Kỳ vọng _ Phương sai

CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BiẾN NGẪU NHIÊN I.KỲ VỌNG I.KỲ VỌNG 1.Vd1: Một bình có 10 viên bi, trong đó có 2 bi loại 1.Vd1: Một bình có 10 viên bi, trong đó có 2 bi loại một, mỗi viên nặng 50gam; 3 vên loại hai, mỗi một, mỗi viên nặng 50gam; 3 vên loại hai, mỗi viên nặng 40gam và 5 viên loại ba mỗi viên viên nặng 40gam và 5 viên loại ba mỗi viên nặng 30gam. nặng 30gam. a) Tính trọng lượng trung bình của một viên. a) Tính trọng lượng trung bình của một viên. b) Gọi X là bnn chỉ trọng lượng của mỗi viên được b) Gọi X là bnn chỉ trọng lượng của mỗi viên được lấy. Lập bảng ppxs của X. lấy. Lập bảng ppxs của X. c)Tính tổng các tích các giá trị của biến ngẫu nhiên c)Tính tổng các tích các giá trị của biến ngẫu nhiên và xác suất tương ứng, rồi so sánh kết quả với và xác suất tương ứng, rồi so sánh kết quả với câu a. câu a. Người ta gọi số tìm được ở câu c) là kỳ vọng Người ta gọi số tìm được ở câu c) là kỳ vọng của bnn X. của bnn X. 2. Định nghĩa 2. Định nghĩa ĐN: Giả sử X là bnn có bảng ppxs: ĐN: Giả sử X là bnn có bảng ppxs: Kỳ vọng của bnn X là một số, kí hiệu là E(X) hay Kỳ vọng của bnn X là một số, kí hiệu là E(X) hay M(X), được xác định bởi M(X), được xác định bởi EX= x EX= x 1 1 p p 1 1 +x +x 2 2 p p 2 2 +…+x +…+x k k p p k k +…+x +…+x n n p p n n Số này còn được gọi là giá trị trung bình của bnn Số này còn được gọi là giá trị trung bình của bnn X. X. X X x x 1 1 x x 2 2 … … x x k k … … x x n n P P p p 1 1 p p 2 2 … … p p k k … … p p n n 3.Ví dụ 3.Ví dụ 3.Vd2: Hai người A và B chơi trò gieo một con xúc 3.Vd2: Hai người A và B chơi trò gieo một con xúc xắc ăn tiền theo luật sau: xắc ăn tiền theo luật sau: Nếu xuất hiện một trong các mặt 2,3,4,5 chấm thì Nếu xuất hiện một trong các mặt 2,3,4,5 chấm thì B đưa cho A số tiền là 9 nghìn đồng. B đưa cho A số tiền là 9 nghìn đồng. Nếu xuất hiện mặt 1 chấm hoặc 6 chấm thì A đưa Nếu xuất hiện mặt 1 chấm hoặc 6 chấm thì A đưa cho B số tiền bằng 6 lần số chấm xuất hiện trên cho B số tiền bằng 6 lần số chấm xuất hiện trên mặt xúc xắc. Tính số tiền trung bình mà A có thể mặt xúc xắc. Tính số tiền trung bình mà A có thể nhận được sau mỗi ván.(Nên chọn là A hay B?) nhận được sau mỗi ván.(Nên chọn là A hay B?) 4. Các tính chất của kỳ vọng 4. Các tính chất của kỳ vọng a) Giả sử C là hằng số, ta có thể xem C là bnn có a) Giả sử C là hằng số, ta có thể xem C là bnn có giá trị C, xác suất là 1. Khi đó bảng ppxs là giá trị C, xác suất là 1. Khi đó bảng ppxs là Tính E(C)=? Tính E(C)=? b) Biết bảng ppxs của X b) Biết bảng ppxs của X Lập bảng ppxs của CX Lập bảng ppxs của CX Tính E(CX)=? Tính E(CX)=? * Viết lại các t/c của kỳ vọng! * Viết lại các t/c của kỳ vọng! X X C C P P 1 1 X X x x 1 1 x x 2 2 … … x x n n P P p p 1 1 p p 2 2 … … p p n n c)Kỳ vọng của tổng c)Kỳ vọng của tổng Giả sử X, Y là hai bnn có bảng ppxs là Giả sử X, Y là hai bnn có bảng ppxs là Khi đó ta có quy luật ppxs của tổng X+Y như sau Khi đó ta có quy luật ppxs của tổng X+Y như sau Trong đó p Trong đó p ij ij là xác suất để tổng X+Y nhận giá trị x là xác suất để tổng X+Y nhận giá trị x i i +y +y j j . . p p i i = p = p i1 i1 +p +p i2 i2 +…+p +…+p im im ; q ; q j j =p =p 1j 1j +p +p 2j 2j +…+p +…+p nj nj . . Tính E(X+Y)=? Tính E(X+Y)=? X X x x 1 1 x x 2 2 … … x x n n Y Y y y 1 1 y y 2 2 … … y y m m P P x x p p 1 1 p p 2 2 … … p p n n P P Y Y p p 1 1 p p 2 2 … … p p m m X+Y X+Y x x 1 1 +y +y 1 1 x x 1 1 +y +y 2 2 … … x x n n +y +y m m P P X+Y X+Y p p 11 11 p p 12 12 … … p p n+m n+m PHƯƠNG SAI PHƯƠNG SAI 1.Vd: Hai hộ gia đình A và B làm nghề kinh doanh với 1.Vd: Hai hộ gia đình A và B làm nghề kinh doanh với lãi suất hàng tháng trong năm cho ở bảng sau:(X lãi suất hàng tháng trong năm cho ở bảng sau:(X A A ,X ,X B B là số tiền lãi trong tháng của gia đình A,B tính theo là số tiền lãi trong tháng của gia đình A,B tính theo đơn vị triệu đồng) đơn vị triệu đồng) a). Tính E(X a). Tính E(X A A ); E(X ); E(X B B ) (mức thu nhập trung bình một ) (mức thu nhập trung bình một tháng của gia đình A;B) tháng của gia đình A;B) b). Nhận xét gia đình nào có mức độ giao động của b). Nhận xét gia đình nào có mức độ giao động của tiền thu nhập hàng tháng so với kỳ vọng là lớn hơn. tiền thu nhập hàng tháng so với kỳ vọng là lớn hơn. X X A A -2 -2 0 0 5 5 6 6 10 10 n n i i 1 1 2 2 2 2 4 4 3 3 X X B B 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 m m j j 1 1 3 3 3 3 3 3 2 2 2. Phương sai: 2. Phương sai: ĐN: Phương sai của bnn X, kí hiệu D(X) hay V(X) là ĐN: Phương sai của bnn X, kí hiệu D(X) hay V(X) là kỳ vọng của bình phương sai lệch của bnn so với kỳ vọng của bình phương sai lệch của bnn so với kỳ vọng của nó. kỳ vọng của nó. D(X)=E[X-E(X)] D(X)=E[X-E(X)] 2 2 Nếu X là bnn có bảng ppxs Nếu X là bnn có bảng ppxs Và có kỳ vọng E(X)=a thì Và có kỳ vọng E(X)=a thì D(X) = (x D(X) = (x 1 1 -a) -a) 2 2 p p 1 1 +(x +(x 2 2 -a) -a) 2 2 p p 2 2 +…+(x +…+(x n n -a) -a) 2 2 p p n n Chú ý: Trong thực hành ta thường tính phương sai Chú ý: Trong thực hành ta thường tính phương sai theo công thức D(X)=E(X theo công thức D(X)=E(X 2 2 )-(EX) )-(EX) 2 2 3. Vd: Tính D(X 3. Vd: Tính D(X A A ); D(X ); D(X B B ) ở Vd trên và so sánh chúng. ) ở Vd trên và so sánh chúng. X X x x 1 1 x x 2 2 … … x x n n P P p p 1 1 p p 2 2 … … p p n n 4. Tính chất của phương sai 4. Tính chất của phương sai Sử dụng định nghĩa để chứng minh Sử dụng định nghĩa để chứng minh a) D(C)=0 a) D(C)=0 b) D(CX)=C b) D(CX)=C 2 2 D(X) D(X) Ngoài ra nếu X, Y là hai bnn độc lập thì Ngoài ra nếu X, Y là hai bnn độc lập thì D(X+Y)=DX+DY. D(X+Y)=DX+DY. 5. Ứng dụng của phương sai 5. Ứng dụng của phương sai Vd: Một nhà đầu tư đang cân nhắc giữa việc đầu tư vào hai Vd: Một nhà đầu tư đang cân nhắc giữa việc đầu tư vào hai dự án A và B trong hai lĩnh vực độc lập với nhau. Khả năng dự án A và B trong hai lĩnh vực độc lập với nhau. Khả năng thu hồi vốn sau 2 năm(tính bằng %) của hai dự án là các thu hồi vốn sau 2 năm(tính bằng %) của hai dự án là các Bnn có ppxs như sau: Bnn có ppxs như sau: Từ các bảng trên ta có: E(X Từ các bảng trên ta có: E(X A A )=69,16%; E(X )=69,16%; E(X B B )=68,72% )=68,72% V(X V(X A A )=3,0944; V(X )=3,0944; V(X B B )=1,8016. Với tư cách là nhà tư vấn hãy )=1,8016. Với tư cách là nhà tư vấn hãy cho lời khuyên? cho lời khuyên? X X A A 65 67 68 69 70 71 73 65 67 68 69 70 71 73 P P 0,04 0,12 0,16 0,28 0,24 0,08 0,08 0,04 0,12 0,16 0,28 0,24 0,08 0,08 X X B B 66 68 69 70 71 66 68 69 70 71 P P 0,12 0,28 0,32 0,20 0,08 0,12 0,28 0,32 0,20 0,08 . 2. Phương sai: 2. Phương sai: ĐN: Phương sai của bnn X, kí hiệu D(X) hay V(X) là ĐN: Phương sai của bnn X, kí hiệu D(X) hay V(X) là kỳ vọng của bình phương. V(X) là kỳ vọng của bình phương sai lệch của bnn so với kỳ vọng của bình phương sai lệch của bnn so với kỳ vọng của nó. kỳ vọng của nó. D(X)=E[X-E(X)] D(X)=E[X-E(X)]