Bài tập xác suất và thống kê

ĐINH VĂN GĂNG BÀI TẬP XÁC SỎẤT VÀ THÓrỉQ KÊ (T i lấ n th ứ tá m ) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM • t Công ty CP Dịch vụ xuất bán Giáo dục Gia Định - Nhà xuất bán Giáo dục Việt Nam giữ công bô' tác phẩm 19 - 2010/C X B /337 - 224 4/G D Mã số ; 7K432mO - D A I LỜI NÓI ĐẦU Cuốn BÀI TẬP XÁC SUẤT VÀ THỐNG KẺ biên soạn Lí thuyết xác suất thống kẽ (Nhà xuất Giáo dục • 1999) nhàm giúp sinh viên việc tự học Về bản, thứ tự chương mục sách giống li thuyết, mục, hay chương không phân mục nhỏ, có phần tóm tảt li thuyết, vỉ dụ sau íập Các tập mẩu dạng vi dụ giải chi tiết có ghi thém cắn thiết Các tập phần lởn hướng dần giải, số có dần hay đáp số Đ ể rèn luyện k ĩ nàng giải toán càc bạn sinh vién nên cố gắng tự giải, thật cẩn tham khảo phần trả lời để kiểm tra Các bạn nên ỷ đến lập luận lời giải tập có dấu ' Chúng tòi xin cảm ơn Tiến s ĩ Vũ Thê Hựu đà góp ý kiến đóng gỏp để thảo tốt hơn, cảm ơn Nhà xuất Giảo dục đà tạo điều kiện dể sách sớm tới tay bạn đọc Xin trân trọng cảm ơn mong bạn đọc xa gắn góp ý bổ sung cho tài liệu hồn thiện TP Hó Chí Minh, tháng nâm 1999 T Á C GIẢ CHƯƠ NG I KHÔNG GIAN XÁC SU Á T §1 ĐẠI SỐ CÁC BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN A TĨM TẮT LÍ THUYẾT • Phép tỉìử hiểu thực số điều kiện Mỗi phép thứ có gắn với sò kết xảy Ta kí hiệu biên cò ngầu nhiên có liên quan đến phép thứ chữ in hoa A, B, c , Với biến cố có liên quan tới phép thử, ta phai kháng định rằng: Khi kết cua phép thử thực xảy hay khơng xảy • Ta gọi A, B đồng viết A = B, với kết cua phép thứ chúng xày khơng xảy • Sự khơng xuất A coi ỉà xuất “đối A*\ kí hiệu A' hay A • Sự xuất đồng thời A, B coi xuât cũa A qĩao /i, ki hiệu A n B, hay AB • Sự khơng thể’ xuất coi biến cố, gọi biến cô không có, kí hiệu ộ, hay V • A , ĩ ỉ đư ợc g ọ i X ỉ i ì ì g k h ắ c n h a u n u A B ~ • Sự xuất n h ất biến cô A, B coi xuất A hợp fì, kí hiệu A B Khi AB = (Ị) ta viết A + B thay cho A B • Sự chác chán xuất coi biến cố, gọi chác c/ỉa/ỉ kí hiệu Q, hay • Nếu xuất cũa A ln kéo theo xt ta nói A kéo theo B kí hiệu A c B b ỉ ời ì co cLÌa B thi Rỏ ràng A = B o A c B v B c A Mòt số tính chất: \C a) n A A ^ 1=1 ( n J Ạ i=l n Af V 1=1 b) ) i=i A(Bl>C) = ABuAC Au(BC) = (Al^BXAu C) • Họ biến cố ngẫu nhiên Ai, A^, A„ gọi họ đẩy n đủ chúng đôi xung khắc ^ A, = Q1=1 • Định nghĩa: A \B = AB^ • Một biến cố ngầu nhiên gọi phức hợp có thê biểu diễn dạng hợp hai biến khơng đồng nh ât với Một biến cò khòng phức hợp gọi biến sơ cấp Vậy biến phức hợp xuất iheo nhiều cách khác Biến cô sơ cấp xuất theo cách nhât Các biến cố sơ cấp đôi xung khắc Tập hợp biến cố sơ cấp p h é p t h g ọi l h h ô r t g g i a n c c h i ê n c ô Hơ c ấ p T a c ù n g k í h i ộ u Q • Khi không gian biến cố sơ cấp gồm hữu h ạn ph ần tứ biến cò ngẫu nhiên A biểu diễn cách n h ấ t dạng tòng cũa số (hữu hạn) biến sơ cấp thích hợp với Các hiến sơ cấp thường dược kí hiệu chữ e, hay to Sơ biến sơ cấp thích hợp với A kí hiệu n(A) Một số kết giải tích tơ hợp: • Cho dãy hcnj hạn phần tử ai, a-2, , 3n bi, b-2, , b„v Số cặp (aj, bk) khác từ hai dãy băng n X m Mở rộng, xét k dãy với số phần tử dãy tương ứng ĩii, 112, , Hk sò nhóm k í ) khác thành lập từ k dãy bàng Ị~Ịnj ị= \ • Số hốn vỊ dãy n phần tử n! • Cho tập hợp gồm n phần tử Mỏi tập k phần tử (1 < k < n) gọi tổ hợp chập k n phần tử Sô tố hợp châp k n phần tứ bàng = , , ■ k !( n -k ) ! • Mỗi nhóm k phần tử trùng nhau, không phán biệt thứ tự cứa tập n phần tử gọi tổ hợp lặp chập k n Sô tổ hợp lập chập k n ki hiệu ( ' , đó, Q I = J • Mỗi k phần tử có thứ tự, rút từ tập n phần tử gọi chinh hợp chập k cùa n, Sơ hợp chặp k cúa n = n(n-l)(n-2) (n- k+1) • Mồi nhóm k phần tử có thứ tự, trùng rút từ tập toàn thể gồm n phần tử gọi chỉnh hợp lặp chập k n Sô chỉnh hợp lặp chập k n = n*' B V I D Ụ Xét phép thử gieo xúc xắc lấn Hãy mô tả không gian biến cố sơ cấp c ủ a phép thử Tìm số n(A), n(B) với: a) A; "Tổng sô nốt xuất chia hết cho 3'’ b) B: 'Trị tuyệt đòi hiệu sổ nốt chẵn" GỈẢÌ Nêu ta kí hiệu (i, j) xúc xắc thứ n h ất xuất i nốt, xúc xắc thứ hai xuất j nốt biến cố sơ cấp cùa phép thứ cặp (i, j) với i, j = 1,6 Tức chinh hợp lặp chập cua Vậy Q = ij = 1.6 Ị a) A = {(ij)6Í2: i+j : = {(1,2), (2,1), (1,5), (5,1), (2,4) (4,2), (3,3), (3,6), (6,3), (4,5), (5,4), (6 ,6 ) Vậy n(A) “ 12 b) B =i j = 1.6 : |i - j| = 1(1,3), (1,5), (3,1), (5,1), (2,4), (2,6) (4.2k (6,2), (3,5), (5,3), (4,6), (6,4), (1,1), (2,2), (3,3), (4.4), (5,5), (6,6)1 Vậy: n(B) = 18 Bắn ba vièn đạn váo bia Gọi A,: “viên đ n thứ i trúng bia’ (i = 2, 3) Xét cá c biến cố ngẫu nhiên: A: “Có vién đạn trúng bia” B: “Có hai vièn đạn trúng bia" C: “Cả ba viên đ é u khòng trúng bia” D: “Hai viên sa u trúng bia" Hãy biểu diễn A, B c, D, A B, B\c qua cá c A,, (i = 1.2.3) GỈÁỈ A = AiA/Aa^’ + 4- Ai^'A2‘‘A:ì B= + AịA2*^A,3 + A]*^A.*A'Ì + AịA^A-ị c = ; D = AỊA2A3 + A ị *^AoA'ì = A^A^ Av^'B = A 1U A 2U A B \c = B (vì B c = ệ) Xét phép thử; "bán không hạn c h ế sò đạn vào bia cho đ ế n lân d ấ u tiên trúng bia thi dửng" Hảy mỏ tà khơng gian biến cò sơ cấp tương ứng Hãy hệ đáy đủ c c biến cố (ỈỊAỈ hiệu T: "viên âạn trúng bia ", T : “viên đạn khơng trúng bia” Vậy: íì = iT, T T, T T r T.-.í- Mỗi biến cố sơ cấp ứĩig với phép thứ nàv chữ T' chừ T cuối Dặt A: “Phải bắn nhiều hai lần” A"': “Phái bắn ba lần ’' Vậy A = |T,T‘T|; |A, A^'Ị hệ đầy đu Có bao nhíèu c c h xép r cáu khác vào n hộp biết rẳng hộp ch ứ a nhiéu c u ? GỈAỈ Mỗi cầu xếp vào n hộp, có thê coi sơ' cách xếp hết r cầu vào n hộp cách chọn r n hộp có thứ tự, có lặp lại Do sỏ cách xếp r cầu vào n hộp sơ hợp ỉặp chập r cùa a, nghĩa bằiig Cho sơ m ng điện nhu hình vẻ Nó gốm ngắt điện K bóng đèn Ai A2, A3 Việc mạng bị điện (B) hòng c c bóng đ è n hỏng ngắt điện Hãy biểu diễn B q u a A (I = ỉ.3) K đày A Bóng điện A bi hòng" K "Ngắt điện K bị hòng" UIAỈ Theo sơ đỏ trè n mạng bị inất điện (sự kiệu B xảy ra) trường hợp sau xảy ra; aì Ngắt điện K bị hỏng (không nối mạch được) độ đo (D) = diện tích (OIBC) = rr.a (H.2) Cây kim cắt đường th ẳ n g 0s X < MN= = /.sintp Vậy cá c biến cố sơ cấp thích hợp với A điểm {c|),x) thoa < X < /.sintp Chúng thuộc miền A c D, tạo đường X = 0, X = /.siiicp (phần có gạch chéo H.3) lĩ /.sintpciọ =21 Ta có mesíA) = (I \ĩr>/A ^mes(A) Vậy P(A) = - 21 - = mes(D) na 13V Hai tàu thủy c ặ p vào b ế n c ả n g c c h đ ộ c lập vòng ngày đém Biết thời gian đỗ lại c ả n g đ ể bốc dỡ hàng cùa táu thứ giờ, c ủ a tàu thứ hal Tìm xác s u ấ t đ ể hai táu phải chờ đ ể cậ p bến GỉAI Gọi X (giờ) t h i đ i ế m t u t h ứ n h ấ t cập b ế n y (giờ) thời điểm tàu thứ hai cập bến 0 í 5) 5] 23 PíB) c BÀI TẬP Một hộp có 20 vién bi ghi sò từ đến 20 Rút ngầu nhiên viên bi xếp theo thứ tự từ trái sang phái Tìm xác suất để: 26 a) sơ lập nên có chữ số, b) s ố lậ p n ê n có t ổ n g c h ữ s ố lă 10 Một hộp 12 bóng bàn có niàu trắng màu hồng Rút ngẫu nhiên lúc Tìm xác suất để: a) màu hồng, b) có inàu hồng, c) có n h â t màu hồng người toa tàu điện cách ngẫu nhiên Tim xác s u ấ t đế; a) người lên toa số b) người lên 1, toa, c) người lên toa khác Các chữ số viết lên mảnh bìa giống Iihau Chọn ngẫu nhiên iần lượt 2mảnh bìa ghép lại theo thứ tự từ trái qua phải Tìm xác suất để sơ chọn là: a) sô chần, b) sô chia hết cho 5 Một khối gỗ hình lập phương sơn màu mặt Sau cưa th n h 1000 khối nhỏ a) Lây ngầu nhiên khối Tim xác suất đế lấy khối có sơn mặt b) Lấy ngẫu nhiên lúc khối nhỏ Tìm xác suất để diíơc hai khối có m ăt sơn màu n người xếp ngẫu nhiên th n h hàng thăng Tìm xác suất để giừa hai người định trước có r người khác (r < II - 2) Hãy xét trường hợp họ xếp th n h vòng tròn 27 Bó ngầu nhiên thư vào phong bì ghi sần (lịa chi Tìm xác suàt dế a) cá thư đên clúng người nhận b) có thư đến người nhận c) thư thứ n h át thứ hai đến dứng người nhặa Một hộp đựng 12 q cầu kích thước, có cáu xanh, cầu đen cầu trắng Chọn ngẫu uhièn lúc cầu Tìm xác suât đê cầu chọn có: a) cầu màu, b) cầu tráng, c) cầu trắn g cầu đen Một lớp học có 20 sinh vièn có giỏi, khá, trung bình yếu Chọn ngầu nhiên lúc người Tìm xác suát để; a) ba học yếu, b) có học sinh giỏi, c) ba người học lực khác uhau 10 Một nhóm 10 người có nừ chia ngảu nhiéii th n h nhóm nhỏ Tìm xác suất đè ĩiìổi nhóm có nam, nữ 11 * Có k cầu xếp ngẫu nhiên vào n hộp (k < n) Tìm xác suất đế k hộp xác định trước mồi hộp chứa cầu khi: a) cầu phân biệt, b) cá c q u ả c ầ u k h ô n g p h â n b i ệ t (inà chi c h ú ý đ é n sỏ lượng cáu) 12 Một đường cáp điện thoại ngầm nối tống đài với mội írạiiì cách Ikm Tính xác suất để cáp bị hóng nơi cách tổng đài không 600m 28 13 Tim xác suất dế phương trình X" + 2ax + b = có nghiệm t h ự c n ế u c c h ệ sơ a, b có c ù n g k h n n g c h ọ n t r o u g m i ề n la l < íbỉ < 14 Trèn niột đường tròn bán kính R có điếm A cố định, chọn ngẫu nhiên điểm M Tìm xác suất đê điếm cách A khơng q u R 15"^ Một rạp hát có n chỗ ngồi đả bán hết vé Các k h áa giả vào ngồi ngẫu nhiên Tìm xác suất đê khơng có khán giả ngồi vị trí ghi trẽn vé 16* Có 2a người xếp hàng trước quầy vé mua vé vào xem hát 11 người có tiền 10 ngàn đồng, n người khác có tiền 20 ngàn đồng Mỗi người chí mua vé 10 ngàn đồng Trước bán vé quầy vé tiền Tìm xác st để khơng phải chờ trá tiền lại 17"^ (Bài t o n B a n a c h ) Một nhà toán học có bao diêm mồi bao có n que diêm Òng đế bên túi áo bao Khi cần óng rút ngẫu nhiên bao lấy que diêm đế đánh lửa Tìm xác suất đế ơng p h át bao đá hết diêm bao k q u e d i ê m , k - 0,11 §3 XÁC SUẤT ĐIỂU KIỆN, ĐỘC LẬP NGẪU NHIÊN A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Cho khơng gian xác suất (Í 2, P) Đ ịnh n gh ĩa G i ả 3Ử B Ih b i ế n c ố Iig ẫ u n h i ê n 3UO c h o P ( B ) > , A c (ló P(A/B) = P(AB) P(B) ( 1) Khi ơoi xác suàt điểu kiện A với điều kiện B 29 Trong lược đồ định nghĩa cố điển n(B) C ôn g th ứ c n h ân Cho |A|, A2, , Anl P(AjA An 1) > , đó: họ biến cô ngẫu nhiên cho P(AiAv A„) = P(A]) PíA^/A])P{A.ị/A iA2) P(A„/Ai A,i_ị ) C ơng th ứ c x c su ấ t to n p h ần • Giả sử |Bj, B 2, dưcmg Khi VA e Bnl hệ đầy đủ biến cò có xác suất P(A) = J]P (B )P (A /B , ) 1=1 n CHÚ Ỷ: Nếu |Bi, B 2, Bnl đôi xuiig khắc A c B, 1=1 th ìP (A )= ^ P ( B ,) P ( A / B ,) 1= C ôn g th ứ c x c suâ't g ỉả t h iế t (B ayès) Nếu A biến có xác suất dương, IBị , Bnỉ hệ đủ biến cò có xác suất dương với mồi j = 1,11 ta có P(Bj)P(A/Bp P (B /A ) = ^P (B ,)P (A /B ) 1= DỊnh n gh ĩa cz đư ợc g ọ i l đ ộ c lập n ê u x c s u â t c ủ a nvộl giao hữu hạn biến cố tích xác suất cùa biên I ^ p b i ê n Nếu 30 - IA,BI, ta có độc lập P(AB) = P(A).P(B) = iA,BtCl, ta có Nếu dộc lập nếu: P(AB) = P(A).P(Bì P(AC) = P(A).PíC) P(BC) = P(B).P(C) L P(ABC) = P(A).PíB).P(C) • Trong điều kiện P(B)>0 ta có A, B độc lập P(A/B) = P(A) • Nếu lA, BI độc lập lA, B'ị độc lập • Nếu lAi, Av, , An! độc lập họ lAi, A2, , A„-1, I độc lập DỊnh n g h ĩa ơ-đại sô ^ \ / n Ị~Ị P ( B j) với bát kì B i , i-1 độc lập / i = l/n 1=1 • Họ vơ h n ịĩỉỉĩn, n > II ơ-đại sô họ hữu hạn độc lập độc lập B VÍ DỤ xuất gấp c ủ a máy p h ẩ m chọn Một lô s ả n p h ẩ m gốm hai loại, số s ả n phẩm máy sản lấn s ố m áy s n xuất Tỉ lệ ph ế p hẩm c ủ a máy 0,02 vá 0.03 Lấy n g ẫ u nhién s ả n phẩm Tìm xác su ấ t đ ể sản tốt GIAI Đặt A: "Sán phẩm chọn tơt" R,- 'San phẩm chọn máy i ííản xuât", íi = 1,2) Theo già th iế t P(Bj) = ? , P(B 2) = - , IBi, B 2I hệ đầy đủ Từ 3 còng thức xác suất tồn phần, ta có; 31 F(A) = P(B|)P(.VB,) + P(Bv)P(A/H,) = ^ • 0,98 + [ 0.97 ^ 0.977 3 Có h hộp hộp đựng bi tráng bi đen; hộp dưng bi trảng bi đen, cá c vién bi cúng kích íhúơc Lảy ngầu nhién bi tử hộp bỏ s a n g hộp rối s a u lấy ngầu nhièn bi từ hộp Tìm xác su ấ t để bi iấy s a u có bi trắng GỈÁI Đặt: A: ‘T ro n g bi lấv sau từ hộp có bi tră n g ” B,: “Trong bi bó từ hộp sang hộp có i bi trắn g ” (i = , ) Theo còng thức xác suất tồn phần ta có: P(A) = P(B„)P(A/Bo) + P(Bi)P(A/Bi) -f PíB,)P(A/B,) C2 - C ị ^3 10 '-'12 /^2^1 r f^2 '-'10'-'12 36.3 8.2 45.2 45 220 " 45 22Õ 15 ^2 (-^2 ì f->2 f^3 '^10 '-'12 28 55 45 220 Một hộp đựng 15 quà bóng bàn đo có Lán đáu người ta láy ngẫu nhìèn đ ể thi đấu, sau lại trả vào hộp Lấn hai lấy ngẫu nhiên Tìm xác su ã t để cà lấy lán s a u đ ế u G ỉ AI Đặt A: “Cá lấv lần sau mới” B,; “Trong láy để thi đấu có i mới” (1 = , , , Rõ ràng hệ jBj,i = 0.3| đầy đù, có xác suất dương, theo mệnh đề 1.3.2 (còng thức xác st tồn phần) ta có: 32 ồ) P(A) = P(B„)P(A/I3„) +P(B,)P(A/B,) + P(B2)P(A/B,)+P(B;,)P( A/lỊj) ^3 ^6 ^ ỉ5 ^-9 V-s ^ j ^ í'~'^ ^ i? ^15 ^ ^ ^15 ^'15 ^ i? (20.84 + 135.56 + 216.35 + 84.20) ^15 ^15 ^ 207.025 18.480 207.025 Trong 18 xạ thủ có người có khả bắn trúng bia với xác suất 0.8; người có khả náng bán trúng với xác suất 0.7; người có khả bắn trúng với xác suất 0.6 người bắn trúng với xác suất 0,5 Chọn ngẫu nhiên xạ thủ bắn khơng trúng đích Hỏi anh ỉa có khả thuộc nhóm nhiéu hơn? GIA ỉ Đế xét xem khả nảng xạ thủ bắn khòng trúng mục tiêu thuộc nhóm nhiều ta cần xét xác suât điều kiện P(B,/A) nhờ công thức Bayès A: ''Xạ thủ dược chọn bắn không trúng mục tiêu” B,: “Xạ thù chọn thuộc nhóm thứ i” (i = 1,4) Trước hết ta tính P(A) theo 1.3.2; với hệ đầy đủ {B„ i = 1,4 í P(A)= P(Bi)P(A/Bi) + P(B.^)P(A/B2) + P(B.,)Pí A/B:í )+P(B4)P(A/B4) ^ 0,2 + ^ ■0,3 + ^ 0,4 + — 0,5 * 0,317 18 18 18 18 P(B j/A) = p