Ứng dụng kí hiệu của christoffel trong vật lí (2017)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ THU LÝ ỨNG DỤNG CỦA KÍ HIỆU CHRISTOFFEL TRONG VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lí thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Hà Thanh Hùng HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo: TS Hà Thanh Hùng người tận tình hướng dẫn em để hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến thầy cô giáo giảng dạy em bốn năm qua, đặc biệt thầy cô Khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, giảng dạy trang bị cho em kiến thức học tập, nghiên cứu khóa luận cơng việc sau Trong q trình nghiên cứu thời gian có hạn bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận đóng góp q thầy bạn để đề tài hoàn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Lý LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp “ Ứng dụng kí hiệu Christoffel vật lý” hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy: TS Hà Thanh Hùng Tơi xin cam đoan đề tài kết nghiên cứu tơi khơng trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Hà Nội, tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Lý MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu: Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Nhiệm vụ nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu: Cấu trúc khóa luận: NỘI DUNG CHƯƠNG I: KÍ HIỆU CHRISTOFFEL 1.1 Kí hiệu Christoffel 1.1.1 Một số khái niệm bản: 1.1.2 Kí hiệu Christoffel 1.2 Kí hiệu Christoffel hệ tọa độ 1.2.1 Kí hiệu Christoffel hệ tọa độ tông quát 1.2.2 Kí hiệu Christoffel hệ tọa độ trụ 1.3 Các tính chất kí hiệu Christoffel 1.3.1 Liên hệ kí hiệu Christoffel loại kí hiệu Christoffel loại k 1.3.2 Kí hiệu Christoffel  ij đối xứng với số i, j 1.3.3 Sự biến đởi kí hiệu Christoffel  k i j hệ tọa độ tổng quát 10 1.3.4 Kí hiệu Christoffer khơng phải tenxơ bậc ba 10 1.4 Đạo hàm hiệp biến kí hiệu Christoffel 11 1.5 Biểu diễn toán tử véctơ dạng Tenxo 21 CHƯƠNG II ỨNG DỤNG CỦA KÍ HIỆU CHRISTOFFEL TRONG VẬT LÍ 26 2.1 Đạo hàm hiệp biến kí hiệu Christoffel 26 2.2 Phương trình trắc địa: 31 KẾT LUẬN CHUNG 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học ngành khoa học khơng phục vụ nó, mà đặc biệt trở thành cơng cụ hữu ích cho việc phát triển ngành khoa học khác, có vật lý Tính chất vật lý tính thực nghiệm Nhưng muốn trình bày định luật định lượng vật lý cách xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán học Những quy luật đơn giản vật lý học cô điển giải gần trọn vẹn Nhưng quy luật vi mô, vĩ mô tác dụng nhiều trường khác lại hồn tồn bất lực Cùng với điều phát triển mạnh mẽ toán học bề rộng bề sâu Dẫn đến ngành vật lý mới: Vật lý lí thuyết Từ lâu người biết sử dụng toán học để giải khúc mắc vật lý Những phương pháp toán học dùng vật lý học đại phong phú đa dạng Nó gồm khối lượng kiến thức lớn thuộc ngành như: hàm thực, hàm phức, phương trình vi phân, phép tính tích phân, đại số tuyến tính, Các kiến thức khơng cung cấp cho bạn học sinh, sinh viên để giải tập mà dùng để nghiên cứu, thực hành môn học khác học trường, cơng cụ tốn hữu ích cho cơng việc ta người học sau trường Phương pháp toán học cần thiết cho tất lĩnh vực sống đặc biệt nghiên cứu vật lý, dùng để giải hầu hết khó khăn vật lý Tenxơ khái niệm toán học phục vụ cho việc thiết lập giải vấn đề vật lý nhiều lĩnh vực học môi trường liên tục, lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tương đối rộng, Để giải vấn đề người ta sử dụng nhiều phương pháp khác có sử dụng kí hiệu Christoffel Do để tìm hiểu rõ kí hiệu ứng dụng vật lý, chọn đề tài “ Ứng dụng kí hiệu Christoffel vật lý” Đây số cơng cụ, phương pháp tốn học để nghiên cứu sâu đặc điểm trường Tenxơ Nó giúp tìm hiểu giải tập vật lý cách đơn giản hơn, từ tởng hợp phương pháp tốn học dùng vật lí nói chung vật lý lí thuyết nói riêng Mục đích nghiên cứu: - Nâng cao kiến thức toán học sử dụng chúng cách linh hoạt việc nghiên cứu vật lý - Tìm hiểu kí hiệu Christoffel - Tìm hiểu ứng dụng kí hiệu Christoffel Vật lý Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Kí hiệu Christoffel ứng dụng vật lý Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu phương pháp toán học cho vật lý - Nghiên cứu kí hiệu Christoffel - Nghiên cứu ứng dụng kí hiệu Christoffel vật lý Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp toán học - Vật lý lí thuyết - Đọc, tham khảo tra cứu tài liệu có liên quan Cấu trúc khóa luận: Chương 1: Kí hiệu Christoffel 1.1 Kí hiệu Christoffel 1.2 Kí hiệu Christoffel hệ tọa độ 1.3 Các tính chất kí hiệu Christoffel 1.4 Đạo hàm hiệp biến kí hiệu Christoffel 1.5 Biểu diễn toán tử véctơ dạng Tenxơ Chương 2: Ứng dụng kí hiệu Christoffel Vật lý 2.1 Đạo hàm hiệp biến kí hiệu Christoffel 2.2 Phương trình trắc địa NỘI DUNG CHƯƠNG I: KÍ HIỆU CHRISTOFFEL 1.1 Kí hiệu Christoffel 1.1.1 Một số khái niệm bản: Định nghĩa Tenxơ trường hợp riêng hệ thống phần tử, thành phần hệ số hàm số xác định hệ sở cho, với phép biến đổi tuyến tính hệ sở thành phần thay đởi theo quy luật xác định Hệ thống kí hiệu Các kí hiệu hệ thống đặc trưng hay nhiều số Ví dụ như: ��, � � , �� , � �� Theo quy ước: số chữ la tinh lấy giá trị 1,2,3 Ví dụ, kí hiệu � � nghĩa biểu thị phần tử � , � , � � �� biểu thị phần tử � 11 , � 12 , � 13 , � 21 , � 22 , � 23 , � 31 , � 32 , � 33 Hạng tenxơ Hạng tenxơ xác định số lượng số kí hiệu tenxơ Như �� phụ thuộc vào số nên �� hệ thống hạng bao gồm hạng tử �� phụ thuộc vào số (i,j) nên �� hệ thống hạng bao gồm 32 =9 phần tử Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n số hệ thống hạng n gồm 3� phần tử Quy ước số Chỉ số hệ thống tenxơ tuân theo quy ước: “ Trong biểu thức, số lặp lại lần , biểu thị tởng từ đến 3” Chỉ số số câm nên thay chữ khác Ví dụ: �� = �� = �1 �1 + �2 �2 + �3 �3 Tensor đối xứng Vi phân dịch chuyển đường xác định công thức: ��⃗ = ��⃗ ⃗�⃗ + ��⃗⃗⃗ + � sin ��⃗⃗⃗ Để xác định thành phần tenxơ metric, sử dụng công thức: �� = �� = �� + � �� + � ��2 �� Từ đó, ta có thành phần tensor metric  1   g ij 0 r 0  0 r sin   Để tính thành phần ký hiệu Christofel cách đơn giản, làm việc thông qua hệ tọa độ Đề Trong hệ tọa độ Đề các, bán kính vector để xác định vị trí vật chuyển động là: �⃗⃗ = � sin  cos � �⃗ + � sin  sin ��⃗ + � cos ��⃗ Chuyển sang hệ sở � � =� �� ,tương ứng ta có: � �� e  r  sin  cos  i  sin  sin  j  cos k  u1  re    r cos  cos  i  r cos  sin  j  r sin  k 2 u  re   u  r sin  sin  i  r sin  cos  j  Lấy đạo hàm theo thành phần hệ tọa độ cầu ta có:  e1  u1    e1   cos  cos  i  cos sin  j  sin  k   ue  3 sin  sin  i  sin  cos  j u  e2  u1  cos cos  i  cos sin  j  sin  k   e2   r sin  cos  i  r sin  sin  j  r cos k   ue  3 r cos  sin  i  r cos  cos  j u  e3  u1  sin  sin  i  sin  cos  j   e3   r cos  sin  i  r cos  cos  j   ue  3 r sin  cos  i  r sin  sin  j u Từ đó, thành phần ký hiệu Christofel tính theo cơng thức: �� г� = �� Kết là: 2 11  11  113  0;121  211  sin   cos   sin  cos  ; 3 12  21  r(cos   sin  ); 21  0; 12  22  r; 22 1  22  0;13  31 13 31  0; 2 3 23  32  32  23  0;13  31  r sin  ;  33  r sin  cos  Để tính Divergence vận tốc vật chuyển động, ta sử dụng công thức: i .v  v ;i   (j g u j gv ) Trong hệ tọa độ cầu, ta có: g  r sin   r sin  Do đó, .v  r sin   2r sin  v   v  r v cos r   vr   r Bài 3: Cho biết đạo hàm hiệp biến cấp hai là: ��;�� = (��;� ) ;� Và tensor Riemann định nghĩa sau: � ��;�� − ��;�� = ��  v        Chứng minh hệ tọa độ tổng quát, thành phần viết là: � �� = ��   � � ��  �� − ��   �� +  ��  � − �� Trong hệ tọa độ Đề tất thành phần tensor Riemann không, kết cho không gian Euclide ba chiều Bài giải: Sử dụng định nghĩa đạo hàm hiệp biến, ta có: � ��;� = ��,� �−  �� Đạo hàm hiệp biến cấp hai là: (��;� ) � )  (1) � ,� Tương tự: (��;� ) � )  (2)� � � �  �� ;� −  �� ;� −� � �  �� ) �−  �� (��,� = (��;� − � −  �� ) −  ,� �� (��,� − � �� ;� = (��;� ) ;� = (��;� ) � − �� ;� −  �� ;� ,� � � = (��;� − �� ) �−  �� (��,� −  �� ) −  ,� (��,� − �� Từ (1) (2), ta có: �  �  �� ;�� − ��;�� = ( − � ��   ��  +��� −  �� ) �� = �� Vậy tensor cong Riemann là: � �� = ��   � � ��  �� − ��   �� +  ��  � − �� Trong hệ tọa độ đề các, tensor metric �� = ��(1,1,1), thành phần kí hiệu Christofel khơng nên tất thành phần tensor Riemann không Kết cho không gian Euclide ba chiều, khơng gian phẳng có tensor metric khơng đởi 2.2 Phương trình trắc địa: Trong không gian chiều, quỹ đạo chuyển động hạt xác định từ nguyên lí tối thiểu Trong không gian N chiều, quỹ đạo chuyển động hạt xác định theo phương pháp: sử dụng nguyên lí tác dụng tối thiểu phép dịch chuyển song song véctơ Phương trình mơ tả tọa độ không gian N chiều phụ thuộc vào thời gian ta gọi đường trắc địa Trong phần ta xây dựng phương trình trắc địa dựa vào phương pháp dịch chuyển song song véctơ Như ví dụ việc sử dụng đạo hàm tuyệt đối – ta tìm hiểu phương trình trăc địa: Một trắc địa không gian chiều đường thẳng, có định nghĩa tương đương - Thứ đường cong ngắn điểm - Thứ hai đường cong mà véctơ tiếp tuyến luôn hướng Mặc dù chương ta xét đến khơng gian chiều Có nhiều phương pháp tốn học để phát triển khơng gian chiều (thứ nguyên) ý tưởng quen thuộc hình học Euclide khơng giá trị, thường dùng để tìm đường cong, phương trình trắc địa khơng gian cách sử dụng tính chất phương trình đường thẳng khơng gian Euclide Ta xét không gian phức tạp mà xét phương trình trắc địa khơng gian chiều Euclide Xét đường cong r(s) chọn tếp tuyến trắc địa ta thấy véctơ �� =�� ln ln hướng �� =0 (2.1) Ngoài khai thác tính chất điểm phương trình trắc địa sử dụng cách tính tốn biến đổi ta thấy kết sau: Chúng ta giới thiệu hệ tọa độ tùy ý �� với vecto sở �� , � = 1,2,3 viết � = � � �� từ (2.1) có: �� = � � �� , � � �� Viết từ đạo hàm hiệp biến, ta được: =0 �� ( +  �� ) �� = � �� Nhưng từ � � = � � � �� 2�� 2 ta thấy thỏa mãn phương trình trắc địa: � + �� =�0 � �� (2.2) �� Ví dụ: Tìm phương trình trắc địa tọa độ trụ Ta có:  221 = −  21 =2  12 =  Ta phương trình trắc địa: �2�1 ��2 + 2� �  22 � �2 = �� 0→ �2  ��2 � −( �� ) =0 �� 2�2 ��1 ��2 ��2 +2 �2  12 =0→ �� 3 ��2 = →� 2� ��2 =0 ��2 + � �  �� =0 Khảo sát đường cong không gian N chiều Gọi s s+ds giá trị ứng ’ điểm gần P P C Nếu � � tọa độ điểm P � � hàm s Tức là: � � = � � (�) Khảo sát véctơ đơn vị tiếp tuyến đường cong, véctơ tiếp tuyến xác định �� (�) Độ lớn véctơ tếp tuyến: �� (�� (2.3) ) véctơ tiếp tuyến đường cong P Giả sử đường cong C Giả sử �� véctơ tiếp tuyến điểm song với Tức hướng không gian điểm Trong không gian chiều, đường cong thỏa mãn tnh chất đường thẳng Trong không gian chiều N chiều, đường cong gọi đường trắc địa Xét hai điểm P �′ hai điểm lân cận có tọa độ � � � � + �� đường trắc địa Nếu véc to tếp tuyến P dịch chuyển song song tới điểm �′ véc tơ sau dịch chuyển lại trùng với véctơ tiếp tuyến điểm Theo dịch chuyển song song, ta có: �� =�� +�( − �� )  � �� Mặc khác, khai triển véctơ tiếp tuyến � ′ theo vec tơ tiếp tuyến P ( ) �� = � �� (2.5) �� +�� Từ phương trình (2.4) (2.5) ta có: �� (2.4) �� + � �� � = �� (2.6) Phương trình cho điểm đường trắc địa nên ta gọi phương trình trắc địa Tham số s chưa có ý nghĩa vật lí Sau ta thấy tham số liên quan tới thời gian riêng (proper time) Bài 4: Trong không gian cho đường cong r(t) Chỉ độ dài hai điểm A & B đường cong tính theo cơng thức �� = ∫��√�� Từ rằng, L cực tiểu thỏa mãn phương trình: �2�� + � �� г�� = � �� Với s độ dài đường cong L � = ,� = �� Đồng thời liên hệ phương trình chuyển động có dạng đơn giản � = �� + �, a b số, có phương trình trắc địa �2�� 2 �� = �� + г�� Bài giải: Giữa hai điểm gần đường cong bất kỳ, khoảng cách xác định công thức: �� = �� 1 �� = (�� đó: �� )2 = (�� ) �� Khoảng cách hai điểm đường cong � = ∫ �� = ∫� � (� �� ) �� (1) Điều kiện để L xác định biểu thức (1) cực tiểu, xác định từ lý thuyết cực tiểu hàm đa biến � �� ′ � Và = � với k số ′ = �� ′2 = − � � = (1 + � ′2 ) ⁄2 , Áp dụng điều kiện đó, ta được: �2�� + �� г�� = �� Với s độ dài đường cong L � = �� (2) ,� = �� Khi t phụ thuộc vào s theo dạng đơn giản � = �� + �, a b số, �� = �� = ( �� có: � )= � ( ) �� Do đó, thay �� = �� vào (2), có phương trình trắc địa �2�� 2 �� = �� + г�� Từ phương trình trắc địa, nghiên cứu nhiều tượng vật lý khác như: tọa độ hốc định xứ, tọa độ Robinson-Walker, nghiệm Schwarzschild… nhiều ứng dụng khác vũ trụ học KẾT LUẬN CHUNG Với đề tài: “Ứng dụng kí hiệu Christofel vật lý” em hồn thành việc nghiên cứu vấn đề sau: - Tìm hiểu sơ lược lí thuyết kí hiệu Christofel - Vận dụng kí hiệu Christofel để nghiên cứu giải tập Vật lý Do vây, đề tài bơ sung thêm vào nguồn tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên trình tm hiểu kí hiệu Christofel ứng dụng Vật lý TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] K.F Riley, M.P Hobson and S.J Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering [2] Nguyễn Hữu Mình, Cơ học lí thuyết – Nhà xuất Đại học quốc gia1998 [3] Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Khắc Hướng, Nguyễn Khắc Nhập, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường, Bài tập Vật Lý lý thuyết - Nhà xuất Đại học quốc gia-1998 [4] Đỗ Đình Thanh, Phương pháp tốn lí – Nhà xuất giáo dục [5] Hoàng Ngọc Long, Đỗ Thị Hương, Bài giảng thuyết tương đối vũ trụ học - (2012) ... giải vấn đề người ta sử dụng nhiều phương pháp khác có sử dụng kí hiệu Christoffel Do để tìm hiểu rõ kí hiệu ứng dụng vật lý, tơi chọn đề tài “ Ứng dụng kí hiệu Christoffel vật lý” Đây số cơng cụ,... linh hoạt việc nghiên cứu vật lý - Tìm hiểu kí hiệu Christoffel - Tìm hiểu ứng dụng kí hiệu Christoffel Vật lý Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Kí hiệu Christoffel ứng dụng vật lý Nhiệm vụ nghiên... CHƯƠNG I: KÍ HIỆU CHRISTOFFEL 1.1 Kí hiệu Christoffel 1.1.1 Một số khái niệm bản: 1.1.2 Kí hiệu Christoffel 1.2 Kí hiệu Christoffel hệ tọa độ 1.2.1 Kí hiệu Christoffel