Cơ học kỹ thuật. Tập 1, phần tĩnh học và động học

G S T SK H Đ Ỗ SA N H TT TT-TV * ĐHQGHN N H À X U Ấ T B Ả N G I Á O D Ụ C V IỆ T N A M GS TSKH ĐỖ SANH Cơ HỌC KỸ THUẬT ■ ■ TẬP MỘT PHẦN TĨNH HỌC VÀ ĐỘNG HỌC • • (T i lần th ứ n h ấ t) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM • * Cơng ty cổ phần sách Đạỉ học - Dạy nghể - Nhà xuất Giáo dục giữ công bố tác phẩm Mọi tổ chức, cá nhân muốn sử dụng tóc phần chủ sở hữu quyền tác giả 04 - 2009/CXB/240 - 17/GD hình tíìùc phả' ý M ã số : 7B697y9 - D A I LỜI GIỚI THIỆU C học môn học tảng giảng dạy trường đại học kỹ thuật Nó khơng sở cho hàng loạt môn kỹ thuật Cd sở kỹ thuật chuyên ngành mà xây dựng tiềm lực tư khoa học ch o kỹ sư cán khoa học kỹ thuật tương lai V iệ c giảng dạy môn C học trưởng Đại học Kỹ thuật nước ta bước nâng cao chuẩn hoá Từ năm 1969 điều kiện vơ khó khăn kháng chiến chống Mỹ cứu nước, Bộ Đại học Trung học chuyên nghiệp cho xuất giáo trình C học lý thuyết G iáo sư - Viện s ĩ Nguyễn Văn Đ ạo chủ biên với tư cách giáo trình chuẩn để giảng dạy trường Đại học Kỹ thuật Giáo trình năm qua góp phần tích cực vào việc giảng dạy học tập môn C học Ngày nay, để đáp ứng đòi hỏi khoa học thực tế sản xuất đất nước việc nâng cao chất lượng đào tạo, Bộ Giáo dục Đ tạo đạo trường đại học tiến hành cải cách cách sâu rộng việc dạy học theo quy trình đào tạo mới, môn C học đưa vào giảng dạy hai năm đầu cho tất ngành kỹ thuật trường đại học Trong tình hình nước ta bước vào hội nhập, cần thiết lựa chọn sô' kiến thức học cho kỹ sư Tập hợp kiến thức theo xu hướng chung đòi hỏi xây dựng giáo trình Cơ học kỹ thuật, nhằm trang bị kiến thức tảng cho kỹ sư tương lai, chủ yếu gổm kiến thức học vật rắn G iá o trình Cơ học kỹ thuật (Cơ học vặt rắn) lần biên soạn dựa vào chương trình khung Bộ G iáo dục Đ tạo gồm ba phẩn in thành hai tập Tập một: Gổm hai phẩn - Tĩnh học Động học Tập hai: Phần Động lực học C u ốn sách cấu trúc theo quan điểm nhằm mục tiêu tiếp cận có hiệu ca o với kiến thức kỹ thuật tình hình thời lượng dành cho mộn học trường Đại học Kỹ thuật giảm nhiều áp lực việc ứng dụng thành tựu công nghệ thông tin vào lĩnh vực ngày lớn Nhằm thích ứng với tinh hình tác giả tìm cách xây dựng nội dung theo cấu trúc thích hợp, triển khai cách rộng rãi phương pháp ma trận vào khảo sát nội dung: thành lập phương trình cân (thống hệ lực phẳng hệ lực không gian), khảo sát động học vật rắn, đặc biệt tốn tổng hợp phân tích chuyển động cấu, xây dựng dạng phương trình chuyển động động lực dạng ma trận C ách tiếp cận cho phép sử dụng thuận lợi cá c phần mểm chuyên dụng Maple, Matlab, Mathcad việc giải toán kỹ ỉhuật, giúp cho sinh viên tiếp cận tốt với thành tựu cống nghệ thông tin Hy vọng phương hướng cải tiến mang hiệu cho môn học C học kỹ thuật Cuốn sách viết nhằm phục vụ sinh viên trường Đại học Kỹ thuật với chương trình mơn C học kỹ thuật có thời lượng học trinh trở lẽn Tuy nhiên cấu trúc mềm dẻo nên lựa chọn từ nội dung để thích hợp với thời lượng mà cá c ngành đào tạo yồu cầu Cuốn sách có ích cán kỹ thuật muốn nâng cao hiểu biết lĩnh vực học kỹ thuật Một số nội dung trình bày kết nghiên cứu tác giả việc thực đề tài nghiên cứu khoa học thuộc Chương trinh Nghiên cứu khoa học Khoa học tự nhiên - ngành Cơ học "Động lực học hệ phức tạp", Bộ Khoa học Công nghệ Nhân dịp tác giả chân thành cám ơn Bộ Khoa học C n g nghệ, chương trình Nghiên cứu khoa học Khoa học tự nhiên, Hội đồng ngành C học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội cá c quan chủ trì quản lý đề tài tạo điều kiện thuận lợi để chúng tơi hồn thành tốt đế tài Cám ơn Bộ môn C học ứng dụng, Đại học Bách khoa Hà Nội nghiệp đâ giúp nhiều cho tác giả việc xây dựng nội dung sách Xin cám ơn Trung tâm Đ tạo Tài Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, nơi giúp tác giả suy ngẫm triển khai c c ý tưỏng biên soạn sách hày Cuốn sách chắn nhiều thiếu sót Chân thành cám ơn ý kiến đóng góp độc giả nội dung sách C c ý kiến xin gửi vể: Công ty CỔ phẩn sách Đại học - Dạy nghề, 25 Hàn Thuyên, Hà Nội Hoặc gửi trực tiếp đến tác giả: Đ ỗ Sanh, Bộ môn C học ứng dụng, Trưởng Đại học Bách khoa Hà Nội, Điện thoại (04) 8.693402, DĐ: 01234154996 E-mail: dosanh(G)mail.hut.edu.vn h oặc ơosanhbka @ gm all.com T Á C G IẢ J> J K l> H MỞ ĐẦU C h ọ c lý thuyết k h o a h ọ c n g h iê n cứu c c q u y ỉuật ch u y ể n đ ộ n g c h ọ c củ a vật thể tro ng k h ô n g g ia n , theo th i g ia n C h u y ể n đ ộ n g c h ọ c đ ợ c h iểu đ ổ i c h ỗ (b a o g m c ả b iế n d n g ) c ủ a c c vật thể so v i vật thể đ ợ c c h ọ n m c h u ẩ n g ọ i hộ q u y c h iế u C c vật thể tro n g c h ọ c lý th u yết đư ợc x â y dự ng d i c c dạng m h ìn h chất đ iể m , c hệ (hệ c c chất đ iể m rờ i rạc liê n tụ c) v m ột d n g qu an trọ ng c ủ a n ó vật rắn tu yệt đ ố i K h ô n g g ia n tro n g c h ọ c lý th u y ế t đ ợ c q u a n n iệ m k h ô n g phụ th u ộ c v o th i g ia n vật thể c h u y ể n đ ộ n g tro n g n ó K h n g g ia n c ó tín h c h ấ t đ n g n h ấ t, đ ẳ n g h n g d o đ ó , th o ả m ã n c c tín h ch ấ t c ủ a k h ô n g g ia n c l í t , tro n g đ ó c c tiê n đề c c đ ịn h lý c ủ a h ìn h h ọ c c i í t đ ợ c sử d ụ n g T h i g ia n cữ n g đ ợ c q u an n iệ m k h ô n g phụ th u ộ c v o k h ô n g g ia n , v o vật thể c h u y ể n đ ộ n g , trô i đ ề u từ q u khứ , q u a h iệ n đ ế n tương la i, đ ố i v i m ọ i hệ q u y c h iế u K h ô n g g ia n th i g ia n nh v ậ y đ ợ c g ọ i k h ô n g - th i g ia n tu y ệ t đ ố i, c h ú n g d n g lý tư ởng h o (m h ìn h ) c ủ a k h ô n g g ia n th i g ia n thực C h ọ c lý th u y ế t đ ợ c x â y dự ng theo p h n g p h p tiê n đ ề , c sở hệ tiê n đé d o N evvton đưa lần đầu tiê n tro n g tác p h ẩ m n ổ i tiến g " C s to án h ọ c c ủ a triết h ọ c tự n h iê n " - ( P h ilo s o p h ia e n tu lis P r in c ip ia M a th e m a tic a , 1687) D o đ ó , C h ọ c lý th u yết c ò n c ó tên g ọ i C h ọ c N evvton C h ọ c N e w to n c h ỉ k h ả o sát đ ố i v i c c vật thể c ó k íc h thư ớc hữu h n v c h u y ể n đ ộ n g v i v ậ n tốc nh ỏ h n n h iề u lầ n v ậ n tố c ánh sáng C h ọ c c ủ a c c vật thể c ó k íc h thước v i m đ ợ c k h ả o sát c h ọ c lư ợ n g tử, c ò n c h ọ c củ a c c vật thể c h u y ể n đ ộ n g v i vận tố c c ù n g c ỡ v ậ n tố c ánh sáng đ ợ c k h ả o sát tro ng c h ọ c tư ơng đ ố i c ủ a E in s t C h ọ c lý th u yế t phát sin h phát triể n gắn liề n v i phát triển c ủ a lự c lư ợ n g sản xuất xã h ộ i tri thức v ă n h o c ủ a nhân lo i, đặc biệt gắn liề n v i phát triển củ a k ỹ thuật C h ọ c lý th u y ế t c sở x u ấ t ph át đ iể m c h o n h iề u b ộ m ô n c h ọ c k h c sức bền vật liệ u , lý th u y ế t đ n h i, th ủ y k h í đ ộ n g lực h ọ c , c h ú n g đ ợ c x â y dự ng c c đ ịn h lu ậ t c h u n g củ a c h ọ c lý th uyết v i c c đ ịn h lu ậ t b ổ su ng d o c c tín h ch ấ t đ ặ c thù c ủ a thực thể vật chất T r o n g sức bền v ậ t liệ u lỷ th u yế t đ n h ổ i p h ả i n ó i đến b iế n d n g củ a vật thể v đ ợ c b ổ su n g th êm c c đ ịn h lu ậ t q u an hệ b iế n d n g lự c T r o n g th ủ y - đ ộ n g lự c h ọ c , p h ả i đề c ậ p đến v ậ n tốc b iế n d n g củ a thực thể vật ch ấ t v i đ ịn h lu ậ t bổ su n g liê n hệ vận tố c b iế n d n g lự c, c ò n tro n g k h í đ ộ n g lự c h ọ c n ó i thêm tính chất n én đ ợ c c ủ a thể k h í T r o n g c c trư ờng Đ i h ọ c K ỹ thuật, m ô n C h ọ c lý th u yế t m tảng c h o hà n g lo ạt c c m ô n k ỹ thuật c sở k ỹ thuật c h u y ê n ngành n h sức bền vật liệ u , n g u y ê n lý m y , đ ộ n g lự c h ọ c m y , đ ộ n g lự c họ c c ô n g trìn h C h ọ c lý th uyết c ó lịc h sử phát triể n lâ u đ i d o la o đ ộ n g củ a n h iề u th ế hệ c c n h b ác h ọ c N g a y tro n g th i k ỳ c ổ đ i n g i ta cũ n g biết áp d ụ n g n h iề u q u y lu ậ t c ủ a c h ọ c , v í d ụ , q u y lu ậ t m ặt ph ẳn g n g h iê n g , đ ò n b ẩ y , để x â y đự n g n h iề u c ô n g trìn h đ sộ c ò n tổ n đ ế n tận n g y n a y D i đ â y ch ứ n g ta nêu lê n m ộ t s ố g ia i đ o n phát triể n tiêu b iể u c ủ a c h ọ c lý th u yế t Sự phát triển m n h m ẽ c ủ a k h o a h ọ c tự n h iê n , tro n g đ ó c ó c h ọ c , bất đ ẩ u từ th i k ỳ P h ụ c h n g , đ ầ u tiê n Italia v sau đ ó c c nư ớc k h c T r o n g th ời k ỳ n y n ổ i bật lê n tên tu ổ i c ủ a h o s ĩ th iê n tà i n g i Italia L ê ô n a đ V a n h x i (1 - 1519) m ộ t nhà h ìn h h ọ c k ỹ sư c ó tài, c ó n h iề u k h ả o sát tro n g lĩn h v ự c c cấ u , m a sát tro n g m y c h u y ể n đ ộ n g m ặt p h ẳn g n g h iê n g C ù n g th i, p h ả i k ể đ ế n n h b c h ọ c B a L a n n ổ i tiế n g , N ic o la i C o p e c n ic (1 - 154 ), n g i đ ã x â y d ự n g lý th u yế t c h u y ể n đ ộ n g c ủ a c c h n h tin h tro n g th i d n g hệ D ự a v c c c ô n g trìn h n y v o c c s ố liệ u q u a n sát c ủ a th iê n v â n m K e p le (1571 - 1630) đ ã ph át h iệ n ba đ ịn h lu ậ t n ổ i tiế n g c ủ a c h u y ể n đ ộ n g c c h àn h tin h , đ ó c n ổ i tiến g sở c h o N e w to n tìm đ ịn h lu ậ t hấp d ẫ n v ũ trụ C c k h ả o sát c ó tầm quan trọng đặc biệt, có ý n g h ĩa tảng ch o phát triể n c họ c n g trình nhà bác h ọ c th iên tài người Italia, G a lilê (1 - 1642) T rư c G a lilê , c h ọ c phát triển ch ủ yếu p h ầ n t ĩn h h ọ c C h ín h G a lilê đề cập đến đ ịn h luật c h u y ể n độ n g dư i tác đ ụ n g lự c, tức p h ầ n đ ộ n g lự c h ọ c c c n g h iê n cứu rơ i củ a vật h o ặc ném vật làm với đư ờng nằm ngan g m ột góc a , Đ ịn h lu ậ t n ổ i tiếng đ ộ n g lực học, m ột nhữ ng phát m in h v ĩ đại c ủ a c o n n g i, đ ịn h luật quán tính, thuộc G a lilê Ô n g cũ n g đặt nhữ ng n ề n m ó n g lý thuyết đ ộ bền c c c ô n g trình C c c ô n g trìn h c ủ a Nevvton (1643 - 1727) đ ã h o n tất th i k ỳ đầu c ủ a k h o a h ọ c tự n h iê n , N e w to n thống nhất, m rộ n g x â y dự ng c s c h o c c th àn h tựu h iệ n th ời c h ọ c n h m ộ t hệ th ố n g c c đ ịn h lu ậ t m n g y n a y c h ú n g c ó tên hệ tiê n đề đ ộ n g lự c h ọ c m ang tên N e w to n T iế p th eo c ô n g trìn h đư ợc xây dựng m ột c c h hệ th ốn g hoàn c h ỉn h c h ặ t c h ẽ c ủ a Nevvton, c h ọ c lý th u yế t trải q u a m ộ t g ia i đ o n phát triể n h ế t sức sô i đ ộ n g p h o n g phú từ th ế k ỷ thứ X V I I I - X I X kỷ X X Q u trìn h phát triể n dẫn đến v iệ c xuất h iệ n lý th uyết tương đ ố i c ủ a E in s t Đ ó n g g ó p v pịiát triển c học tro n g th ời k ỳ n y c ó c c nhà bác h ọ c n h Đ a lă m b e (1717 - 1783) mà tên tu ổ i gắn liề n v i n g u y ê n lý n ổ i tiế n g m a n g tên ô n g , n g u y ê n lý Đ a lã m b e , n h l e (1 7 - 1783), V iệ n s ĩ V i ệ n h n lâ m k h o a h ọ c N g a , người c ó n h iề u c ô n g tro n g v iệ c sử d ụ n g c c p h n g p h áp g iả i tích để n g h iê n cứu c c b ài toán đ ộ n g lự c họ c vật rắ n l e n g i viết g iáo trìn h c h ọ c th eo hư ớng g iả i tích hố có nhan đề "Đ ộng lự c học" ( M e lia m ic a s iv e m ô tu s sc ie n tia , P e te c b u a ), H n g g iả i tích hố c học m ngày g ọ i c họ c g iả i tích đư ợ c trình bày tác phẩm sáng lập ngành " C học giải tích" (M ecanique a n a ly tiq u e , 1788) nhà bác học lớn ngư òi P háp L a g n c e , đ ó c h ọ c đ ã đư ợ c trình bày n h phương pháp g iả i tích dựa vào m ột ng u yên lý c h u n g , k h n g c ó m ộ t h ìn h vẽ G ia i đo n phát triển p h on g phú c h ọ c gắn liề n v i tên tu ổi nhiều nhà bác h ọ c, m cô n g trình - ng hiên cứu gắn liề n với tên tuổi họ H a m in tơ n (1805 - 1865), Ja c ô b i ( - 1851), G a o x (1 7 - 1805) N g y n a y , phát triển c h ọ c lý th uyết g ắn liể n v i c c v ấ n đề c ủ a vật lý k ỹ thuật h iên đại c h ọ c vũ trụ, đ iể u k h iể n tự đ ộ n g , k ỹ thuật rô b ố t T r o n g g iá o trìn h n y trình bày m ộ t số k iế n thức c h ọ c (ch ủ yếu c c k iế n thức c h ọ c vật rắn) cần thiết c h o c c k ỹ sư đ ợ c g ọ i m ô n C h ọ c k ỹ thuật, n ó g m ba phần T ĩn h h ọ c , Đ ộ n g h ọ c Đ ộ n g lự c h ọ c PHẦN MỘT TĨNH HỌC T ĩn h h ọ c phần n g h iê n cứu trạng thái c â n b ằ n g củ a vật rấn (vật rắn tuyệt đ ố i) d i tác d ụ n g c ủ a c c lực H a i vấn đé c h ín h đư ợ c n g h iê n cứu tĩn h h ọ c là: T h u gọn h ệ lực, tức biến d ổ i h ệ lực đ ã ch o thành m ộ t hệ lực kh c tương đương với nó, đơn giản T h u gọn hệ lực v ề d ng đơn giản nhấ t, gọi dạng tố i giản h ệ lực T ậ p cá c dạng tối gián kh c h ệ lực g ọ i d n g ch u ẩ n h ệ lực T h iế t lậ p đ iều kiện đ ố i với h ệ lực m d i tá c d ụ n g vật rắn cân bằng, gọi tắ t đ iều kiện câ n b ằ n g củ a h ệ lực V iệ c n g h iê n cứu cá c n ộ i d u n g c ủ a tĩn h h ọ c đ ợ c dựa trẻn c c đ ịn h lu ậ t c c ủ a tĩn h họ c (c ò n đư ợ c g ọ i hệ c c đ ịn h lu ậ t tĩn h h ọ c), c c k h i n iệ m c bản, đ ố nhữ ng k h i n iệ m n ề n tảng đ ể x â y dự ng n ộ i d u n g m ô n h ọ c Chương CÁC KHÁI NIỆM C BẢN VÀ CÁC ĐỊNH LUẬT TlNH HỌC • • • 1.1 CÁC KHÁI NIỆM C BẢN T ro n g tĩn h h ọ c c ó ba k h i n iệ m c sau đ â y : vật rắn tuyệt đ ố i, cân b ằ n g lự c 1.1.1 Vật rắn tuyệt đối V ậ t rắ n tu y ệ t đ ố i m ộ t tậ p h ợ p vô hạn c c c h ấ t đ iểm m khoảng cá c h h a i c h ấ t đ iểm b ấ t k ỳ luôn kh ô n g đ ổ i Phương trình cân hệ lực khơng gian viết sau: ỉx=°; ịx =°-ÍX-0: k=i k=i k-1 (4 -13 ) j > t(F) = ; £ m , ( F k) = ; j > , ( F , , ) = k=l k=l k=l C h ú ý rằng, k h i sử d ụ n g p hư ơng ph áp m a trận để x â y dựng phương trìn h cân củ a hệ lự c k h n g cần d ù n g k h i n iệ m m ô m e n lực đ ố i v i trục (xem m ụ c 4.4) 4.3.3 Điều kiện cân phương trình cõn bng ca cỏc h lc c bit * ô • H ệ lự c đ n g q u y Đ iều kiện cẩn đủ đ ể h ệ lực đ n g q u y cân b ằ n g ve ctơ ch ín h hệ lực triệ t tiêu: R ’=ẳ ^ = ° k=l X = 0; £ k=l f„ = 0; X k=i =0 k=l đó: F kx, F ky, F kz (k = 1, , , n) h ìn h c h iế u củ a c c lự c ba trụ c toạ đ ộ v u n g g ó c C c phư ơng trìn h ( - ) đư ợ c g ọ i nh ữ ng phư ơng trìn h cân c ủ a hệ lực đ n g q u y k h ô n g gian T r o n g trường h ợ p hệ lực đ n g q u y p h ẳn g , s ố p h n g trìn h câ n c ò n hai H ệ n g ẫ u lự c Đ iều kiên cẩn đ ù đ ể h ê ngẫu lưc / ) câ nn ngẫu lực tổng cộng n ó triệ t tiêu, tức: n rn = X m k = k«l Hoặc J m kx = ; J f n ky = ; k=! k=l C c p h n g trìn h (4 - =0 (4-14) k=l 14) đư ợ c g ọ i nhữ ng p hư ơng trìn h cân c ủ a hệ ngẫu lực T ro n g trường hợ p hệ ngẫu lực phẳng, số phương trình cân c ò n 75 Hệ lực song song T ro n g trường h ợ p hệ lực song song, phương v e c tơ c h ín h c ủ a hệ lực xác đ ịn h (song song v i lực thành p h ần ) c ò n m m e n c h ín h hệ lực v e c tơ nằm m ặt ph ẳn g x ác đ ịn h (mặt phẳng thẳng g ó c v i phương cá c lực thành phần) D o đó: Đ iều kiện cần đ ủ đ ể h ệ lực so n g song câ n tổ n g h ìn h chiếu cá c lực trụ c z so n g ,so n g với cá c lực th n h p h ầ n tổng m ô m en lực đ ố i với h a i trụ c vng góc với n h a u X, ỵ (và vu n g g ó c với trụ c z) triệ t tiêu: ỵ p k/ = ; ị m ( F k ) = ; ị m y( F k ) = k=l k=l C c phương trìn h (4 - (4-15) k=l 15) đư ợc g ọ i nhữ ng p h n g trìn h cân c ủ a hệ lự c song song k h ô n g g ia n Đ ố i v i trường h ợ p hệ lực song song phẳng, sơ' phương trình cân bầng hai V í d ụ - C n h cử a O A B C h ìn h ch ữ nhật đồng chất có trọng lư ợng p đư ợc g iữ cân v ị trí nằm n g an g n h g ố i cầu o, lề trụ c d ầ y B D B iế t đư n g c h é o O B n g h iê n g 60° v i cạ n h OA, m ặt phẳng n g h iê n g dây BD đứng nằm qua OB g ó c 45° v i O B T im ph ản lực o , c sức g củ a d â y (h ìn h 4.9 ) K h ả o sát cá n h cử a câ n d i tác d ụ n g c ủ a hộ lực k h ô n g g ia n g m lực hoạt đ ộ n g p v phản lự c Hên kết X o , Y o > Z o g ố i c ầ u O ; x c,z c sau: (P, 76 lề trụ x 0, Y0, c sức căng T d â y T a c ó hệ lự c cân bằn g z0 , x c, zc, T)s0 Đ ổ đ n g iản c h o v iệ c lập c c phương trình câ n ta phân tích sức că n g T thành ba lực n ằ m d ọ c ba trục toạ độ v u ô n g g ó c , đ ó là: T , = T co s4 °co s6 ° = T v = T co s4 °sin ° = y T , = T s in ° = T \Ỉ2 C c phư ơng trìn h câ n củ a hệ lực k h ô n g g ia n là: I F x= X o+ X c - Ị p = EFy = Y - P - ^ L o Z F z = Z0 + Zc + Ĩ Ể - - P = ỵm (F ) = - í ^ - + Z ca V + ĩ ^ a , / Em y = T F) (F) = p ® - — a= • E m z(F) = - X ca ^ =0 G i ả i hệ p h n g trìn h ta nhận p p X c = ;Z c = ; T = ^ ; X o = | ; Y o = p \F\ ^ p ; ZG = | C c phản lự c đ ề u c ó g iá trị d n g nên c h ú n g c ố c h iề u nh hìn h V í d ụ - M ộ t xe ba bánh đ ợ c m h ìn h tam g iá c A B C đ n g chất, c c c n h c ó c h iề u d i a, nằm cân b ằn g m ặt ngan g tiế p x ú c v i m ặt đ n g n ằ m ng an g qu a ba đ iể m tiế p x ú c củ a b ánh v i mặt đất A , B c T r ọ n g lư ợ n g củ a xe p đặt trọng tâm G , c ò n vật nặng x e c h c ó trọng lư ợ n g Q đặt đ iể m D T ìm c c phản lực A, B c 77 B i g iả i K h ả o sát A B C n ằ m c â n b ằ n g d i tác d ụ n g c ủ a hệ lực g m lự c h o t đ ộ n g p , Q c c p h ả n lự c liê n kết N A , N B, N C c ó phương thẳng g ó c v i m ặ t p h ẳ n g c ủ a tấ m , tức p h n g th ẳn g đ ứ n g T a c ó hệ lự c k h ô n g g ia n so n g so n g c â n b ằ n g (h ìn h ) H inh 4.10 (P , Q , N a , N b , N c ) S G h ọ n hệ trụ c Q x y z n h h ìn h vẽ c c p h n g trìn h c â n có dậng: I F z= Na + Nb + Nc- P - Q = S m x I ( F ) = - P a V / - Q b + N Ba> /3/2 = X m y (F ) = Q c + N c | - N A | = K h i g iả i h ệ p h n g trìn h n y , ta đ ợ c p Na +Q \2 + c bV3 a 3a p N , - r 3a i Nn= - + _ _ íc « b^ ì l la 3a Q R õ rà n g p h ả n lự c N B c ó g iá trị đ n g , tức c ó c h iề u n h h ìn h vẽ 78 Phản lực N a c ũ n g c ó g iá trị d n g , b c ó g iá trị lớ n c h ỉ b ằn g c h iề u ca o củ a tam g iá c , tức là: b < Vậy ■ + NA ^ c a>/3 V u p Q = -7 + - - 2~'~2 ) +ã Q >0 ) phản lực N c c ó g iá trị d n g h o ặ c âm tu ỳ b iể u thức: + ỉ ( c b 73 a a Y Q CÓ g iá trị dư n g h a y âm T r o n g trường h ợ p N c c ó g iá trị k h n g h o ặ c â m , tức liê n k ế t g iữ a m ặt đư n g xe k h ô n g c ó , x e b ị lật q u a n h A B , v ì liê n kết c b ị m ất V ậ y , đ iề u k iệ n đ ể x e k h ô n g b ị lật q u a n h A B là: b Vãv V í d ụ - M ộ t trụ c k é o A B c ó đ n g trụ c n ằ m n g a n g v đ ợ c đ ỡ hai ổ trục (bản lề trụ ) A B H a i n h n h đ a i tá c d ụ n g lê n trụ c tờ i q u a p u li c ó đư ờng k ín h D = ,6 m c c lự c k ể o T ị = k N T = k N V ậ t đ ợ c k éo c ó trọ n g lư ợ n g p = k N n h tang tờ i c ó đ n g k ín h d = ,3 m T r ụ c tời c ò n c h ịu tác d ụ n g n g ẫu lự c c ả n c ó m m e n m X c đ ịn h ngẫu lự c c ả n m c ầ n th iế t đ ể trụ c k é o c â n b ằ n g v c c p h ản lự c Ổ trục A B C c k íc h th c c h o h ìn h 1 B ỏ q u a m sát Z*A H lnh 4.11 79 Bài giải K h ả o sát trụ c k é o c â n b ằn g d i tác d ụ n g c ủ a hệ lự c g m lực h oạt đ ộ n g p , n g ẫu lự c m c c p h ả n lự c liê n kết R A , R B, T | , T đ ó c c sức c ă n g T [ T đ ã c h o , n g ẫ u lự c c ả n c ó v e c tơ m m e n m h n g so n g so n g v i trụ c q u a y n g ợ c c h iề u trụ c y , cá c phản lực R a , R b n ằ m tro n g m ặt p h ẳn g v u ô n g g ó c v i trụ c q u a y nên phân tích chúng thàrih hai thành phần nằm dọc theo hai trục X, y hệ toạ đ ộ O x y z , c ó trụ c z trù n g v i trụ c tâm c ủ a trụ c q u a y , (h ìn h 4.11) T a c ó hệ lự c k h n g g ia n câ n b ằn g sau: ( P , n g ẫ u lự c Y a , X b, Y b ) = K h i v iế t c c p h n g trìn h c â n b ằ n g c h o hệ lự c n y , ta c ó : = T, + T + X A + X B= ZP z = - P + ZA + ZB= I i S x (F ) = a P - a Z B = S m y (F) = T , | - T í | - p | - m =0 I m z (F) = 3aTị + 3aT2 + a X B = T h a y c c g iá trị b ằ n g s ố v o hệ p h n g trìn h trê n v g iả i ta đư ợc: X A- = - 1,7 k N , Z A = ,7 k N ; x " = - ,2 k N ; Z B = l, k N ; m = ,1 k N m Ở đ â y thành p h ần X A c ủ a p h ản lự c A v X B c ó c h iề u ng ợc so v i c h iể u h ìn h vẽ 4.4 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN GIẢI CÁC BÀI TOÁN CÂN BẰNG VẬT RẮN DƯỚI TÁC DỤNG CỦA HỆ Lực (KHÔNG GIAN VÀ PHẲNG) 4.4.1 Thiết tập phương trình cân hệ lực không gian dạng ma trận Đ iể u k iệ n c â n b ằ n g c ủ a m ộ t vật rắn d i tá c d ụ n g củ a m ộ t hệ lực ỉà v e c tơ c h ín h m ô m e n c h ín h c ủ a h ệ lự c đ ố i v i m ộ t đ iể m bất k ỳ p h ải triệt tiêu Đ ố ỉà: R' = £ F „ = ; ffi° = m o (F l ) = : ĩ x F t =0- (4 - 16) Đ ể b iể u d iễ n ( - 1 ) tro n g d n g m a trận ta sử d ụ n g c c h b iể u d iễ n v e c tơ q u a m a trận V e c t đư ợ c đ ổ n g v i m a trận c ộ t (3x1) v đ ợ c viết dạng ch ữ nét đ ậ m , trừ m ộ t số trư ng h ợ p d ù n g c c h viết tro n g d n g tru yền thống 80 B iể u d iễ n v e c tơ b ằ n g m a t r ậ n v c h u y ể n m ộ t s ố p h é p tín h v e c tơ sa n g p h c p tín h m a t r ậ n a) B iể u d iễn v e c tơ b ằ n g m ộ t m a tr ậ n N h biết tro n g hệ toạ đ ộ Đ ề c c v u n g g ó c m ộ t v e c tơ đ ợ c x c đ ịn h qua h ìn h c h iế u c ủ a n ó trụ c toạ đ ộ n g ợ c lạ i D o c ó thể đặt tư ơng ứng m ộ t v e c tơ v i m ộ t m a trận cộ t (3x1) Đ a vào ma trận cột a đ ợ c c ấ u trú c n h sau: a a a - £J C ù n g với ma trận a ta đưa vào m a trận ch u yển v ị k ý hiệu chữ T góc phải trên, tức: a T = ax a y a z] C h ú ý ch u yể n vị m a trận cột ma trận dòng ngược lạ i chu yển vị m a trận dòng m a trận cột C ó thể đật tư ơng ứ ng m ộ t v e c tơ ã v i m a trận a a ã ( a x, a , a z) a a a b) Chuyển số phép tín h vectơ sang phép tính ma trận C ó m ột hệ v e c tơ ã ;(i = l , n ) * P hép cộng v e c tơ N h biết, v e c tơ c đ ợ c g ọ i tổ n g c c v e c tơ ẩj (i = l , n ) đ ợ c v iế t tro n g dạng c = , đ ợ c x c đ ịn h n h sau: i=! C * = X ; c y = ẳ a iy' i=l 1-1 c* = ẳ 2=1 a i*- V ậ y , v e ctơ c c ó h ìn h c h iế u trụ c toạ đ ộ y ế u tố c ủ a m a trận cột (3x1) a ix i=l i a" 1=1 6-CHKT T1-A 81 * P hép tính nhân vơ hướng vectơ C ó vectơ ã ía ^ a y a ^ ) b (b x, b y, b , ) T í c h v h ng c ủ a v e ctơ n y m ộ t đ i lư ợ n g vô hư ớng A = + ayb y + a ,b 7.T íc h v ô hướng c ó thể biểu diễn dạng tích m a trận: A = a Tb = b Ta C h ú ý: T íc h v ô hư ớng v ectơ v u ô n g g ó c v i k h ô n g * P hép tính tích có hướng vectơ T íc h c ó hướng c ủ a v e ctơ ã b m ộ t v e c tơ 'c Lc ==aã xx ob = a —a , b y y = a»,zDx xDy bx~ - a aA cz = aX by —ay bX Đ ể c h u y ể n phép tín h tích c ó hướng c ủ a h a i v e c tơ ta đưa v m a trận só n g G ọ i m a trận só n g r ứng v i v e ctơ r (rx, ry, rz) m ộ t m a trận phản II đ ố i xứ ng, đư ợc đ ịn h n g h ĩa sau: -r r r* ~ Ty ry -r* K h i đ ó , ứng v i v e c tơ tích c ó hư ớng c ta c ó m a trận cột c đ ợ c xác đ ịn h theo c ô n g thức sau: c = ã b = -ba C h ú ý: T íc h c ó hư ớng v e ctơ so n g so n g b ằn g k hô ng Biểu diễn kết thu gọn phương trình cân dạng ma trận a) Kết thu gọn dạng ma trận K h ả o sát vật rắn c h ịu tác d ụ n g củ a hệ Ịực ( F j ,F , , F k) Đ iể m đặt lự c đư ợc x c đ ịn h qu a cá c v e ctơ đ ịn h v ị rk ( x k, y k, z k) ; (k = 1, N ) K ế t qu ả thu g ọ n hệ lự c tâm o c h o trư ớc đ ợ c m ột lực thu g ọ n R ngẫu lự c thu g ọ n m ° đ ợ c b iểu d iễ n tro n g d n g m a trận nh sau: R o = £ F k = k I« = X Iĩlo à ) = Z s í x ^ 82 ^ m ° = ỵ áỈ F S-CMKT T1-B b) Phương trình cản hệ lực khơng gian X =0 =0 N h ta nhận đ ợ c phư ơng trình cân hệ lự c k h ô n g gian đư ợc viết dạng m a trận 4.4.2 Giải toán cân hệ lực không gian * K h ả o sát vật c â n b ằ n g x â y đựng m h ìn h lực tác dụ n g g m lực hoạt đ ộ n g p h ản lự c liê n kết C h ọ n hệ trục toạ độ * K h a i báo lự c tác đụng: h ìn h ch iế u cá c lực toạ độ đ iể m đặt củ a lực * T h n h lập p h n g trìn h cân 4.4.3 Các ví dụ V í d ụ - C ộ t A B c ủ a cẩ u trục g iữ v ị trí thẳng đứng n h gối cầu A hai k h ô n g trọ n g lư ợng B C B D (h ìn h ) V ậ t cẩu c ó trọng lư ợng p treo m ó c G liê n kết v i cột n h d â y B G E G (trọng lư ợng b ỏ q u a ) Đ iể m E giữ a A B , cá c B C B D n g h iê n g v i trục A y A x g ó c ° T ín h cá c thành phần phản lực A c c phản lực S BC SBD tro n g c c B C B D tương ứng sức căng tro n g dâ y B G Bài giải V ậ t k h ả o sát: C ộ t A B c â n dư i tác d ụ n g c c lực: T rọ n g lư ợng vật đư ợc cẩ u p , c c p h ả n lự c c c B C , B D tương ứng 83 phản lự c A đư ợ c k ý h iệu qua R A( X A , Y A , Z A ) C c lực c ó c c h ìn h c h iế u tương ứng c c trục toạ đ ộ toạ đ ộ c c đ iể m đặt lực tính sau: X R A ' Ya : s ,= Z A ,5 S , —0 , S ; s = ; 0,5>/3S ,5 ^ S , ■ p = o' -p 2aã rc = 0 0 0 aVJ 0 rD= 2a 73 ã 0 í„ , a 0 ,5 a a C c phư ơng trìn h câ n đư ợ c viết nh sau: E F k= - * X A - ,5 ^ = ;Y a + ,5 s , = 0, Z A + ,5 V ã s , + , 5>/3S2 = rc S j + rDS + rG p = -> - a S , - ,5 a P V ã = ; * - a — 0,5>/3S2 - , P = 84 Từ phương trình tính được: P\Ỉ3 s