Lực căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose - Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc lớn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI ===&=== NGUYỄN THỊ PHÒNG LỰC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG THỐNG KÊ CHÍNH TẮC LỚN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT HÀ NỘI, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI ===&=== NGUYỄN THỊ PHỊNG LỰC CĂNG MẶT NGỒI CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG THỐNG KÊ CHÍNH TẮC LỚN Chun ngành:Vật lí lí thuyết Vật lí tốn Mã số: 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Văn Thụ HÀ NỘI, 2018 LỜI CẢM ƠN Tôi xin cảm ơn thầy cô giáo khoa Vật lý trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Văn Thụ hƣớng dẫn tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, BGH trƣờng THPT n Lãng khích lệ, tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 16 tháng 06 năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Phòng LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn thực dƣới hƣớng dẫn PGS.TS Nguyễn Văn Thụ khơng giốngvới luận văn khác Hà Nội, ngày 16 tháng 06 năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Phòng MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Dự kiến đóng góp Chƣơng 1.TÔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSEEINSTEIN 1.1.Hệ hạt đồng 1.2 Thống kê Bose-Einstein 1.3 Tổng quan nghiên cứu ngƣng tụ Bose – Einstein 10 1.4 Thực nghiệm ngƣng tụ Bose-Einstein 12 1.4.1 Tạo ngƣng tụ Bose-Einstein rơi tự 12 1.4.2 Siêu nguyên tử khả ứng dụng vào thực tiễn kĩ thuật 14 KẾT LUẬN CHƢƠNG 20 Chƣơng 2.TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG THỐNG KÊ CHÍNH TẮC LỚN 21 2.1 Các hệ thống kê 21 2.1.1 Hệ vi tắc 21 2.1.2 Hệ tắc 23 2.1.3 Hệ tắc lớn 28 2.2 Phƣơng trình Gross-Pitaevskii khơng phụ thuộc thời gian 30 2.3 Gần parabol kép 33 2.4 Trạng thái gần parabol kép 36 KẾT LUẬN CHƢƠNG 37 Chƣơng LỰC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƢNG TỤ BOSEEINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG THỐNG KÊ CHÍNH TẮC LỚN 38 3.1 Sức căng mặt ngƣng tụ Bose-Einstein thành phần thống kê tắc lớn 38 3.2 Lực căng mặt ngƣng tụ Bose-Einstein thành phần thống kê tắc lớn 40 KẾT LUẬN CHƢƠNG 42 KẾT LUẬN LUẬN VĂN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 DANH MỤC HÌNH Hình 1.1 Biểu đồ phân bố tốc độ chuyển động nguyên tử Rubidi bị làm lạnh đến nhiệt độ thấp (nguồn: internet) 11 Hình 1.2 Ảnh thiết bị BEC nhìn từ phía dƣới tháp rơi ZARM 13 Hình 1.3 Tạo laze nguyên tử 16 Hình 1.4 Lợi ích siêu ngun tử 19 Hình 2.1 Đồ thị VGP VDPA 35 Hình 2.2 Hàm sóng trạng thái theo    2, L  10 36 Hình 3.1 Minh họa phân tử mặt thống chất lỏng 38 Hình 3.2 Sức căng mặt theo tham số L 40 Hình 3.3 Lực căng mặt theo tham số L 41 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ngƣng tụ Bose-Einstein( BEC) trạng thái, trạng thái đƣợc BoseEinstein đƣa mặt lý thuyết năm 1924 - 1925 Năm 1995 Cornell Wieman tiến hành thực nghiệm làm lạnh mẫu rubidium từ nhiệt độ T đến nhiệt độ -273,150  C Khi có số lƣợng lớn hạt boson trạng thái nhƣ Phải đến 70 năm để tạo giọt Einstein-Bose phải hạ nhiệt độ mà chuyển động tự nhiên tất hạt chấm dứt Các nhà khoa học cần chọn số nguyên tố, cộng hƣởng bƣớc sóng laze quang học để làm siêu nguyên tử Từ tạo nhiều hƣớng nghiên cứu lĩnh vực đời sống Cụ thể tạo nhiều ứng dụng nhƣ: Máy gia tốc kế siêu nhạy giúp thiết bị bay xác định quỹ đạo bay mà không cần tới cọc tiêu hay vệ tinh hay giao thao kế laze nguyên tử phát xác vị trí trầm tích, dầu mỏ nhiều ứng dụng khác BEC có tính chất siêu lỏng, tức giống nhƣ chất lỏng lƣợng tử Vì tính chất tĩnh nhƣ tƣợng chuyển pha, sức căng, lực căng bề mặt có ý nghĩa lĩnh vực Vật lí lĩnh vực khác Do lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Lực căng mặt ngƣng tụ Bose - Einstein thành phần thống kê tắc lớn” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lực căng mặt ngƣng tụ BEC thành phần thống kê tắc lớn, dựa sở lý thuyết ngƣng tụ BEC Nhiệm vụ nghiên cứu Trên sở thống kê BEC, phƣơng trình Gross-Pitaevskii tổng quát Nghiên cứu lực căng mặt ngƣng tụ BEC thành phần thống kê tắc lớn Đối tƣợng nghiên cứu Hệ ngƣng tụ BEC thành phần thống kê tắc lớn Nghiên cứu lực căng mặt ngƣng tụ BEC thành phần thống kê tắc lớn Phƣơng pháp nghiên cứu Hệ phƣơng trình Gross-Pitaevskii khơng phụ thuộc thời gian Phƣơng pháp gần parabol kép Dự kiến đóng góp Trong lĩnh vực Vật lí lí thuyết nói chung lĩnh vực Vật lí thống kê học lƣợng tử nói riêng Nghiên cứu lực căng mặt ngƣng tụ BEC thành phần thống kê tắc lớn có đóng góp định NỘI DUNG Chƣơng TÔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN 1.1 Hệ hạt đồng Điện tích, khối lƣợng, spin đặc trƣng hạt Ở điều kiện nhƣ nhƣng phân biệt đƣợc đặc trƣng hệ hạt đồng Khi nghiên cứu ta thấy hạt không tuân theo quy luật quỹ đạo chuyển động Tức thời điểm hạt vị trí điểm P sau thời gian bé vật khơng biết hạt vị trí Và ta biết hạt vừa xét hạt Với spin bán nguyên  , ,  2 hạt đồng fermions tuân  theo thống kê Fermi-Dirac khơng thể có nhiều hai hạt trạng thái lƣợng tử, theo tính phản đối xứng Các hạt đồng với spin nguyên (1,2,…,N) bosons không bị chi phối theo ngun lý loại trừ Pauli, hàm sóng hồn tồn đối xứng tuân theo thống kê BEC 1.2 Thống kê Bose-Einstein Với trạng thái đơn hạt ta cần quan tâm xem có hạt Chúng ta có [1]:   Ek  g Wk  k e N! , (1.1) với độ suy biến g k Đối với hệ có hạt khơng khơng tác dụng với nhau:  Ek   nl l , l 0 với nl hạt có lƣợng  l hạt riêng lẻ (1.2) 30 1            H   N     U      S , T T  T V  T V ,             p,  V T,  V T (2.32)         N  V ,T Tích phân trạng thái phân bố tắc lớn  N H  kT Z e  e kT dX N 0 N ! X  (2.33) Chúng ta xét mối quan hệ phân bố tắc lớn tắc Trƣớc hết, ta thấy xác định tất tính chất thống kê vật, trừ thăng giáng số hạt tổng cộng hệ, chúng hồn tồn tƣơng đƣơng Thăng giáng lƣợng toàn phần hệ đƣợc tính đếntrong phân bố tắc, bị bỏ qua phân bố vi tắc ( E  ) E Đồng thời thăng giáng số hạt toàn phần bị bỏ qua phân bố tắc Vậy phân bố tắc lớn phân bố tắc theo lƣợng số hạt, phân bố tắc phân bố vi tắc theo số hạt 2.2 Phƣơng trình Gross-Pitaevskii khơng phụ thuộc thời gian Xét hệ ngƣng tụ BEC thành phần Hàm Hamilton tổng quát hệ đƣợc biểu diễn nhƣ sau [6]:  pi2  N N H    Vext ri   V ri  rj , i 1  2m  i 1 j i N      (2.34) pi2 vế phải (2.34) động hạt thứ i, Vext ri lƣợng 2m tƣơng tác Ta có: F  E   N 31 Viết lại theo Halminton H  là: E     H  (2.35) Hệ gồm N hạt, nên ta liên hợp hàm sóng hạt hệ với  i Do đó, số hàm sóng bỏ đƣợc gọi phƣơng pháp gần trƣờng trung bình Hàm sóng viết dƣới dạng:          tích tenxơ,  tích tenxơ N hàm sóng Bài tốn tiến hành với điều kiện chuẩn hóa    , ta quan tâm đến tƣơng tác hạt nằm cạnh Lúc này, ta quy tốn việc tìm cực tiểu F    H      Xét số hạng động năng:     N p     * ri  ri d ri  i 1 2m i 1 2m N  2m  N  2  r d r   2m  (2.36)  N  * r  2 r d r Dễ dàng ta có số hạng  Vext  ri     N  *  r Vext  r d r i 1 N Ta có thành phần cuối cùng: (2.37) 32      N N V ri  rj  i 1 j i            N N  * ri  ri V ri  rj  * rj  rj d ri d rj   i 1 i  j N     N (2.38)     d ri  * rj  * ri V ri  rj  rj  ri d rj   i 1 i  j  N  1 N  d r  *  r   r V  r  r   r   r  d r ' * ' ' ' Với thành phần hóa học ta có:   N        * r  r d r   Để tìm (2.39)   * * (2.36), (2.37), ta xem , độc lập với biến số     * p  2m    2m N   * r 2 r d r , i 1 (2.40)    * Vext  ri     N *  r Vext  r  d r i 1 (2.41) N    N Vì vị trí r đổi đƣợc ta có:  N N   V ri  rj   *  i 1 j i          N  1 N   * r   V r  r  r  '    r d r N 1    * r  r d r   N  * r  r d r           *     N   *  r   r  d r Từ (2.36) đến (2.43) ta có:   (2.42) (2.43) 33 F  N { 2 r  Vext r  * 2m        V r  r  r  '     *   N  1 r   r }  (2.44) Suy (2.44) hàm thuộc ngoặc nhọn triệt tiêu Ta thƣờng lấy tƣơng tác nhƣ sau:   '  ' 4 2a  V r r   r r ,   m chiều dài tán xạ sóng s thơng số a.Với N  N  kết cuối phƣơng trình Gross-Pitaevskii khơng phụ thuộc thời gian là: N 4 2a   r   r  r  Vext r   r 2m m 2      (2.45) 2.3 Gần parabol kép Đặt g  2 2a xét hệ BEC chiều phân bố dọc theo trục 0z tức m hệ đối xứng tịnh tiến theo trục 0x, 0y (2.42) có dạng  d 2    g  2m dz (2.46) Trong trƣờng trung bình tƣơng tác g VGP     (2.47) Sử dụng độ dài đặc trƣng  mật độ khối n0  ta thu đƣợc: 2m   tọa độ :   z /  , hàm sóng rút gọn:   g n0 (2.48) 34 d d d d   dz d  dz  d  d2 d2  dz  d  Do đó:  d 2 d2  ( n) 2m dz 2m d  Thay (2.45) vào thu đƣợc:  d 2 d 2   gn n 2m dz d2 (2.49) Ta có:   gn n , g  gn n 3 (2.50) Thay (2.50), (2.49) vào (2.46) đƣợc:  d 2  3    d (2.51) VGP     (2.52) Công thức (2.44) viết lại: Xét trƣờng hợp hệ BEC bị chặn tƣờng cứng đặt vng góc với trục 0z z=0 gần tƣờng cứng  giảm dần từ nên đặt:  1 a , với a thuộc số thực có giá trị nhỏ Từ (2.53) kết hợp (2.52) có: (2.53) 35  a  14  1  a 2 a4  1  2a  a   2a  3a  2 a4    2a  2a  2 V GP  Khai triển đến gần bậc hai gần parabol kép: VDPA  2a  1    1  , 2 (2.54) Hình 2.1 Đồ thị VGP VDPA Thế VGP thể nét liền,thế VDPA thể nét đứt Trên hình vẽ ta thấy VGP có hai cực tiểu Khi thay VGP vào ta khơng giải trực tiếp đƣợc phƣơng trình Gross-Pitaevskii Vì ta dùng VDPA gọi parabol kép để giải phƣơng trình 36 2.4 Trạng thái gần parabol kép Biểu thức tƣơng tác DPA [6] (2.50), sử dụng phƣơng trình Euler-Lagrangian phƣơng trình GP (2.51) thành  (  1)  d 2  0, d2 (2.55)   Để tiếp tục tính tốn ta xét trƣờng hợp hệ BEC bị giam cầm không gian hữu hạn hai tƣờng cứng đặt vị trí     L Ứng với hệ ta đòi hỏi hàm sóng phải triệt tiêu bề mặt tƣờng cứng Tức là:  (0)  0,   ( L)  (2.56) Giải (2.55) với ràng buộc (2.56) ta thu đƣợc:    cosh     sinh[  ]tanh[ L ] 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 10 Hình 2.2 Hàm sóng trạng thái theo    2, L  10 (2.57) 37 KẾT LUẬN CHƢƠNG Ở chƣơng đƣa nội dung sau: + Nêu hệ thống kê + Tìm phƣơng trình Gross-Pitaevskii khơng phụ thuộc thời gian + Tìm biểu thức gần parabol kép, trạng thái gần parabol kép + Vẽ đồ thị biểu diễn thay đổi tham số trật tự theo trục 0z phần mềm toán học 38 Chƣơng LỰC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG THỐNG KÊ CHÍNH TẮC LỚN 3.1 Sức căng mặt ngƣng tụ Bose-Einstein thành phần thống kê tắc lớn Sức căng mặt lực kéo màng tƣởng tƣợng giống nhƣ “lớp da” giúp giữ chặt phân tử chất lỏng với Các phân tử nằm lòng chất lỏng tác dụng lên với lực hút phân tử Những phân tử nằm mặt ngồi có chênh lệch lực hút phân tử nguyên nhân làm cho mặt thống chất lỏng có diện tích nhỏ Hình 3.1 Minh họa phân tử mặt thoáng chất lỏng Phân tử nằm chất lỏng đƣợc bao bọc phân tử chất lỏng loại khác Sẽ chịu lực tác dụng phân tử xung quanh nhƣ hƣớng, nên tổng lực tác dụng ln có giá trị khơng Phân tử vị trí bề mặt chịu tác dụng phân tử loại phân tử khí mặt thống Lực tác dụng phân tử khí lên phân tử khơng đáng kể Do tổng hợp lực có giá trị khác không hƣớng vào kéo phân tử vào bên lòng khối chất lỏng Giá trị hợp lực cao phân tử tiến đến gần mặt giới hạn 39 Thế phân tử nằm lòng chất lòng nhỏ phân tử mặt giới hạn Để tăng bề mặt giới hạn phân tử phải thực công giảm động để chuyển thành phân tử Ngƣợc lại phân tử chất lỏng muốn chuyển động vào lòng khối chất lỏng thực cơng giảm để chuyển thành động phân tử Sức căng mặt chất lỏng độ biến thiên tắc lớn đơn vị diện tích mặt ngồi, ta có:     b  A A (3.1) Thế tắc lớn có[3]: l   P0 A      VDPA dz   1    P0 A        1  dz 2 0 L b  PV Và với áp suất cân P0  (3.2) (3.3) gn02 , Thế (3.3) (3.2) vào (3.1) thì[4]: 1  P0 A  d         1    PV 2   A L L 2   P0  d         1   Kết hợp (2.54) (3.4) ta có:  (3.4) 40    L  2     Sech   P0   L 2        sinh  L   (3.5)         Khai triển hàm  ta đƣợc:   4 P0 L  O  L (3.6) Dễ dàng ta thấy L   hàm    theo số mũ L 0 L Hình 3.2 Sức căng mặt theo tham số L 3.2 Lực căng mặt ngƣng tụ Bose-Einstein thành phần thống kê tắc lớn Thực tế phân tử hút với lực hút không gây nên áp suất phân tử mà gây nên lực tác dụng lên đƣờng phân cách chất lỏng với bình chứa Lực kéo phân tử vào phía lòng chất lỏng lực tổng hợp tác dụng lên phân tử nằm bề mặt thống có đặc điểm: - Vng góc với đƣờng cong vạch mặt ngồi - Tiếp tuyến với mặt giới hạn (mặt ngoài) - Độ lớn: 41 F    l (3.7) Thay (3.5) vào (3.7) tính đƣợc:   2   L  F   2         Cosh  L   Sech   P0          L   2   L   L       sinh L  P                Sech    ( 3.8) Khai triển hàm đến bậc hai ta thu đƣợc   P0  F  4 P0   2 P0   L  O  L   (3.9) F 4 L Hình 3.3 Lực căng mặt ngồi theo tham số L 10 42 KẾT LUẬN CHƢƠNG Trong chƣơng đƣa nội dung sau: - Khái niệm đặc điểm sức căng mặt ngoài, lực căng mặt BEC thành phần thành phần thống kê tắc lớn - Tính toán vẽ đồ thị biểu diễn sức căng mặt lực căng mặt phụ thuộc vào mặt thoáng L ngưng tụ BEC thành phần thành phần thống kê tắc lớn 43 KẾT LUẬN LUẬN VĂN Sau thực xong luận văn thu vấn đề sau: - Khái quát ngưng tụ BEC, hệ thống kê - Phương trình Gross-Pitaevskii, gần parabol kép - Khái qt sức căng mặt ngồi, tìm giá trị sức căng mặt vẽ đồ thị phụ thuộc vào L ngưng tụ BEC thành phần thống kê tắc lớn - Tổng quát lực căng mặt ngồi, tính tốn để tìm giá trị vẽ đồ thị lực căng mặt ngưng tụ BEC Dựa kết này, dự kiến khảo sát chuyển pha dính ướt hệ không gian nửa vô hạn 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Vũ Thanh Khiết (1988), Vật lý thống kê, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] www.wikipedia.org [3] A L Fetter, J D Walecka, Quantum theory of many-particle systems, McGraw Hill Boston 1971 [4] D C Roberts, Y Pomeau, arxiv:cond-mat/0503757 [5] L Pitaevskii and S Stringari(2003), Bose-Einstein condensation, Oxford University Press [6] J.O Indekeu, C.-Y Lin, N.V Thu, B Van Schaeybroeck, T.H Phat (2015), Phys Rev A 91, 033615 ... 37 Chƣơng LỰC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƢNG TỤ BOSEEINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG THỐNG KÊ CHÍNH TẮC LỚN 38 3.1 Sức căng mặt ngƣng tụ Bose- Einstein thành phần thống kê tắc lớn ... căng mặt ngƣng tụ BEC thành phần thống kê tắc lớn Đối tƣợng nghiên cứu Hệ ngƣng tụ BEC thành phần thống kê tắc lớn Nghiên cứu lực căng mặt ngồi ngƣng tụ BEC thành phần thống kê tắc lớn Phƣơng pháp... TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI ===&=== NGUYỄN THỊ PHÒNG LỰC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƢNG TỤ BOSE- EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG THỐNG KÊ CHÍNH TẮC LỚN Chun ngành:Vật lí lí thuyết Vật lí tốn Mã số: 44