BG toan thong ke cho KHXH mở đầu, chuong 1 mot so kq ve xac suat ngành Công tác xã hội

Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH) ThS Phan Văn Linh Bài mở đầu: GIẢI TÍCH TỔ HỢP A.MỤC TIÊU Về kiến thức: - SV hiểu được các khái niệm chỉnh hợp, hoán vị, tở hợp, chỉnh hợp lặp luật tích- luật tổng Về kỹ năng: - SV phân biệt được chỉnh hợp tở hợp; - Biết tính toán chỉnh hợp, tở hợp vận dụng được luật tích, luật tởng; - Thực hành tính được chỉnh hợp, hoán vị bằng máy tính Về thái đợ: SV cảm nhận rõ liên quan mật thiết tốn học tở hợp với tình đời thực B.NỘI DUNG CHỈNH HỢP 1.1 Định nghĩa Có n vật khác lấy k vật, nhóm k vật (theo thứ tự đó) gọi chỉnh hợp chập k n vật Nếu vật có khả chọn có n cách chọn vật thứ nhất, (n - 1) cách chọn vật thứ hai, , ( n - k +1) cách chọn vật thứ k Tất có n(n - 1) … (n - k + 1) chỉnh hợp chập k n vật Hai chỉnh hợp khác có vật khác vật thứ tự lấy khác Định nghĩa 1.1 Một nhóm k vật lấy lần lượt có thứ tự số n vật khác gọi chỉnh hợp chập k n vật Số chỉnh hợp chập k n vật, kí hiệu A kn , được tính theo cơng thức : A kn  n(n  1) (n  k  1), (1  k  n) (1.1) 1.2 Ví dụ Ví dụ 1.1 Cửa hàng có mũ xanh, đỏ, tím Có khách đến mua, cô bán hàng lấy mũ giao cho khách, thứ màu xanh, thứ hai màu đỏ (kí hiệu (X, Đ)), (cũng có thể:(Đ, X) (X, T), (T, X), (Đ, T), (T, Đ)) Ta gọi kết chỉnh hợp chập vật Như vậy, theo cơng thức (1.1) có A 32 =3.2 = cách chọn (lần lượt mũ) Hai cách chọn (X, Đ) (X, T) xem khác có mũ khác nhau, cách chọn (X, Đ) (Đ, X) khác thứ tự chọn Ví dụ 1.2 Một tổ có 10 người, chọn nhóm người để giao nhiệm vụ: người thứ nhóm trưởng, người thứ hai theo dõi tiêu kinh tế, người thứ ba theo dõi tiêu kĩ thuật Mỗi nhóm người chọn theo cách chỉnh hợp chập 10 người , số cách chọn bằng: A10  10.9.8 = 720 (cách) Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH) ThS Phan Văn Linh Ví dụ 1.3 Có đội bóng chuyền vào chung kết Có đội huy chương: đội huy chương vàng, đội huy chương bạc, đội huy chương đồng Nếu đội thực lực có danh sách ba đạt huy chương? Như theo (1.1) có tất A83  8.7.6= 336 dự báo danh sách ba huy chương HOÁN VỊ 2.1 Định nghĩa Có n vật khác xếp vào n chỗ, có n cách chọn vật thứ để xếp vào chỗ thứ nhất, (n - 1) cách chọn vật thứ hai vào chỗ thứ hai,…, (n – k + 1) cách chọn vật thứ k để vào chỗ thứ k… Mỗi cách xếp gọi hoán vị n vật Định nghĩa 1.2 Một nhóm n vật được xếp vào n chỗ, cách xếp được gọi hoán vị Số hốn vị được tính theo cơng thức A nn  n(n  1) 3.2.1  n! (1.2) Như hoán vị n vật được xem chỉnh hợp chập n n vật 2.2 Ví dụ Ví dụ 1.4 Trong ví dụ 1.1 có khách đến mua mũ, giả sử cô bán hàng lấy mũ đưa cho khách, khách thứ nhận mũ xanh, khách thứ hai nhận mũ đỏ, khách thứ ba nhận mũ tím thí ta có kết (X, Đ, T), cô bán hàng chọn mũ theo thứ tự khác nên kết (Đ, X, T) hay (T, Đ, X), … tất có 3! = kết khác Vì có mũ lấy nên hai kết khác thứ tự đưa mũ cho khách hàng, chẳng khác để mũ X, Đ, T bên cạnh sau đổi chỗ hốn vị mũ, sau lần đỗi chỗ kết khác, kết gọi hoán vị mũ nói theo cách trình bày ví dụ 1.1 hốn vị chỉnh hợp chập mũ Ví dụ 1.5 Có người rủ xem văn nghệ chọn dãy ghế ngồi cạnh Hỏi có tất cách chọn Nếu A ngồi vào ghế 1, B ngồi ghế 2, C ngồi ghế 3, D ngồi ghế có cách xếp người vào chỗ Nếu đỗi chỗ người cách cách xếp mới, cách xếp gọi hoán vị Áp dụng (1.2) có số hốn vị người 4! =4.3.2.1= 24 Ví dụ 1.6 Có cụ ông hàng ngang để tập thể dục buổi sáng, sau buổi tập đầy phấn khích cụ định từ ngày hôm sau tập tiếp ngày hàng theo trật tự khác lần tập trước Hỏi sau ngày cụ quay lại cách xếp hàng trùng với ngày Coi cách hàng hoán vị phần tử, tức hoán vị cụ Theo (1.2) tất có 6! = 720 ThS Phan Văn Linh Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH) cách xếp hàng Như sau 720 ngày cụ xếp hàng lại theo cách hàng ngày TỔ HỢP 3.1 Định nghĩa Có n vật khác nhau, lấy nhóm k vật mà khơng kể thứ tự lấy, gọi nhóm tổ hợp chập k n vật Hai tổ hợp khác có vật khác nhau, khác với chỉnh hợp ta không ý đến thứ tự vật nhóm Khi lấy k vật ta lấy lần lấy khơng ý đến thứ tự vật lấy Định nghĩa 1.3 Một nhóm k vật lấy được từ n vật khác gọi tổ hợp chập k n vật Số tổ hợp chập k n vật, kí hiệu C kn , được tính theo cơng thức: Ckn  hay n! k!(n  k)! (1  k  n) A kn C  k! (1  k  n) k n (1.3) 2.3 Ví dụ Ví dụ 1.7 Khác với cách chọn thí dụ 1, bán hàng chọn mũ cho khách hàng Ở có tất cách chọn: xanh đỏ, xanh tím, đỏ tím Khác biệt với cách chọn thí dụ không phân biệt thứ tự mũ chọn ra, chẳng hạn không phân biệt (X,Đ) với (Đ,X) Vậy cách chọn tổ hợp chập mũ Từ đó, với = cách chọn Ta có hệ thức (1.3) 2! Ví dụ 1.8 Trong ví dụ 1.2 chọn nhóm người 10 tổ viên mà không phân công nhiệm vụ, lúc cách chọn tổ hợp chập 10 người Vậy có số cách chọn bây giờ, theo (1.3), A10 C   120 3! 10 ( C10  10!  120 ) 3!7! Ví dụ 1.9 Trong trường hợp ví dụ 0.3 đưa dự báo chung đội đoạt huy chương, không ghi cụ thể đội đội huy chương vàng, đội đạt huy chương bạc, đội huy chương đồng dự báo tổ hợp chập đội Bây ta có dự báo chung, dự báo tổ hợp chập đội Số dự báo C83  8!  56 (theo (1.3)) 3!5! CHỈNH HỢP LẶP 4.1 Định nghĩa Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH) ThS Phan Văn Linh Có n vật khác nhau, lấy k lần, lần lấy vật, lấy xong trả lại liền (nên lần sau lại lấy vật lấy lần trước), nhóm k vật gọi chỉnh hợp lặp chập k n vật So với chỉnh hợp (1.1) chỉnh hợp lặp khác chỗ vật chỉnh hợp lặp giống nhau, tức lặp lại Số chỉnh hợp lặp tính theo cách lập luận: vật thứ có n cách lấy, vật thứ hai có n cách lấy ,…, vật thứ k có n cách lấy, tổng cộng có n  n   n  n k chỉnh hợp lặp Số chỉnh hợp lặp chập k n vật tính theo cơng thức : k , k  1, 2,3, An  n k (1.4) 4.2 Ví dụ Ví dụ 1.10 Một khóa chữ có vòng, vòng ghi năm chữ số 1, 2, 3, 4, Chọn vòng chữ số ta số có sáu chữ số gọi mã khóa Mỗi vòng ta có lựa chọn tạo       56  15625 mã khố (Cũng thể ghi vòng năm chữ A, B, C, D, E) mã khóa chữ gồm năm chữ Ví dụ 1.11 Số máy điện thoại tỉnh gồm bảy chữ số Hỏi kho số tỉnh có Giải: Áp dụng (1.4), có: k A n  n k  107 số máy điện thoại Ví dụ 1.12 Vé xố số có bốn chữ số Hỏi có vé tất cả? Giải: Mỗi vé chỉnh hơp lặp chặp 10 phần tử, có tất A10  104 =10000 vé xổ số có bốn chữ số LUẬT TÍCH, LUẬT TỔNG 5.1 Khái niệm Một cơng việc hồn thành thực liên tiếp n giai đoạn Giả sử giai đoạn thứ i có mi cách thực ( i=1,2, ,n) Khi số cách thực cho cơng việc tích m1m2 mn Đây luật tích Khác với luật tích, cơng việc hồn thành thực số n giai đoạn số cách thực công việc tổng m1+m2 + + mn Đây luật tổng 5.2 Ví dụ Ví dụ 1.13 Muốn từ TP Kon Tum đến TP Đà Nẵng buộc phải qua hai đoạn đường: Kon Tum- Pleiku (Gia Lai) Pleiku- Đà Nẵng Số cách đoạn đường thứ (xe máy, xe tơ, xe đạp), đoạn đường thứ hai có cách (ơ tơ máy bay) Vậy Tốn thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH) ThS Phan Văn Linh muốn tính số cách từ TP Kon Tum đến TP Đà Nẵng ta dùng luật tích, có 3.2 = (cách) Ví dụ 1.14 Tua du lịch Măng Đen (Kon Tum) tổ chức TP Kon Tum, du khách chọn lựa hai hình thức: “du lịch cá nhân” tổ chức cho người cặp hai người cách (xe đạp, thuyền độc mộc, xe máy) ; “du lịch tập thể” tổ chức cho ba người trở lên cách (ô tô, xe máy) Để tính số cách thực tua du lịch ta áp dụng luật tổng, kết có 3+2 = (cách) C.TÓM TẮT Chỉnh hợp Định nghĩa: Một nhóm k vật lấy lần lượt có thứ tự số n vật khác gọi chỉnh hợp chập k n vật Số chỉnh hợp chập k n vật, kí hiệu A kn , được tính theo cơng thức : A kn  n(n  1) (n  k  1), (1  k  n) Hốn vị Định nghĩa: Một nhóm n vật được xếp vào n chỗ, cách xếp được gọi hoán vị Số hoán vị được tính theo cơng thức: A nn  n(n  1) 3.2.1  n! Tổ hợp Định nghĩa: Một nhóm k vật lấy được từ n vật khác gọi tổ hợp chập k n vật Số tở hợp chập k n vật, kí hiệu C kn , được tính theo cơng thức: Ckn  n! (1  k  n) k!(n  k)! A kn C  k! (1  k  n) k n hay Chỉnh hợp lặp Có n vật khác nhau, lấy k lần, lần lấy vật, lấy xong trả lại liền (nên lần sau lại lấy vật lấy lần trước), nhóm k vật gọi chỉnh hợp lặp chập k n vật Số chỉnh hợp lặp chập k n vật được tính theo công thức : k An  n k , k  1, 2,3, Luật tích, luật tổng Một cơng việc hoàn thành thực liên tiếp n giai đoạn Giả sử giai đoạn thứ i có mi cách thực ( i=1,2, ,n) Khi số cách thực hiện cho cơng việc tích m1m2 mn Đây luật tích Khác với luật tích, cơng việc hoàn thành thực số n giai đoạn số cách thực hiện cơng việc bằng tổng m1+m2 + + mn Đây luật tổng Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH) ThS Phan Văn Linh D.CÂU HỎI & BÀI TẬP, THỰC HÀNH, THẢO LUẬN 1.1 Ban thường vụ Tỉnh ủy tỉnh Kon Tum gồm 13 người, có người dân tộc thiểu số Chọn ngẫu nhiên người, tìm số khả xảy ứng với tình sau: a- Chọn người dân tộc thiểu số; b- Chọn người dân tộc thiểu số; c- Chọn người dân tộc thiểu số; d- Không chọn dân tộc thiểu số 1.2 Có số gồm chữ khác lấy từ chữ số 0, 2, 4, 6, 8? 1.3 Một lớp có 50 học viên, cần chọn lớp trưởng, lớp phó học tập lớp phó vật chất Nếu có khả chọn vào chức vụ có cách chọn? 1.4 Có thể lập số gồm chữ số khác lấy từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5? 1.5 Có 24 đội bóng tham gia thi đấu, đội phải đấu với lượt đi, lượt Ban tổ chức cần tổ chức trận đấu? 1.6 Có ơng cụ, cụ bà em bé ngồi quanh bàn tròn Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho cụ ông ngồi cạnh nhau, cụ bà ngồi cạnh em bé ngồi cạnh nhau? 1.7 Có cách phân phối 16 tặng phẩm cho người cho: a Người thứ có tặng phẩm b Mỗi người có tặng phẩm 1.8 Hộp kín có 12 bi trắng bi đỏ, bốc ngẫu nhiên bi Tìm số khả xảy ứng với: a bi trắng bi đỏ; b màu bi c có hai màu bi khác BÀI ĐỌC THÊM: Tổng quan giải tích tổ hợp Giải tích tổ hợp (hay toán học tổ hợp , đại số tổ hợp, lý thuyết tổ hợp) ngành toán học rời rạc, nghiên cứu cấu hình kết hợp phần tử tập hữu hạn phần tử Các cấu hình hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp, phần tử tập hợp Giải tích tổ hợp có liên quan đến nhiều lĩnh vực khác toán học, đại số, lý thuyết xác suất, lý thuyết ergod (ergodic theory) hình học, đến ngành ứng dụng khoa học máy tính vật lí thống kê Giải tích tổ hợp liên quan đến khía cạnh giải vấn đề lẫn xây dựng sở lý thuyết, nhiều phương pháp lý thuyết vững mạnh xây dựng, tập trung vào cuối kỉ 20 Một mảng lâu đời toán học tổ hợp lý thuyết đồ thị Giải tích tổ hợp dùng nhiều khoa học máy tính để ước lượng số phần tử tập hợp Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH) ThS Phan Văn Linh Chương MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ XÁC SUẤT A.MỤC TIÊU Về kiến thức: - SV hiểu rõ các khái niệm phép thử- biến cố ngẫu nhiên- định nghĩa xác suất, các quy tắc cộng ( đơn giản) nhân xác suất ( đơn giản); - SV Nhận biết phép thử Bernoulli, biến ngẫu nhiên phân phối xác suất biến ngẫu nhiên; - SV viết được định nghĩa kỳ vọng- phương sai ý nghĩa kỳ vọng- phương sai; biết được phân phối nhị thức phân phối chuẩn Về kỹ năng: - SV tính được xác suất bằng cách vận dụng định nghĩa, quy tắc nhân, quy tắc cộng xác suất (đơn giản) công thức lập bảng phân phối xác suất (rời rạc); - SV thực hành tính toán được các số đặc trưng kỳ vọng- phương sai Về thái độ: SV cảm nhận bước đầu ứng dụng xác suất vào thực tế sống B.NỘI DUNG ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT DẠNG CỔ ĐIỂN 1.1 Phép thử, biến cố Trong nghiên cứu tự nhiên xã hội ta phải theo dõi tượng, phải cân, đong, đo, đếm, làm thí nghiệm- ví dụ gieo đồng tiền, gieo xúc xắc, bắn viên đạn vào mục tiêu, kiểm tra độ bền lơ bóng đèn, Người ta gọi chung công việc phép thử Có loại: phép thử tất yếu phép thử ngẫu nhiên Mục đích mơn xác suất thống kê nghiên cứu phép thử ngẫu nhiên để từ rút quy luật vật tượng Lý thuyết xác suất thống kê thuộc vào lý thuyết toán học đại, có nhiều ứng dụng nhiều ngành khoa học Y học, Sinh học, Kinh tế học, Khoa học giáo dục, Xã hội học,… Phép thử (ngẫu nhiên) thực nhóm điều kiện xác định ( lặp lại nhiều lần) kết ta khơng thể đốn trước Kết phép thử, gọi biến cố ( hay kiện)- ví dụ gieo đồng tiền, kết mặt sấp (S) mặt ngửa (N) xuất Và phép thử có hai biến cố sơ cấp: S, N Nhưng với phép thử ta xét biến cố A= “hoặc sấp ngửa” khơng biến cố sơ cấp, A chia nhỏ thành S N Ta gọi biến cố biến cố sơ cấp (hay kiện sơ cấp, biến cố bản) phân chia thành biến cố nhỏ nữa, kí hiệu e1 ,e ,….Giả sử có n kiện sơ cấp: e1 ,e2 , ,en tập hợp   {e1 ,e2 , ,e n } gọi tập hợp kiện sơ cấp Một nhóm kiện sơ cấp ( tập hợp  ) gọi biến cố ngẫu nhiên ( hay kiện , biến cố) Biến cố thường kí hiệu chữ A, B, C ,… Chẳng hạn, gieo xúc sắc Sự kiện sơ cấp bao gồm kiện xuất mặt 1, 2, 3, 4, 5, chấm Sự kiện xuất mặt chẵn A bao gồm ba kiện sơ cấp (2, 4, 6), kiện xuất mặt lẻ B bao gồm ba kiện sơ cấp (1, 3, 5) Nếu gieo hai xúc xắc có tất kiện sơ cấp 36 cặp số (1, 2), (1, 3) ,…., (6, 6) - Sự kiện “có mặt 6” bao gồm 11 kiện sơ cấp: (1, 6), (2, 6),…., (6, 1),… , (6, 6) Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH) ThS Phan Văn Linh - Sự kiện “tổng số điểm hai xúc xắc 10” gồm ba kiện sơ cấp (4, 6), (5, 5), (6, 4) - Sự kiện “điểm hai xúc xắc nhau” bao gồm kiện sơ cấp (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) Biến cố (rỗng) biến cố khơng thể xảy ra, kí hiệu  Biến cố mà chắn xảy phép thử thực gọi biến cố chắn, ký hiệu  Các biến cố sơ cấp khả mà từ ta suy biến cố A xảy gọi khả thuận lợi cho biến cố A 1.2 Xác suất biến cố Khi tiến hành phép thử, biến cố (sự kiện) A có mức độ hay khả xảy ra, số đo khả xuất gọi xác suất biến cố, kí hiệu p(A) (Probability) chọn cho:  p(A)  (2.1) Chẳng hạn, gieo xúc xắc, xúc xắc hình lập phương cân đối làm chất lượng đồng xác suất mặt chẵn xác xuất mặt lẻ 1 =0,5, xác suất “ra số chia hết cho 3” =0,3333, xác suất “ra mặt 6” =0,6667 Có nhiều cách tính xác suất, đề cập hai cách tính xác suất cách tính thống kê cách tính cổ điển a- Cách tính thống kê Xác định điều kiện đầu xong ta lặp lại phép thử nhiều lần, nhiều tốt, ghi lại số lần thử n số lần có kiện A, gọi tần số n(A) Tần suất kiện A, kí hiệu f(A) tính theo cơng thức: f (A)  n(A) n (2.2) Tần suất xác suất với số phép thử n lớn thì lấy tần suất f(A) làm xác suất p(A) Chẳng hạn, để tính xác suất mặt sấp gieo đồng tiền, ta có kết sau, dao động quanh 0,5 ( Hình 2.1 ) Người thực Số lần gieo Số lần mặt sấp Tần suất Buýt phông 4040 2048 0,5080 Piếc sơn 12000 6019 0,5016 Piếc sơn 24000 12012 0,5005 -Hình 2.1b- Cách tính cổ điển: Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH) p(A)  ThS Phan Văn Linh m n (2.3) Trong m: số khả thuận lợi cho biến cố A ; n: số khả có thể xảy phép thử Ví dụ 2.1 Gieo đồng tiền cân đối đồng chất, coi hai kết sấp (S), ngửa (N), kiện sơ cấp Tính xác suất P(S), P(N)? Giải: Áp dụng (2.3), m = 1, n = Vậy xác suất p(S) = Tương tự tính p(N) = Ví dụ 2.2 Nếu gieo lúc hai đồng tiền cân đối đồng chất Tính xác suất để có đồng xuất mặt sấp Giải: Ta có n= (biến cố sơ cấp: (S S), (S N), (NS), (N N)) Gọi A = “Hai đồng tiền mặt sấp”, số biến cố thuận lợi cho A xảy m = 1 [(SS)] Vậy p(A)  Ví dụ 2.3 Lấy ngẫu nhiên từ cỗ 52 Tìm xác suất để: a- Được màu đỏ; b- Được Cơ, Rô, Pic; c- Được At, Q, 10 Giải: Ta có : n= C852 a- Số khả thuận lợi cho biến cố A= “Được màu đỏ” m= C526 C52 C526 C52 (luật tích) Vậy p(A)  =0,23 C852 b- Số khả thuận lợi ch  o biến cố B= “Được Cơ, Rô, C113 C13 C13 C132 Pic” m= C C C C Vậy p(B)  = 7,7.10-7= 0,00000077 C52 13 13 13 13 c- Số khả thuận lợi cho biến cố C= “Được At, Q, 10 2” m= C14 C24 C34 C24 Vậy p(C)  C14 C24 C34 C24 =0,03 C852 Ví dụ 2.4 Vé xổ số có chữ số, quay số trúng thưởng có vé trúng giải vé có chữ số khác Tính xác suất để mua vé vé trúng giải Giải: Có tất 10  10000 vé bốn chữ số Ta có số khả n = 10000 ThS Phan Văn Linh Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH) Số vé có chữ số khác (vé xổ số bắt đầu số 0): A  10.9.8.7  5040 10 Như số khả thuận lợi cho biến cố mua vé trúng giải là: m = A  10.9.8.7  5040 10 Xác suất để vé trúng giải có chữ số khác là: 5040  0,504 10000 Ví dụ 2.5 Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối đồng chất Tìm xác suất để: a Tổng số chấm hai xúc xắc b Số chấm hai Giải: a Số khả thuận lợi cho biến cố A= “tổng số chấm hai xúc xắc 8” m=5 ( biến cố thuận lợi (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) ) Số khả n=6.6=36 Vậy p(A)= 36 b Số khả thuận lợi cho biến cố B= “số chấm hai xúc xắc nhau” m=6 Vậy xác suất phải tìm p(B)=  36 DÃY PHÉP THỬ BERNOULLI 2.1 Biến cố độc lập, phép thử độc lập, phép thử lặp, phép toán – quan hệ biến cố Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố khơng ảnh hưởng kết xảy biến cố Hai phép thử gọi độc lập với việc thực kết phép thử không ảnh hưởng không phụ thuộc vào phép thử Các phép thử lặp phép thử thực điều kiện hoàn toàn Rõ ràng phép thử lặp độc lập với Ví dụ 2.6 Ba người bắn vào bia Gọi Ak=”người thứ k bắn trúng tâm bia”, k=1,2,3 Giải: Đây phép thử độc lập phép thử lặp Các cặp biến cố A1 A2; A2 A3 ; A1 A3 độc lập Nếu người bắn viên độc lập vào bia lần phép thử độc lập phép thử lặp Cho hai biến cố A B, xây dựng phép toán hai biến cố tạo biến cố mới: - Phép cộng hai biến cố thành biến cố A  B xảy hai biến cố A B xảy - Phép nhân hai biến cố thành biến cố A  B ( hay AB) xảy hai biến cố A B xảy (Các phép toán hiểu phép hợp giao hai tập hợp A B) 10 ThS Phan Văn Linh Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH) Ví dụ 2.24 Trở lại giả thiết cho thí dụ 2.23 Ta tính phương sai DX trường hợp sau: 1 1 1 a) Tính EX2 = 12  22  32  42  52  62  15,167 6 6 6 Áp dụng (2.13) ta phương sai: DX= EX2  (EX)2 = 15,167 - 3,52 = 2,92 1 b) Tính EX2 = 02  12  22  1,5 Vậy DX = 1,5 - 12 = 0,5 4 Ý nghĩa phương sai: Phương sai đo mức độ phân tán ( hay độ tản mát) giá trị biến ngẫu nhiên X xung quanh giá trị kỳ vọng EX DX lớn giá trị biến ngẫu nhiên phân tán, ngược lại độ tập trung xung quanh EX nhỏ Phương sai gọi độ lệch bình phương trung bình giá trị X so với kỳ vọng EX (Biểu thức (2.12) minh họa ý nghĩa DX phù hợp với tên gọi này) Tính chất 2.3 a) DC = (C số) b) D(CX) = C2.DX c) D(-X) = DX d) Nếu X Y độc lập D(X  Y) = DX  DY Đợ lệch chuẩn ký hiệu   DX Chú ý: Có thể tính phương sai theo: n DX=   x i  EX  p i (2.14) i 1 4.3 Mod Mốt giá trị biến ngẫu nhiên X, ký hiệu xmod , cho xác suất tương ứng đạt cực đại Trở lại ví dụ 2.20, ta có hai giá trị là: xmod =1 xmod =2 4.4 Median Trung vị giá trị biến ngẫu nhiên X, ký hiệu xMe , mà F(x Me )  (SV tự tính trung vị qua ví dụ 2.20 ) MỘT SỐ PHÂN PHỐI THƯỜNG GẶP 5.1 Phân phối nhị thức Xét n phép thử Bernoulli với biến cố A có P(A)=p Gọi X số lần xuất biến cố A Khi X có phân phối nhị thức, ký hiệu B(n;p) bảng phân phối có dạng: X … k … n P p0 p1 … pk … pn Trong pk  p  X  k   Ckn pk q n k , k=0;1;2; Phân phối này, X có kỳ vọng, phương sai: 19 ThS Phan Văn Linh Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH) EX = np ; DX = npq, với q=1-p (2.15) 5.2 Phân phối Pốt-xơng Biến ngẫu nhiên X có phân phối Pốt – xơng bảng phân phối có dạng: X … k … P p0 p1 p2 … pk … Trong đó: pk  e  k  k! (μ tham số dương; k = 0, ,  ) Phân phối này, X có kỳ vọng, phương sai : EX = DX =  (2.16) Nhận xét: Nếu phân phối B(n, p) có n lớn xác suất p bé xem phân phối nhị thức xấp xỉ với phân phối Pốt – xơng: C kn p k q n  k  e  k  ,   np k! (2.17) 5.3 Phân phối chuẩn Biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn, ký hiệu N(, 2 ) , X lấy giá trị từ  đến  với mật độ xác suất: (x)   e 2 ( x  )2 2 (  x  ) (2.18) (SV xem mục 2.3.3 Biến ngẫu nhiên liên tục) X có phân phối chuẩn N(, 2 ) thì: EX   DX  2 (2.19) Trong thực tế thường gặp biến phân phối chuẩn khảo sát biến định lượng chiều cao người lớn, mức độ thông minh trẻ em, điểm thi thí sinh, sức chịu đựng sắt, hay số đối tượng có liên quan trọng lượng, bán kính, chiều dài,… Trong nghiên cứu địa chất, phân phối chuẩn ứng dụng để mô tả nhiều tượng địa chất, hàm lượng khoáng vật đá, hàm lượng số nguyên tố hóa học, Do có vai trò vị trí quan trọng phân phối chuẩn nên người ta lập bảng  2x tính giá trị hàm mật độ (x) e (   0,   ) hàm phân phối tiêu chuẩn 2 x 2t x   e dt (Xem mục III trang 37- [1]) Các giá trị hàm lập 2  thành bảng (Xem Bảng 1, Bảng 2- G.Phụ lục) 20 Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH) ThS Phan Văn Linh Tra Bảng tìm   x  cho x0 ngược lại có   x  tìm x0 Ví dụ, tính  1,96  =0,9750, theo Bảng , ta có giá trị 0,9750 ô giao cắt dòng t=1,9 với cột t=6 X   có phân phối N(0,1) (phép chuyển đổi gọi phép chuẩn hóa biến ngẫu nhiên) Khi Nếu X có phân phối N(, 2 ) ( viết X N(, 2 ) ) biến ngẫu nhiên Y= đó:  b   a   P(a  X  b)              (2.20) x 2t Với hàm phân phối tiêu chuẩn   x    e dt thì: 2    x      x  (2.21) Ví dụ 2.25 Giả sử độ cao X trẻ em tuân theo luật phân phối chuẩn dạng N(1,3; 0,01) Tính xác suất để trẻ em có độ cao nằm khoảng (1,2; 1,4)  1,  1,3   1,  1,3  Giải: Ta có: p[1,  X  1, 4]         0,01   0,01  =  (1)-  (-1) =  (1) - (1-  (1)) ( (2.21)) =  (1) -1 = 0,8413-1= 0,6826 (Tra Bảng 2, Phụ lục:  (1)=0,8413) Ví dụ 2.26 Gọi X số đo độ thông minh (Intelligent Quota -IQ) sinh viên a) Cho biết số IQ trung bình sinh viên bao nhiêu? b) Khả chọn sinh viên thông minh (X  90) bao nhiêu? Số tìm có phải tỷ lệ sinh viên thông minh hay không? c) Trong lớp gồm 100 sinh viên (coi phân ngẫu nhiên ) trung bình có sinh viên có số IQ 90 d) Gọi Y số sinh viên có IQ  90 100 sinh viên Chỉ rõ phân phối xác suất Y Tìm xác suất để 100 sinh viên có 20 sinh viên có IQ  90 Giải: a) Chỉ số IQ trung bình 85 b) P(90  X)  P(90  X  )   ()   ( 90  85 )    (1) =1-0,8413=0,16 Trên giới chưa phát bậc vĩ nhân có IQ>250 Do số 0,16=16% tỷ lệ sinh viên thông minh (X  90) c) Xem lớp 100 sinh viên 100 phép thử Bernoulli, với xác suất biến cố (X  90) p = 0,16 trung bình có np=100 0,16= 16 sinh viên có IQ  90 ( theo (2.15)) 21 ThS Phan Văn Linh Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH) d) Ta có 100 phép thử Bernoulli Y B(100; 0,16) k 0,16k.0,84100k ( k=1,2,3,4, ,100) Phân phối xác suất Y: P(Y  k)  C100 Xác để suất 20 100 20 100 100  20 P(k=20)= C 0,16 0,84 sinh viên có 20 sinh viên có IQ  90 Ngồi phân phối chuẩn có nhiều phân phối liên tục thường gặp nghiên cứu khoa học đời sống phân phối đều, phân phối mũ,…,một số phân phối có quan hệ trực tiếp với phân phối chuẩn có nhiều ứng dụng thống kê phân phối bình phương 2 , Student ( phân phối t),…( SV xem thêm V trang 46-[1]) C.TÓM TẮT Phép thử, biến cố Phép thử (ngẫu nhiên) thực nhóm điều kiện xác định ( lặp lại nhiều lần) kết ta khơng thể đốn trước Kết phép thử gọi biến cố (sự kiện) Ta gọi biến cố biến cố sơ cấp (hay kiện sơ cấp, biến cố bản) khơng thể phân chia thành biến cố nhỏ nữa, kí hiệu e1 ,e ,….Giả sử có n kiện sơ cấp: e1 ,e2 , ,en tập hợp   {e1 ,e2 , ,e n } gọi tập hợp kiện sơ cấp Một nhóm kiện sơ cấp ( tập hợp  ) gọi biến cố ngẫu nhiên ( hay kiện ngẫu nhiên) Biến cố (rỗng) biến cố không thể xảy ra, kí hiệu  Biến cố mà chắn xảy phép thử thực gọi biến cố chắn, ký hiệu  Các biến cố sơ cấp khả mà từ ta suy biến cố A xảy gọi khả thuận lợi cho biến cố A Xác suất biến cố Khi tiến hành phép thử, biến cố (sự kiện) A có mức độ hay khả xảy ra, số đo khả xuất gọi xác suất biến cố, kí hiệu p(A) (Probability) chọn cho:  p(A)  Hai cách tính xác suất: a- Cách tính thống kê Xác định điều kiện đầu xong ta lặp lại phép thử nhiều lần, nhiều tốt, ghi lại số lần thử n số lần có kiện A, gọi tần số n(A) n(A) Tần suất kiện A, kí hiệu f(A) tính theo cơng thức: f (A)  n Tần suất xác suất với số phép thử n lớn thì lấy tần suất f(A) làm xác suất p(A) m b- Cách tính cổ điển: p(A)  n Trong m: số khả thuận lợi cho biến cố A ; n: số khả có thể xảy phép thử Biến cố độc lập, phép thử độc lập, phép thử lặp, phép toán – quan hệ biến cố Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố khơng ảnh hưởng kết xảy biến cố 22 Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH) ThS Phan Văn Linh Hai phép thử gọi độc lập với việc thực kết phép thử không ảnh hưởng không phụ thuộc vào phép thử Các phép thử lặp phép thử thực điều kiện hoàn toàn Rõ ràng phép thử lặp độc lập với Cho hai biến cố A B, xây dựng phép toán hai biến cố tạo biến cố mới: - Phép cộng hai biến cố thành biến cố A  B xảy hai biến cố A B xảy - Phép nhân hai biến cố thành biến cố A  B ( hay AB) xảy hai biến cố A B xảy (Các phép toán hiểu phép hợp giao hai tập hợp A B) Hai biến cố A B gọi xung khắc với hai đồng thời xảy (A B =  ) Hai biến cố A B gọi đối lập với chúng xung khắc phép cộng A B thành biến cố chắn Nếu ký hiệu A biến cố đối lập A A A =  A  A   Như hai biến cố đối lập xung khắc, xung khắc chưa đối lập Dãy phép thử Bernoulli, xác suất nhị thức, số có khả Ta gọi n phép thử độc lập n phép thử Bernoulli hai điều kiện sau thỏa mãn: i) Mỗi phép thử có biến cố A A ; ii) Xác suất xảy A phép thử; p(A)= p, (do p( A )=1p) Khi thực n phép thử Bernoulli biến cố A xảy lần , lần , ,n lần Biến cố “trong n lần có k lần biến cố A xảy ra” biến cố ngẫu nhiên Ta ký hiệu Pn(k;p) xác suất biến cố này, tính cơng thức: Pn(k;p)= Pn  k;p   Ckn pk (1  p)n k (0  k  n) (Xác suất tính theo cơng thức gọi xác suất nhị thức) Quy tắc tính k0: - Nếu np+p-1 nguyên k0 = np+p-1 hoặc k0 = np+p; - Nếu np+p-1 thập phân k0 số nguyên bé lớn np+p-1 Biến ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên rời rạc, bảng phân phối xác suất Một đại lượng hay biến nhận giá trị với xác suất tương ứng gọi biến ngẫu nhiên, ký hiệu X, Y, Z, Nếu giá trị biến giá trị rời tập số thực gọi biến ngẫu nhiên rời rạc Xác suất tương ứng với giá trị BNN X pi=P(X=xi) , i=1,2,3, ,n gọi phân phối xác suất X Bảng chứa thông tin giá trị xi X xác suất tương ứng pi sau gọi Bảng phân phối xác suất X X x1 x2 x3 .xn pi=P(X=xi) p1 p2 p3 .pn , với p1+ p2+ p3 + + pn = Hàm phân phối tính chất 23 Tốn thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH) ThS Phan Văn Linh Hàm phân phối BNN X ( X rời rạc) xác định sau: x  x 0 p x  x  x  F(x)   pi  p1  p x