Bài tập xác suất 1. Một phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu abc , , . Giả sử rằng P a c , 0.75 và P b c , 0.6 . Tím xác suất của các biến cố sơ cấp. 2. Hộp 1 gồm 15 bóng đèn trong đó có 5 cái bị hỏng. Hộp 2 gồm 12 bóng trong đó 3 cái bị hỏng. Ta rút ở hộp 1 ra 2 bóng và ở hộp 2 ra 3 bóng. Tính xác suất trong 5 bóng rút ra có 4 bóng hỏng. 3. Giả sử có m sinh viên sinh năm 1992 đang tham dự giờ giảng. Tìm xác suất ít ra có 2 sinh viên trùng ngày sinh và chứng tỏ rằng p 0.5 khi m 23. 4. Xét một mạch điện như hình vẽ. Các công tắc đóng hoặc mở với khả năng như nhau. Tìm xác suất để có ít ra một đường dẫn giữa 2 đầu nối A và B. 5. Một hộp chứa 3 bi trắng, 7 bi đỏ và 15 bi xanh. Một hộp khác chứa 10 bi trắng, 6 bi đỏ và 9 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi. a) Tính xác suất hai viên bi lấy ra có cùng màu. b) Xác suất hai viên bi đó khác màu bằng bao nhiêu ? 6. Một hộp bóng bàn gồm 18 quả bóng mới. Hôm nay người chơi lấy ra 3 quả để chơi, chơi xong lại bỏ vào hộp. Ngày mai họ lại lấy ra 3 quả để chơi. Tính xác suất 3 quả lấy ra ở ngày thứ hai có cả bóng mới và bóng cũ. 7. Mỗi lần nguồn phát phát đi tín hiệu thì bộ thu nhận được tín hiệu đó với xác suất là 0.7. a) Tính xác suất bộ thu nhận được tín hiệu nếu nguồn phát phát tín hiệu đó 2 lần. b) Cần phát tín hiệu đó mấy lần để xác suất thu được là trên 99%. 8. Một đoàn tàu có 6 toa, có 7 khách lên tàu. Biết rằng mỗi người chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất một toa có 3 người và hai toa khác mỗi toa có 2 người. 9. Tàu hỏa và xe bus tới ga tại một thời điểm ngẫu nhiên từ 9 đến 10 giờ. Tàu dừng trong 10 phút còn xe bus dừng a phút. Tìm a để xác suất xe khách và tàu hỏa gặp nhau bằng 0.5. 10.Một máy bay có ba bộ phận A, B, C với tầm quan trọng khác nhau. Máy bay sẽ bị rơi nếu bị trúng một viên đạn vào A, hoặc 2 viên vào B, hoặc 3 viên vào C. Giả sử các bộ phận A, B, C lần lượt chiếm 10%, 25% và 65% diện tích máy bay. Tính xác suất máy bay bị rơi khi bị trúng a) Hai viên đạn. b) Ba viên đạn. 11.Giả sử với xác suất bằng 0.1 một thủ môn đẩy được bóng khi bị phạt 11 mét. Tính xác suất thủ môn đó đẩy được ít nhất 1 quả trong số 5 quả đá phạt 11 mét. 12.Có hai loại máy bay: 2 động cơ và 4 động cơ. Giả sử xác suất để mỗi động cơ bị hỏng là p (các động cơ hỏng độc lập với nhau). Máy bay vẫn hoạt động được nếu có không quá một nửa số động cơ bị hỏng. Với giá trị nào của p thì máy bay 2 động cơ an toàn hơn máy bay 4 động cơ ? 13.Một công ty xuất khẩu một lô hàng gồm 20000 bộ quần áo may sẵn. Nhà nhập khẩu kiểm tra ngẫu nhiên 50 bộ, nếu có không quá 1 bộ lỗi thì chấp nhận. a) Tính xác suất lô hàng được chấp nhận. Biết rằng trong lô hàng đó có 300 bộ bị lỗi.
Tạ Ngọc Ánh –0913 006 814 (09/8/2017) Bài tập xác suất Một phép thử ngẫu nhiên có khơng gian mẫu a, b, c Giả sử P a, c 0.75 P b, c 0.6 Tím xác suất biến cố sơ cấp Hộp gồm 15 bóng đèn có bị hỏng Hộp gồm 12 bóng bị hỏng Ta rút hộp bóng hộp bóng Tính xác suất bóng rút có bóng hỏng Giả sử có m sinh viên sinh năm 1992 tham dự giảng Tìm xác suất có sinh viên trùng ngày sinh chứng tỏ p 0.5 m 23 Xét mạch điện hình vẽ Các cơng tắc đóng mở với khả Tìm xác suất để có đường dẫn đầu nối A B A B Một hộp chứa bi trắng, bi đỏ 15 bi xanh Một hộp khác chứa 10 bi trắng, bi đỏ bi xanh Lấy ngẫu nhiên hộp viên bi a) Tính xác suất hai viên bi lấy có màu b) Xác suất hai viên bi khác màu ? Một hộp bóng bàn gồm 18 bóng Hôm người chơi lấy để chơi, chơi xong lại bỏ vào hộp Ngày mai họ lại lấy để chơi Tính xác suất lấy ngày thứ hai có bóng bóng cũ Mỗi lần nguồn phát phát tín hiệu thu nhận tín hiệu với xác suất 0.7 a) Tính xác suất thu nhận tín hiệu nguồn phát phát tín hiệu lần b) Cần phát tín hiệu lần để xác suất thu 99% Một đồn tàu có toa, có khách lên tàu Biết người chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất toa có người hai toa khác toa có người Tàu hỏa xe bus tới ga thời điểm ngẫu nhiên từ đến 10 Tàu dừng 10 phút xe bus dừng a phút Tìm a để xác suất xe khách tàu hỏa gặp 0.5 10 Một máy bay có ba phận A, B, C với tầm quan trọng khác Máy bay bị rơi bị trúng viên đạn vào A, viên vào B, viên vào C Giả sử phận A, B, C chiếm 10%, 25% 65% diện tích máy bay Tính xác suất máy bay bị rơi bị trúng a) Hai viên đạn b) Ba viên đạn 11 Giả sử với xác suất 0.1 thủ mơn đẩy bóng bị phạt 11 mét Tính xác suất thủ mơn đẩy số đá phạt 11 mét 12 Có hai loại máy bay: động động Giả sử xác suất để động bị hỏng p (các động hỏng độc lập với nhau) Máy bay hoạt động có không nửa số động bị hỏng Với giá trị p máy bay động an toàn máy bay động ? 13 Một công ty xuất lô hàng gồm 20000 quần áo may sẵn Nhà nhập kiểm tra ngẫu nhiên 50 bộ, có khơng q lỗi chấp nhận a) Tính xác suất lơ hàng chấp nhận Biết lơ hàng có 300 bị lỗi Tạ Ngọc Ánh –0913 006 814 (09/8/2017) b) Nếu muốn xác suất chấp nhận khơng 95% lơ hàng phép có tối đa lỗi? c) Nếu doanh nghiệp để 300 lỗi lô hàng mong muốn lô hàng chấp nhận với xác suất 95% cần đàm phán với nhà nhập để họ giảm số kiểm tra xuống ? 14 Cho A B hai biến cố ngẫu nhiên có P( A) 0.6, P( B) 0.8, P( AB) 0.5 Hãy tính xác suất a) P( A | B), P(B | A), P( A | B), P(B | A) b) Có hai biến cố A, B xảy c) Có biến cố hai biến cố A, B xảy 15 Một hộp chứa bi đỏ, bi xanh bi trắng Hai người lấy bi, người viên Chỉ khả lấy bi xanh hai người 16 Có thùng chứa 19 viên bi có viên bi xanh 10 viên bi đỏ Hai người chơi trò chơi sau: Mỗi người lấy viên bi, lấy bi đỏ người thắng cuộc, hai người lấy bi xanh lấy bi đỏ hòa Hãy kiểm tra xem người lấy trước hay người lấy sau có lợi 17 Vừa có vụ án xảy ra, cảnh sát nghi ngờ có tình tiết xảy vụ án Bình thường, 30% số vụ án tương tự vụ án xảy tình tiết Họ mời nhân chứng đến lấy lời khai (độc lập với nhau) Biết hai nhân chứng nói có thấy tình tiết xảy Hãy tính xem vụ án này, xác suất xảy tình tiết bao nhiêu? Giả sử nhân chứng nói với xác suất 95% 18 Có đồng tiền, cân đối, có mặt sấp Rút ngẫu nhiên đồng tiền, tung lần mặt sấp Tím xác suất đồng tiền rút đồng tiền cân đối 19 Xét phép thử tung súc sắc cân đối a) Tìm xác suất mặt cho số chấm giống b) Tìm xác suất mặt cho số chấm giống biết tổng số chấm không 20 Tỷ lệ phế phẩm nhà máy 5% Người ta dùng thiết bị kiểm tra tự động để loại phế phẩm Tỷ lệ sai sót thiết bị với phế phẩm 2% với phẩm 1% a) Tính tỷ lệ phế phẩm nhà máy sau dùng thiết bị kiểm tra b) Tìm tỷ lệ sản phẩm nhà máy bị thiết bị kết luận nhầm 21 Qua điều tra cặp vợi chồng, người ta thấy có 30% số bà vợ, 50% số ông chồng thường xem kênh thể thao, song thấy vợ xem tỷ lệ chồng xem 60% a) Tìm tỷ lệ cặp vợ chồng thường xem kênh thể thao b) Tìm tỷ lệ cặp vợ chồng mà chồng xem vợ xem c) Tìm tỷ lệ cặp vợ chồng mà chồng khơng xem vợ xem 22 Một người làm theo hai đường với tỷ lệ 40% số ngày qua cầu, 60% số ngày qua đường ngầm Nếu qua đường ngầm có 75% số ngày trước tối, qua cầu có 70% số ngày trước tối a) Tìm tỷ lệ số ngày làm trước tối b) Nếu hôm làm sau tối xác suất qua cầu bao nhiêu? 23 Một két sắt có khóa điện tử hoạt động độc lập Xác suất khóa bị hỏng khoảng thời gian tương ứng 0.001, 0.002 0.003 a) Lập bảng phân bố số khóa bị hỏng b) Xác suất khơng mở két ? Tạ Ngọc Ánh –0913 006 814 (09/8/2017) 24 Có bệnh nhân mà bác sỹ chẩn đoán mắc bệnh A với xác suất 70%, mắc bệnh B với xác suất 30% Để có thêm thơng tin chẩn đốn, bác sỹ cho xét nghiệm sinh hóa Sau lần xét nghiệm thấy có lần dương tính, biết khả dương tính lần xét nghiệm với bệnh A B tương ứng 10% 30% Hãy cho biết nên chẩn đoán bệnh nhân mắc bệnh nào? 25 Một máy bay xuất vị trí A với xác suất 3/5 vị trí B với xác suất 2/5 Có hai phương án bố trí bốn pháo bắn máy bay sau: Phương án A B Phương án 2 A B Tìm phương án tốt hai phương án Biết pháo hoạt động độc lập xác suất bắn trúng 0.75 26 Hai nhà máy sản xuất linh kiện giống Nhà máy sản xuất 1000 linh kiện, có 30 linh kiện hỏng Nhà máy sản xuất 2000 linh kiện, có 80 linh kiện hỏng Chọn ngẫu nhiên linh kiện thấy bị hỏng Tìm xác suất nhà máy sản xuất 27 Lơ hàng 250 chip bán dẫn có chứa 20 chíp bị hỏng Lần lượt chọn ngẫu nhiên (khơng lặp lại) a) Tính xác suất thứ bị hỏng b) Xác suất thứ bị hỏng ? c) Tính xác suất để bị hỏng 28 Trong cộng đồng, tỷ lệ người mắc bệnh A 0.1 Người ta tiến hành xét nghiệm T lần để tìm người bị bệnh Một người khơng có bệnh xét nghiệm cho kết âm tính với xác suất 0.95 Một người có bệnh xét nghiệm cho kết dương tính 0.99 a) Tìm tỷ lệ xét nghiệm cho kết dương tính b) Tìm tỷ lệ bệnh nhân bị kết luận nhầm xét nghiệm c) Nếu xét nghiệm cho kết dương tính xác suất bệnh nhân mắc bệnh bao nhiêu? d) Nếu xét nghiệm hai lần tỷ lệ bệnh nhân bị kết luận nhầm bao nhiêu? 29 Xét thí nghiệm ném phi tiêu vào bia hình tròn bán kính đơn vị Gọi X biến ngẫu nhiên khoảng cách từ điểm phi tiêu chạm vào bia tới tâm bia Giả sử phi tiêu rơi vào bia chạm vào điểm bia với khả Tìm P( X a), P(a X b) a b 30 Một nguồn thông tin sinh tín hiệu chữ a, b, c, d cách ngẫu nhiên với xác suất P(a) 1/ 2, P(b) 1/ 4, P(c) P(d ) 1/ Các tín hiệu mã hóa thành mã nhị phân sau: a b 10 c 110 d 111 Gọi X biến ngẫu nhiên độ dài mã (số chữ số 0,1 mã) Lập bảng phân bố X 31 Một công nhân phụ trách máy dệt tự động Trong giờ, xác suất máy cần điều chỉnh 0.1, 0.2 0.3 Gọi X số máy cần điều chỉnh Lập bảng phân bố xác suất X Tính kỳ vọng X 32 Có lơ sản phẩm, lơ thứ có phẩm phế phẩm, lơ thứ hai có phẩm phế phẩm Từ lơ thứ lấy ngẫu nhiên sản phẩm bỏ vào lô thứ hai, từ lô thứ hai lấy ngẫu nhiên sản phẩm a) Lập bảng phân bố xác suất số phẩm lấy (X) b) Tính kỳ vọng, phương sai độ lệch chuẩn X c) Viết biểu thức hàm phân phối xác suất số phẩm lấy Tạ Ngọc Ánh –0913 006 814 (09/8/2017) 33 Xét biến ngẫu nhiên X có phân bố chuẩn với tham số 1, Viết hàm mật độ X tính xác suất P( X 0), P( X 0.5), P(2 X 1) 34 Có dây chuyền sản xuất điện trở 1000-ohm () Các điện trở sản xuất coi đạt tiêu chuẩn trị số sai lệch không 10% Ký hiệu X trị số điện trở Giả sử X có phân bố chuẩn với trung bình 1000 phương sai 2500, tìm tỷ lệ điện trở sản xuất mà đạt yêu cầu dây chuyền 35 Biết đĩa nhạc sản suất công ty A bị hỏng với xác suất 0.01 Công ty bán đĩa thành lô 10 với lời đảm bảo thay lô lơ có q đĩa bị hỏng Tìm xác suất để lơ rút bị thay a 36 Cho f ( x) x 0 a) b) c) d) x 1;1 x 1;1 Tìm a để f ( x) hàm mật độ xác suất bnn X Tính kỳ vọng, phương sai X Tìm hàm phân bố X Tính P(0 X 0.5) k x 1 0 x 37 Cho bnn X có hàm mật độ: f x otherwise a) Tính kỳ vọng, phương sai bnn Y X b) Tìm hàm phân bố F(x) c) Tính P( X 1.5 | X 1) a.(4 x ) x [-2;2] 38 Cho X bnn có hàm mật độ f ( x) x [-2;2] 0 Tìm hàm phân bố xác suất X Tính kỳ vọng, phương sai độ lệch chuẩn X Tính P(1 X 1) Quan sát lần X Tính xác suất lần X nhận giá trị âm Cho Y | X | Hãy tính kỳ vọng phương sai Y Tìm hàm mật độ Y Quan sát X đến giá trị lớn dùng lại Gọi Z số lần phải quan sát Lập bảng phân bố xác suất Z h) Tìm số lần quan sát trung bình để đạt yêu cầu a) b) c) d) e) f) g) 39 Cho X bnn có hàm phân bố F ( x) k a) b) c) d) arctan x Tìm k Tìm hàm mật độ X Tính P(0 X 3) X có kỳ vọng khơng? Tại sao? Tạ Ngọc Ánh –0913 006 814 (09/8/2017) 40 Một thiết bị có tuổi thọ (năm) biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ dạng k x3e x x f ( x) x 0 a) Tìm k, tính tuổi thọ trung bình thiết bị xác suất thiết bị hỏng năm đầu làm việc b) Nếu biết sau năm đầu làm việc thấy thiết bị hoạt động tốt xác suất thiết bị bị hỏng năm ? c) Trong năm làm việc, người ta dùng thiết bị để dự phòng thiết bị (cũng mới) Tính xác suất hai thiết bị bị hỏng chưa hết năm làm việc x 0 41 Cho hàm số F ( x) ( x 2) x 1 x a) b) c) d) e) Chứng tỏ F(x) hàm phân bố xác suất bnn X Tìm hàm mật độ X Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn median X Tính P(| X | 1) Tìm hàm mật độ Y X x (0; 2) 0 42 Cho f ( x) a.x x (0;1) b.( x 2) x [1;2) a) Tìm a b để f ( x) hàm mật độ xác suất bnn X b) Tìm hàm phân bố X c) Biết kỳ vọng X Hãy tính phương sai độ lệch chuẩn X d) Tính P(1 X 2) e) Với a, b tham số, xác định a, b để phương sai X bé Tìm giá trị phương sai 0 43 Tuổi thọ (năm) thiết bị biến ngẫu nhiên có hàm mật độ f ( x) kx x3 x x a) Tìm tuổi thọ trung bình thiết bị b) Tìm tỷ lệ thiết bị bị hỏng năm đầu vận hành c) Nếu biết thiết bị hoạt động năm xác suất bị hỏng năm bao nhiêu? d) Một quan trang bị 10 thiết bị làm việc, tính xác suất sau năm làm việc tất thiết bị bị hỏng 44 Cho X biến ngẫu nhiên có hàm mặt độ f ( x) phân bố Y min{1,| X | } Tìm kỳ vọng, phương sai hàm (1 x ) Tạ Ngọc Ánh –0913 006 814 (09/8/2017) kx 2 x 45 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ là: f ( x) x 0 a) Tìm số k , hàm phân bố X P( X 3) b) Tìm hàm mật độ biến ngẫu nhiên Y X c) Tính kỳ vọng phương sai Y 46 Cân nặng gói đường (đóng tự động máy) biến ngẫu nhiên X có phân bố chuẩn với trung bình 1012 gam Trong 1000 gói có 70 gói nặng 1015 gam Hãy ước lượng xem độ lệch chuẩn X có % số gói đường có cân nặng 1008 gam 47 Người ta phát tiểu thuyết có 13.5% số trang khơng có lỗi đánh máy số lỗi đánh máy trang tuân theo phân bố Poisson Tìm số lỗi trung bình trang tỷ lệ số trang có khơng q lỗi đánh máy 48 Trong thành phố có 46% dân số 30 tuổi Chọn ngẫu nhiên 100 người Tính xác suất có hơn nửa số người mẫu có tuổi 30 Xác suất ta chọn mẫu gồm 225 người? 49 Tỷ lệ người tham gia giao thơng khơng có lái xe 20% Kiểm tra ngẫu nhiên 10 người a) Tìm xác suất để có nhiều người khơng có lái xe b) Số người khơng có lái xe có nhiều khả xảy bao nhiêu? 50 Theo báo cáo tỉnh miền núi, tỷ lệ hộ gia đình có thu nhập 1triệu đồng/ tháng 1% Điều tra ngẫu nhiên 500 hộ gia đình a) Tìm xác suất để có tối đa hộ có thu nhập triệu đồng/ tháng b) Biết có tối đa hộ có thu nhập triệu đồng/ tháng Tìm xác suất để có hộ có thu nhập triệu đồng/ tháng 51 Gọi X trọng lượng loại sản phẩm đóng gói tự động Biết trọng lượng trung bình sản phẩm 10kg, độ lệch chuẩn trọng lượng 0.05kg a) Tìm tỉ lệ sản phẩm có trọng lượng sai lệch so với trọng lượng trung bình khơng q 50g b) Tìm xác suất để chọn ngẫu sản phẩm, sản phẩm có trọng lượng 10.1kg c) Nếu chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm từ lô hàng máy đóng gói Tính xác suất để có từ 70 đến 80 sản phẩm có trọng lượng sai lệch so với trọng lượng trung bình khơng q 50g 52 Một máy đếm đặt gần nguồn phóng xạ Biết xác suất hạt phát từ nguồn phóng xạ ghi lại máy đếm 104 Giả sử thời gian quan sát có 40 000 hạt phát từ nguồn phóng xạ a) Tính xác suất máy đếm ghi hạt b) Tính số hạt mà nguồn phóng xạ cần phát cho với xác suất hớn 0.945 máy đếm ghi khơng hạt 53 Biết X biến ngẫu nhiên có kỳ vọng phương sai 0.04 Chỉ P(0.5 X 1.5) 0.84 P(0 X 2) 0.96 54 Cho biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) có phân bố sau: Y -1 X Tạ Ngọc Ánh –0913 006 814 (09/8/2017) -2 0.04 0.07 0.02 0 -1 0.02 0.14 0.06 0.07 0 0.17 0.12 0.08 0.06 0 0.09 0.04 0.02 a) Tìm phân bố xác suất X Y b) Tính P( X Y ) c) Tìm phân bố xác suất X Y Tính giá trị trung bình X Y d) Xét tính độc lập X Y e) Tính hệ số tương quan X Y 55 Hai xạ thủ A B độc lập bắn vào bia Xác suất bắn trúng người tương ưng 0.6 0.7 Xạ thủ A bắn viên, xạ thủ B bắn viên Gọi X Y tương ứng số viên bắn trúng A B a) Tìm phân bố xác suất X Y Tìm số viên đạn trung bình mà người bắn trúng b) Tính xác suất có viên đạn trúng bia 56 Cho vector ngẫu nhiên (X, Y) có hàm mật độ f ( x, y ) a) b) c) d) e) f) a (16 x )(25 y ) Tìm số a Tìm hàm phân bố (X, Y) Tính P(4 X 3,0 Y 5) Tìm hàm mật độ X Y Xét tính độc lập X Y Tìm hàm mật độ điều kiện f ( x | y) f ( y | x) a.( x y ) 57 Cho (X, Y) có hàm mật độ f ( x, y ) 0 x, y [0;1] otherwise a) b) c) d) e) Tìm a Tìm hàm mật độ X Y Tính hệ số tương quan X Y Tính P( X Y ) Quan sát cặp (X, Y) X 2Y Tính xác suất phải quan sát đến lần thứ f) Tìm hàm mật độ Z X Y g) Tính P( X Y 1) h) X Y có độc lập không? a x y 0 otherwise 58 Cho vector ngẫu nhiên (X, Y) có hàm mật độ f ( x, y) a) Tìm a b) Tính P( X Y 1) c) Tính hệ số tương quan X Y, X Y có độc lập khơng? Tạ Ngọc Ánh –0913 006 814 (09/8/2017) 59 Một người làm xe buýt Hàng ngày bến xe khoảng thời gian từ 7h đến 7h10 Thời gian xe chạy từ bến đến quan khoảng 30 đến 40 phút Biết 15 phút lại có chuyến xe buýt qua bến (thời gian chờ đợi xe từ đến 15 phút) Giả sử X thời gian đến bến, Y thời gian chờ xe Z thời gian xe chạy có phân bố Tính xác suất đến quan trước 8h 60 Cho X Y hai biến ngẫu nhiên có EX 35, EY 20, DX 36, DY 16 ( X , Y ) 0.8 Hãy tính kỳ vọng phương sai Z X 3Y 61 Xác suất hạt giống nảy mầm 80% Gieo 200 hạt giống Tính xác suất có 150 hạt nảy mầm 62 Cho biến ngẫu nhiên X Y độc lập, giả sử X ~ N(2;0,09), Y có phân bố mũ với λ = 1/5 Tính: a) E 3 X 2Y , D 3 X 2Y b) Cov(2X 3Y , X Y ) c) P(1 X 2, Y 1) d) P( X Y 1) a( x y ) x, y 0 otherwise 63 Cho X, Y bnn có hàm mật độ đồng thời f ( x, y ) a) b) c) d) Tính P( X Y 1) Cov( X , Y ) ( X , Y ) P( X 0.5 | Y 0.5) f ( x | y) E( X | Y y) Tạ Ngọc Ánh –0913 006 814 (09/8/2017) Bài tập Thống kê Điều tra doanh số hàng tháng 100 hộ kinh doanh ngành ta thu số liệu sau: Doanh số X (triệu) 10,1 Số hộ 2 Tính X , s , sˆ 10,2 10,4 10,5 13 10,7 25 10,8 20 10,9 12 10,9 10 11 10 11,3 11,4 Cho mẫu ngẫu nhiên từ biến ngẫu nhiên X có quan sát: 135 140 137 138 135 137 136 137 136 141 140 136 137 136 139 138 138 139 139 139 140 138 137 138 a) Rút gọn mẫu theo tần suất b) Rút gọn theo tỉ lệ c) Tìm X , s , Điều tra thu nhập hàng tháng (triệu đồng) 140 hộ kinh doanh người ta thu số liệu sau: Thu nhập 8-8.5 8.5-9 9-9.5 9.5-10 10-10.5 10.5-11 11-11.5 11.5-12 Số hộ 13 21 34 27 19 12 Xây dựng đa giác tần suất Tính X , s, s Ước lượng thu nhập trung bình Với độ tin cậy 95%, thu nhập trung bình hộ kinh doanh nằm khoảng nào? Ước lượng tỷ lệ số hộ có thu nhập 11 triệu Với độ tin cậy 90%, tỷ lệ cao bao nhiêu? Với mức ý nghĩa 5%, nói tỷ lệ hộ có thu nhập 11 triệu chiếm 90% khơng? Quan sát chiều cao 100 sinh viên nam 150 sinh viên nữ ta thu số liệu: Chiều cao trung bình sinh viên nam X 164.7cm , độ lệch chuẩn mẫu sX 8.25cm ; chiều cao trung a) b) c) d) e) f) g) bình sinh viên nữ Y 161.3cm , độ lệc chuẩn mẫu sY 8.5cm a) Với độ tin cậy 90% ước lượng chiều cao trung bình sinh viên nam nữ b) Với độ tin cậy 90%, ước lượng độ chênh lệch chiều cao trung bình sinh viên nam nữ c) Với mức ý nghĩa 5% nói chiều cao trung bình sinh viên nam chiều cao trung bình sinh viên nữ 4cm không? Trong mẫu gồm 500 viên thuốc dập tự động máy người ta thấy có 60 viên bị sứt a) Với độ tin cậy 95%, ước lượng tỷ lệ số viên thuốc bị sứt mẻ máy dập tạo b) Với mức ý nghĩa 10% nói tỷ lệ lớn 10% khơng? c) Nếu muốn ước lượng a) xác gấp đơi mẫu cần có viên thuốc Muốn biết số cá hồ lớn người ta bắt lên 2000 cá, đánh dấu xong lại thả xuống hồ Sau người ta bắt lên 400 thấy có 30 bị đánh dấu Dựa vào kết ước lượng tỷ lệ cá bị đánh dấu số cá có hồ với độ tin cậy 95% Để ước lượng tỷ lệ hàng xấu p kho hàng lớn ta kiểm tra ngẫu nhiên sản phẩm kho hàng Nếu muốn sai số ước lượng không 0.01 độ tin cậy 0.95 cần Tạ Ngọc Ánh –0913 006 814 (09/8/2017) kiểm tra sản phẩm Giả sử người ta kiểm tra 500 sản phẩm thấy có 60 sản phẩm hỏng Hãy ước lượng tỷ lệ p với độ tin cậy 0.90, tìm sai số ước lượng Đo độ chịu lực (ĐCL) 200 mẫu bê tơng người ta có số liệu sau ĐCL (kg/cm2) 190-200 200-210 210-220 220-230 230-240 250-250 Số mẫu 10 26 56 64 30 14 a) Hãy ước lượng độ chịu lực trung bình bê tơng tỷ lệ bê tơng loại (có độ chịu lực lớn 220kg/cm2) b) Với độ tin cậy 95%, ước lượng độ chịu lực trung bình bê tơng c) Với độ tin cậy 0.9, ước lượng tỷ lệ bê tông loại d) Với mức ý nghĩa 5%, nói tỷ lệ bê tông loại 50% không? Biết doanh số bán hàng hàng tháng hộ kinh doanh biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với doanh số trung bình hàng tháng 30 triệu đồng độ lệch tiêu chuẩn triệu đồng Với độ tin cậy 95% nói doanh số trung bình cửa hàng 16 tháng bán hàng chọn ngẫu nhiên? 10 Để xác định thời gian cần thiết sản xuất sản phẩm, người ta điều tra ngẫu nhiên 36 công nhân thu kết (đơn vị:phút): Thời gian sản xuất sản phẩm 15 16 17 18 19 Số công nhân 10 12 Với độ tin cậy 95% ước lượng thời gian trung bình cần thiết để sản xuất đơn vị sản phẩm 11 Kiểm tra ngẫu nhiên 25 gói đường máy tự động đóng gói ta bảng kết Trọng lượng gói hàng (đơn vị: gam) 498 499 500 501 Số gói hàng a) Với độ tin cậy 95% sai số gặp phải bao nhiêu? b) Để sai số ước lượng không 0.5g độ tin cậy cần đạt bao nhiêu? 12 Thị phần mạng di động A 60% a) Với độ tin cậy 95%, ước lượng số người sử dụng mạng di động A số 500 người sử dụng điện thoại di động b) Với độ tin cậy 99%, để sai số ước lượng tỷ lệ người dùng mạng di động A không vượt 2%, cần điều tra người sử dụng điện thoại di động 13 Theo kết điều tra phạm vi toàn quốc 1200 người có điện thoại di động, có 504 người sử dụng di động nhãn hiệu NOKIA Với độ tin cậy 99% ước lượng a) Tỷ lệ người sử dụng di động nhãn hiệu NOKIA Việt Nam b) Số người sử dụng điện thoại di động toàn quốc biết tồn quốc có 150000 người sử dụng di động nhãn hiệu NOKIA 14 Trọng lượng ghi gói hàng 1000 gam Cân ngẫu nhiên 100 gói hàng, thu bảng số liệu sau Trọng lượng (gam) 950 970 980 1000 1010 1020 Số gói hàng 20 15 10 30 20 Với mức ý nghĩa 5%, liệu nói trọng lượng ghi bao bì cao so với thực tế hay không? 10 Tạ Ngọc Ánh –0913 006 814 (09/8/2017) 15 Tuổi thọ người dân xã biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn năm Điều tra ngẫu nhiên 25 người thấy tuổi thọ trung bình người dân 73.5 năm Với mức ý nghĩa 0.05 kiểm định giả thuyết cho tuổi thọ trung bình người dân xã 75 tuổi 16 Trọng lượng bao gạo biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình 50kg Nghi ngờ bị đóng thừa, người ta cân ngẫu nhiên 25 bao thu bảng số liệu sau: Trọng lượng bao (kg) 49 49.5 50 50.5 51 Số bao 10 Với mức ý nghĩa 1% kết luận điều nghi ngờ 17 Một nhà máy sản xuất tự động với tỷ lệ phế phẩm 2% Sau thời gian làm việc, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 500 sản phẩm máy chế tạo, thấy có 28 phế phẩm a) Với mức ý nghĩa 5% thử xem chất lượng làm việc máy có trước hay khơng? b) Với mức ý nghĩa 1%, nói tỷ lệ phế phẩm máy sản xuất tăng lên hay không 18 Một loại thuốc chữa bệnh A nhà sản xuất khẳng định khả khỏi bệnh A dùng thuốc 90% Theo dõi 90 người thấy có 75 người khỏi Với mức ý nghĩa 5% nói khẳng định nhà sản xuất cao so với thực tế hay không? 19 Mức quy định cho gói bánh đóng gói tự động 225g Kiểm tra ngẫu nhiên 81 gói thấy khối lượng trung bình 210g với độ lệch mẫu 36g a) Với mức ý nghĩa 5%, kiểm tra xem bánh có đóng gói quy định không b) Hãy ước lượng khối lượng trung bình gói bánh với độ tin cậy 90% 20 Được biết nhịp tim trung bình nam niên 72 lần/phút Kiểm tra ngẫu nhiên 64 niên làm việc hầm lò thấy nhịp tim trung bình 74 lần/phút với độ lệch mẫu lần/phút Hãy kiểm tra xem làm việc hầm lò có làm tăng nhịp tim khơng, mức ý nghĩa 0.05 21 Điều tra mức chi tiêu hàng năm 100 công nhân công ty thu số liệu sau: Mức chi tiêu (triệu đồng/năm) 15,6 16,0 16,4 16,8 17,2 17,6 18,0 Số công nhân 10 14 26 28 12 e) Với độ tin cậy 95% ước lượng số công nhân công ty có mức chi tiêu trung bình hàng tháng 1.4 triệu đồng, biết cơng ty có 2000 cơng nhân f) Nếu năm trước mức chi tiêu trung bình cơng nhân 15 triệu đồng/năm với mức ý nghĩa 0.05 nói mức chi tiêu trung bình công nhân năm cao năm trước không? Giả thiết mức chi tiêu cơng nhân có phân bố chuẩn 22 Một máy sản xuất tự động với tỷ lệ phẩm 98% Sau thời gian hoạt động, người ta nghi ngờ tỷ lệ bị giảm Kiểm tra ngẫu nhiên 500 sản phẩm thấy có 28 phế phẩm, với mức ý nghĩa 5%, kiểm tra xem chất lượng làm việc máy có trước hay khơng? 23 Trong điều kiện bình thường, kho hạt giống có tỷ lệ nảy mầm 90% Do điều kiện thời tiết thay đổi, nên người ta kiểm tra lại chất lượng hạt giống cách: gieo 300 hạt, thấy có 220 hạt nảy mầm Hỏi với mức ý nghĩa 0.05 , thời tiết có ảnh hưởng xấu tới tỷ lệ nảy mầm hạt giống hay không ? 24 Để đánh giá chiều cao nam sinh viên quốc gia EU ta lấy 100 sinh viên nam trường đại học Số liệu đo chiều cao 100 sinh sau: Chiều cao (cm) Số em ≤ 150 155-165 28 11 165-175 38 175-185 23 ≥190 Tạ Ngọc Ánh –0913 006 814 (09/8/2017) Nếu coi chiều cao nam sinh viên biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(μ,σ2), tìm ước lượng không chệch cho μ σ2 25 Giá loại hàng hóa hàng thành phố cho bảng quan sát sau: Giá (nghìn đồng) 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 Số cửa hàng 12 15 30 10 Với độ tin cậy 95% ước lượng khoảng tin cậy cho giá trị trung bình hàng hóa nói biết giá hàng hóa tuân theo luật chuẩn 26 Giả sử độ dày kim loại biến ngẫu nhiên tuân theo luật chuẩn Đo 10 kim loại cho thấy số liệu sau: 4,1 3,9 4,7 5,0 4,4 4,4 4,2 3,8 4,4 4,0 a) Hãy xác định khoảng tin cậy cho độ dày kim loại với độ tin cậy 95% b) Tìm khoảng ước lượng cho phương sai độ dày kim loại với độ tin cậy 99% 27 Điều tra 365 điểm trồng lúa huyện ta số liệu sau: Năng suất X(tạ/ha) 25 30 33 34 35 36 37 39 40 Số điểm trồng 13 38 74 106 85 30 10 a) Tính giá trị trung bình mẫu b) Với độ tin cậy 95% suất lúa trung bình huyện thấp bao nhiêu? (Giả thiết suất lúa biến ngẫu nhiên chuẩn) c) Tỷ lệ % số điểm trồng lúa có suất lúa >35 tạ/ha? Tỷ lệ thấp với độ tin cậy 99%? 28 Với độ tin cậy 95% ước lượng mức tiêu hao xăng trung bình cho loại ô tô chạy từ A đến B, chạy thử 30 lần đoạn đường người ta ghi nhận lượng xăng tiêu hao sau: (lượng xăng hao phí đ.l.n.n có phân phối chuẩn) Lượng xăng(lít) (9,6-9,8] (9,8-10] (10-10,2] (10,2-10,4] (10,4-10,6] Số lần thử 10 29 Máy đóng nước tự động với tiêu chuẩn định mức lon nặng 300gam Nghi ngờ có giảm sút trọng lượng lon nước ngọt, người ta lấy 19 lon thấy trọng lượng trung bình lon X 295 gam tính sˆ 5, 20 gam Có thể khẳng định máy tự động có trục trặc hay không với mức ý nghĩa α = 0,01 30 Kết điểm mơn thi xác suất lớp có 56 sinh viên trường cao đẳng sau: X 10 mi 7 15 8 Việc giả định điểm trung bình mơn thi xác st sinh viên lớp điểm liệu có chấp nhận không? Với mức ý nghĩa α = 0,05 ( Giả thiết điểm thi môn xác suất đ.l.n.n có phân phối chuẩn) 31 Vẫn kết 20, kết học tập gọi tốt có 80% đạt điểm trung bình Dựa vào kết thi lớp học cho trên, kết luận sinh viên lớp học tập tốt không? Với mức ý nghĩa α = 0,05 32 Ở viện nghiên cứu nông nghiệp chuyên sản xuất giống lúa Lúc đầu người ta lấy 40 mẫu, mẫu 10 sản phẩm thấy: Số sản phẩm loại A mẫu 10 Số mẫu 10 12 Tạ Ngọc Ánh –0913 006 814 (09/8/2017) a) Với mức ý nghĩa 0,05 kết luận biện pháp thủy lợi có hiệu làm thay đổi tỷ lệ sản phẩm giống loại A b) Ước lượng tỷ lệ sản phẩm giống loại A trung bình sau áp dụng biện pháp thủy lợi với độ tin cậy 99%/ 33 Trọng lượng đóng gói gói mì theo máy đóng gói tự động theo lý thuyết 500gr/1 gói, biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Gần nghi ngờ trọng lượng có xu hướng khơng 500gr, người ta kiểm tra 25 sản phẩm thấy: Trọng lượng gói 480 485 490 495 500 510 Số gói Với mức ý nghĩa 0,05, kết luận nghi ngờ 34 Để kiểm tra kết luận đường kính trung bình loại 25mm, người ta đo đường kính 20 kết (mm) sau: 20,0 25,9 24,1 25,3 25,0 25,2 25,0 25,7 24,9 24,8 24,7 25,0 24,9 24,8 24,9 25,0 25,7 25,8 25,6 24,8 Cho ý kiến kết luận nói có chấp nhận khơng với α = 0,01? 35 Điều tra thể lực sinh viên Đại học trường đại học kỹ thuật, mặt cân nặng người ta thu kết sau đợt khám sức khỏe 25 sinh viên sau: Trọng lượng (kg) 55 56 58 59 60 62 63 65 67 Số sinh viên 1 Liệu nói trọng lượng thể trung bình sinh viên trường 60 kg khơng với mức ý nghĩa 5%( coi trọng lượng thể đ.l.n.n có phân phối chuẩn) 36 Tuổi thọ hiệu dụng phận sử dụng động máy bay turbin phản lực bnn với trung bình 5000 độ lệch chuẩn 40 Phân bố tuổi thọ hiệu dụng gần với phân bố chuẩn Nhà sản suất giới thiệu cải tiến trình sản suất thiết bị mà nâng tuổi thọ trung bình lên 5050 giảm độ lệch chuẩn xuống 30 Giả sử mẫu ngẫu nhiên n1 16 phận chọn từ quy trình sản suất cũ mẫu ngẫu nhiên n2 25 phận chọn từ quy trình cải tiến Tìm xác suất để khác biết hai trung bình mẫu 25 Giả sử quy trình sản xuất cũ quy trình cải tiến xem tổng thể độc lập 37 Để so sánh tuổi thọ X Y hai loại bóng đèn sản xuất trước sau cải tiến kỹ thuật người ta tiến hành kiểm tra ngẫu nhiên 100 bóng sản xuất trước cải tiến 120 bóng sản xuất sau cải tiến Kết trung bình mẫu phương sai mẫu sau: Trước cải tiến: x 1200; sx2 262 Sau cải tiến: y 1250; sy2 342 Giả sử X, Y có phân bố chuẩn với phương sai a) Hãy kiểm tra xem cải tiến kỹ thuật có làm tăng tuổi thọ trung bình bóng khơng? 0.1 b) Cải tiến kỹ thuật làm tăng tuổi thọ trung bình lên phần trăm? 0.1 c) Tìm khoảng tin cậy y với độ tin cậy 0.95 38 Ở vùng, tỷ lệ khách hàng dùng loại sản phẩm 60% Sau chiến dịch quảng cáo, người ta muốn đánh giá xem chiến dịch quảng cáo có đem lại hiệu thực khơng Để làm điều đó, người ta vấn ngẫu nhiên 400 khách hàng thấy có 270 khách dùng loại sản phẩm kể Với mức ý nghĩa 5%, đánh giá xem chiến dịch quảng cáo có đem lại hiệu khơng? 13 Tạ Ngọc Ánh –0913 006 814 (09/8/2017) 39 Trồng giống lúa hai ruộng bón hai loại phân khác Đến ngày thu hoạch, ta lấy thứ 100 lúa thấy số hạt trung bình bơng X 70 hạt độ lệch chuẩn mẫu S X 25 hạt Thửa thứ hai lấy mẫu 120 lúa, thấy số hạt trung bình bơng Y 78 hạt độ lệch chuẩn mẫu SY 20 hạt a) Hãy kiểm tra xem hai loại phân bón có ảnh hưởng khác tới suất lúa không, mức ý nghĩa 10% b) Hãy ước lượng số hạt trung bình hai ruộng trên, độ tin cậy 90% c) Số hạt trung bình hai chênh lệch nhiều bao nhiêu? độ tin cậy 95% d) Hãy ước lượng phương sai số hạt thóc bơng lúa hai nói trên, độ tin cậy 90% e) Có ý kiến cho lúa thứ hai lúa thứ Với mức ý nghĩa 10%, kiểm tra xem ý kiến có đáng tin cậy khơng? 40 Khảo sát thu nhập bình quân hàng tháng người hộ số gia đình thành phố năm 2010 người ta thu số liệu bảng sau: Thu nhập bình quân (triệu đồng / người / tháng) 2.0-3.0 Số hộ Số hộ Thu nhập bình quân (triệu đồng / người / tháng) 5.0-5.5 3.0-3.5 5.5-6.0 10 3.5-4.0 18 6.0-7.0 4.0-4.5 30 7.0-9.0 4.5-5.0 24 16 a) Ước lượng thu nhập trung bình hàng tháng người hộ gia đình với độ tin cậy 95% b) Những hộ có mức thu nhập trung bình triệu đồng / người / tháng hộ có thu nhập cao Hãy ước lượng tỷ lệ hộ có thu nhập cao với độ tin cậy 98% c) Ước lượng thu nhập trung bình người / tháng số hộ có thu nhập cao với độ tin cậy 96%, giả thiết thu nhập trung bình người hộ gia đình có thu nhập cao có phân bố chuẩn d) Nếu nói thu nhập trung bình hàng thángcủa người hộ gia đình thành phố triệu đồng có đáng tin cậy khơng, với mức ý nghĩa 5%? 41 Điều tra thu nhập 400 công nhân Hà Nội, TP Hồ Chí Minh Đà Nẵng, người ta thu kết sau (đơn vị tính thu nhập triệu đồng / năm) Thu nhập < 20 20 - 30 30 - 40 Thành phố Hà Nội 30 50 38 TP Hồ Chí Minh 55 180 82 Đà Nẵng 20 25 20 14 Tạ Ngọc Ánh –0913 006 814 (09/8/2017) a) Với mức ý nghĩa 5%, kiểm tra xem thu nhập công nhân có phụ thuộc vào nơi họ làm việc khơng? b) Hãy kiểm tra xem tỷ lệ cơng nhân có thu nhập 30 triệu / năm ba thành phố có khơng, mức ý nghĩa 10%? 42 Khảo sát mức tiêu thụ điện 400 hộ gia đình thành phố người ta có số liệu sau Lượng điện tiêu thụ (kWh/ tháng) 70-100 Số hộ Số hộ 40 Lượng điện tiêu thụ (kWh/ tháng) 160-190 100-130 100 190-220 40 130-160 120 220-250 30 70 a) Hãy ước lượng mức tiêu thụ điện trung bình hàng tháng hộ gia đình với độ tin cậy 90% b) Những hộ gia đình tiêu thụ 190 kWh/tháng hộ tiêu thụ nhiều điện Hãy ước lượng tỷ lệ hộ tiêu thụ nhiều điện với độ tin cậy 95% c) Nếu nói tỷ lệ hộ tiêu thụ nhiều điện khơng q 25% có đáng tin cậy không? Mức ý nghĩa 10% d) Nếu nói mức tiêu thụ điện trung bình hộ khơng q 160 kWh/tháng có đáng tin cậy không? Mức ý nghĩa 5% 43 Để nghiên cứu tác động hai loại phân bón chiều cao giống người ta bón hai loại phân hai lơ giống Sau thời gian người ta đo chiều cao giống có số liệu sau: Chiều cao dùng phân bón (cm) 39.2 29 28.5 33.5 41.7 37.2 37.3 27.7 23.4 33.4 29.2 35.6 Chiều cao dùng phân bón cũ (cm) 20.8 33.8 28.6 23.4 22.7 30.9 31.0 27.4 19.5 29.6 23.2 18.7 20.7 17.6 29.4 27.7 25.3 19.4 a) Người ta nghi ngờ loại phân tốt loại phân cũ Với mức ý nghĩa 10%, kiểm tra xem nghi ngờ có khơng? b) Hãy ước lượng chiều cao trung bình giống hai lô dùng hai loại phân với độ tin cậy 90% c) Với độ tin cậy 96%, loại phân làm tăng chiều cao giống so với loại phân cũ bao nhiêu? Giả thiết chiều cao giống có phân bố chuẩn với phương sai 44 Người ta dùng ba phương án xử lý hạt giống khác nhau, kết sau: Phương án I II III Kết (hạt) Nảy mầm 360 603 490 Không nảy mầm 40 97 90 15 Tạ Ngọc Ánh –0913 006 814 (09/8/2017) a) Kiểm tra xem phương án xử lý có tác dụng khác với nảy mầm hạt giống khơng? Mức ý nghĩa 5% b) Tìm phương án xử lý tốt với độ tin cậy 90% c) Với độ tin cậy 90%, tính xem tỷ lệ hạt nảy mầm cao phương án tốt bao nhiêu? 45 Khi nghiên cứu tình trạng bỏ học sớm học sinh miền núi người ta có cấu tỷ lệ lý bỏ học sau: Lý bỏ học Nhà nghèo Tỷ lệ (%) 10 Lý bỏ học Nhà nghèo Số học sinh 14 Đường học xa 25 Đường học xa 20 Học mà không hiểu 13 Học mà không hiểu 17 Thấy học không cần thiết 37 Thấy học không cần thiết 28 Lý khác 15 Lý khác 24 Sau năm tiến hành nhiều biện pháp khác nhằm thay đổi cấu tỷ lệ lý bỏ học, người ta thống kê thu số liệu bảng bên Với mức ý nghĩa 5%, kiểm tra xem: a) Cơ cấu tỷ lệ lý bỏ học có thay đổi khơng? b) Tỷ lệ học sinh bỏ học thấy việc học khơng cần thiết có giảm khơng? 46 Trong vườn cây, tỷ lệ trùng có phân bố sau Nhện Ong Mọt ngũ cốc Sâu xanh Bướm 15% 20% 24% 36% 5% Sau phun loại thuốc trừ sâu, người ta bắt ngẫu nhiên số côn trùng kết quả: Nhện Ong Mọt ngũ cốc Sâu xanh Bướm 25 (con) 20 15 10 Hỏi thuốc trừ sâu có làm thay đổi cấu côn trùng vườn không ? 0.05 47 Trước đưa thị trường loại sản phẩm có kiểu dáng mới, người ta muốn xem phản ứng khách hàng kiểu dáng nào.Một điều tra khách hàng theo nhóm tuổi kiểu dáng sản phảm tiến hành thu số liệu sau: Độ tuổi < 20 20 - 25 25 - 35 35 - 45 > 45 Phản ứng Thích 170 157 106 91 114 Khơng thích 60 43 64 49 66 Với mức ý nghĩa 5%, tỷ lệ khách hàng yêu thích kiểu dáng có phụ thuộc vào lứa tuổi khơng? Lứa tuổi yêu thích kiểu dáng nhất? 48 Khi nghiên cứu khả chịu đựng thể với loại hóa chất, người ta tiêm hóa chất vào chuột có thể trạng theo dõi thời gian sống chúng Kết thu sau: Lượng hóa chất (mg) Thời gian sống (ngày) 30 20 20 12 10 16 Tạ Ngọc Ánh –0913 006 814 (09/8/2017) a) Tính hệ số tương quan mẫu thời gian sống lượng hóa chất tiêm b) Viết phương trình đường hồi quy tuyến tính thực nghiệm thời gian sống theo lượng hóa chất tiêm c) Nếu chuột tiêm 2.5 mg hóa chất sống ngày? 49 Khi nghiên cứu phụ thuộc chiều cao cha chiều cao người ta thu số liệu sau: Chiều cao cha (cm) 163 165 166 167 171 175 Chiều cao (cm) 168 164 170 173 169 180 a) Tìm hệ số tương quan mẫu chiều cao cha chiều cao b) Viết phương trình đường hồi quy tuyến tính thực nghiệm chiều cao theo chiều cao cha c) Nếu người cha có chiều cao 173 cm dự báo người có chiều cao bao nhiêu? 50 Đo chiều cao Y đường kính gốc X (đơn vị đo m) giống cây, gồm 20 cá thể chọn ngẫu nhiên, ta có kết sau: Chiều cao 9 10 10 11 11 12 12 13 Đường kính gốc 0.16 0.18 0.20 0.18 0.20 0.20 0.22 0.25 0.26 0.26 Số 3 3 2 a) Tính hệ số tương quan mẫu X Y g) Viết phương trình đường hồi quy tuyến tính thực nghiệm Y theo X Từ dự đốn chiều cao có đường kính gốc 0.30 m 17 Tạ Ngọc Ánh –0913 006 814 (09/8/2017) ÔN TẬP (LÀM VÀ NỘP CHO GIÁO VIÊN BẢN VIẾT TAY) I Lý thuyết: Em tóm tắt lại tồn nội dung lý thuyết môn Xác suất Thống kê thành hệ thống không trang giấy A4 II Bài tập: Làm đề thi sau ĐỀ Câu Có hai lơ hàng, lơ thứ có sản phẩm có phế phẩm, lơ thứ hai có sản phẩm có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên từ lô thứ sản phẩm, từ lô thứ hai sản phẩm Gọi X số phế phẩm sản phẩm lấy Lập bảng phân bố xác suất X Câu Cho X đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ 20x (1 x) x f (x) x (0;1) 0 a) Tính kỳ vọng phương sai X b) Tìm hàm phân bố X, từ tính P 0.2 X 0.5 Câu Tiến hành 30 quan sát đại lượng ngẫu nhiên X ta thu số liệu có X 5.52, s X 2.05 a) Với độ tin cậy 0.95 , khoảng tin cậy cho EX b) Giả sử thêm X có phân phối chuẩn Với mức ý nghĩa 0.05 nói EX 5.5 khơng? Câu Trong vườn cây, tỷ lệ trùng có phân bố sau Bọ rùa Ong Mọt ngũ cốc Sâu xanh Bướm 10% 20% 30% 35% 5% Sau phun loại thuốc trừ sâu, người ta bắt ngẫu nhiên số côn trùng kết sau: Bọ rùa Ong Mọt ngũ cốc Sâu xanh Bướm 28 (con) 23 17 29 a) Hỏi thuốc trừ sâu có làm thay đổi cấu trùng vườn không ? 0.05 b) Tỷ lệ sâu xanh vườn có giảm khơng ? 0.10 Câu Cho X đại lượng ngẫu nhiên có phân phối N(, 2 ) Xét toán: Giả thiết: 2 ; đối thiết: 2 Ta sử dụng miền tiêu chuẩn có dạng S s2 a a) Tính xác suất mắc loại sai lầm xác suất có định a 1.30 số quan sát n 30 b) Với cỡ mẫu khơng đổi, tìm a để xác suất mắc sai lầm loại khơng q 0.05 Khi xác suất mắc sai lầm loại hai bao nhiêu? ĐỀ 18 Tạ Ngọc Ánh –0913 006 814 (09/8/2017) Câu Hai xạ thủ, người bắn hai viên đạn vào bia Xác suất bắn trúng đích lần bắn xạ thủ tương ứng 0.3 0.4 Gọi X tổng số viên đạn trúng đích hai xạ thủ Lập bảng phân phối xác suất X Câu Cho X Y hai đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời 12 ( x xy ) x, y f ( x, y ) 0 otherwise a) Tìm hàm mật độ X Y, kiểm tra tính độc lập X Y b) Tính D(2 X Y ) P( X Y 1) Câu Cho X đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(, 2 ) với tham số 2 biết Sử dụng phương pháp hợp lý cực tìm ước lượng điểm cho EX Ước lượng có ước lượng khơng chệch, ước lượng vững không? Câu Tiến hành 50 quan sát đại lượng ngẫu nhiên X ta thu số liệu có X 5.52,sX 2.05 a) Với độ tin cậy 0.95 , khoảng tin cậy cho EX b) Nếu giả thiết X có phân phối chuẩn với mức ý nghĩa 0.05 nói EX lớn 5.50; DX lớn 4.00 không? Câu Chiều cao nam giới trưởng thành biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với chiều cao trung bình 163cm độ lệch chuẩn 5cm a) Tính tỉ lệ nam giới trưởng thành cao từ 1.6m đến 1.7m b) Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên nam giới có người cao 1.65m ĐỀ Câu Một bệnh nhân bị nghi mắc hai bệnh A B Xác suất mắc bệnh A 0.6 xác suất mắc bệnh B 0.4 Người ta thực xét nghiệm T để có sở chuẩn đốn tốt Nếu người mắc bệnh A xác suất xét nghiệm T cho kết dương tính 0.8 người mắc bệnh B xác suất xét nghiệm T cho kết dương tính 0.1 Khi tiến hành xét nghiệm T, người ta thấy cho kết dương tính Hỏi xác suất bệnh nhân mắc bệnh A bao nhiêu? Câu Biết số thư mà quan A nhận ngày đại lượng ngẫu nhiên có phân bố PốtXơng (Poisson) với tham số a) Tính xác suất để ngày quan nhận không thư b) Số thư trung bình mà quan A nhận tuần bao nhiêu? Câu Cho X Y hai đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời 6 ( x y) f ( x, y ) 0 x, y otherwise Tính giá trị sau: Cov(X,Y) P(X Y 1) Hỏi X Y có độc lập khơng? 19 Tạ Ngọc Ánh –0913 006 814 (09/8/2017) Câu Người ta điều tra mức thu nhập hàng tháng số người dân vùng số liệu sau đây: Mức thu nhập (triệu đồng) 01 12 23 34 45 56 Số người 12 14 a) Với độ tin cậy 95%, ước lượng mức thu nhập trung bình hàng tháng người dân vùng b) Có người nói mức thu nhập trung bình hàng tháng người dân vùng 3.5 triệu đồng Với mức ý nghĩa 5%, kiểm tra xem người nói có khơng? Câu Đo chiều cao 12 cặp bố người ta kết sau: X - Bố (inches) 65 63 67 64 68 62 70 66 68 67 69 71 Y - Con (inches) 68 66 68 65 69 66 68 65 71 67 68 70 a) Tính hệ số tương quan mẫu X Y b) Tìm hàm hồi quy tuyến tính thực nghiệm Y theo X Dựa vào hàm hồi quy, dự đoán chiều cao chiều cao bố 68.5 inches ĐỀ Câu Một doanh nghiệp xuất lô hàng gồm 50 nghìn đơi giày vào thị trường A Nhà nhập tiến hành kiểm tra ngẫu nhiên 100 đơi, có khơng q đơi bị lỗi chấp nhận lơ hàng a) Tính xác suất lơ hàng chấp nhận Biết tỷ lệ số đôi bị lỗi lô hàng 2% b) Nếu muốn lô hàng chấp nhận với xác suất không 0.95 lơ hàng phép có tối đa đôi bị lỗi ? 4 x(1 x ) x (0;1) Câu Cho X đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ f ( x) x (0;1) 0 a) Tìm kỳ vọng độ lệch chuẩn X 1 b) Tìm medX tính P X 2 c) Ta tiến hành quan sát giá trị X Tính xác suất đến lần thứ ta nhận giá trị lớn Câu Khi nghiên cứu mức mua sắm hàng hóa khách hàng siêu thị ngày bình thường, người ta thu kết sau: Tiền mua hàng (triệu đồng) [0;0.2) [0.2;0.5) [0.5;1.0) [1.0;1.5) [1.5;2.0) 2.0 Tỷ lệ khách hàng (%) 15 31 24 13 10 Khi siêu thị tiến hành khuyến mãi, người ta thăm dò mức chi tiêu khách hàng thu kết sau: Tiền mua hàng (Triệu đồng) [0;0.2) [0.2;0.5) [0.5;1.0) [1.0;1.5) [1.5;2.0) 2.0 Số khách hàng 40 53 98 47 36 31 20 Tạ Ngọc Ánh –0913 006 814 (09/8/2017) a) Với mức ý nghĩa 5%, nói việc khuyến làm thay đổi mức chi tiêu khách hàng không? b) Với mức ý nghĩa 10%, nói tỷ lệ khách hàng mua sắm từ triệu đồng trở lên siêu thị khuyến tăng so với tỷ lệ thời điểm trước khuyến hay không ? c) Với độ tin cậy 90%, ước lượng mức mua sắm trung bình khách hàng siêu thị khuyến Câu Khi nghiên cứu mối quan hệ mức tăng số giá tiêu dùng tốc độ tăng trưởng GDP người ta thu số liệu sau: Năm 2002 2003 2004 2005 2006 Mức tăng số giá tiêu dùng (X%) 3.9 3.1 7.8 8.3 7.5 Tốc độ tăng trưởng GDP (Y%) 7.0 7.2 7.7 8.4 7.8 a) Tính hệ số tương quan X Y b) Lập phương trình hồi quy tuyến tính Y theo X Dự báo tốc độ tăng trưởng GDP mức tăng số giá tiêu dùng 6% Câu Một đợt thi tuyển viên chức có vòng thi Vòng lấy 90% thí sinh dự thi, vòng lấy 85% thi sinh qua vòng 1, vòng lấy 60% thí sinh qua vòng a) Tìm xác suất để thí sinh trúng tuyển b) Phỏng vấn ngẫu nhiên thí sinh, biết thí sinh bị trượt Tìm xác suất để thí sinh bị loại vòng ĐỀ Câu Một nhà máy có ba phân xưởng tương ứng làm 20%, 30% 50% số sản phẩm nhà máy Tỷ lệ sản phẩm bị lỗi phân xưởng tương ứng 2%, 3% 4% Lấy ngẫu nhiên sản phẩm nhà máy a) Tính xác suất sản phẩm sản phẩm tốt Nếu sản phẩm lấy sản phẩm tốt xác suất sản phẩm phân xưởng thứ hai sản xuất ? b) Người ta lấy ngẫu nhiên sản phẩm nhà máy Tính xác suất phải lấy đến lần thứ năm sản phẩm bị lỗi 3x(1 x ) Câu Cho X đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ f ( x) 0 x (0;1) x (0;1) a) Tìm kỳ vọng độ lệch chuẩn X 1 b) Tìm modX tính P X 2 c) Tiến hành quan sát giá trị X Tính xác suất lần quan sát có hai lần X nhận giá trị nhỏ Câu Giả sử tỷ lệ sinh tự nhiên người 49% nữ 51% nam Người ta nghi ngờ có can thiệp người nên làm thay đổi tỷ lệ sinh tự nhiên, dẫn đến nguy cân giới tính người trưởng thành Một tổ chức phi phủ tiến hành điều tra ngẫu nhiên 2000 ca sinh, kết có 940 em bé nữ 1060 em bé nam a) Với mức ý nghĩa 5%, nói tỷ lệ sinh thay đổi so với tỷ lệ sinh tự nhiên không ? 21 Tạ Ngọc Ánh –0913 006 814 (09/8/2017) b) Với mức ý nghĩa 5%, có em bé nam số 2000 em sinh ta coi tỷ lệ sinh không thay đổi so với tỷ lệ sinh tự nhiên ? c) Với độ tin cậy 95%, ước lượng tỷ lệ sinh số em bé nữ Câu Khi nghiên cứu mối quan hệ tỷ lệ tăng số xe máy tỷ lệ tăng số người chết tai nạn giao thơng người ta thu số liệu sau: Năm 1993 1995 1997 2000 2001 Tỷ lệ tăng số xe máy (X%) 42.4 13.0 6.0 15.7 29.6 Tỷ lệ tăng số người chết (Y%) 43.0 7.5 4.8 12.4 39.7 a) Tính hệ số tương quan X Y, rút nhận xét mối quan hệ tỷ lệ tăng số xe máy tỷ lệ tăng số người chết tai nạn giao thơng b) Lập phương trình hồi quy tuyến tính X theo Y Dự báo tỷ lệ tăng số số xe máy tỷ lệ tăng số người chết 15% Câu Một lơ hàng có phẩm phế phẩm Lấy ngẫu nhiên theo phương thức khơng hồn lại đến lấy phế phẩm dừng a) Tìm xác suất để trình kiểm tra kết thúc sau lần lấy b) Tìm xác suất để trình kiểm tra kết thúc sau không lần lấy c) Biết trình kiểm tra kết thúc sau khơng q lần lấy Tìm xác suất để trình kiểm tra dừng lại sau lần lấy thứ ĐỀ Câu Một nhà máy có ba phân xưởng tương ứng làm 25%, 35% 40% số sản phẩm nhà máy Tỷ lệ sản phẩm bị lỗi phân xưởng tương ứng 2%, 3% 4% Lấy ngẫu nhiên sản phẩm nhà máy a) Tính xác suất sản phẩm sản phẩm tốt Nếu sản phẩm lấy sản phẩm tốt xác suất sản phẩm phân xưởng thứ ba sản xuất ? b) Người ta lấy ngẫu nhiên sản phẩm nhà máy Tính xác suất phải lấy đến lần thứ ba sản phẩm bị lỗi 12 x (1 x) x (0;1) Câu Cho X đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ f ( x) x (0;1) 0 a) Tìm kỳ vọng độ lệch chuẩn X 1 b) Tìm ModX tính P X 2 c) Tiến hành quan sát giá trị X Tính xác suất lần quan sát có hai lần X nhận giá trị nhỏ Câu Giả sử tỷ lệ sinh tự nhiên người 49% nữ 51% nam Người ta nghi ngờ có can thiệp người nên làm thay đổi tỷ lệ sinh tự nhiên, dẫn đến nguy cân giới tính lớp người trưởng thành Một tổ chức tiến hành điều tra ngẫu nhiên 2000 ca sinh, kết có 960 em bé nữ 1040 em bé nam 22 Tạ Ngọc Ánh –0913 006 814 (09/8/2017) a) Với mức ý nghĩa 5%, nói tỷ lệ sinh thay đổi so với tỷ lệ sinh tự nhiên không ? b) Với mức ý nghĩa 5%, có em bé nữ số 2000 em sinh ta coi tỷ lệ sinh không thay đổi so với tỷ lệ sinh tự nhiên ? c) Với độ tin cậy 95%, ước lượng tỷ lệ sinh số em bé nam Câu Khi nghiên cứu mối quan hệ tỷ lệ tăng số xe máy tỷ lệ tăng số người chết tai nạn giao thơng người ta thu số liệu sau: Năm 1993 1995 1997 2000 2001 Tỷ lệ tăng số xe máy (X %) 42.4 13.0 6.0 15.7 29.6 7.5 4.8 12.4 39.7 Tỷ lệ tăng số người chết (Y %) 43.0 a) Tính hệ số tương quan mẫu X Y, rút nhận xét mối quan hệ tỷ lệ tăng số xe máy tỷ lệ tăng số người chết tai nạn giao thơng b) Lập phương trình hồi quy tuyến tính thực nghiệm Y theo X Dự báo tỷ lệ tăng số người chết tỷ lệ tăng số xe máy 20% Câu Một lơ hàng có 10 phẩm phế phẩm Lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại sản phẩm Gọi X số phế phẩm có sản phẩm lấy a) Tìm xác suất để sản phẩm lấy có nhiều phế phẩm b) Lập bảng phân phối xác suất X c) Tìm số phế phẩm trung bình số phế phẩm có khả sản phẩm lấy ĐỀ Câu Một doanh nghiệp xuất lô hàng gồm 50 nghìn đơi giày vào thị trường A Nhà nhập tiến hành kiểm tra ngẫu nhiên 100 đơi, có khơng q đơi bị lỗi chấp nhận lơ hàng a) Tính xác suất lơ hàng chấp nhận Biết tỷ lệ số đôi bị lỗi lô hàng 2% b) Biết lô hàng chấp nhận Tính xác suất số 100 đơi kiểm tra, có đơi giày bị lỗi c) Nếu muốn lô hàng chấp nhận với xác suất khơng 0.95 lơ hàng phép có tối đa đơi bị lỗi ? 4 x(1 x ) x (0;1) Câu Cho X đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ f ( x) x (0;1) 1 a) Tính kỳ vọng độ lệch chuẩn X; tìm MedX tính P X 2 b) Tiến hành quan sát giá trị X Tính xác suất đến lần quan sát thứ ta nhận giá trị lớn Câu Cho X, Y hai đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời k ( x y ) ( x, y ) [0;1] [0;1] f ( x, y ) ( x, y ) [0;1] [0;1] 0 a) Tìm k tính P(Y X ) 23 Tạ Ngọc Ánh –0913 006 814 (09/8/2017) b) Tính Cov( X , Y ) c) Tìm hàm mật độ X Kiểm tra tính độc lập X Y Câu Tuổi thọ người dân xã biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn năm Điều tra ngẫu nhiên 25 người thấy tuổi thọ trung bình người dân 73.5 năm Với mức ý nghĩa 0.05 kiểm định giả thuyết cho tuổi thọ trung bình người dân xã 75 tuổi Câu Cho X n dãy đại lượng ngẫu nhiên đơi khơng tương quan có phân bố Xn -1 P 1 2n 1 2n Chứng minh dãy X n tuân theo luật số lớn Tìm giới hạn dãy X n theo phân bố ĐỀ Câu Có hai chuồng thỏ, chuồng thứ chứa đen trắng, chuồng thứ hai chứa trắng đen Từ chuồng thứ nhất, ta bắt thả vào chuồng thứ hai, sau lại bắt từ chuồng thứ hai Biết lần bắt sau ta thỏ trắng Tính xác suất thỏ trắng chuồng thứ hai Câu Cho X đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ x 1;4 k (3 x x ) f (x) 0 x 1;4 a) Tìm số k , tính kỳ vọng phương sai X b) Tìm hàm phân phối X, từ tính P(2 < X < 3) c) Tìm hàm mật độ Y= X Câu Cho X, Y biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời k ( x y ) f ( x, y ) 0 x, y [0;1] otherwise a) Tìm k tính P( X Y 1) b) Tính hệ số tương quan X Y c) Kiểm tra tính độc lập X Y Câu Trong điều tra suất lúa, người ta lấy mẫu 100 điểm thu số liệu sau: Năng suất (tạ/ha) 27 32 33 35 37 38 39 Số điểm 11 28 36 12 Gọi X suất lúa (tạ/ha) Giả sử X có phân phối chuẩn a) Chỉ ước lượng điểm cho EX DX b) Với độ tin cậy 95%, EX DX nằm khoảng nào? c) Với mức ý nghĩa 5%, nói EX lớn 35 khơng? Câu Thống kê tỷ lệ sinh viên thi trượt mơn Giải tích I Đại số tuyến tính số phòng thi Học kỳ I năm học 2015-2016, có số liệu sau đây: 24 Tạ Ngọc Ánh –0913 006 814 (09/8/2017) Phòng thi 10 11 12 13 Tỷ lệ trượt GT1 % 37.25 58.82 60.78 56.86 56.86 58.82 72.55 49.02 37.25 72.55 62.75 74.51 43.14 Tỷ lệ trượt ĐSTT % 49.02 41.18 47.06 50.98 43.14 54.09 64.71 43.14 22.00 44.00 54.00 29.41 36.00 a) Hãy tính hệ số tương quan mẫu tỷ lệ sinh viên trượt mơn Giải tích I (X) tỷ lệ sinh viên trượt mơn Đại số tuyến tính (Y) phòng thi Rút nhận xét b) Lập hàm hồi quy tuyến tính thực nghiệm Y theo X 25 ... 006 814 (09/8 /2017) ÔN TẬP (LÀM VÀ NỘP CHO GIÁO VIÊN BẢN VIẾT TAY) I Lý thuyết: Em tóm tắt lại tồn nội dung lý thuyết mơn Xác suất Thống kê thành hệ thống không trang giấy A4 II Bài tập: Làm đề... Tìm xác suất nhà máy sản xuất 27 Lô hàng 250 chip bán dẫn có chứa 20 chíp bị hỏng Lần lượt chọn ngẫu nhiên (không lặp lại) a) Tính xác suất thứ bị hỏng b) Xác suất thứ bị hỏng ? c) Tính xác suất. .. S s2 a a) Tính xác suất mắc loại sai lầm xác suất có định a 1.30 số quan sát n 30 b) Với cỡ mẫu khơng đổi, tìm a để xác suất mắc sai lầm loại không 0.05 Khi xác suất mắc sai lầm loại