V iiư v T ụ i; ĐẠI liục THUY sản 531.1 k a*4» 527 Tr NGUYỄN TRỌNG (CHỦ BIÊN) TỐNG DANH ĐẠO LÊ THỊ HOÀNG YEN Ể ‘W H | PHẦN TĨNH HỌC, ĐỘNG HỌC 60 - 605 - — 123 - 29 - 02 KHKT-02 Lời giới thiệu Dể phục vụ cho nghiệp phát triển đào tạo cán hộ khoa học kỹ thuật, đồng thời nâng cao chất lượng học tập nghiên cứu mồn học sở, sách "Cơ học sở" đòi Sách tác giả Tống Danh Đạo, Nguyễn Trọng Lê Thị Hoàng Yến biên SOCỊỈI theo yêu cầu Bộ môn học sở, Trường đại học xây dựng Hà Nội Bộ sách dược biên soạn theo nội dung chương trình mơn học sỏ dành cho ngành kỹ thuật: Xây dựng, Giao thơng, Thủy lợi, , ngồi cỏ thê làm tài liệu iham khảo cho sinh viên trường kỹ thuật bạn đọc yêu thích học Đ ể giúp bạn đọc nắm phần lý thuyết có thê vận dụng giải bãi tập nêu phần, sau phần lý thuyết, tác giả có nêu câu hỏi ơn tập đê bạn đọc tự ôn tập kiểm tra Cuối phần tác giả có trình bày cách giải mẫu số tập Sau tập cuối phần hướng dẫn giải bãi tập để giúp bạn đọc tự học cách thuận lợi Bộ sách gồm hai tập : Tập 1: Tĩnh học động học Tập 2: Động lực học Bộ môn học sỏ xin trân trọng giởi thiệu bạn đọc hộ sách Sách giới thiệu lần đầu khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận nhím ỷ kiến đóng góp han dọc để lần xuất sau hoàn chỉnh Chủ nhiệm m ôn Gs, Ts PHẠM HUYỄN Phần m ôt TĨNH HỌC Mờ đầu Tỉnh học m ột phần học lý thuvết, dó người ta nghiên cứu v'ê lực điêu kiện bàng vật thề tác dụng lực Trong tỉnh học, đối tượng khảo sát lực H ệ lực tác dụng lên vật rắn phải Để đến kết luận xác hai tốn tỉnh học vật ràn chịu tác dụng thỏa m ân cho vật rán v'ê ván dề dó, ta phải giải : • Bài tốn thu gọn hệ lực vẽ m ột hệ lục dơn giản • T im diều kiện d ể hệ lực dó cân CHUÔNG CẤC KHÁI NIỆM CO BẤN - HỆ * ,N ĐỀ TĨNH HỤv § 1 CÁC KHÁI NIỆM C BẢN 1.1.1 VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI V ật rán tuyệt đối vật m khoảng cách hai điểm Cu ln ln khơng đổi Trong thực tế vật th ể biến dạng, co' biến dạng rấ t nhỏ, có th ể bỏ qua ảnh hưởng tính tốn chi tốn kỹ thuật, v ỉ th ế vật rắn vậy, ngươ ta co' th ể bỏ qua biến dạng xem chúng vật rán tuyệt đối Trong học lý thuyết, ta khảo sát lực tác dụng lên m ột vật r ắ r xem no' vật rán tuyệt đối 1.1.2 LỤC Lực sô' đo tác dụng tương hỗ vật thể Lực mội đại lượng có hướng qua thực nghiệm người ta thấy xác định ba yếu tố sau : ♦ Đ iểm đặt lực ♦ Phương, chiều lực ♦ Cường độ lực L ự c b iể u d iễ n b ằ n g m ộ t v e c tơ n h tr ê n h ìn h 1.1.1 ♦ Đ ầu A vectơ A B b iể u d iễ n đ iể m đ ặ t lực Hình 1.1.1 ♦ Phương, chiểu vectơ AB ♦ Độ dài a A B phương, chiều lực cường độ lực Đ ường th ẳn g D E chứa vectơ AB gọi đưòng tác dụng lực Người ta ký hiệu lực F 1.3 TRẠNG THÁI CÂN BÂNG CỦA VẬT RAN VÀ MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA KHÁC ♦ Căn bàng : đứng yên vật so với hệ quy chiếu chọn N ếu v ậ t đứng yên so với hệ quy chiếu cố định cân bàng tuyệt đối Còn vật đứng yên so với hệ quy chiếu động cân bàng tư ng đối T rong tĩn h học, ta xét đến cân bàng tuyệt đôi T a co' th ể xem v ật th ể đứng yên so với q u ả đ ấ t cân b ằ n g tuyệt đối (như ta bỏ qua chuyển động đ ấ t tro n g vũ trụ) ♦ H ệ lực : tập hợp nhiêu lực tác dụng lên m ột vật rắ n hay m ột chất điểm ký hiệu (F ị, F , , F n) H hệ lực tương đương : hai hệ lực cđ tác dụng học (nghĩa đem hai hệ lực tác dụng lẩn lượt lên m ột vật rán trạ n g th học v ậ t tro n g hai trư ng hợp y nhau) Ký hiệu hai hệ lực tư ng đương : (F ¡, F , , F n) ~ Hợp (P ¡, lực m ộ t hệ lực : m ột lực tương đương với hệ lực Gọi R hợp lực hệ lực (Fị , F , , F n) t a co' th ể viết : R ~ ( ĩ \ , F , ,,F*n) H ệ lực cân bàng : hệ lực m tác dụng lên v ật rá n không làm th ay đổi trạ n g th học m v ật có H ệ lực cân cịn gọi hệ lực tương đương Có th ể viết (Fị , F , , F n) ~ H lực cân bàng hai lực tác dụng lên m ột v ật rán, có đường tác dụng, ngược chiều có cường độ MÔMEN CỦA LỰC 2.1 MÔMEN CỦA MỘT L ự c ĐỐI VỚI MỘT ĐIẾM Cho lực F -đặt điểm A tác dụng lên vật điểm o Ta gọi khoảng cách d từ điểm o đến đường tác dụng lực F cánh tay đòn lực F điểm Dưới tác dụng lực F , vật rán quay quanh o Ta co' định nghĩa : Mõmen lực F điểm o vectơ m l)( F ) đ ặ t o • Có phương vng góc với m ặt phảng chứa lực F điểm o • Có chiều cho từ điểm vectơ nhìn thấy lực hướng quanh o ngược chiêu kim hổ • Có độ dài tích cường độ lực F với cánh tay địn d o (h.1.1.2) ịmc(F)\ = F d - / T s i n a , /n0( F ) - ĩ * p Hình 1.1.2 Ý nghia mơm en • ý nghm ca học : mômen m ột lực điểm đặc trư ng cho tác dụng quay lực quanh điểm Tác dụng quay phụ thuộc vào ba yếu tố ♦ Vị trí m ặt phảng chứa lực điểm lấy mômen ♦ Chiểu quay m ặt phảng ♦ • Cường độ lực cánh tay địn lực điểm Ý nghía h ìn h học Theo định nghĩa độ dài vectơ m ôm en hai lẩn diện tích ta m giác OAB Im o ( F ) I - S AOAB C ũng theo định nghĩa ta thấy i m ữ (F ) = r A F j y Fy X Fx r — > k z F, vectơ định vị A o , n tữ ( F ) = hai trư n g hợp sau : ♦ Ỹ = ♦ Đường tá c dụng lực F q u a o Chú ý N ếu khảo sá t hệ lực n m trê n m ột m ặ t phẳng th ì m ôm en lực m ột đ iểm c ầ n tín h m ột lượng đại số (vì tro n g trư n g hợp vectơ m ôm en vng góc với m ột m ặt ph ản g chứa lực điểm lấy m ôm en P hép so sán h vectơ phương có th ể đư a so sán h đại số, tức so sánh dấu đại số m ơm en) Và có th ể viết m a{F) = ± F.d Lấy dấu (+ ) tro n g trư n g hợp tác dụng lực F , v ật quay quanh o ngược chiểu kim hổ Lấy dấu (-) tro n g trư n g hợp ngược lại 1.2.2 Mômen lực trục T a khảo sá t m ột vật rắ n có th ể quay quanh trục tác dụng cùa lực Ỹ ' dặt A Qua A vẽ m ặt phảng xy vng góc với trụ c cắt trụ c O; phân tích lực F hai th n h ph ần : Ỹ song song với trụ c Fxy song song với m ặ t p h ẳn g xy T hành ph ẩn có tá c dụng làm v ật chuyển dời theo trụ c 2, co' th àn h phần ĩ^y co' tác d ụ n g làm v ật quay qu an h trụ c N hư tác 11 dụng quay lực F quanh trụ c tác dụng quay thành phần F M ômen trục tích cường độ F ' với cánh tay địn dị trục Đại lượng m ơm en F^ỵ điểm o Đ ịn h n g h ĩa trúc 'lượng đại số, : Mômen lực F bàng m ôm en th àn h phần F điểi' m z(F) = ± Fw d x • Lấy dấu (+ ) từ chiều dương trục 2, nhìn thấy Fxy quay quanh o ngược chiều kim đồng hồ, • Lấy dấu (-) trường hợp ngược lại • Ý nghía c.ủa mômen ♦ Ý nghĩa học : m z(F ) đặc trư ng cho tác dụng quay lực F quanh trụ c ♦ • Ý nghĩa hình học : m 7(F) - Mômen lực F sau : SAOA B trục trường hợp 12 ♦ Lực F song song với trụ c z (vì F w = 0) ♦ Đường tá c dụng lực F cát trụ c z (vì dị = 0) T rong cà hai trư n g hợp này, ta th rằ n g lực F trụ c z đểu tro n g m ột m ặ t phảng Vỉ th ế xét hệ lực n ằm tro n g m ột m ặ t ph ản g trụ c nằm tro n g m ặ t p h ản g khơng cần đưa r a khái niệm M ômen m ột lực trục xét m ột lượng đại sô' VỊ thành phẩn điểm o đểu nằm m ặt phảng xy 1.2.3 ĐỊNH LÝ LIÊN HỆ GIỮA MÔMEN CỦA MỘT Lực ĐỐI VỚI MỘT ĐIẾM VÀ MÔMEN CỦA MỘT Lực ĐỐI VƠI MỘT TRỤC Đ ịn h lý : M ôm en m ột lực m ột trụ c hình chiếu lên trụ c vectơ m ôm en lực m ột điểm b ấ t kỳ trê n trục Biểu diễn định lý biểu thức toán học m v ( ? ) = l™ o(F )l - cosr y go'c trụ c z vectơ m (F ) Hình 1.1.4 229 -m CHUYẾN ĐỘNG SONG PHẲNG Bài 2.33 (h 2.111.33) Đìa t rị ri chuvơn dỏng :song phảng V, Ta I’(í V, _ 2R + X ~ V Tính í a ữõ H - X = v> = V ■- V’, " - 2R + x ,5 X m •> o.n = rad/s = Ill's 230 2R X 'P Hình 2.IH.33 B ài 2.34 (h III.3 ) Ta co' OA chuyển động quay quanh o T hanh A B bánh xe chuyển đ ô n g so n g p h ản g T a tính VA = OA.(i)u = = em/s tg tâm vãn tốc tức thời bánh xe cm; 231 T a co 150 15 a»hv = — = — -= - ■= 8,66 rad/s r 1Í3 10 (3 Ta tính vc = VR^2 = 86,5V2 v c = 122,47 cm/s Bài 2.35 (h.2.III.35) Tay quay OA quanh o = 0A(U„ = : = (rj + yA r,)w (1 = (15+5)2,5 cm/s Vd II to Điểm B tâm vận tốc tức thời bánh xe nên VB = Vc - vc = 2.50 = 100 cm/s v t, = VA.lÍ2' — f2 = v f, = 70,7 cm/s Bài 2.36 (h.2.111.36) T a xét ròng dọc ĩ Pị tâm vận tốc tức thời rịng rọc Hình 2.///.15 I nên V = 2V()) Đ iểm th ấp n h ấ t rịng rọc I E Vj = v~2 V() V,- 0,5 rad/s Xét ròng rọc II, p , tâm vận tốc tức thời cùa rịng rọc II V, Ta có V(>1 C P ~ O J \_ V, 41 r2 ~ * V», 1/3 r z o f>o ¿tờZ Vận tốc điểm th ấp n h ấ t dòng rọc II Vị I H P 2.lu, = Í u ,y o 2H + 2P% r ỉ+ ' r ’ = gviõ V|| 3= 9,48 cm/s Thay V() = cm/s vào ta có : ta5 = 0,5 rad/s Vị = tÍ2V() V, = 3\T2 = 4,23 cm/s v()| - v2 = cm/s Bài 2.37 (H.2.III.37) Tay quay OA chuyển động quay quanh o , A B chuyển động song phảng Ta có VA = VA = O A v j {ì 5= 35.4 140 cm/s 233 Hình 2.IIĨ.37 Tầm vận tốc tức thời p 00 nên = VB = VA = 140 cm/s Chọn điểm A làm cực : WR = WA + W ^A = Ta cố w \ = OAe0 = + ũrA + w i A + w £ , 35.8 = 280 cm/s2 w A = OA.w 20 = 35.42 = 560 cm/s2 W *B A = A £ a b ; " b a = ^ W AB = ® Chiếu (1) lên phương A B ta có : WBcos30o = W^cos30° + WB = WAsin30° + W ^tg30° = 280 + 560 - p - = 603,4 cm/s2 w fì = 603,4 cm/s2 Chiếu (1) lên phương vng góc A B ta : t r Rsin30° = WỊỉa + W^sin30° - VV^cos30" Wị1A = WBsin30° + W^cos30° - W^sin30° = ,4 | + " ba 560/— - = 646,66 = B A x a r nên ^AB ~ £AB = 9,24 rad/s2 ^BA 646,66 BA ~ 70 (.1) 234 Bài 2.38 (h.2.III.38) T a thấy OA quay quanh o II lan không trượt t r ê n banh xe I cô' định chuyển động song phảng cờ (tịnh "Bánh xe T h a n h BC c h u y ể n song phảng động yA = 30.0,5 s è II Ta co' : = 15 crn/s = V, nên 15\T2 cm/s V b cos4 u Ta có SI II X VH II y[2 vA = s yB = yc CP Hình 2.ỈII.38 : AC = V CBl - A B A C = 20.5 = = Ì z.26 - 202 100 cm M ật khác A C ■ = BM = MP Vậy CP = 20 + 100 cm N ên CP = CM + M P 100 = 120 cm B P = B M ^ = 100 >[2 cm Wfíc VB yc B p - cp ; yc - CP 120 B P Vfì ~ o Õ \n T 15 1800 18 y c = -JÕÕ = 18 cm/s o,w: = —- = Ỹ ỷ ị = 0,15 rad/s Bài 2.39 (h.2.III.39) B ánh xe chuyển động song phẳng lăn không trư ợ t trê n m ặt nghiêng cố định Nên : Wm = wỏ + < > T a có : ) -* = w t) + K io + Wmo WR,(, = * M O uj “ = /ỈO I2 235 mà = UI R R u ,1 WRnr V“ = vr /? m/s2 R WmG = R s mà w d vo vv o 0J ~ € = d i R j " '7 T Vậy W ^ (J = R l = vv = i?-— H • =W|, = m/s2 //ìn/ỉ 2.HI.39 Ta xét điểm Mị.- HỈ, = ^ + wí(> ■1' + < MịO chiếu đảng thức lên trục OịX OịV (h.2.III.39) ta co': WM,X = % h; II Ta xét điểm = m/s2 m/s2 m Wa + K ^ o + Wm2o < t 2o = m/s2 II II WỊJị2o = + = m/s2 w tl + II II 3t i5 |0 = r^íí • ể Vậy = - < j i0 = - = V 52 + 32 = m = 5,83 m/s2 Ta xét điểm M3 W ^ = W o + H ỈO + K m 3o = m/s2 236 II í *< W m 3x = w + w ^ = + -W m3o = -2 m/s / II lỉ w m4 % ^ = Wo + w £ o + < »'o - Wm4o “ - = m/s2 = -^ m4 Ww = V40 6,32 m/s2 m II ề ^ = xét điểm = m /s2 m 4o = -3 m /s2 = ^ M 4x + = V"Ĩ + 32 = VTÕ = 3,16 m /s2 = 3,16 m /s2 B ài 2.40 (h.2.III.40) Từ — 10i => (Ua = -í £ - = CB.£bx = = m/s2 ; = 0,5.4 = m/s ; 0,5.4 = m/s2 ; 0,5.4 = W £ b W *B = = C B ojI C B ' b* m/s2 Chiếu đẳng thức (b) lên trục Ox, Oy chọn ta có : Do WCx = -W[ị - W£B = - - = - WCy = = m/s2 WỊị- + W[ H = + w c = J w ị x + w ị y = \Í2 m/s2 B i 2.42 (h III.42) T a co' = A P = 10 cm WH = M cm/s2 m/s2 240 Chiếu (a) lên phương vng góc AB ta có Wbcos30° = -W Asin30° + W \ịA WỊỉa = Wbcos30° + WAsin30° = ,6 -^ -I- 20 ị eAữ.BA = WĨBA = 594,2 594,2 20 £ab = , = 29’7 rad/s B ài 2.43 (h.2.III.43) T ay q u a y O ịA c h u y ể n quay quanh o j động T h an h A B ch u y ển động song phảng BO chuyển động quay quanh o Ta co' : VA = 0|A.wo = 75.6 = 450 cm/s Chiếu lên đoạn th ả n g A B : ta \Í3 VB = Vacos30° = 450.-—- = = 225 V3 cm/s 225\T3 v n w "‘ “ B O = 60Ỉ3 " 3'75 rad/s Tiếp điểm C' cùa hai bánh xe, p tâm vận tốc tức thời hình phảng AB Ỹ CP Do vr = V» BP f p V H B P = A Btg60° = „ v c CPƠ = w' - 150V3 cũn CP ã = 120t3 = I50ự y c _ 180V3 r, 30\HĨ = 150^3 - 3(>V3 = 120\Í3 _ v » = rad/s 225^ - cm /s Tài liệu tham khảo Nguyễn Trọng Chuyên, Nguyễn Văn Dạo, Ngô Văn Thảo, Nguyễn Thế Tiẽn Co học lý thuyết Nhà xuất bàn đại học trung học chuyên nghiệp, 1969 Trần Hữu Duấn Cữ học lý thuyết Nhà xuất đại học trung học chuyên nghiệp, 1970 Dinh Thẽ Hanh, Nguyễn Thẽ Hùng, Nguyễn Trọng Cữ học lý thuyết Trường đại học xây dựng, 1982 Nguyễn Văn Dinh, Nguyễn Văn Khang, Dỗ Sanh Cơ học Nhà xuất đại học giáo dục chuyên nghiệp, 1990 Nguyễn Văn Dinh, Lê Dỗn Hịng, Nguỵễn Nhật Lệ, Dỗ Sanh Bài tập học Nhà xuất đại học giáo dục chuyên nghiệp, 1990 ổ Phan Văn Cúc, Nguyền Văn Tinh Cơ học lý thuyết Nhà xuất bàn khoa học kỹ thuật, 1991 Nguyễn Trọng Chuyển, Phan Văn Cúc Bài tập học lý thuyết Nhà xuất khoa học kỹ thuật, 1994 Đinh Thẽ Hanh Cơ học sỏ Nhà xuất giáo dục, 1996 Đinh Thế Hanh, Lê Ngọc Chấn Bài tập học sỏ Nhà xuất bàn giáo dục, 1996 10 N A Braịnichenko, V.L.Kan, BL Minchberg, VI Morozov, G.N Usakov Cbom ik zađach po teoretichexkoi mekhanike Uzđartelxtvo "vưxskaya skola" Moxkva, 1967 11 Metserxkii C b o rn ic zađach po te o re tic h e x k o i m ekhanike izđatelxtvo ’nauka" glavnaya ređaktxyafiziko - matemati chexkoi I.v literaturư Moxkva, 1968 12 A.A Yablonxkii Cbornil zađachii đlya kurxovưc rabot po teoretichex- koi mekhanike Uzdatelxtvo vưsays skola Moxkva, 1972 Mục lục Lời giới t h i ệ u Phần môt TĨNH HỌC C hư n g Các k h i n iệm 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 cd b ả n - H ệ tiê n d ề tín h h ọ c Các khái niệm b n M ômen lực N gẫu lực 13 Hệ tiên để tĩn h h ọ c 15 Liên kết phản lực liên k ế t .17 H b ài to n b ản c ủ a tĩn h h ọ c .22 2.1 Bài toán thu gọn hệ lực 22 2.2 Bài toán cân hệ lực 31 C hư n g C hư n g 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 N hững Bài toán Bài toán Bài toán Bài toán Bài toán b ài to n d ặ c b iệ t củ a tĩn h h ọc 38 vể cân đòn vật lật 38 lực tập tru n g lực phân bố 39 vể cân hệ vật 41 tỉnh định siêu t ỉ n h 42 m a s t .44 T ĩnh dồ - D n 52 4.1 D a giác lực đa giác dây .52 4.2 Thu gọn hệ lực điểu kiện cân hệ lực 53 4.3 Dàn 56 C hư n g C h n g T r ọ n g tâm c ủ a v ậ t rán v h ệ lự c s o n g s o n g • 59 5.1 T hu gọn hệ lực song s o n g 59 5.2 T rọng tâm vật rán 64 B ài tậ p ví d ụ v h n g d ấ n g iả i p h â n tĩn h h ọ c I Bài tập 71 II Ví dụ tín h to án 86 III H ướng dẫn giải bàit ậ p .96 2Ví Phần hai ĐỘNG HỌC C hư n g Đ ộ n g h ọc đ i ể m 1.1 1.2 1.3 1.4 139 Phương pháp v e c t 139 Phương pháp hệ tọa độ Đềcác 142 Phương pháp hệ tọa độ tự n h i ê n 144 Ví dụ minh h ọ a 150 C hư ơng C h uyển đ ộ n g vật r ắ n 154 2.1 Chuyến động tịnh tiến vật r ắ n 154 2.1.2 Tính chất chuyển động tịnh t i ế n .155 H ợp c h u y ể n d ộn g đ i ể m 162 3.1 Các khái niệm định n g h ĩ a 163 3.2 Định lý hợp vận t ố c 164 3.3 Định lý hợp gia t ố c 167 C hư ơng C hư ơng 4.1 4.2 4.3 4.4 C h u yển đ ộ n g so n g p h ả n g vật rắn 172 Định nghĩa ví d ụ 172 Khảo sát chuyển động vật 173 Khảo sát chuyển động điểm thuộc vật 174 ví dụ Tính t o n 179 Bài tậ p ví d ụ hư ng dấn giải p h ẩn đ ộ n g học 185 I Bài tập 185 II Ví dụ tính t o n .197 III H ướng dẫn giải t ậ p .209 ^ài liệ u th am k h ảo 241
