ăng lượng tự do của ngưng tụ bose – einstein một thành phần trong gần đúng nhiệt độ thấp

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ TỐ UYÊN NĂNG LƢỢNG TỰ DO CỦA NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG GẦN ĐÚNG NHIỆT ĐỘ THẤP Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết, KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN THỤ HÀ NỘI, 2018 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ TỐ UYÊN NĂNG LƢỢNG TỰ DO CỦA NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG GẦN ĐÚNG NHIỆT ĐỘ THẤP Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết, KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN THỤ HÀ NỘI, 2018 LỜI CẢM ƠN Trƣớc trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Thụ ngƣời định hƣớng chọn đề tài tận tình giúp đỡ, hƣớng dẫn để tơi hồn thành khóa luận Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo giảng dạy chuyên ngành vật lý lý thuyết khoa vật lý, Đại học sƣ phạm Hà Nội nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập làm khóa luận Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ, ủng hộ công việc Hà Nội, tháng 5, năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Tố Uyên LỜI CAM ĐOAN Dƣới hƣớng dẫn TS Nguyễn Văn Thụ luận văn chuyên ngành Vật lý lý thuyết với đề tài “Năng lƣợng tự ngƣng tụ Bose – Einstein thành phần gần nhiệt độ thấp” đƣợc hồn thành nhận thức thân, không trùng với luận văn khác Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng, biết ơn Hà Nội, tháng 5, năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Tố Uyên KÍ HIỆU VIẾT TẮT BEC Bose – Einstein Condensate Ngƣng tụ Bose – Einstein SR Symmetry Restoration Phục hồi đối xứng SNR Symmetry Non - Restoration Không phục hồi đối xứng ISB Inverse Symmetry Breaking Phá vỡ đối xứng nghịch đảo SD Schwinger – Dyson CJT Cornwall – Jackiw – Tombolis MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Dự kiến đóng góp đề tài CHƢƠNG TỔNG QUAN 1.1.Giới thiệu chuyển pha 1.2.Ngƣng tụ Bose – Einstein 1.3.Tác dụng hiệu dụng Cornwall – Jackiw – Tombolis nhiệt độ hữu hạn 13 Kết luận chƣơng 20 CHƢƠNG NĂNG LƢỢNG CỦA NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN TRONG KHÍ BOSE MỘT THÀNH PHẦN Ở GẦN ĐÚNG NHIỆT ĐỘ CỰC THẤP 21 2.1 Thế hiệu dụng gần hai vòng 22 2.2 Phƣơng trình khe phƣơng trình Schwinger-Dyson 26 2.2.1 Phƣơng trình khe 26 2.2.2 Phƣơng trình Schwinger-Dyson hàm truyền 26 2.2.3 Phƣơng trình khe 27 2.2.4 Phƣơng trình SD 28 2.3 Năng lƣợng tự 29 2.4 Gần nhiệt độ thấp 30 Kết luận chƣơng 32 KẾT LUẬN 33 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein (BEC – Bose – Einstein Condenstate) khí Bose nhiệt độ cực thấp đƣợc tạo giới vào năm 1995 làm biến đổi nguyên tử vật lý Điều này, có nghĩa lớn tạo nên dạng vật chất hạt bị giam chung trạng thái lƣợng thấp nhất, mở nhiều triển vọng cho vật lý Và trạng thái BEC, có nhiều tƣợng tƣợng lạ, lơi cuốn, nghiên cứu tính chất vật lý BEC tạo nên khí Bose nhiệt độ cực thấp trở thành lĩnh vực hấp dẫn vật lý đại BEC vật chất lƣợng tử, sóng vật chất lƣợng tử có đặc tính quan trọng sóng laser, tính kết hợp Nghiên cứu sóng vật chất dựa BEC đóng vai trò chủ yếu xác lập nguyên lý làm việc máy tính lƣợng tử Để phát hiệu ứng lƣợng tử có liên quan trực tiếp đến tin học lƣợng tử ngƣời ta tiến hành nhiều nghiên cứu thực nghiệm lý thuyết tính chất vật lý BEC thành phần BEC hai thành phần Và nghiên cứu mang lại nhiều kết quan trọng toàn ngành vật lý, đặc biệt cơng nghệ lƣợng tử đƣợc hình thành từ ba thành phần là: thơng tin lƣợng tử, máy tính lƣợng tử vật chất lƣợng tử Về mặt lý thuyết, có nhiều thành tựu việc mơ tả tƣợng khác quan sát đƣợc, đồng thời tiên đoán hiệu ứng lƣợng tử Việc nghiên cứu cấu trúc pha BEC nhiệt độ cực thấp đóng vai trò quan trọng cấu trúc pha cho ta thơng tin đầy đủ tính chất vật lý, trạng thái vật chất lƣợng tử ứng với miền khác tham số vật lý nhƣ số tƣơng tác, nhiệt độ, hóa học Trong đó, việc nghiên cứu lƣợng tự ngƣng tụ Bose – Einstein thành phần gần nhiệt độ thấp đóng góp quan trọng mặt lý thuyết Xuất phát từ triển vọng lựa chọn đề tài :" Năng lƣợng tự ngƣng tụ Bose – Einstein thành phần gần nhiệt độ thấp" Mục đích nghiên cứu Trên sở lý thuyết ngƣng tụ Bose – Einstein nghiên cứu lƣợng tự ngƣng tụ Bose – Einstein thành phần gần nhiệt độ thấp Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lƣợng tự ngƣng tụ Bose – Einstein thành phần gần nhiệt độ thấp dựa hiệu dụng Cornwall – Jackiw – Tomboulis (CJT) gần hai vòng, nghiên cứu kịch chuyển pha nhiệt chuyển pha lƣợng tử Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu ngƣng tụ Bose – Einstein thành phần thống kê tắc lớn Phạm vi nghiên cứu xét hệ khí Bose nhiệt độ cực thấp gần hai vòng Phƣơng pháp nghiên cứu - Sử dụng phƣơng pháp tác dụng hiệu dụng Cornwall – Jackiw – Tomboulis (CJT) gần hai vòng - Tính số phần mềm máy tính Dự kiến đóng góp đề tài Nghiên cứu lƣợng tự ngƣng tụ Bose – Einstein thành phần gần nhiệt độ thấp có đóng góp quan trọng học lƣợng tử nói riêng vật lý lý thuyết nói chung CHƢƠNG TỔNG QUAN 1.1 Giới thiệu chuyển pha Đối với hệ nhiệt động, thông thƣờng để biểu diễn trạng thái rắn, lỏng khí ta dùng khái niệm pha Trong vật lý thống kê, pha trạng thái hệ vĩ mơ có đặc trƣng khác chất so với trạng thái khác hệ cấu trúc pha hệ xác định tính chất vật lý hệ Trạng thái vi mô hệ đƣợc đặc trƣng thông số trạng thái nhƣ nhiệt độ (T), áp suất (P), thể tích (V), entropy (S),… mà đại lƣợng đƣợc xác định thông qua hàm nhiệt động ( hàm trạng thái) nhƣ nhiệt động (Ω), lƣợng tự E,… Khi hệ trạng thái cân nhiệt, thơng số trạng có mối liên hệ với nhau, chúng đƣợc biểu diễn phƣơng trình trạng thái Bởi vậy, hệ đồng chất, trạng thái cân đƣợc xác định hai đại lƣợng nhiệt động cho trƣớc, ví dụ nhƣ thể tích V lƣợng E Nhƣng, cho trƣớc cặp giá trị E V khơng thể khẳng định đƣợc trạng thái đồng chất vật chất tƣơng ứng với trạng thái cân nhiệt Bởi vì, xảy trƣờng hợp trạng thái cân nhiệt, hệ không đồng chất mà tách thành hai thành phần đồng chất tiếp giáp nhƣng chúng trạng thái khác Những pha khác vật chất gồm trạng thái khác vật chất đồng thời tồn tại, cân với tiếp giáp Hai pha có nhiệt độ, áp suất, hóa gọi hai pha cân bằng, nghĩa là: T1 = T2; P1 = P2; μ1 = μ2 (1.1) Nếu biểu diễn nhiệt độ áp suất trục tọa độ tập hợp điểm mà có cân pha tạo thành đƣờng cong, gọi đƣờng cong cân pha Những điểm nằm hai bên đƣờng cong trạng thái đồng chất hệ, nghĩa thuộc pha xác định Khi trạng thái hệ biến đổi dọc theo đƣờng cắt đƣờng cong cân giao điểm hai đƣờng có chuyển từ pha sang pha khác Nếu cân pha lƣợng chất xác định đƣợc biểu diễn giản đồ mặt phẳng (T, V) có miền mặt phẳng bị chiếm trạng thái đồng thời có hai pha Giống nhƣ điều kiện hai pha cân bằng, cân ba pha đƣợc xác định đẳng thức: T1 = T2 = T3; P1 = P2 = P3; μ1 = μ2 = μ3 (1.2) Trong lý thuyết Landau, bất đẳng thức nhiệt động sau đƣợc thỏa mãn: nhiệt dung đẳng áp ln lớn nhiệt dung đẳng tích (Cp > Cv), nhiệt dung đẳng tích ln dƣơng (Cv > 0) đạo hàm áp suất theo thể tích nhiệt độ không đổi âm ( P T  const 0) μ, g nhiệt độ T tham số điều khiển tƣơng ứng với Lagrangian (2.1) Khi thay hàm sóng  ei , xét thấy Lagrangian (2.1) không thay đổi, nghĩa bất biến phép đổi pha nhóm đối xứng Unita U(1) Do vậy, Lagrangian bị phá vỡ đối xứng tự phát nhóm U(1) phải có Boson Goldstone đƣợc sinh tuân theo định lý Goldstone áp dụng cho ngƣng tụ Bose – Einstein Đầu tiên xây dựng hiệu dụng Cornwall – Jackiw – Tomboulis (CJT) hệ Lagrangian (2.1) gần hai vòng dựa vào rút 21 phƣơng trình trạng thái Tiếp theo, dựa vào phƣơng trình trạng thái, khảo sát áp suất, lƣợng tự nhiệt độ cực thấp 2.1 Thế hiệu dụng gần hai vòng Trƣớc tính hiệu dụng CJT gần hai vòng, ta viết tốn tử trƣờng dƣới dạng:   0  (1  i2 ) (2.3) Thay (2.3) vào (2.1), ta đƣợc: 0     i0     1       2    i     i  1   i  2   i t  2m  1  t 2m   t 2m   t 2m    2     i1     i2       i  2   i  2   i  1  t 2m   t 2m   t 2m  g  g 12  2    (  )  0  0  2(   g0 )01  (   g02 ) 2 2 2 g g (   g02 )  (1  22 )01  (12  22 ) 2  Khi đó, viết lại Lagrangian (2.1) dƣới dạng: £ = £0 + £1 + £2 Trong đó: g £0 =  02  04 , 22 0   2  i0      i  1   i  2  t 2m   t 2m  i1     i2     £1 =   i  2   i  1  t 2m   t 2m    2   2  2  1  i     3g0 1  2  i     3g02 2,  t 2m  t 2m   £2 = 2(   g02 )01  g g 01 (12  22 )  (12  22 )2 Thu đƣợc Lagrangian tƣơng tác là: £int = g g 01 (12  22 )  (12  22 )2 Từ Lagrangian (2.3), không gian xung lƣợng ta thu đƣợc: ⃰ Hàm truyền tự nghịch đảo:  k2   m 1 D0 (k )     n   n  ;  k  2m  ⃰ Nghịch đảo hàm truyền gần mức cây:  k2    3g02  2m D01 (k ,0 )    n       k    g02  2m  n Tính det D01 (k ,0 ) : 23 (2.4)  k2  k  det D (k ,0 )   E      3g0     g02   2m  2m     1 (2.5) Sử dụng cơng thức tính hiệu dụng gần cây: g U   02  04 , (2.6) lấy đạo hàm (2.6) ta đƣợc: U   0  g03 0 theo nguyên lý cực tiểu, trạng thái hệ phải ứng với: U    0  g03  0 (2.7) Nhƣ vậy, mật độ ngƣng tụ gần đƣợc xác định bởi: 0  02 , (2.8) với cực tiểu địa phƣơng thỏa mãn: 02   g (2.9) Hàm truyền nghịch đảo không gian xung lƣợng đƣợc viết lại nhƣ sau: k2 D (k ,0 )  Aij , A11     g02 , 2m 1 k2 A12   A21  n , A22  2m 24 (2.10) Thay (2.7) vào (2.5) ta thu đƣợc hệ thức tán sắc Bogoliubov ngƣng tụ Bose – Einstein khí Bose nhiệt độ cực thấp:  k2  k2 E  g02  ,   2m  2m  (2.11) xung lƣợng nhỏ, (2.11) tƣớng ứng có dạng: g02 E  k m (2.12) Hệ thức (2.12) mô tả xuất boson Goldstone không khối lƣợng nhóm U(1) bị phá vỡ đối xứng nhƣ nói Tiếp theo, ta tính hiệu dụng CJT gần hai vòng Để thực đƣợc điều này, trƣớc tiên ta giả sử hàm truyền đầy đủ có dạng: k2 k2 D (k )  Bij , B11   M , B22   M , B12   B21  n 2m 2m 1 Áp dụng công thức (1.18), ta thu đƣợc biểu thức hiệu dụng CJT, V ( , D) nhiệt độ hữu hạn gần hai vòng là: g VCJT (0 , D)        tr ln D 1 (k )  D01 (k ,0 ) D(k )  1 2 2 3g 3g  g     D11 (k )   D ( k )  D (k )   D (k )  , 22      11    22    (2.13) đó:  f (k )  T d 3k f (n , k )  n  (2 )  25 (2.14) Từ thu đƣợc: phƣơng trình khe phƣơng trình SchwingerDyson 2.2 Phƣơng trình khe phƣơng trình Schwinger-Dyson 2.2.1 Phƣơng trình khe  VCJT     g02  1  0 (2.15) 2.2.2 Phƣơng trình Schwinger-Dyson hàm truyền  VCJT k2 3g g 1   D11     3g02  D11 (k )   D22 (k ),    D11 2m 2  VCJT   D121  n ,  D12  VCJT   D121  n ,  D21  VCJT k2 3g g 1   D22     g02  D ( k )   22  D11 (k )  D22 2m   Nghĩa là:  k2    3g02  1  2m D 1 (k )    n     ,  k    g02    2m  n (2.16) đó: 3g g D11 (k )   D22 (k )   2 g 3g    D11 (k )   D22 (k ) 2  1  26 (2.17) Hàm truyền đầy đủ gần hai vòng: k2 D (k )  Bij , B11   M1, 2m 1 B12  B21  n , B22  (2.18) k  M2, 2m đó: M     3g02  1 , M     g02   (2.19) Hiển nhiên ta thấy đƣợc định lý Goldstone không đƣợc nghiệm phép gần Vậy ta phải khôi phục lại định lý Goldstone, trƣớc tiên ta viết hiệu dụng dƣới dạng bổ chính: VCJT (0 , D)  VCJT (0 , D)  V , (2.20) đó: g V    P112  P222  P11P22  , Paa =  Daa (k ); a  1,2 (2.21) Thay (2.21) vào (2.14) thu đƣợc hiệu dụng có dạng: g VCJT (0 , D)   02  04   tr ln D 1 (k )  D01 (k ,0 ) D(k )  1 2 (2.22) g g 3g  P11  P22  P11P22 8 Từ (2.22) ta nhận đƣợc: 2.2.3 Phƣơng trình khe   g02  2  27 (2.23) Hay 02   g ;     2 (2.24) Từ công thức (2.19), ta có: M 2    g02  0  hay M2⃰ bị triệt tiêu pha đối xứng bị phá vỡ 2.2.4 Phƣơng trình SD D01 (k )  D01 (k ,0 )  2 , (2.25) đó: g 3g P11  P22 , 2 3g g 12  21  0, 22  2  P11  P22 2   ij , 11  1  (2.26) Kết hợp ba phƣơng trình (2.24), (2.25) (2.26) thu đƣợc: k2 D (k )  Bij , B11   M 1 , B12   B21  n , 2m 1 (2.27) k2 B22  , M 1     3g02  1 2m Do có M1⃰ ≠ nên ta đặt M1⃰ = M Khi hệ thức tán sắc có dạng: E  k2  k2 M   2m  2m  (2.28) Sau cách sử dụng phƣơng trình khe phƣơng trình SD theo (2.25) (2.26), ta thu đƣợc biểu thức rút gọn hiệu dụng là: 28 g VCJT (0 )   02  04   tr ln D 1 (k ) 2 P P  11 (3g02    M )  22 ( g02   ) 2 g 3g  ( P112  P222 )  P11 P22 (2.29) 2.3 Năng lƣợng tự Các thơng số trạng thái nghiệm phƣơng trình trạng thái mơ tả hệ, đặc trƣng cho tính chất vật lý hệ Dựa vào hiệu dụng (2.29), ta thu đƣợc phƣơng trình trạng thái hệ cách sau: - Từ định nghĩa áp suất, ta có: P  VCJT (0 , D), (2.30) lấy cực tiểu mật độ ngƣng tụ: VCJT P P    02  11 22  (2.31) Ta tính đƣợc áp suất theo mật độ là: P  g  g 1 tr ln D ( k )  g  P  P11 11   (2.32) Và thông số hàm truyền: M  g11  g1P11 - (2.33) Bằng cách sử dụng biến đổi Legendre     P, ta thu đƣợc lƣợng tự có dạng: 29   g  g 1 trD ( k )  P11   (2.34) Hai phƣơng trình (2.32) (2.34) phƣơng trình trạng thái BEC Những phƣơng trình chi phối tất trình chuyển pha BEC Tiếp theo, dựa vào phƣơng trình trạng thái, tơi khảo sát lƣợng tự nhiệt độ cực thấp (tƣơng ứng với T / i 1) 2.4 Gần nhiệt độ thấp Sử dụng khai triển tích phân hiệu dụng nhiệt độ cực thấp (tƣơng ứng với T / i 1) thay chúng vào biểu thức mật độ ngƣng tụ phƣơng trình khe: - Sử dụng tích phân:  z x1 z x1 1 x dz   ( x )  ( x ); 0 e z  0 e z  dz  (1  )( x) ( x),  Sẽ thu đƣợc:  dp I1  M , T    2 p3 p2  M e p   M /T T4  2T  (4) (4)  , 30M  2 M dp p p  M T2 T2 I [M , T ]   p   M /T  (2) (2)  , 12 M 2 e  2 M  p dp  2T  p   M /T I 3[M , T ]= T  ln(1  e ) , 90M 2  2 2 30  g  2g g 2 1  (2m)   M1  T  T , 24  60 M M   1  5g   g g   (2m)3/2  M 13  T  T , 20 M 24 M   24 3/2 (2m)3/2 (2m)3/2   D11 (k )  6 M  30M T ,  D22 (k )   (2m)3/2 (2m)3/2 M1  T 12 12M 15 - Thay tích phân vào biểu thức mật độ ngƣng tụ phƣơng trình khe nhận đƣợc: VCJT 1    02   D11   D22 ;  2 2m3/2 g 2m3/2 g   g  M1  T 3 15M 15 (2.35) - Thay tích phân (2.35) vào (2.33) ta thu đƣợc biểu thức gần M nhiệt độ cực thấp: M 2M 13/2 m3/2 g 2m3 g 2g    3 15M 1*5/2 (2.36) Ta thấy, M hàm mật độ nhiệt độ gần bậc M 2g  Trong gần bậc nhất, ta nhận đƣợc hóa lƣợng tự nhƣ sau: - Thế hóa học: 31 4m g 5/2  3/2 m3/2 g   T 3/2 5/2 3 60 g  (2.37) 4m g 5/2  3/2 m3/2 P  g   T 3/2 3/2 5 36 g  (2.38) 3/2  - Áp suất: 3/2 - Năng lƣợng tự do: 8m3/2 g 5/2  5/2  m3 m3/2      P  g     T (2.39) 3/2 3/2  15  45 90 g   Kết luận chƣơng Trong chƣơng đƣa đƣợc cơng thức tính lƣợng tự ngƣng tụ Bose – Einstein gần nhiệt độ thấp, nêu đƣợc cơng thức tính hóa học, áp suất gần đún nhiệt độ thấp 32 KẾT LUẬN Luận văn “năng lƣợng tự ngƣng tụ Bose – Einstein thành phần gần nhiệt độ thấp” hoàn thành thu đƣợc kết sau: Tổng quan chuyển pha: chuyển pha nhiệt, chuyển pha lƣợng tử Ngƣng tụ Bose – Einstein tính chất ngƣng tụ Tác dụng hiệu dụng Cornwall – Jackiw – Tombolis nhiệt độ hữu hạn: tác dụng hiệu dụng lƣợng tử CJT, phá vỡ đối xứng tự phát, định lý Goldstone Tính đƣợc lƣợng tự ngƣng tụ Bose – Einstein thành phần gần nhiệt độ thấp: 8m3/2 g 5/2  5/2  m3 m3/2      P  g     T 3/2 3/2  15  45 90 g   33 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt T H Phat, L V Hoa, N T Anh, N V Long (2015) Tiếng Anh Ann Phys 324, 2074 (2009) Amelino – G Camelia (1996), On the CJT Formalism in multi – field theories, Nucl Phys B 476, 255 Anderson M H., Ensher J R., Matthews M R., Weiman C E., and Cornell E A (1995), Observation of Bose – Einstein condensation in a dilute atomic vapor, Science 269 (5221) 198 34 ... tự ngƣng tụ Bose – Einstein thành phần gần nhiệt độ thấp" Mục đích nghiên cứu Trên sở lý thuyết ngƣng tụ Bose – Einstein nghiên cứu lƣợng tự ngƣng tụ Bose – Einstein thành phần gần nhiệt độ thấp. .. ngƣng tụ Bose – Einstein, tác dụng hiệu dụng Cornwall – Jackiw – Tombolis kiến thức liên quan 20 CHƢƠNG NĂNG LƢỢNG CỦA NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN TRONG KHÍ BOSE MỘT THÀNH PHẦN Ở GẦN ĐÚNG NHIỆT ĐỘ... ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ TỐ UYÊN NĂNG LƢỢNG TỰ DO CỦA NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG GẦN ĐÚNG NHIỆT ĐỘ THẤP Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết, KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP