Cơ học kỹ thuật tập 2, phần động lực học

C ơ hệ không tự do còn được gọi là cơ hệ chịu liên kết, là tập hợp các chất điểm mà trong chuyển động của chúng, ngoài lực tác dụng, vị trí và vận tốc của các chất điểm bị ràng buộc bởi

Bản quyền thuộc HEVOBCO - Nhà xuất bản G iáo d ụ c

quy luật giữa hai loại đại lượng ; các đại lượng ậẫc trưng cho lác dụng

của lực và các dại lượng đạc trưng cho chuyển động của vật thể Nói theo cách khác, động lực học nghiên cứu mối quan hệ nhân - quả giữa các nguyên nhân gảy nên chuyển động và các đặc trưng biểu hiện chuyên động (các đặc trưng động học)

Động lực học được xây dựng trên hệ định luật do Galiỉè và NiuiOTi đưa ra, thường được gọi là các định luât Niuicm

1.1 CÁC KHÁI NIỆM

1 1 1 V ậ t t h ể

Trong cư Iiọc i> Ihuyết, vậi thc được mô tả dưới các dạng sau :

Cbãi diểni : còn được gọi là vật điểm, là một điểm hình học có các

thuôc tính vật lý (cư học): đó ỉà quán tính và tương tác cơ học Chất điểnv

là mô hình ciia các vâi thể mà kích thước của nó có thổ bỏ qua được Jo

nhỏ so với các vật thồ khác hoặc không đóng vai trò gì trong quá trình khảo sá! chuyển động, ví dụ khi xác định tầm xa cùa viên đạn hoặc khi khảo sái chuỵC-n động của các vật tịnh tiến có thổ xem chúng ỉà cliất dịổíĩi

C ơ hệ ; là tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn các chất điểm trong dó

chuyển động của một chất điểm bất kỳ phụ thuộc vào chuyển dộng cúa các chất điểm còn lại, nghĩa là chuyển động của các chất điểm phụ ihuộc vào nhau Nói khác đi, giữa các chất điểm của cơ hệ tồn tại các tương tát

cơ học Tùy thuộc vào bản chất của tương tác cơ học giữa các chất điểm,

cơ hệ được phân thành cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do

C ơ hệ tự do là tập hợp các chất điểm mà mối tương tác cơ học giữa chúng dược biểu hiện thuần tuỷ qua lực tác dụng Nói khác đi, cơ hệ tự do

là tập hợp các chất điểm tự do, tức là chất điểm mà di chuyển của nó (di chuyển vô cùng bé) từ vị trí đang xét theo bất kỳ phương nào cũng không

bị cản trở Thái dương hệ là một thí dụ vể cơ hệ tự do

C ơ hệ không tự do còn được gọi là cơ hệ chịu liên kết, là tập hợp các chất điểm mà trong chuyển động của chúng, ngoài lực tác dụng, vị trí và vận tốc của các chất điểm bị ràng buộc bởi một sô điều kiện hình học và động học cho trước được gọi là những liên kết Cơ cấu máy là một thí dụ

về cơ hệ không tự do

Vật rắn tuyệt đối : là một cơ hộ gồm vô số các chất điểm mà khoảng

cách giữa hai chất điểm bất kỳ của nó không đổi trong suốt thòi gian chuyển động Trong thực tế, các vật mà biến dạng của nó có thể bỏ qua

do bé hoặc do không đóng vai trò quan trọng trong quá trình khảo sát chuyển động, được xem là vật rắn tuyệt đối, thường được gọi tắt là vật rắn

1 1 2 Lực•

Khái niêm lực đã được định nghĩa trong tĩnh học Đó là tác dụng tương hỗ cơ học giữa các vật thể Như đã biết, các đặc trưng của lực là đường tác dụng, điểm đặt và cường độ của lực Lực được biểu diễn nhờ vectơ lực Trong tĩnh học chỉ liên quan với các lực hằng, trong động lực học, lực nói chung là đại lượng biến đổi (biến đổi cả về độ lớn và hướng) Lực biến đổi có thể phụ thuộc vào thời gian, vị trí và vân tốc của chất điểm và có thể phụ thuộc đổng thời vào các đại lượng đó Trong trường hợp tổng quát, biểu thức của lực có dạng :

Các lực tác dụng lên cơ hộ có thể phân thành ngoại lực và nội lực Ngoại lực được ký hiệu F e , là lực do các vật thể bên ngoài cơ hệ tác dụnglên các chất điểm thuộc cơ hê Nội lực, được ký hiộu F ị , là lực do các chất điểm thuộc cơ hệ tác dụng lên lẫn nhau Các lực tác dụng lên cơ hệ cũng có thể được phân thành lực hoạt động và lực liên kết Lực liên Jcếtđược ký hiệu R , là lực do các liôn kết tác dụng lên các chất điểm của cơ

hệ Các lực không phải là lực liên kết, được gọi là lực hoạt động (cònđược gọi là lực đặt vào) và được ký hiệu F

Việc phân loại lực theo cách nào sẽ tùy thuộc vào phương pháp được dùng để khảo sát cơ hệ

1 1 3 H ệ q u y ch iếu quán tính

Muốn khảo sát chuyên động của các vật thể trước hết phải chọn hệ quy chiếu Cũng như tĩnh học, trong động lực học, hệ quy chiếu được chọn là hệ quy chiếu quán tính, đó là hệ quy chiếu mà trong đó định luật quán tính của Galilê được nghiệm đúng Vật lý hiện đại đã chứng minh rằng, khộng có hệ quy chiếu quán tính Trong thực tế, tùy thuộc yêu cầu

vé độ chính xác của bài toán khảo sát, người la chọn các hệ quy chiếu quán tính gần đúng Trong Ihiên văn, hệ quy chiếu quán tính được chọn là

hệ trục toạ độ có gốc ở tâm Mật Trời và ba trục hưóng đến ba ngôi sao cô' định Trong kỹ thuật, hệ quy chiếu quán tính được chọn thưcmg là Trái Đất Hộ quy chiếu được tượng trưng bỏfi hệ trục toạ độ gắn liển với hê quy chiếu (Trái Đất)

1.2 HỆ CÁC đ Ị n h luật C ủ a đ ộ n g lực h ọ c

1 2 1 Đ inh luật th ứ nhất (đinh luật quán tính)

Chất cliểm không chịu tác dụng của lực nào s ẽ dứng yên hoặc chuyển động thẳng dểu.

'Trạng thái đứng yên hay clĩuvển động thẳng đêu của chất điểm được gọi là trạng thái quán tính của nó.

INhư vậy theo định luật này, nếu không có lực tác dụng lên chất điểm (chất điểm như vậy được gọi là chất điểm cô lập) thì có trạng thái

quán tính Nói khác đi, chất điểm cô lập sẽ bảo toàn trạng thái quán lính của mình cho đến khi chưa có lực tác dụng buộc nó ihay đối trạng thái chuyển động Bằng cách như vậy định luật quán tính không những ctio một tiêu chuẩn vể hệ quy chiếu quán tính mà còn phát hiện và khẳng dịnli lực là nguyên nhân duy nhất làm biến đổi irạng thái chuyển động cíia chất điểm Do đó, định luật quán tính là một trong những phát minh vĩ dại nhất của con người.

1 2 2 Định luật thứ hai (Đ ịnh luật cơ bản của đ ộn g lực học)

Trong hệ quv chiếu quán tính, dưới tác dụng của lực, chú) diếm chuyển động với gia tốc có cùng hướng với lực và có giá trị tỷ lệ với cường độ của lực (H 1 -1).

Như vậy định luật thứ hai được biểu thị bằng hệ thức :

Trong đó hệ số tỷ lệ m có giá trị khồng

đổi, là số đo quán tính của chất điểm, dược

gọi là khối lượng của chất điểm Định luật

thứ hai thiết lập mối quan hệ giữa lực tác

dụng và gia tốc mà chất điểm thu được dưới

hê quy chiếu quán tính mà trong đó định luẠt thứ hai được thiết lập

Khi viết (1-2) cho chất điểm rơi tự do trong trọng trường, ta có :

p = m g ( 1 -3 )

Công thức (1-3) thiết lập mối quan hê giữa trọng lượng và khối lượng của chất điểm

H ình 1-1

1 2 3 Đ ịnh luật thứ ba (Định luật tác dụng và phản

tá c dụng)

Cúc lực tác dụng tương hỗ giữa hai chất điểm có cùng dường tác

dụng, iiíỊược chiêu và cùng cường độ.

Cần luu ý rằng, hai lực tác dụng tương hỗ giữa hai chất điểm không

phải là cặp lực cân bằng vì chúng đặt vào hai chất điểm khác nhau Định

luật thứ ba không liên quan đến các yếu tố động học nên nó đúng đối với

hệ quy chiếu bất kỳ

Giá trị đặc biệt của định luật thứ ba còn ở chỗ nó mô tả tương tác

giữa hai chất điểm và do đó cho phép khảo sát động lực học cơ hê

'[■heo định luật thứ ba, hộ nội lực sẽ gồm các lực từng đôi một trực

đối nhau Do đó suy ra tính chất của hệ nội lực : Vectơ chính và momen

chính của hệ nội lực đối với một điểm bất kỳ luôn luôn triệt tiêu, tức là :

Dưới tác dụng dồng thời của một sô' lực, chất điểm có gia tốc bằng

lổng hình học các gia tốc mà chất điểm cỏ dược khi mỏi lực lác dụng

riêng hiệt.

Già sử chất điểm có khối lượng m clĩỊu tác dụng của các

!ựcFi/F2, ,Fn Theo định luật thứ tư và áp dụng định luật thứ hai, chất

điếm chuyên động với gia tốc a được tính theo công thức :

Điểu đó có nghĩa là dưới tác dụng của các lực F i,F2, ,Fn chất điếm

sẽ chuyển động với gia tốc thoả mãn định luật thứ hai, trong đó lực tácdụng lên chất điểm là hợp lực của hệ lực F i,F2, ,Fn Nói khác đi, trong

dộng lực học chất điểm cho phép sử dụng quy tắc hình hình hành lực đã

Định luật thứ năm cho phép áp dụng bốn định luật nêu trên, chúng được phát biểu đối với chất điểm tự do, cho động lực học chất điểin không tự do

1.3 HAÍ BÀI TOÁN CO BẢN CỦA ĐỘNG Lực HỌC

Động lực học nhằm giải quyết hai bài toán cơ bản sau :

Bài toán thứ nhát:

Cho biết chuyển động của vật thể, hãy xác định lực dã gây ra chuyển động đó

Bài toán thứ hai:

Cho biết các lực tác dụng lên vật thể và những điểu kiện đầu của chuyển động, hãy xác định chuyển động của vật thể đó

Đô tìm đơn vỊ tính tương ứng của đại lượng dẫn xuất lực, ta sử dụng phương trình cơ bản của động lực học.

F = maVới m = Ikg ; a = Im/s^ thì F = Ikg Im/s^ = lk g m /s\ được gọi là Niutơn, ký hiộu N Vậy :

Chương 2

PH Ư Ơ N G T R ÌN H V I PH Â N CỦA

CHUYỂN ĐỘNG

2.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN đ ộ n g c ủ a CHẤTĐIỂM

2 1 1 Phương trình vi phân chuyển đ ộ n g của chấit điểm trong dạng vectơ

Khảo sát chuyển động của chất điểm có khối lượng m chịu tác dụngcùa lực F (trong irường hợp chất điểm tự do, chịu lác dụng của nhiều lựcthì F là hợp lực của những lực đó, còn trong trường hợp chất điếm không

tự do thì F là hợp lực cúa lực hoạt động và lực liên kết)

Chọn một hê quy chiếu quán tính Trong hệ quy chiếu này, chất điểm

sẽ chuyển động với gia tốc i i , được xác định dựa vào định luật thứ hai (phương trình cơ bán của động lực học)

ma - FGọi r là vectơ dịnh vị của chất điểm trong hệ quy chiếu đã chọn Như đã biêì lừ phần dộng học :

a = r

Do đó, phưtyng trình cơ bản của động lực học chất điểm có thể viết dưới dạng:

Phương irình (2-1) được gọi là phương trình vi phân chuyển động cúa chấl điổm trong dạng vectơ.

2 1 2 Phương trình vi phân chuyển đ ộn g của chấit điểm tro n g hệ to ạ đ ộ Đ ề Các

Chọn hệ trục toạ độ Để các Oxyz gắn vào hệ quy chiếu quán tính Khi chiếu hai vế của đẳng thức vectơ (2-1) lên các trục toạ độ, ta được ;

Khi chiếu hai vế cúa đắng thức

vectơ (2-1) lên các trục toạ độ tự nhiên

(H 2-1) và dựa vào kết quá trong phần

Trong đó s và V tương ứng là loạ độ cong và giá trị của vận tốc V

của chất điểm : p là bán kính cong của quỹ đạo, còn Fx, F„, lần lượt làcác hình chiếu cúa lực F lẽn các trục tiếp tuyến, pháp tuyến chính và trùng pháp tuyến

Hệ phương trình (2-3) được gọi là các phương trình vi phân chuyển động của châì điểm trong hệ toạ độ tự nhiôn Các phương trình trên áp dụng thuận lợi khi biết quỹ đạo của chất diểm, đặc biệt đối với các bài toán cúa động lực học chất điểm không tự do.

2 1 4 P h ư ơ n g trình vi phân chuyển đ ộ n g của chất điểm trong hệ to ạ đ ộ cự c

Khảo sát chất điểm chuyển động trong mặt phảng

Khi chiếu hai vế của đẳng thức vectơ (2-1) lên trục hướng theo bánkính vectơ r và lên trục hướng vuông góc với vectơ r về hướng tãng của góc q) và sử dụng các công ihức tính gia tốc của chất điểm trong phẩn động học, ta có ;

m (p -p (ị)^ )= F p

Đó là phương trình vi phân chuyển động của chất điểm trong hệ toạ

độ cực, nó thường dùng đổ khảo sát chuyển động của chất điểm trong mặt phẳng

2 1 5 Bài to á n th ứ nhẩit của đ ộn g lực h ọc ch ất điểm

Bài toán Cho biết chuyên động của chất điểm, hãy xác định lực tác dụng lên chất điểm Trong trường hợp gia tốc của chất điểm đã cho, để giái bài toán, ta áp dụng trực tiếp phương trinh cơ bán ciia động lực học Nếu chuyển động được cho, không phải trực tiếp qua gia tốc mà qua quy luật chuyển đông của châì điểm thì đầu tiên phải tìm gia tốc của chất điểm nhờ các công thức đã thiết lập ở phần động học, sau đó áp dụng phưoíng trình cơ bản của động lực học

Ví dụ 2 - 1

Kéo một vật nặng có trọng lượng p đi lên nhanh dần với gia tốc a (H.2-2) Hãy xác định sức căng của dây cáp

Bài giải

Khảo sát vật năng, vật được xem như chất điểm Lực tác dụng vàovật nặng gồm lực p hướng xuống và lực kéo của dây cáp hướng lên Viết phương trình cơ bản của động lực học chất điểm :

P - , -

a = T + p g

Khi chiếu hai vế của phưoíng trình này lên

trục thẳng đứng hướng lên ta có :

- a = T - Pg

Từ đ ó :

T = p

1 + - gKhi vật đi lên chậm dần hoặc đi xuống

nhanh dần thì gia tốc a sẽ hướng xuống và sức

Tim áp lực của ô tô lên cầu tại đỉnh A, cho biết ồ tô có trọng lượng p

và tại đỉnh A có vận tốc V Bán kính cong của cầu tại A là p (H 2-3)

Bài giải

Khảo sát chuyển động của ôtô, nó được xem như chất điểm

Các lực tác dụng lên ôtô gồm trọng lực p , các phản iực pháp tuyến

N và tiếp tuyến T (Áp lực của ôtô lên cầu có cùng độ lớn nhưng hướng ngược chiều với phản lực pháp tuyến N )

Viết phưomg trình cơ bản của động lực học chất điểm (ô tô) la được :

g

Khi chiếu hai vế cúa đẳng thức

vectơ này lên Irục pháp tuyến chính,

Một sàng vậi liệu hạt dao động điều hoà thảng đứng với biên độ

A = 5cm Hãy xác dinh tần sô' dao động của sàng để hạt được bậl lén khói mặt sàng

Viết phưưng trình cơ bản của

N < 0

2

tức : 1 - Ao)

sin(cot + a ) < 0Điều kiện này được thoả mãn k h i :

Vậy để hạt rời được khỏi mặt sàng thì sàng phải dao động với tần số

2 1 6 B ài toán thứ hai củ a đ ộn g lực h ọ c chất điểm

Bài toán Cho biết các lực lác dụng lên chất điểm và các điều kiệnđầu của chuyển động (vị trí ban đầu và vận tốc ban đầu), hãy xác định chuyến động của chấi điểm đó

học cho phương trình vi phân chuyển động của chất điểrn Để xác định

phân, chi cho biết lớp chuyển động, chưa cho biết dạng chuyển động cụ thế cúa chất điểm Muốn tìm dạng chuyên động cụ thổ cần phải xác định các hằng tích phân nhờ các điểu kiên đẩu

Vi dụ 2 -4

Một vật nặng có khối lượng m được treo vào đầu lò xo có độ cứng c nằm cân bằng tại vị trí 0 Kéo vật nậng lệch khỏi vị trí cân bằng 0 với độ

lệch Xj, và cho vật vận tốc đầu Vp hướng về vị trí cân bằng 0 Tim chuyên động cúa vật (H.2-5).

Bài giải

Khảo sát vậi nặng được xem như chất

điểm Lực tác dụng lên chất điểm gồm

trong đó ô là độ dãn của lò xo so với M

trạng thái không biến dạng của nó

mđược gọi là tần sô' dao động riêng.

Như đã biết phương trình vi phân trên có nghiêm tổng quát dạng :

X = Asin(kt + a)

trong đó A và a là hai hằng tích phân, chúng được xác định từ điều kiệi đầu

x(t„) = Xo ; x(t^)= v^,Chọn gốc thời gian ứng với thời điểm đầu, tức to = 0

A là biên độ của dao động, a là pha ban đầu

Vạy vậi nạng dao động điéu hoà với biên độ A và tần số k

Chú ý rằng nghiệm tổng quát của phương trình vi phân chuyển động của chất điổm trên cũng có thể được viết dưới dạng ;

X = CịCoskt + C2SÌnktirong đó Cj, C2 là hai hằng tích phân được xác định từ điều kiện đầu

Đổ tìm chúng, ta dựa vào biểu thức vận lốc của chất điểm :

X = - Cịksinkt + C2kcoskt

TRUNG TẦM THÒNG TIN THƯ VIỆN

Hãy xác định chuyên động của quả cầu (H.2-6).

Bài giải

Khảo sát chuyển động quả cầu được xem như

chất điểm Lực tác dụng lên chất điểm gồm trọng lực

và lực cản của không khí Fc = -p v

Chọn irục Ox hướng thảng xuống Phương trình

vi phân chuyển động của quả cầu sẽ là :

m x = P - p x = m g - [ ì x

Từ đó :

X = g - n X ; với n =

mPhưrmg trình vi phân này có thể viết dưói dạng ;

- — = dt

H inh 2 - 6

g - nxKhi tích phân phương trình vi phân vừa nhận được với chú ý rằng lực cản không thể lớn hơn trọng lực, tức :

trong đó C |, C2 là các hằng tích phân được xác định từ điều kiên đầu.Nếu chọn gốc thời gian tương ứng vói gốc toạ độ o, thì x(0) = Xq = 0;

Vận lốc ứng với trạng thái đó được gọi là vận tốc giới hạn, có ký hiệu Voo hoặc Vgh-

n

một khoảng thời gian không lớn có thể coi vận tốc của chất điểm đạt được vận tốc giới hạn Lúc đó lực cản cân bằng với trọng lực

Tiến đến trạng thái vận tốc giới hạn là một tính chất quan trọng nhất của chuyển động của chất điểm (và của cả hê) chuyén động trong môi trường cản vói lực tỷ lệ với vận tốc

Lưu ý rằng, giá trị của vận tốc giới hạn có thê tìm được trực tiếp inà không phải qua biểu thức của vận tốc nhờ tích phân phương trình vi phân chuyển động.

Thực vậy, vận lốc giới hạn có thế’ tìm được từ biểu thức :

thời gian ứng với vị trí ban đầu

Phương trình vi phân chuyển động của viên đạn có dạng ; mx = 0 ;

ớ dó C|, C9, C3, C4, C5, Q là các hằng tích phân được xác định lừ điều kiện đầu Với các điéu kiộn đầu đã cho, ta tìm được :

vectư vận tốc ban đầu V o

Dỗ dàng chí ra rằng quỹ đạo của viên đạn là đường parabôn qua gốc toạ dộ có dạng như hình 2-7

nó xác định biên của vùng an toàn và vùng gây nguy hiểm của một loại súng Tổng quát hcm, chúng ta có mặt paraboic an toàn.

Cần chú ý rằng, ngoài hai bài toán cơ bản của động lực học chúng ta còn gặp bài toán hỗn hợp trong đó yêu cầu xác định cả chuyển động của chất điểm và cả lực tác dụng lên chất điểm Một trong các ví dụ về loại này là bài toán vể chuyển động của chất điểm không tự do Đối với trường hợp này, nhờ áp dụng định luật thay thế tương đương liên kết, chất điểm không tự do được xem như chất điểm tự do, nhưng năm dưới tác dụng của các lực trong đó có lực chưa biết là phản lực liôn kết cúa liên kết được thay thế

2.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN đ ộ n g c ủ a c ơ hệ

Khảo sát cơ hệ gồm N chất điểm Để nhận được phưcmg trình vi phân chuyển động của cơ hệ, chúng ta viết phương trình (1-1) cho tất cả cácchất điểm của cơ hệ trong đó F là hợp lực của tất cả các lực tác dụng vào chất điểm Tùy thuộc cách phân loại lực tác dụng lên cơ hệ ta sẽ nhận

được phưomg trình vi phân chuyển động của cơ hệ dưới những dạng khác nhau.

Khi phân loại các lực tác dụng lên cơ hệ thành ngoại lực và nội lực, phưcmg trình vi phân chuyển động của cơ hê có các dạng :

trong đó Fic và Fic (k = l,N ) lương ứng là hợp lực của các ngoại lực

và nội lực tác dụng lên chất điểm thứ k

Nếu các lực tác dụng lên cơ hệ được phân thành các lực hoạt dộng vàcác lực liên kết và gọi Fk và Rk tương ứng là hợp lực của các lực hoạtđộng và lực liên kết lên chất điểm Mị^ (k =1, N ) thì phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ có dạng :

m |a | = Fi + Ri

^^2 ^ 2 = p2 + R2 (2-6)

3.1 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC KHỐI CỦA • • c ơ HỆ VÀ • VẬT RẮN

3 1 1 K hối tâm của cơ hê

ứng IĨ1|, m^, itIn v ị trí của các chất điểm được xác định bằng các vectơ

định vị n , ,rN .

Khối tâm của cơ hệ ià điểm hình học

c , vỊ trí của nó được xác định bới công

'I rong hệ toạ độ Đề các Oxyz, các toạ độ của điểm c được xác định bởi cóng thức ;

(3_2)

'I rơng đó x^,, Yi,, Z|J là toạ độ của chất

điểm M|,

Từ công thức (3-1) hoậc (3-2) suy trực

tiếp đối với các vậi rắn nằm gần Trái Đất thì

khỗi tâm irùng với trọng lâm cúa chúng

Các công thức (3-1) hoặc (3 -2 ) có thể

áp dụng được cho irường hợp cơ hệ gồm

nhiớu vật rắn trong đó iTik và ĩk lẩn lượt là

khôi lượng và vectơ định khối tâm của các

vậi rán

H ình 3 - 2

3 1 2 M ôm en quán tính củ a vật rắn

J là dại lượng vô hướng, được xác định theo công ihức :

<3-3)trong đó Pk ià khoảng cách đến trục z của chất điểm Mịj có khối

Trong đó Xfc, Yi^, là các toạ độ của chất điểm M|,

những đại lượng được xác định theo các công thức sau :

h y = ErrikXkyk ; = Z m k y k Z k ; J „ = ZmkZkXk

(3 -6 )

(3-7)trong đó ric là vectơ định vị chất điểm M|(

Trong kỹ thuật, ngưòi ta đưa ra đại lượng bán kính quán tính cúa vật

rắn đối với trục z, ký hiệu là p, được xác định theo công thức sau :

2 J

Đofn vị của mômen quán tính là kgm^ đơn vị của bán kính quán lính

là m

2 Mômen quán tính của một sô vật đồng chất

Thanh đồng chất có chiều dài l, khối lượng M

Chia thanh theo chiều dài thành nhiều phần tử

Xét một phần tử có độ

dài AX|, cách trục Ay đoạn

x^ Khối lượng của phần tử

nrỉk = yAXk, trong đó y là

khối lượng của đơn vị dài :

lần lượt là khối lượng và

chiều dài của thanh

rri;

B

Ax,

H ình 3 - 3

Dựa vào định nghĩa về mônnen quán tính của vật đối với trục, ta có :

chuyển tổng nhận được qua giới hạn, ta được :

Mômcn quán tính của tấin dối với irục c, bằng :

= ZAJc, = Z27tYp'ỈApk Chuyển qua giới hạn ta nhận được :

Đ ịnh lý 1 : Định lý mômen quán tính dôi với cúc trục song song.

Mỏmen quán tính của vật rắn dôi với trục A hằng tổng mỏnien cỊiiáiì

lích của khỏi lượng vật V(ri hình phương khoảng cách íịiữa hai trục.

cùriị phương, mômen quán tính

của yậí rắn đỏi với trục qua khối

íảm có iịiá trị nhỏ nhất.

Đ ịnh lý 2 : DỊnh lỳ về mômen

quái linh của vậĩ rắn dối với trục

di cỊtu gốc toạ dộ ( l í 3-7).

Mômen quán tinh của vật rắn

đối với trục A hất kỳ qua gốc toạ

độ (ó hiểu thức :

H ìn h 3 - 7

J \ = J ,co s’a + i^cos^p + J,cos^y

Trong dó a , p, y là ba góc chỉ phương của irục A

Chú ý đến các đảng thức sau :

ÕMk = (ÕMk Ỷ = (rk = xị + yị + z ị

+ >'k + Xk Mcos^ a + cos^ p + cos^ y)

OHk = (ric.p) = (Xt-cosa + YkCosP + Zj.cosy)^

( p là vectơ đơn vị chỉ phưcmg của trục A)

Vậy :

Ja = Zm„[(x2 + y ị + xị )(cos^ a + cos^ p + cos^ y)

- (x^cosa + ykCOsp + z,(Cosy)^]

Sau khi khai triển và sắp xếp các số hạng lại chúng ta nhận được biểu thức (3-17) Đó là điều cần chứng minh

4 Các định lý về trục quán tính chính và trục quán tính chính trung tám

Định nghĩa : Trục Oz được gọi là trục quán tính chính tại o nếu thoả mãn các điều kiện :

J,x = J,y = 0 ( 3 - 1 8 )

Trục Oz được gọi là trục quán tính chính trung tâm nếu nó là quán (inh chính và đi qua khối tâm.

Chú ý : Nếu hai trục toạ độ vuông góc là quán tính chính tại o thì

trục thứ ba vuông góc với chúng cũng là quán tính chính

Người ta đã chứng minh rằng tại mỗi điểm của vật rấn tồn lại ba trục quán tính chính vuông góc nhau

qua khối tâm của vật chỉ là trục quán tính chính của vật tại điểm o

Chứng minh : Từ hình vẽ ta có (H.3-.'8a).

H ình 3 - 8

= Xk; yic = yk : Z|, = - d ; d = OO'Jzx=Z"^kZkXk = Z"^k(Zk-d)Xk

Chứng minh Giả sử vậi có trục đối xứng z Trọng tâm c của vật nằm

trên trục z Nếu vật có pbần tử M|, với khối lượng rtÌK và các toạ độ (Xfc, y,,, Z|,)

thì sẽ phải có phần tử Mị( có khối lượng nrii; với các toạ độ (-Xk, -y,(, Zị.).

Phân hoạch vật rắn theo từng cặp phần tử như vậy để tính các mômen quán tính tích, ta có :

Chứng minh Chọn irục Ox và Oy thuộc măt phảng Ta phân hoạch

vật rắn theo từng cặp phần tử Mk và M|J nằm đối xứng với mặt phảng

đối xứng Giả sử phần tử có khối lượng lĩiị, và các toạ độ X|^, y,^, /.1^ còn phần lử Mị^ có khôi lượng m|^ và các toạ độX(.,y|^,Z|^ Ta có :

Từ các định lý trên ta đi đến kết luận : Để tính mômen quán tính của vật đối với một trục bất kỳ chỉ cần biết mômen quán tính của vật đối với

ba trục quán lính chính vuông góc nhau tại khối tâm (tức hệ trục quán tính chính trung tâm) Trong các sổ tay kỹ thuật người ta cho các giá trị của mômen quán tính của các vật rắn đối với hệ trục quán lính chính trung tâm

3.2 LỰC TÁC DỤNG VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CÙA Lực

3 2 1 Xung lượng của lực (Xung lực)

Xung lượng nguyên tố của lực F , ký hiộu là d S , có biểu thức :

3 2 2 C ôn g và cô n g suất

1 Công nguyên tố của ỉực

cỏng nguyên tố cùa lực F , điểm đạt của nó chuyển động theo đường

cong c , sau khoảng thời gian dt thực hiên di chuyển nguyên tố ds được

xác định theo cỏng thức sau :

Trong đó Fi,vi tương ứng là

hình chiếu của lực và vec tơ vận

tốc lên phương tiếp tuyến của quỹ

đạo tại diêm đặt của lực F (H.3-9)

Công nguyên tô' của lực d'A có

thể dương, âm hoặc bằng không

tùy thuộc góc giữa lực F và vận

tốc V cùa điểm đật lực F là nhọn,

tù hoặc góc vuông

Công nguyên tô' của lực còn có thể viết trong các dạng sau :

Trong đó a là góc giữa lực F và vận tốc v; r là vectơ định vị củađiểm đặt lực Fi ; F^, Fy, F/ là các hình chiếu của lực F lên các trục toạ độ

o ề các O xyz

2 Công hữu hạn của lực

Khi diểm đật lực F di chuyển từ vị trí M ị đến vị trí M2, công của lực

F ứng với di chuyển đó được xác định như sau :

Khi chất điểm chịu tác dụng của nhiểu lực thì lực F là hợp lưc của các' lực đó và ta có tính chất sau :

Công (câng nguyên tố) của h(ĩp lực bâng tổng cỏnịi (lổiìii câng nguyên tố) của các lực thánh phần.

Đcfn vị của công là Nm còn được gọi là Jun (J)

w = Pcosa.v = Fi.vt = F j ( X + Fyỳ + F^.zĐơn vị của công suất là Oát (w)

1 w = 1 J/s

Chương 4

N G U Y ÊN LÝ ĐA1.ẢMBE

Nội dung chưomg 4 trình bày nguyên lý Đalămbe, từ đó áp dụng các phương pháp giải bài toán tĩnh học vào viêc giải các bài toán động lực học

4.1 NGUYÊN LỶ ĐALĂMBE ĐỐI VÓI CHẤT ĐIỂM

4 1 1 Lực quán tính của ch ất điểm

Khảo sát chất điểm dưới tác dụng của lực F chuyển động với gia tốc

a dối với hệ quy chiếu quán lính xác định Theo định luật 2 Niutơn,

điểm là lực do chất điểm tự do tác dụng lên vật, (số đo của nó là 1-), dã

buộc nó chuyển động với gia tốc a

2 Khái niộm cân bằng vừa nêu ớ irên chỉ có ý nghĩa hình thức vì lực

3 Lực quán tính xác định được khi biết được gia tốc Như vậy irong bài toán thứ nhất của động lực học, lực quán lính được hoàn toàn xác định, còn trong bài toán thứ hai của động lực học, lực quán tính là đại lượng chưa biết

Trong hệ trục toạ độ Đề các, lực quán lính được xác định qua các hình chiếu của nó trên các trục toạ độ

f;' = -m x ; f;' = -m ỹ ; F;' = -m ỹ (4-3)Trong hệ trục toạ độ tự nhiên, lực quán tính được phân tích thành các thành phần trên các trục toạ độ tự nhiên

ã \ ẩ " là các vectơ gia tốc tiếp và gia tốc pháp của chất điểm

4 1 2 N guyên lý Đ alảm b e đ ối vỏi chất điểm

Tại mỗi thời điểm, lực tác dụng vào chất diểm và lực quán lính của chất diểm cân bâng nhau.

Chú ý : Trong trường hợp của chất điểm không lự do, lực tác dụng

vào chất điểm bao gồm cả phản lực liên kếl R , tức là ;

Ví dụ 4 -1

Một quả cầu nhỏ có trọng lượng p được treo vào loa xe chuyên động

thẳng với gia tốc a Dây treo quả cầu bị lệch một góc a = const so với

đường thảng đứng Xác định gia tốc a của toa xe

điểm do gia tốc của chất điểm

bằng gia tốc cúa toa xe, sẽ bằng:

l- = -in a= a

g'Dieo nguyên lý Đalămbe :

— acosa - Psina = 0g

Vậy : a = gtg a

lìài toán trên cho ta một phương pháp đơn giản để đo gia lốc của loa xe

4.2 NGUYÊN LÝ ĐALẢMBE Đ ố l VÔI c o HỆ

hê lực Fi,F2, ,Fn chuyển động với gia tốc ai, a2, ,aN

Xéi chất điểm Mk có khối lượng nik chịu tác dụng của lực Fk, chuyểnđộng với gia lốc ảk Lực quán tính của chất điểm đó là Fk = -m k ãk

Theo nguyên lý Đalâmbe đối với chất điểm, với mọi chất điểm của

cơ hệ ta có :

(FL ,ff)sO

Do đó nguyên lý Đalămbe đôi với cơ hệ được phát biểu như sau :

Tại mỏi tlìời diểm, các lực tác dụng Ìêỉì các chấĩ điểm của cơ hệ và các lực quán tính của các chất điểm ilìuộc cơ hệ tạo ihàỉúỉ hệ lực cân bằniỊ.

( F , , F 2 , , F N , F r , F 2 ' , , Í N ) = 0 ( 4 - 8 )

Chú ý

1 Các lực Fk đối với cơ hệ tự do, là hợp lực của ngoại lực và nội lực, còn đối với cơ hệ không tự do, là hợp lực cùa lực hoạt động và lực liên kết, tác dụng lên chất điểm M^

2 Khái niệm cân bằng ở đây có tính chấl quy ước : "Hệ lực cân bằng

là hệ lực có từng đôi một lực irực đối với nhau"

3 Hệ lực cân bằng (4 - 8) được thiết lập tại mọi Ihời điểm chuyên động của cơ hê, do đó có thể thiết lập điéu kiện cân bằng cúa nó đối với

hệ trục toạ độ động và được sử dụng rất tiện lợi trong bài loán xác định phản lực vật quay Tuy nhiên cần lưu ý rằng, các lực quán tính (các gia tốc) của các châì điểm phải tính dối với hệ quy chiếu quán tính

4.3 PHƯƠNG PHÁP TĨNH HÌNH HỌC - ĐỘNG Lực

Nội dung phương pháp

Việc khảo sát điều kiện cân bằng cúa hệ lực có thổ dựa vào hai đặc trưng hình học của nó là veciơ chính và niòmen chính của hệ lực Dựa

irCn điẻu kiẹí» iriẹi lieu vcctơ chính và IHÔIHCH cliính của liẹ lực la iliiếi

lập được phương irình cân bằng của hệ lực (trong phán Tĩnh học ta dã thiết lập các phương trình cân bằng đối với vậi rắn)

Phương pháp thiết lập các phương trình cân bằng cho hệ lực ( 4 - 8 ) dựa vào tính chất triệt tiêu của vectơ chính và mômen chính của nó được gọi là phương pháp Tĩnh hình học - dộng lực

Để áp dụng phưong phương pháp này, các lực tác dụng lèn cơ hệ được phân thành những ngoại lực và những nội lực

F k = F k + F k

Vì veclơ chính và mômen chính đối với một điểm bất kỳ của hệ nội lực luôn luôn triệt tiêu, nghĩa là ;

vuông góc với nhau và chứa

trục quay, khoảng cách của

chúng đối với trục quay tương

ứng bằng C|, e, Trục máy quay

Kháo sát cơ hê là trục máy có gắn hai chất điểm M|, M2

Các ngoại lực tác dụng vào cơ hộ gồm các trọng lực Pi, P2 và các phản lực ô trục R A (X a ,ỹ a ,Z a ), R b(X b,ỹb) (H.4 - 2)

H ình 4 - 2

Các lực quán tính của hai chất điểm M| và M2 được ký hiệu bởi F|

và 1-2