Nghiên cứu này đề cập đến dạy học hàm số ở phổ thông và đóng góp của công nghệ. Bài viết đề xuất một cách tiếp cận hàm số thông qua mô hình hóa hàm các quan hệ phụ thuộc trong những hệ vật lí. Sau đó, chúng tôi phân tích tiềm năng của cách tiếp cận này đối với việc dạy và học hàm số trong môi trường phần mềm Casyopée tích hợp đồng thời hình học động và đại số máy tính.
JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci., 2015, Vol 60, No 8A, pp 44-52 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn DOI: 10.18173/2354-1075.2015-0164 MỘT CÁCH TIẾP CẬN MƠ HÌNH HĨA VỀ DẠY HỌC HÀM SỐ VÀ ĐĨNG GĨP CỦA CƠNG NGHỆ Trần Kiêm Minh Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt Nghiên cứu đề cập đến dạy học hàm số phổ thông đóng góp cơng nghệ Chúng tơi đề xuất cách tiếp cận hàm số thơng qua mơ hình hóa hàm quan hệ phụ thuộc hệ vật lí Sau đó, chúng tơi phân tích tiềm cách tiếp cận việc dạy học hàm số mơi trường phần mềm Casyopée tích hợp đồng thời hình học động đại số máy tính Kết nghiên cứu bước đầu cho thấy cách tiếp cận hàm số đề xuất sử dụng để thúc đẩy việc hiểu học sinh hàm số mơ hình mối quan hệ đồng biến thiên phụ thuộc hai đại lượng hệ vật lí Từ khóa: Hàm số, đồng biến thiên, chu trình mơ hình hóa hàm, công nghệ, Casyopée Mở đầu Hàm số khái niệm quan trọng toán học Các phân tích mặt tri thức luận lịch sử [6, 12] cho thấy khái niệm hàm số xuất lịch sử từ nhu cầu thực tế ngữ cảnh ứng dụng Quá trình hình thành khái niệm hàm số lịch sử cho thấy có hai khía cạnh quan niệm hàm số: khía cạnh tương ứng khía cạnh đồng biến thiên Khía cạnh tương ứng thường xuất định nghĩa mang tính hình thức, khía cạnh đồng biến thiên xuất sớm ý tưởng hình thành khái niệm hàm số thường dạng ngầm ẩn Theo Comin (2005, [2]), khái niệm hàm số hình thành dựa ý tưởng mối quan hệ phụ thuộc học sinh đạt nghĩa khái niệm thông qua việc nghiên cứu mối quan hệ phụ thuộc hàm đại lượng Nhiều nghiên cứu dạy học hàm số cho thấy học sinh thường gặp khó khăn liên quan đến khía cạnh khác khái niệm này, đặc biệt việc hiểu khái niệm hàm số thể kiểu biểu đạt (registers of semiotic representation, theo nghĩa Duval [3]) khác (hình học, đại số, đồ thị, số học, ngôn ngữ ) Gần đây, nhiều nhà nghiên cứu giáo dục toán quan tâm đặc biệt đến tiềm hỗ trợ công cụ công nghệ việc dạy học hàm số [1, 4, 5, 7] Việc sử dụng công cụ công nghệ mới, đặc biệt phần mềm hình học động, cho phép học sinh khám phá trải nghiệm quan hệ đồng biến thiên phụ thuộc đại lượng hình học (như độ dài, diện tích ) Tuy nhiên, môi trường phần mềm khơng hỗ trợ học sinh sử dụng kí hiệu đại số làm việc mơ hình đại số quan hệ phụ thuộc hàm Ngày nhận bài: 15/3/2015 Ngày nhận đăng: 10/10/2015 Liên hệ: Trần Kiêm Minh, e-mail: kiemminh@gmail.com 44 Một cách tiếp cận mơ hình hóa dạy học hàm số đóng góp cơng nghệ Dựa quan niệm "đồng biến thiên" hàm số [8] đề xuất cách tiếp cận xem hàm số “mơ hình quan hệ phụ thuộc” đại lượng lĩnh vực ứng dụng Cách tiếp cận chứa đựng tiềm khai thác hỗ trợ công cụ công nghệ mới, đặc biệt môi trường phần mềm tích hợp hình học động đại số máy tính Những mơi trường phần mềm cho phép kết nối kiểu biểu đạt khác quan hệ phụ thuộc hàm Trong báo này, mô tả cách tiếp cận xem hàm số mơ hình quan hệ phụ thuộc đại lượng đề xuất [8] vận dụng cách tiếp cận vào phân tích tình học tập hàm số mơi trường phần mềm Casyopée Trong phần báo, chúng tơi phân tích số khía cạnh lí thuyết chủ yếu liên quan đến cách tiếp cận Sau đó, chúng tơi trình bày phương pháp nghiên cứu mô tả kết thực nghiệm bước đầu vận dụng cách tiếp cận vào dạy học hàm số bậc phổ thông 2.1 Nội dung nghiên cứu Nền tảng lí thuyết 2.1.1 Nghiên cứu dạy học hàm số Từ khía cạnh «quy trình-đối tượng» đến quan niệm «đồng biến thiên» Từ đầu năm 1990, hầu hết nghiên cứu liên quan đến dạy học hàm số dựa phân biệt hai quan niệm chủ đạo mà học sinh chấp nhận học hàm số: quan niệm “quy trình” quan niệm “đối tượng” (Sfard, 1991, [10]) Quan niệm quy trình (process view) hàm số đặc trưng tập trung ý đến kết hoạt động tính tốn sau dãy phép tính, quan niệm đối tượng (object view) dựa khái quát hóa quan hệ phụ thuộc cặp giá trị vào-ra (imput-output) đại lượng Sau đó, số tiếp cận phát triển để mô tả quan niệm định hướng đối tượng hàm số đặc biệt nhấn mạnh khía cạnh “đồng biến thiên” hàm số (Thompson, 1994, [13]) Điểm mấu chốt quan niệm đồng biến thiên phụ thuộc liên quan đến việc hiểu cách thức biến (biến độc lập) giá trị hàm (biến phụ thuộc) thay đổi kết hợp thay đổi Điều kéo theo thay đổi cách hiểu biểu thức từ cách nhìn giá trị vào - giá trị có tính đơn lẻ đến cách nhìn động Tuy nhiên, quan niệm động biến thiên dường chưa rõ ràng học sinh đòi hỏi cần thiết phải có tình học tập mang lại cho học sinh hội để suy nghĩ chất đồng biến thiên phụ thuộc hàm số việc mơ hình hóa kiện động Việc hiểu khái niệm biến Một khó khăn đặc biệt việc hiểu khái niệm hàm số hiểu khái niệm biến Thompson (1994, [13]) hình ảnh bậc gợi lên từ “hàm số” học sinh liên quan đến hai biểu thức rời liên kết dấu “=” Với mục đích khó khăn học sinh để phát triển việc hiểu cấu trúc biểu thức hình thức quan hệ hàm vai trò kí hiệu đặc biệt đó, tác giả mơ tả ví dụ cơng thức tính tổng Sn = 12 + 22 + + n2 n(n + 1)(2n + 1) đưa học sinh câu trả lời Học sinh viết : f (x) = khơng có học sinh tìm thấy chỗ sai cơng thức dường khớp với hình ảnh hàm số học sinh Ở học sinh quan niệm hàm số bao gồm hai thành phần phân biệt mà liên quan với với đối tượng hay đại lượng Tình học tập mà xây dựng nghiên cứu phần hướng đến việc giúp học sinh hiểu khái niệm biến Chẳng hạn, việc mơ hình hóa tự động với phần mềm Casyopée giúp học sinh tập trung vào việc thành lập thành phần hàm số (biến, giá trị hàm) vào việc tính tốn cơng thức đại số hàm số 45 Trần Kiêm Minh Vai trò biểu tượng hàm số Nhiều nghiên cứu giáo dục tốn có chung thừa nhận vấn đề biểu tượng hình thức (symbolism) hàm số khó khăn chủ yếu học sinh Cách nhìn học sinh biểu thức hình thức đơn tương ứng giá trị vào - Slavit (1997, [11]) vai trò then chốt biểu tượng xem xét dạng khác đồ thị hay phương trình phát triển khái niệm hàm số gợi ý cần thiết việc khảo sát quan niệm hàm số học sinh ngữ cảnh khác chẳng hạn ngữ cảnh hình học hay ứng dụng Thậm chí học sinh đạt thành thạo biểu tượng hình thức đại số, việc kết hợp thành thạo với việc hiểu cấu trúc công thức đại số hàm số quan trọng đặc biệt hướng đến hàm số xuất phát từ ngữ cảnh ứng dụng Tình học tập đưa phần sau cho thấy Casyopée hỗ trợ làm tương thích dạng biểu tượng hình thức thao tác động đối tượng toán học quan hệ phụ thuộc chúng 2.1.2 Chu trình mơ hình hóa hàm – cách tiếp cận hàm số môi trường công nghệ Lagrange & Artigue (2009, [5]) đề xuất bảng phân bậc hoạt động để phân loại kết nối hoạt động hàm số môi trường công nghệ Bảng phân bậc hoạt động gồm hai thành phần: cấp độ biểu diễn quan hệ phụ thuộc kiểu hoạt động với quan hệ phụ thuộc Dựa bảng phân bậc hoạt động này, Minh (2012b, [8]) đề xuất chu trình mơ hình hóa hàm nhằm tiếp cận hàm số Chu trình cho phép xem xét bước qua trình xây dựng mơ hình tốn học để nghiên cứu quan hệ phụ thuộc hàm hệ vật lí (1) Mơ hình hóa tình hình động (2) Chọn biến, giá trị hàm để biểu diễn mối quan hệ phụ thuộc (3) Mơ hình hóa hàm số (4) Lí giải kiểm chứng mơ hình Hình Chu trình mơ hình hóa hàm Hệ vật lí ngữ cảnh thực tế tình Bước chuyển từ Hệ vật lí sang cấp độ Hình học đặc trưng việc dựng hình hình học động minh họa tình Hình học cấp độ học sinh di chuyển đối tượng, quan sát biến đổi hình hình học nhờ hỗ trợ cơng nghệ, nhận thức quan hệ phụ thuộc hình học đối tượng Hệ vật lí Đại lượng cấp độ học sinh sử dụng cơng nghệ để lượng hóa quan sát khám phá, thể qua việc thiết lập tính tốn biểu diễn mối quan hệ phụ thuộc đại lượng hình học cơng thức tiền đại số Hàm số cấp độ biểu diễn quan hệ phụ thuộc hàm hàm số cho công thức đại số Đây cấp độ cho biến đổi đại số chứng minh toán học Bước (4) chu trình minh họa việc trở lại Hệ vật lí để lí giải kiểm chứng tính thích đáng mơ hình tốn học Chúng tơi xem xét chu trình mơ hình hóa hàm khung lí thuyết cách tiếp cận hàm số mơi trường học tập có hỗ trợ công nghệ Cách tiếp cận hàm số cho 46 Một cách tiếp cận mơ hình hóa dạy học hàm số đóng góp cơng nghệ phép kết nối quan hệ phụ thuộc hàm lĩnh vực ứng dụng với phạm vi đại số thông qua việc mơ hình hóa hàm (mơ hình hóa quan hệ phụ thuộc đại lượng lĩnh vực ứng dụng hàm số toán học) Khung lí thuyết sở để chúng tơi thiết kế tình học tập hàm số mơi trường phần mềm Casyopée phân tích kết quan sát thực nghiệm lớp học 2.2 Phương pháp nghiên cứu 2.2.1 Môi trường phần mềm Casyopée Casyopée (Có thể tải Casyopée https://casyopee.math.univ-paris-diderot.fr/) phần mềm nguồn mở thiết kế cho việc dạy học hàm số phổ thơng Casyopée có hai cửa sổ chính: cửa sổ đại số cửa sổ hình học Cửa sổ hình học cung cấp đặc trưng chủ yếu phần mềm hình học động khởi tạo hoạt đối tượng hình học Hình Cửa sổ hình học, cửa sổ đại số dạng hàm số xuất Casyopée Đặc biệt, cửa sổ hình học có chức gọi «tính tốn hình học», cho phép hỗ trợ việc mơ hình hóa hàm quan hệ phụ thuộc hình học đại lượng như: tạo «phép tính hình học» hình thức biểu diễn đại lượng hình học số đo đại lượng đó, chọn đại lượng làm giá trị hàm đại lượng làm biến để khảo sát mối quan hệ phụ thuộc hàm chúng, tính tốn tự động xuất vào cửa sổ đại số hàm số mơ hình hóa quan hệ phụ thuộc hàm Chú ý rằng, với đại lượng chọn làm giá trị hàm cho trước, Casyopée cho phép học sinh chọn nhiều đại lượng làm biến khác để khảo sát mối quan hệ phụ thuộc Nếu mối quan hệ phụ thuộc hàm, Casyopée cho phép tự động xuất công thức đại số mô tả quan hệ phụ thuộc Ngược lại, khơng phải quan hệ phụ thuộc hàm, Casyopée đưa phản hồi để học sinh điều chỉnh cách chọn biến cho thích hợp Cửa sổ đại số liên kết với sổ hình học, học sinh chuyển đổi qua lại hai cửa sổ cách dễ dàng Cửa sổ đại số cung cấp công cụ để học sinh làm việc hàm số ba hệ thống biểu đạt khác : biểu tượng (biểu thức đại số), đồ thị, số học 47 Trần Kiêm Minh (bảng giá trị) Với hàm số xuất vào sổ đại số, học sinh thao tác, biến đổi biểu thức hàm số cách khai triển, tính đạo hàm Học sinh khám phá đồ thị hàm số hiển thị bảng giá trị hàm số 2.2.2 Tổ chức thực nghiệm Các tình thực nghiệm nghiên cứu nhằm hỗ trợ học sinh tiếp cận hàm số thông qua việc mơ hình hóa hàm quan hệ phụ thuộc đại lượng tình thực tế Một phần thực nghiệm thực đối tượng học sinh lớp 12/6 trường Trung học phổ thông Trần Hưng Đạo, Thành phố Huế, khuôn khổ luận văn thạc sĩ (Ngô Thị Nhật Anh, 2013, [9]) Chúng tơi tổ chức thành nhóm hai học sinh làm việc máy tính xách tay có cài sẵn phần mềm Casyopée Kịch thực nghiệm bao gồm: Quan sát lớp học - Phần (3 buổi): Mơ hình hóa hàm quan hệ phụ thuộc tình đơn giản; - Phần (2 buổi): Mơ hình hóa hàm quan hệ phụ thuộc tình phức tạp (làm việc với tham số); - Phần (1 buổi): Học sinh làm việc tự để giải vấn đề Bảng hỏi: Sau thời gian quan sát thực nghiệm lớp, chúng tơi có bảng câu hỏi để học sinh trả lời cá nhân Mục đích để tìm hiểu khó khăn học sinh tiềm hỗ trợ phần mềm việc học khái niệm hàm số Phỏng vấn nửa cấu trúc: Để tìm hiểu sâu khả hiểu học sinh hàm số khái niệm liên quan (biến, giá trị hàm) làm việc môi trường Casyopée, thực buổi vấn nửa cấu trúc vào cuối trình thực nghiệm Dữ liệu thu thập bao gồm làm học sinh, tập tin làm học sinh, tập tin video ghi lại thao tác học sinh hình máy tính, bảng hỏi tập tin âm ghi lại vấn 2.2.3 Tình học tập minh họa Sau chúng tơi giới thiệu tình minh họa cho cách tiếp cận đề cập Tình tình thực nghiệm buổi thứ ba phần quan sát lớp học Tình huống: Một hàng rào có chiều cao AQ = 1dam (1dam = 10m) song song với tường tòa nhà cách tường khoảng cách 1dam Người ta muốn làm thang MN có chiều dài ngắn nhất, dựng từ vị trí M mặt đất, bắc qua hàng rào AQ A dựa vào tường tòa nhà N Hỏi cần phải đặt thang vị trí mặt đất? Hình Chu trình mơ hình hóa hàm tình Ở Hệ vật lí ngữ cảnh tình Học sinh mong đợi dựng hình động với Casyopée để mơ hình hóa tình Việc dựng điểm M di động tia [Qx) 48 Một cách tiếp cận mơ hình hóa dạy học hàm số đóng góp cơng nghệ khó khăn hầu hết học sinh đòi hỏi phân biệt điểm tự mặt phẳng đường thẳng (trường hợp M trùng Q khơng thể dựng hình) Sau dựng hình, học sinh di chuyển điểm M tia [Qx) để kiểm tra cách dựng quan sát thay đổi độ dài đoạn MN Tiếp theo, học sinh khảo sát mối quan hệ phụ thuộc điểm M độ dài đoạn MN cách tạo phép tính độ dài OM, QM, MN Casyopée cho phép chọn đại lượng liên quan đến vị trí điểm M làm biến, chẳng hạn OM, QM MN MN2 làm giá trị hàm để mô hình hóa Nếu quan hệ phụ thuộc hàm, Casyopée hỗ trợ xuất vào cửa sổ đại số hàm số mô tả quan hệ phụ thuộc Chẳng hạn, học sinh chọn biến OM giá trị hàm MN2 hàm số xuất là: f : OM → M N x4 − 2x3 + 2x2 f (x) = x2 − 2x + Nếu học sinh chọn biến QM giá trị hàm MN2 hàm số xuất đơn giản hơn: g : QM → M N g(x) = x2 + 2x + + + x x Trong cửa sổ đại số, học sinh làm việc với biểu thức đại số hàm số (khai triển, lấy đạo hàm ) khám phá đồ thị hàm số trước tiến hành giải tốn xác Kết tốn điểm đặt vị trí thang cách tường 2dam Tất nhiên, tốn giải phương pháp hình học đơn cách sử dụng tính chất tam giác đồng dạng Tuy nhiên, muốn nhấn mạnh tiềm hỗ trợ mơi trường phần mềm tích hợp hình học động đại số Casyopée tiếp cận khái niệm hàm số Cụ thể hơn, Casyopée cho phép quan sát đồng biến thiên hai đại lượng hình động, chọn đại lượng làm biến đại lượng làm giá trị hàm để khảo sát mối quan hệ phụ thuộc hàm chúng Nếu khơng phải mối quan hệ hàm Casyopée cung cấp phản hồi để học sinh lựa chọn biến khác thích hợp Ngồi ra, học sinh khám phá hàm số thiết lập kiểu biểu diễn khác đại số, đồ thị, số học (bảng giá trị) Chúng cho cách tiếp cận hàm số với Casyopée chứa đựng tiềm giúp học sinh hiểu rõ chất khái niệm biến (biến độc lập), giá trị hàm (biến phụ thuộc), tập xác định, biểu thức hình thức hàm số 2.3 Phân tích kết thực nghiệm Chúng tơi mơ tả lại kết quan sát lớp học tình theo bốn bước: (1) xây dựng mô hình hình học động, (2) mơ hình hóa hàm (chọn biến giá trị hàm), (3) làm việc mô hình đại số tình huống, (4) khả hiểu học sinh tình sau làm việc với mơ hình đại số Xây dựng mơ hình hình học động: Quan sát thực nghiệm cho thấy phần lớn học sinh gặp nhiều khó khăn việc dựng hình động với phần mềm Casyopée Học sinh khó khăn thao tác với chức dựng hình phần mềm, đặc biệt vấn đề ngôn ngữ thị (tiếng Anh) phần mềm chưa Việt hóa Việc dựng điểm M tự tia [Qx) không dễ số học sinh Tuy nhiên, phản hồi mơi trường phần mềm (hình bị biến dạng) di chuyển điểm M giúp học sinh điều chỉnh cách dựng 49 Trần Kiêm Minh Mô hình hóa hàm: Việc mơ hình hóa hàm với Casyopée thể qua bước sau: tạo phép tính hình học với Casyopée, chọn đại lượng làm biến, chọn đại lượng làm giá trị hàm cuối Casyopée hỗ trợ xuất biểu thức hàm số Việc Casyopée tính tốn tự động xuất công thức hàm số ý định nhà phát triển Casyopée, nhằm mục đích giúp học sinh giảm bớt tính tốn phức tạp, thay vào học sinh tập trung vào bước lựa chọn biến, chọn giá trị hàm thích hợp, khảo sát mối quan hệ phụ thuộc hàm chúng kết hợp chúng để tạo nên hàm số Đây yếu tố giúp học sinh hiểu chất khái niệm liên quan đến hàm số Quan sát thực nghiệm cho thấy việc chọn biến giá trị hàm học sinh thực dễ dàng Một số học sinh thực nhiều lựa chọn khác cho giá trị biến OM, ON, QM Trong trường hợp này, chọn giá trị hàm khoảng cách MN hàm số mà Casyopée xuất hàm vô tỷ tương đối phức tạp cho học sinh Phản hồi phần mềm giúp cho số học sinh thay đổi cách chọn giá trị hàm MN2, hàm số xuất hàm hữu tỉ đơn giản Hình Cách chọn biến giá trị hàm cặp học sinh Trường – Hiếu (trái) Hiền – Trí (phải) Làm việc mơ hình đại số: Sau mơ hình hóa hàm số với Casyopée, hầu hết học sinh khám phá đồ thị hàm số điểm cực tiểu mà chủ yếu làm việc biểu thức đại số hàm số Điều thể chế dạy học hàm số dành nhiều ưu tiên dạng biểu diễn đại số hàm số Học sinh sử dụng đạo hàm để tìm điểm cực tiểu, nhiên chứng minh đại số nói chung chưa hồn chỉnh Hình Chứng minh cặp học sinh Trường – Hiếu (trái) Hiền –Trí (phải) 50 Một cách tiếp cận mơ hình hóa dạy học hàm số đóng góp cơng nghệ Khả hiểu học sinh tình vấn đề liên quan đến hàm số: Nhìn chung sau làm việc với môi trường phần mềm Casyopée, học sinh hiểu tốt ý nghĩa tình học tập đưa Việc chọn biến, chọn giá trị hàm, khảo sát mối quan hệ hàm đại lượng, làm việc mơ hình đại số tốn mơi trường Casyopée giúp học sinh hiểu sâu sắc chất ý nghĩa khái niệm hàm số khái niệm liên quan biến, giá trị hàm Bảng minh chứng cho khẳng định Các học sinh cho thấy hiểu biết có ý nghĩa khái niệm biến, giá trị hàm hàm số như: biến giá trị thay đổi; giá trị hàm đại lượng biến thiên phụ thuộc, biến phụ thuộc thay đổi theo biến độc lập; hàm số bao gồm thành phần lập nên gồm biến độc lập, biến phụ thuộc, tập xác định, đồ thị Học sinh Khái niệm «biến» (biến độc lập) Trí – Hiền Giá trị thay đổi Trường – Hiếu Biến giá trị thay đổi Hảo – Lợi Biến giá trị thay đổi Khái niệm «giá trị hàm» (biến phụ thuộc) Biến phụ thuộc thay đổi theo biến độc lập Có giá trị thay đổi phụ thuộc Có thể tăng giảm phụ thuộc vào biến Khái niệm «hàm số» Hàm số biểu thức gồm biến độc lập, biến phụ thuộc, tập xác định, đồ thị Gồm biến độc lập, biến phụ thuộc, tập xác định, đồ thị Gồm biến độc lập, biến phụ thuộc, tập xác định, đồ thị Kết luận Trong báo này, mô tả cách tiếp cận xem hàm số mơ hình quan hệ phụ thuộc đại lượng Sau đó, chúng tơi phân tích tiềm của cách tiếp cận mơi trường phần mềm Casyopée tích hợp đồng thời hình học động đại số Tình học tập nằm chuỗi tình học tập với phần mềm Casyopée mà thiết kế bước đầu thực nghiệm lớp học Kết bước đầu cho thấy việc vận dụng cách tiếp cận mơ hình hóa hàm số đề xuất Minh (2012b, [8]) vào môi trường phần mềm Casyopée giúp học sinh hiểu ý nghĩa khái niệm hàm số khái niệm liên quan Chẳng hạn, trải nghiệm với quan hệ đồng biến thiên phụ thuộc hai đại lượng, phân biệt quan hệ phụ thuộc hàm từ quan hệ đồng biến thiên đại lượng quan trọng có ý nghĩa cho việc hiểu khái niệm biến độc lập, biến phụ thuộc, hàm số Ngoài ra, q trình mơ hình hóa hàm với hỗ trợ Casyopée việc khám phá hàm số kiểu biểu diễn khác (hình học, đại số, đồ thị, bảng giá trị) để giải toán đặt giúp học sinh hiểu khái niệm hàm số cấu trúc công thức đại số hàm số, lập nên từ mối quan hệ phụ thuộc đại lượng ngữ cảnh ứng dụng Lời cảm ơn Nghiên cứu tài trợ phần Quỹ phát triển khoa học công nghệ quốc gia (NAFOSTED) đề tài mã số VI1.99-2012.16 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Arzarello, F., Robutti, O., 2004 Approaching functions through motion experiments Educational Studies in Mathematics, Special Issue CD Rom 51 Trần Kiêm Minh [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] Comin, E., 2005 Variables et fonctions, du collège au lycée: méprise didactique ou quiproquo interinstitutionnel Petit x, 67, 33 - 61 Duval, R., 2000 Basic issues for research in mathematics education In T Nakahara, M Koyama (Eds.), Proceedings of the 24th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol 1, pp 55–69) Hiroshima University Falcade, R., Laborde, C., Mariotti, M A., 2007 Approaching functions: Cabri tools as instruments of semiotic mediation Educational Studies in Mathematics, 66(3), 317-333 Lagrange, J.-B., Artigue, M., 2009 Students’ activities about functions at upper secondary level: a grid for designing a digital environment and analysing uses In M Tzekaki, M Kaldrimidou, C Sakonidis (Eds.), Proceedings of the 33rd Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol 3, pp 465-472) Thessaloniki, Greece: PME Minh, T K., 2011 Apprentissage des fonctions au lycée avec un environnement logiciel: situations d’apprentissage et genèse instrumentale des élèves Thèse de doctorat, Université Paris Diderot Available at https://tel.archives-ouvertes.fr/ Minh, T K., 2012 Fonctions dans un environnement numérique d’apprentissage: étude des apprentissages des élèves sur deux ans Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education, 12(3), 233-258 Minh, T K., 2012 Une approche expérimentale des fonctions avec le logiciel Casyopée Petit x, 88, 49-74 Ngô Thị Nhật Anh, 2013 Một cách tiếp cận hàm đại số đóng góp cơng nghệ Luận văn Thạc sĩ khoa học giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế Sfard, A., 1991 On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin Educational Studies in Mathematics, 22, 1–36 Slavit, D., 1997 An alternate route to the reification of function Educational Studies in Mathematics, 33(2), 259-281 Youschkevitch, A P., 1976 The concept of function up to the middle of the 19th century Archive for History of Exact Sciences, 16(1), 37-85 Thompson, P W., 1994 Students, functions, and the undergraduate curriculum In E Dubinsky, A H Schoenfeld, J J Kaput (Eds.), Research in collegiate mathematics education, I: Issues in mathematics education (Vol 4, pp 21 – 44) Providence, RI: American Mathematical Society ABSTRACT A modelling approach to the teaching and learning of functions and the contribution of technology This research refers to the teaching and learning of functions at the upper secondary level and the contribution of technology We proposed an approach to functions through the functional modelling of dependencies in physical systems We then analyzed the potential for the use of this approach in the teaching and learning of functions in the Casyopée learning environment integrating dynamic geometry and computer algebra Initial results suggest that this approach to functions can be used to promote students’ understanding of functions as models of covariation between two magnitudes in physical systems Keywords: Function, covariation, functional modelling cycle, technology, Casyopée 52 ... mơ hình tốn học Chúng tơi xem xét chu trình mơ hình hóa hàm khung lí thuyết cách tiếp cận hàm số mơi trường học tập có hỗ trợ công nghệ Cách tiếp cận hàm số cho 46 Một cách tiếp cận mô hình hóa. . .Một cách tiếp cận mơ hình hóa dạy học hàm số đóng góp cơng nghệ Dựa quan niệm "đồng biến thiên" hàm số [8] đề xuất cách tiếp cận xem hàm số “mơ hình quan hệ phụ thuộc”... mơ hình hóa hàm tình Ở Hệ vật lí ngữ cảnh tình Học sinh mong đợi dựng hình động với Casyopée để mơ hình hóa tình Việc dựng điểm M di động tia [Qx) 48 Một cách tiếp cận mơ hình hóa dạy học hàm số