Bài giảng Lý thuyết tín hiệu: Tín hiệu ngẫu nhiên - Võ Thị Thu Sương

Bài giảng Lý thuyết tín hiệu: Tín hiệu ngẫu nhiên cuing cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa, random signals, power spectral density, parameters and their physical meaning, signal transmission through linear systems,... Mời các bạn cùng tham khảo.

TÍN HIỆU NGẪU NHIÊN  Định nghĩa     Tín hiệu khơng đóan trước xuất Khơng thể mơ tả biểu thức tóan học Được mô tả lý thuyết xác xuất Được gọi “quá trình ngẫu nhiên”   Quá trình ngẫu nhiên gồm số hữu hạn biến ngẫu nhiên Ví dụ: x (t )  c o s ( 2 f c t   ), CuuDuongThanCong.com w h e re  is n d o m https://fb.com/tailieudientucntt 1.5 Random Signals  1.5.1 Biến ngẫu nhiên X(A)  Biến ngẫu nhiên đại lượng thực mà trị phụ thuộc vào biến cố ngẫu nhiên (để biến cố NN mơ tả cách định lượng) Ví du độ lệch viên đạn so với mục tiêu đại lượng phụ thuộc vào kết qủa lần bắn Sự phụ thuộc được biểu diễn quy luật xác suất gọi chung phân bố  Sự phân bố biến NN mô tả hàm mật độ xác suất PX(x) n o n -n e g a tiv e : p X (x)   n o r m a li z e d : -  e v e n t p r o b a b i li t y : CuuDuongThanCong.com p X ( x)dx  x2 P ( x1  X  x ) =  p X ( x )dx x1 https://fb.com/tailieudientucntt  Discrete pdf   p ( X  xi ) has the same properties (change integration to summation) Two important random variables and their pdf U n i f o r m r a n d o m v a r i a b le c o n tin u o u s p X ( x )  d is c re te : b  a , fo r a  x  b p ( X  xi )  M , fo r X  { x ,  , x M 1} G a u s s i a n ( n o r m a l) r a n d o m v a r i a b le p X (x)  CuuDuongThanCong.com 2  X  e (xm 2 X X ) https://fb.com/tailieudientucntt  Các thông số m ean: m X  E{ X }     xp X ( x)dx 2 v a ria n c e :  X  E { ( X  m X ) }  E { X 2 } mX ( v a r i a n c e = m e a n s q u a r e v a lu e - m e a n v a lu e s q u a r e )  Example:    Data bits are modeled as uniform random variable with two values Symbols are modeled as uniform random variable with M values Noise is modeled as Gaussian random variable with zero mean and non-zero variance CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.5 Random Signals event time 1.5.2 Random process: X(A,t)     Là hàm hai biến A, t time-domain signal waveform with some random event Usually written as X(t) by embedding A Stationary random process   Average parameters not depend on time We consider stationary random process (signal) only  Can usually be described conveniently only by average parameters  m ean: m S ta tio n a ry X (t )  E { X (t )}       m a u t o c o r r e la t i o n ( s t a t i o n a r y c a s e ) : CuuDuongThanCong.com X c o n s ta n t R X ( )  E { X ( t ) X ( t   ) } https://fb.com/tailieudientucntt  Example (Note: expectation/integration is conducted with random variable, not t) F i n d t h e m e a n a n d a u t o c o r r e la t i o n o f t h e r a n d o m p r o c e s s x (t )  c o s ( 2 f c t   ), w h e re   [0 , 2 ) is u n ifo rm n d o m S o lu t i o n : m X  E { x (t )}   x ( t ) f  ( ) d   2 0 c o s( 2 fc t   ) 2 d  R X ( )  E { x ( t ) x ( t   ) } =  = = 2 25 CuuDuongThanCong.com x ( t ) x ( t   ) f  ( ) d  c o s ( 2 f c t   ) c o s ( 2 f c t  2 f c   ) c o s ( 2 f c ) https://fb.com/tailieudientucntt 2 d  1.5.2.3 Autocorrelation    Defined by matching of a signal with a delayed version of itself Measure how closely a signal matches a shifted copy of itself Is a function of delay , not time t  Note for figure: Random process cos(2πfct+θ) does not look like noise CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt  1.5.4 Power Spectral Density (PSD)  PSD is FT{autocorrelation} IF T   Gx( f )   R x ( )  FT The only way for frequency-domain description of random signal (since FT{x(t)} does not exist) E x a m p le : F o r R x ( )  25 G x ( f )  F T { R x ( ) }  CuuDuongThanCong.com c o s (  f c ) , th e P S D is 25 [ ( f  f c )   ( f  f c ) ] PSD of random process 5cos(2πfct+θ) https://fb.com/tailieudientucntt  1.5.3 Parameters and their physical meaning   Mean & variance of random variable Mean, autocorrelation, PSD of random process m X : d c le v e l o f t h e s i g n a l 2 E{ X  X :  (t )} , R X (0 ), -  G X a v e g e s ig n a l p o w e r a v e g e p o w e r o f A C c o m p o n e n t F o r s i g n a ls w i t h o u t d c  i) m ( f )df : X  CuuDuongThanCong.com ii)  X z e r o - m e a n s i g n a ls  E{X ( t ) } e q u a ls a v e r a g e s i g n a l p o w e r https://fb.com/tailieudientucntt  1.5.5 Noise in communication systems  AWGN: additive white Gaussian noise     y(t) x(t) Additive: Noise is added (not multiplied) to the signal White: has constant PSD (equal power for all frequency) Gaussian: in every time-instant (sampling instant), the noise is Gaussian random variable n(t) S i g n a l m o d e l: z e r o -m e a n A W G N n ( t ) p r o p e r t i e s : i) P S D : iii) p d f: N Gn ( f )  i i ) A u t o c o r r e la t i o n : Noise is usually assumed zeromean AWGN CuuDuongThanCong.com y (t )  x (t )  n (t ) p(n)  w a tts /H z N0 R n ( )  2  https://fb.com/tailieudientucntt  e n 2  ( )   AWGN is a useful abstract noise model, although it is not practical due to infinite power In sampled process (discrete process), since δ(0)=1, we still have   2 N0  E{X }  Discrete zero-mean AWGN: power &2variance are both N0/2 AWGN PSD & Autocorrelation CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.6 Signal transmission through linear systems  1.6.1 Deterministic signals x(t) X(f)  h(t) y(t) H(f) Y(f) y (t )  x (t ) * h (t )     x ( ) h ( t   ) d  Y ( f )  X ( f )H ( f ) 1.6.2 Random signals  No Y(f), X(f) exist! But can use PSD y (t )  h (t ) * x (t )     Gy( f )  Gx( f ) H ( f ) CuuDuongThanCong.com x ( ) h ( t   ) d  https://fb.com/tailieudientucntt  1.6.3 Distortionless transmission & ideal filter  Distortionless transmission    Time-domain: only constant magnitude change & a delay Frequency domain: constant magnitude response and linear phase response y (t )  K x (t  t0 ), Y ( f )  Ke  j  ft Ideal filter: distortionless in passband H ( f )  H ( f )e   j ( f ) where X (f )  passband K H ( f )   s to p b a n d  0   ( f )   f t Example Input: AWGN with PSD G n ( f )  N / System: ideal lowpass filter with unit magnitude response in passband fu Then  N / , fo r  fu  f  fu the output PSD is Gy( f )   CuuDuongThanCong.com  0, O th e rw is e https://fb.com/tailieudientucntt Review: Analog Communications Amplitude modulation   main types, share similar modulator/demodulator AM: amplitude modulation DSB: double-sideband modulation B.P.F x(t) cos 2f c t SSB: single-sideband modulation y(t) modulator VSB: vestigial sideband modulation L.P y(t)  Frequency modulation (FM,PM) CuuDuongThanCong.com cos 2f c t x(t) demodulator https://fb.com/tailieudientucntt  1.7.1 DSB (Page 45-47, Page 1022)  D S B s i g n a l: xc (t )  x (t ) co s( 2 fc t )  D S B s p e c tru m : Xc( f )  [ X ( f  fc )  X ( f  f c )] x (t ), X ( f ) : m e s s a g e s ig n a l a n d s p e c tru m  D S B s ig n a l b a n d w ith = * m e s s a g e b a n d w id t h W D S B  2W x (t ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt  DSB demodulation L.P y(t) y (t )  xc (t ) : re c e iv e d s ig n a l cos 2f c t x(t) demodulator D e m o d u la t i o n o u t p u t i s : xˆ ( t )  y ( t ) c o s (  f c t ) lo w p a s s = x (t ) co s( 2 fc t ) co s( 2 fc t ) lo w p a s s = x (t ) =  [1  c o s (  f c t ) ] lo w p a s s x (t ) DSB is2 a main digital passband modulation technique CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tín hiệu dừng (t) tín hiệu dừng chặt nếu: E  f  ( t ),  ( t ),  ( t n )   E  f  ( t   ),  ( t   ),  ( t n   )  (t) tín hiệu dừng rộng nếu: E   t    const R  t , t   R  ;   t  t (t) tín hiệu Egodic nếu: (t) TH dừng rộng R  CuuDuongThanCong.com  lim T   T    t  * t    dt T https://fb.com/tailieudientucntt ... Biến ngẫu nhiên X(A)  Biến ngẫu nhiên đại lượng thực mà trị phụ thu? ??c vào biến cố ngẫu nhiên (để biến cố NN mơ tả cách định lượng) Ví du độ lệch viên đạn so với mục tiêu đại lượng phụ thu? ??c... https://fb.com/tailieudientucntt Tín hiệu dừng (t) tín hiệu dừng chặt nếu: E  f  ( t ),  ( t ),  ( t n )   E  f  ( t   ),  ( t   ),  ( t n   )  (t) tín hiệu dừng rộng nếu: E ... bắn Sự phụ thu? ??c được biểu diễn quy luật xác suất gọi chung phân bố  Sự phân bố biến NN mô tả hàm mật độ xác suất PX(x) n o n -n e g a tiv e : p X (x)   n o r m a li z e d : ? ?-  e v e