BÀI GIẢNG ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM CHO KỲ VỌNG, MEDIAN, PHƯƠNG SAI VÀ XÁC SUẤT

§1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM CHO KỲ VỌNG, MEDIAN, PHƯƠNG SAI VÀ XÁC SUẤT §2 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG 1.Ước lượng điểm Giả sử θ tham số cần ước lượng tay có mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, …, Xn) Vì để ước lượng cho θ dựa vào mẫu ngẫu nhiên  Ta dùng hàm mẫu, tức hàm biến X1, X2,…., Xn để làm ước lượng cho θ Ký hiệu hàm θ*(X1, X2, …, Xn) Như θ*(X1, X2, …, Xn) biến ngẫu nhiên X1, X2, …, Xn biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối θ* (X1, X2, …, Xn) nhận giá trị cụ thể ( điểm ) mẫu ( X1, X2,…, Xn) nhận giá trị cụ thể (x1, x2, …, xn) nên θ* gọi ước lượng điểm  2.Ước lượng khơng chệch Vì θ* ( X1, X2, …, Xn) biến ngẫu nhiên nen ta khơng thể dòi hỏi θ*(X1, X2, …, Xn) giá trị θ cầntìm  Ước lượng θ*(X1,X2, …, Xn) dược gọi ước lượng không lệch θ thoả mãn: Eθ*(X1, X2, …, Xn) = θ Nếu Eθ*(X1, X2, …, Xn) = θ + C θ*(X1,X2, …, Xn) gọi ước lượng chệch độ chệch C  Như X ước lượng không chênh lệch cho EX S2 ước lượng không chệch cho DX Ŝ2 ước lượng không chệnh DX độ chệch – DX/n  Ước lượng điểm cho kỳ vọng biến ngẫu nhiên X ước lượng không chênh lệch kỳ vọng biến ngẫu nhiên cụ thể X ước lượng không chệch cho tham ẩn μ phân phối chuẩn, cho tham số ẩn λ phân phối Poison cho tham ẩn  phân phối mũ… 4.Ước lượng điểm cho xác suất : lượng cho xác suất p biến cố A (hay ước lượng cho tỷ lệ đó) m  p* = , n số lần quan sát, m số  ước n m  p* = n lần xảy biến cố A ước lượng không chệnh cho xác suất p  (vì Ep* = E( ) = Em = = p) §2 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG 2.1Định nghĩa ước lượng khoảng: Một khoảng với hai đầu mút ngẫu nhiên (θ1*(X1, …, Xn), θ2*(X1, …, Xn)) gọi ước lượng khoảng cho tham ẩn θ với độ tin cậy 1-α tức là: p{θ1*(X1, …, Xn) < θ < θ2*(X1, …, Xn) } = 1- α (ở (X1, …, Xn) ký hiệu mẫu ngẫu nhiên ) Như xác suất để tham số không nằm khoảng (θ*1(X1, …, Xn), θ*2(X1, …, Xn)) α  Khoảng (θ*1(X1, …, Xn), θ*2(X1, …, Xn)) gọi khoảng tin cậy giá trị 1- α gọi độ tin cậy Còn θ*2 – θ*1 gọi độ xác ước lượng  Rõ ràng với độ tin cậy khoảng tin cậy hẹp giúp ta xác định xác tham số cần tìm   §2 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG 2.2Ước lượng khoảng kỳ vọng bnn: Nếu (X1, …, Xn) rút từ họ chuẩn X = N(EX , DX/n ) (xem §5 chương I)  Nếu mẫu ngẫu nhiên rút từ biến ngẫu nhiên X chuẩn, X có phân phối xấp xỉ chuẩn với kỳ vọng EX phương sai DX/n n đủ lớn (Kết nhận từ định lý giới hạn trung tâm lý thuyết xác suất) vấn đề cần nói đến là: Thế gọi đủ lớn? Tốt n ≥ 100, song nhiều ứng dụng n ≥ 30 coi đầy đủ lớn để sử dụng xấp xỉ chuẩn (xem [2]) 2.2Ước lượng khoảng kỳ vọng bnn  Nếu DX biết (DX = δ2): Khi ước lượng khoảng cho kỳ vọng μ = EX (nếu X khơng chuẩn đòi hỏi n ≥ 30) với độ tin cậy 1- α là:       Trong  u( ) ; X  u ( )  X  u ( )  n n  xác định từ   (u ( ))   2 Cơ sở lý luận kết luận sau: 2.2Ước lượng khoảng kỳ vọng bnn 2.2Ước lượng khoảng kỳ vọng bnn  Nếu DX chưa biết: Giả sử (X1, …, Xn) mẫu ngẫu nhiên rút từ biến ngẫu nhiên chuẩn, Xi ≈ N(μ, δ2) Để đưa ước lượng khoảng cho μ = EX ta xuất phát từ khẳng định: Đại lượng X   n  s có phân phối student với n-1 bậc tự Do với tốc độ tin cậy 1-α, ước lượng khoảng μ là: 2.2Ước lượng khoảng kỳ vọng bnn 2.3Ước lượng khoảng tỷ lệ hay xác suất lượng tỷ lệ (xác suất) toán hay gặp lĩnh vực Xác suất p tham ẩn phân phối nhị thức Trong §1 ta ước lượng điểm p là:  Ước P* = m/n  Ta biểu diễn cách khác p* sau:  giả sử (X1, …, Xn) mẫu ngẫu nhiên 2.3Ước lượng khoảng tỷ lệ hay xác suất §3 ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA ƯỚC LƯỢNG VÀ QUAN SÁT CẦN THIẾT Trong §2 giải toán xây dựng ước lượng khoảng cho mẫu ngẫu nhiên, có nghĩa cho cỡ mẫu n, cho độ tin cậy 1-α, ta xây dựng ước lượng khoảng (θ*1, θ*2) Như độ xác ước lượng ε = θ*2 – θ*1 Trong trường hợp ước lượng khoảng dối xứng dạng (θ* - b , θ* + b ), b số, ngẫu nhiên, ε = 2b, có lúc để đơn giản ta lấy ε = b  Trong trường hợp trình bày §2.2, §2.4 ước lượng khoảng đối xứng vag phụ thuộc cỡ mẫu n  Bây toán đặt ngược lại: cho độ tin cậy, cho độ xác ε, tìm số quan sát n cần thiết để nhận ước lượng với độ tin cậy độ xác cho  §3 ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA ƯỚC LƯỢNG VÀ QUAN SÁT CẦN THIẾT số liệu cho tập chương І, hãy: a Chỉ Median mẫu b Với độ tin cậy 95%, nói doanh số trung bình/tháng hộ nằm khoảng nào? Giả thiết X tuân theo luật chuẩn c Ước lượng tỷ lệ % hộ có doanh số/tháng ≥ 11 triệu Với độ tin cậy 99% tỷ lệ bao nhiêu? Với số liệu cho tập chương І, hãy: a Chỉ Median mẫu, giá trị trung bình mẫu? b với độ tin cậy 95% suất lúa trung bình huyện thấp cao bao nhiêu? ( giả thiết suất lúa biến ngẫu nhiên chuẩn) c Tỷ lệ % số điểm trồng lúa có suất cao >35tạ/ha? Tỷ lệ thấp với độ tin cậy 99% 3 Có khu rừng có diện tích lớn vào kết điều tra ngẫu nhiên 31 ơ, có diện tích 0,1 giá trị trung bình mẫu ( thể tích gỗ trung bình ơ) sai số tiêu chuẩn ô X 10,2m3, s = 1,45m3 Hãy ước lượng số quan sát cần thiết để sai số ước lượng không vượt 0,4m3 với độ tin cậy 95%?  Nếu muốn sai số không vựơt 0,5 cần điều tra bổ sung hay không  Nếu muốn sai số khôngvượt 0,5 số quan sát không vượt cỡ mẫu điều tra độ tin cậy ước lượng (Số liệu trích từ [3])  Hãy ước lượng khoảng  Giả thiết X tuân theo luật chuẩn   ước lượng số cá hồ, người ta đánh bắt 2000 con, đánh dấu thả xuống vài ngày sau, ta lại đánh bắt 400 thấy 80 cá đánh dấu Với đọ tin cậy 95% số cá hồ có con? (xem [5])     6.Một xí nghiệp đưa thị trường sản phẩm Để xem đánh giá người tiêu dùng loại sản phẩm , người ta phát cho người mua hàng phiếu thăm dò u cầu gửi lại cho xí nghiệp chậm sau tháng Vì điều kiện thời gian nên xí nghiệp khơng thể hỏi ý kiến tất khách hàng nước, họ gửi phiếu tăm dò cho khách hàng Hà Nội kết quả, sau tháng, xí nghiệp nhận 300 phiếu thăm dò, có 90 phiếu tỏ thích loại sản phẩm (cả chức giá cả) Hãy ước lượng tỷ lệ thực khách hàng thích loại sản phẩm này? Với đọ tin cậy 95% tỷ lệ cao bao nhiêu? Muốn nhận ước lượng khoảng cho tỷ lệ thực với đọ xác 0,03 cần thăm dò thêm phiếu Với mẫu n = 300, ước lượng khoảng có độ xác 0,0436 độ tin cậy kết luận ước lượng khoảng bao nhiêu? ... lượng điểm cho xác suất : lượng cho xác suất p biến cố A (hay ước lượng cho tỷ lệ đó) m  p* = , n số lần quan sát, m số  ước n m  p* = n lần xảy biến cố A ước lượng không chệnh cho xác suất p... θ*(X1,X2, …, Xn) gọi ước lượng chệch độ chệch C  Như X ước lượng không chênh lệch cho EX S2 ước lượng không chệch cho DX Ŝ2 ước lượng không chệnh DX độ chệch – DX/n  Ước lượng điểm cho kỳ vọng biến... khoảng kỳ vọng bnn 2. 3Ước lượng khoảng tỷ lệ hay xác suất lượng tỷ lệ (xác suất) tốn hay gặp lĩnh vực Xác suất p tham ẩn phân phối nhị thức Trong §1 ta ước lượng điểm p là:  Ước P* = m/n  Ta biểu