) 65. sin( 3x - 4 π ) = sin2x.sin( x + 4 π ) 66. 4sin 3 x.cos3x + 4cos 3 x.sin3x + 3 3 cos4x = 3. 67. 2 2 4 cos cos 3 0 1 tan x x x − = − 68. sin 2 4x – cos 2 6x = sin( 10,5 π + 10x) 69. tan 2 x.cot 2 x.cot3x = tan 2 x – cot 2 x + cot3x 70. sin3x + 2cos2x – 2 = 0. 71. cos2x + 3cosx + 2 = 0 72. 3cos4x – 2cos 2 3x = 1. 73. 1 + 3cosx + cos2x = cos3x + 2sinx.sin2x 74. tanx + tan2x = - sin3x.cos2x 75. 3( cotx – cosx ) – 5(tanx – sinx) = 2 76. tanx + cotx = 2( sin2x + cos2x ) 77. sin 4 x + cos 4 x = 7 8 cotg( x + 3 π ).cotg( ) 6 x π − 78. 2 2 ( sinx + cosx ).cosx = 3 + cos2x 79.sin 4 x + sin 4 ( x + 4 π ) + sin 4 (x - 4 π ) = 9 8 80. sin 2 2 1 sin x x + + cosx = 0 81. cos 2 x + sinx – 3sin 2 x.cosx = 0 82. 2sin 3 x + cos2x = sinx 83. 3 cos cos 1 2x x− − + = 84. sinx.cosx + 2sinx + 2cosx = 2 85. sin3x(cosx – 2sin3x) + cos3x(1 + sinx – 2cos3x) = 0. 86. 3 5 4sin( ) 2 3 sin x x π + − = − 87. 3tan 3 x – tanx + 2 2 3(1 sin ) 8cos ( ) cos 4 2 x x x π + − − = 0. 88. cos7x - 3 sin7x = - 2 , 2 6 5 7 x π π < < 89.cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 1 16 90. 2cos 3 x = sin3x 91. cos2x - 3 sin2x - 3 sinx – cosx + 4 = 0 92. cos2x = cos 2 x. 1 tan x+ 93. 3cot 2 x + 2 2 sin 2 2x = ( 2 + 3 2 )cosx 94.tanx – sin2x – cos2x + 2(2cosx - 1 cos x ) = 0 95. 4( sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1) 96.2cos2x + sin 2 x.cosx + sinx.cos 2 x = sinx + cosx 97. tanx.sin 2 x -2sin 2 x = 3( cos2x + sinx.cosx) 98.sin2x( cotx + tan2x) = 4cos 2 x 99. 48 - 4 2 1 2 (1 cot 2 .cot ) 0 cos sin x x x x − + = 100. sin 6 x + cos 6 x = cos4x 101. cos 3 x + cos 2 x + 2sinx – 2 = 0 102. 2 + cosx = 2tan 2 x 103. cos3x + 2 2 2 cos 3 2(1 sin 2 )x x− = + 104. sinx + sin2x + sin3x = 0 105. cotx – tanx = sinx + cosx 106.sin3x + cos2x =1 + 2sinx.cos2x 107. 2cos2x – 8cosx + 7 = 1 cos x 108. cos3x.cos 3 x – sin3x.sin 3 x = cos 3 4x + 1 4 109. 9sinx + 6cosx -3sin2x + cos2x = 8 110. sin 3 x.cos3x + cos 3 x.sin3x = sin 3 4x 111. sin 8 x + cos 8 x = 2( sin 10 x + cos 10 x ) + 5 4 cos2x 112. 2 4 sin 2 cos 2 1 sin .cos x x x x + − = 0 113. 2sin 3 x – cos2x + cosx = 0 114. 1 + cos 3 x – sin 3 x = sin2x 115. 2 sin sin sin cos 1x x x x+ + + = 116. cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x + cos 2 4x = 3 2 117. cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 118. 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx. 119. 6 6 2(cos sin ) sin .cos 0 2 2sin x x x x x + − = − 120. cotx + sinx( 1 + tanx.tan 2 x ) = 4. 121. cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 122. (1 + sin 2 x).cosx + (1 + cos 2 x).sinx = 1 + sin2x [...]... ≤ a2 + b2 II Phương trình a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c Đặt t = sinx + cosx, |t| ≤ 2 2 Phương trình trở thành bt + 2at – (b + 2c) = 0 III/Phương trình chỉ chứa 1 hàm số lượng giác 1Phương trình chỉ chứa 1 hàm số lượng giác Dạng: F(sinx) = 0 hoặcF(cosx) = 0 hoặc F(tanx) = 0 hoặc F(cotx) = 0 Cách giải: Đặt t = sinx, cosx, tanx, cotx tùy từng dạng; đưa phương trình về dạng F(t)=0 Chú ý với t = sinx hoặc... 159 .(2 sin2x -1)tan22x + 3(2 cos2x – 1 ) = 0 ( ) ( π π π π +k ,x = +k 8 2 18 3 π 2π 4π 2π π ,x = +k , x = ± + kπ 2 x = − + k 9 3 9 3 3 3 Vô nghiệm ) 2 2 2 152 2sin x − 1 tan 2x + 3 2 cos x − 1 = 0 154 cos 2x + (1 + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0 156 cos3 x + sin 3 x + 2sin 2 x = 1 158 2cos2x + 2 3 sinx.cosx + 1 = 3(sinx + 160 sin 2 x cos 2 x + = tan x − cot x cos x sin x I/ ĐÁP ÁN 1 x = π) 2 2 151 1 + Cos(x... cách thay d = d ( sin x + cos x ) *Dạng: asin 3 x + b sin 2 x.cos x + c sin x.cos 2 x + d cos 3 x + e sin x + f cos x = g Cách giải: chuyển về phương trình đẳng cấp cấp 3 bằng cách thay e sin x + f cos x = ( e sin x + f cos x ) ( sin 2 x + cos 2 x ) g = g ( sin 2 x + cos 2 x ) IV/Phương trình chỉ chứa đồng thời ( sin x ± cos x ) m và ( sin x.cos x ) n Dạng: A ( sin x ± cos x ) + B ( sin x.cos x ) +... bản 1 Giải các phương trình sau: 3 2 1) sin 2 x = 2) cos ( 2 x + 25o ) = − 2 2 2 5) sin ( 2 x − 15o ) = với −120o < x < 90o 2 −π π sin 2 x + 2sin x cos x − 2 cos 2 x = 10 > sin 2 x − ( ) 3 + 1 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0 12 > 2sin 2 x + 6sin x cos x + 2(1 + 3) cos 2 x = 5 + 30 B MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP: I Phương trình asinx + bcosx = c • asinx + bsinx = c ⇔ sin(x + α) = • asinx + bsinx = c ⇔ cos(x – β) = c a +b 2 2 c a 2 + b2 trong đó: sinα = trong đó: sin β = b a +b 2 2 a a 2 . : cos ( - ) = cos sin ( - ) = - sin tan ( - ) = - tan cot ( - ) = - cot ii> Cung hơn kém : sin ( + ) = - sin cos( + ) = - cos tan( +. 2cosx = 0 ⇔ (cos2x – sin2x – 1) ( 2 + sinx) + cosx(2cos 2 x – sin2x – 2) = 0 ⇔ (cos2x – sin2x – 1) ( 2 + sinx) + cosx(cos2x + 1 – sin2x – 2) = 0 ⇔ (cos2x –