Lực căng mặt ngoài của ngưng tụ bose – einstein một thành phần trong thống kê chính tắc (luận văn thạc sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI ====== NGUYỄN THỊ HỒNG THANH LỰC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG THỐNG KÊ CHÍNH TẮC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT HÀ NỘI, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI ====== NGUYỄN THỊ HỒNG THANH LỰC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG THỐNG KÊ CHÍNH TẮC Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết Vật lí toán Mã số: 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Văn Thụ HÀ NỘI, 2018 LỜI CẢM ƠN Lời cho xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Văn Thụ định hƣớng hƣớng dẫn giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn phòng Sau đại học, thầy cô giáo khoa Vật lý trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội giúp đỡ thời gian nghiên cứu, học tập làm luận văn Lời cuối cho tơi cảm ơn gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ, khích lệ tạo điều kiện để tơi học tập hồn thành luận văn Hà Nội, ngày 15 tháng 06 năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Hồng Thanh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn Thạc sĩ: “Lực căng mặt ngƣng tụ Bose – Einstein thành phần thống kê tắc” dƣới hƣớng dẫn PGS.TS Nguyễn Văn Thụ, hồn thành nhận thức tơi không trùng khớp luận văn khác Hà Nội, ngày 15 tháng 06 năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Hồng Thanh MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chƣơng Tổng quan nghiên cứu ngƣng tụ Bose - Einstein 1.1 Hệ hạt đồng 1.2 Thống kê Bose - Einstein 1.3 Tình hình nghiên cứu ngƣng tụ Bose - Einstein 10 1.4 Thực nghiệm nghiên cứu ngƣng tụ Bose – Einstein 12 1.4.1 Ngƣng tụ Bose - Einstein chip nguyên tử 12 1.4.2 Các nhà vật lý Mỹ tạo vật chất ngƣợc lại Định luật II Newton, tiến lại gần ta ta đẩy xa 14 KẾT LUẬN CHƢƠNG 17 Chƣơng Trạng thái ngƣng tụ Bose - Einstein thành phần thống kê tắc 18 2.1 Các hệ thống kê 18 2.1.1 Hệ vi tắc 18 Nếu thông số ngoại không đổi, hệ không trao đổi lƣợng với vật bên hay hệ đoạn nhiệt Nhƣ hiển nhiên, 18 2.1.2 Hệ tắc 20 2.1.3 Hệ tắc lớn 25 2.2 Phƣơng trình Gross - Pitaevskii không phụ thuộc thời gian 27 2.3 Gần parabol kép 29 2.4 Trạng thái gần parabol kép 32 KẾT LUẬN CHƢƠNG 34 Chƣơng Lực căng mặt ngƣng tụ Bose - Einstein thành phần thống kê tắc 35 3.1 Sức căng mặt ngƣng tụ Bose - Einstein thành phần thống kê tắc 35 3.2 Lực căng mặt ngƣng tụ Bose - Einstein thành phần thống kê tắc 38 KẾT LUẬN CHƢƠNG 41 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 DANH MỤC HÌNH Hình 1.1 Biểu đồ vận tốc chuyển động Rubidi làm lạnh xuống nhiệt độ thấp (nguồn: internet) 11 Hình 1.2 Bẫy từ giữ giọt BEC 13 Hình 1.3 Cấu tạo chip nguyên tử xem nhƣ máy giao thoa 14 Hình 1.4 Vật chất Rubidi 15 Hình 2.1 Thế VGP VDPA theo tham số  32 Hình 2.2 Hàm sóng trạng thái theo  với   2,L  10 33 mg N 03 Hình 3.2 Sức căng mặt theo tham số L với   38 A Hình 3.3 Đồ thị lực căng mặt ngồi theo tham số L 40 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khi làm lạnh khí boson lỗng đến nhiệt độ gần 0K tạo thành ngƣng tụ Bose – Einstein Lúc đó, lƣợng lớn boson mức lƣợng không lúc boson trạng thái khơng vận tốc Einstein dự đốn tƣợng năm 1925 theo quan điểm Bose phân bố lƣợng tử photon Từ kết đạt đƣợc, Einstein chứng minh hệ ngƣng tụ trạng thái lƣợng tử thấp tạo trạng thái làm lạnh boson xuống nhiệt độ thấp Từ nguyên tử lạnh ta tạo thành ngƣng tụ Bose – Einstein (BEC) năm 1995 Nhờ đó, ta tìm hiểu hiệu ứng Vật lý khơng có dạng vật chất khác BEC với tính chất siêu lỏng, tức giống nhƣ chất lỏng lƣợng tử Vì tính chất tĩnh sức căng bề mặt, tƣợng chuyển pha ƣớt, có vai trò quan trọng cơng nghệ Chúng phụ thuộc mạnh vào thống kê mà ta khảo sát hệ Tức phụ thuộc vào cách thức tạo thành hệ thực nghiệm Với lí chúng tơi chọn “Lực căng mặt ngƣng tụ Bose - Einstein thành phần thống kê tắc” làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lực căng mặt ngƣng tụ Bose - Einstein thành phần thống kê tắc sở lý thuyết hệ BEC Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lực căng mặt ngƣng tụ Bose - Einstein thành phần thống kê tắc Đối tƣợng nghiên cứu Hệ BEC thành phần thống kê tắc Nghiên cứu lực căng mặt ngƣng tụ Bose - Einstein thành phần thống kê tắc Phƣơng pháp nghiên cứu Hình thức luận Gross-Pitaevskii Gần parabol kép Đóng góp đề tài Nghiên cứu trạng thái ngƣng tụ Bose - Einstein thành phần thống kê tắc có nhiều đóng góp quan trọng Vật lý thống kê, học lƣợng tử, Vật lý lý thuyết nói chung Chƣơng Tổng quan nghiên cứu ngƣng tụ Bose - Einstein 1.1 Hệ hạt đồng Hệ hạt có spin, khối lƣợng, điện tích,… khơng thể phân biệt đƣợc gọi hệ hạt đồng Bằng việc tìm tọa độ, xung lƣợng hạt ta phân biệt đƣợc hạt Dựa vào tính khơng phân biệt hạt đồng theo trạng thái ta phát biểu nguyên lý đồng “trong tập hợp hạt đồng tồn trạng thái khơng thay đổi hốn vị hạt” Hệ đồng phân loại theo tính chất nội hạt gồm: + Hệ fermion: bao gồm hạt fermi với spin bán nguyên (nhƣ nucleon, electron, ) Hệ fermion theo ngun lý loại trừ Pauli “khơng có hai (hay nhiều hai hạt) fermi có trạng thái lƣợng tử” + Hệ boson: bao gồm hạt bose có spin nguyên ( K - meson,  - meson , photon, ) Hệ không tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli Do đó, hạt boson trạng thái lƣợng tử Vì hệ boson theo thống kê Bose - Einstein, áp dụng ta tìm ngƣng tụ Bose - Einstein tính chất điển hình hạt boson 1.2 Thống kê Bose - Einstein Chúng ta bắt đầu biểu thức [1],   Ek  g Wk  k e N! , (1.1) với độ suy biến g k Hệ có hạt khơng tác dụng với thì:  Ek    l nl , l 0 với nl số hạt có lƣợng  l hạt riêng lẻ (1.2) 29    * p    N   * r  2 r d r ,  2m 2m i 1 (2.40)    * Vext  ri     N *  r Vext  r  d r i 1 (2.41) N    N Vì vị trí r đổi đƣợc ta có  N N   V ri  rj   *  i 1 j i          N  1 N   * r   V r  r  r  ' (2.42)    r d r        N   * r  r d r *    (2.43) Từ (2.36) đến (2.43) ta có: F  N  { 2 r  Vext r * 2m      '   V r  r  r      *   N  1 r   r }  (2.44) Suy (2.44) hàm thuộc ngoặc nhọn triệt tiêu Ta thƣờng lấy tƣơng tác nhƣ sau:   '  ' 4 2a  V r r   r r ,   m chiều dài tán xạ sóng s thơng số a Với N  N  kết cuối là: N 4 2a   r   r  r  Vext r   r 2m m 2      (2.45) (2.45) Phƣơng trình Gross-Pitaevskii [5] khơng phụ thuộc thời gian Ở đây, cƣờng độ tƣơng tác boson đo chiều dài tán xạ a 2.3 Gần parabol kép 30 Đặt g  2 2a xét hệ BEC chiều phân bố dọc theo trục 0z tức m hệ đối xứng tịnh tiến theo trục 0x, 0y (2.45) có dạng  d 2    g  2m dz (2.46) Trong trƣờng trung bình tƣơng tác g VGP     (2.47) Sử dụng độ dài đặc trƣng  mật độ khối n0  gọn:    g 2m (2.48) tọa độ không thứ nguyên:   z /  hàm sóng rút  n0 ta thu đƣợc d d  dz  d  d2 d2  dz  d  Do  d 2 d2   ( n) 2m dz 2m d  Thay (2.48) vào thu đƣợc:  d 2 d 2   gn n 2m dz d2 Ta có: (2.49) 31   gn n , g  gn n (2.50) Từ (2.50) (2.49) (2.46) suy ra: d 2   3    d (2.51) Cơng thức (2.47) viết lại VGP  4   (2.52) Ở gần tƣờng cứng  giảm dần từ 1nên đặt:  1 a , (2.53) a  R , a nhỏ Từ (2.53) (2.52) có  a  14  1  a 2 a4  1  2a  a   2a  3a  2 a    2a  2a  2 V GP  Khai triển đến gần bậc hai VDPA  2a  gọi gần parabol kép 1    1  , 2 (2.54) 32 Hình 2.1 Thế VGP VDPA theo tham số  Thế VGP ứng với đƣờng nét liền, VDPA nét đứt Trên hình vẽ ta thấy VGP có hai cực tiểu Khơng thể giải trực tiếp phƣơng trình GrossPitaevskii VGP , ta dùng VDPA parabol kép để giải 2.4 Trạng thái gần parabol kép Bằng biểu thức tƣơng tác DPA [6] (2.54), sử dụng phƣơng trình Euler - Lagrangian phƣơng trình GP (2.51) thành  (  1)  d 2  0, d2 (2.55)   Để tiếp tục tính tốn ta xét trƣờng hợp hệ BEC bị giam cầm không gian hữu hạn hai tƣờng cứng đặt vị trí    L L   2 Ứng với hệ ta đòi hỏi hàm sóng phải triệt tiêu bề mặt tƣờng cứng Tức 33 L   (  )  0,    ( L )   (2.56) Điều kiện biên tƣơng ứng với điều kiện biên Dirichlet Giải (2.55) với ràng buộc (2.56) ta thu đƣợc hàm sóng trạng thái  L    (2.57)  z   l  sech       2  (2.58)    cosh   sech  Hay    cosh  1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 2 Hình 2.2 Hàm sóng trạng thái theo  với   2,L  10 34 KẾT LUẬN CHƢƠNG Kết thúc chƣơng, ta tìm đƣợc phƣơng trình Gross-Pitaevskii khơng phụ thuộc thời gian, hàm sóng trạng thái vẽ đồ thị phần mềm tốn học 35 Chƣơng Lực căng mặt ngƣng tụ Bose - Einstein thành phần thống kê tắc 3.1 Sức căng mặt ngƣng tụ Bose - Einstein thành phần thống kê tắc Xét lực mà phân tử khác tác động vào A thuộc khối chất lỏng Từ tâm A ta vẽ hình cầu tác dụng phân tử với bán kính r Khi đó, tổng hợp chúng lực hút theo phía lên A cân Hình 3.1 Phân tử A B khối chất lỏng Phân tử B nằm gần mặt thoáng Lúc này, quan tâm lực tác động phân tử thuộc khối lỏng lên B Lúc này, không cân đƣợc lực theo phƣơng Hợp lực f hƣớng vào có độ lớn tăng B tiến đến mặt giới hạn Lúc này, có lực đẩy chống lại f B tiến đến gần phân tử khác Vì tƣơng tác với phần tử khác nên vị trí cân đơi lúc thay đổi, hay ta coi khơng đổi khơng tính dao động nhiệt Ta xét thành phần tiếp tuyến với mặt thoáng (tức f theo phƣơng nằm ngang) Chúng độ lớn nhƣng ngƣợc chiều f1  f , hay nói cách khác cân B tiến gần mặt thống f1 hay f giảm mặt độ lớn 36 Nếu phía B khơng chất lỏng, chuyển động ngang dƣới tác dụng f1 hay f Gọi tổng hợp lực thành phần phƣơng tiếp tuyến với đoạn cong l phân tử thuộc lớp mặt tạo thành lực căng mặt f Ta xem nhƣ f vng góc l l đủ nhỏ, lúc này, mặt ngồi có xu hƣớng co vào mức nhỏ giống nhƣ màng căng Do đó, tƣợng căng mặt ngồi Để thắng lực cản mà phân tử phải chịu di chuyển đến bên ngồi, ta cần cơng Cơng có đƣợc từ việc giảm động khơng có trao đổi lƣợng với bên ngồi tăng Do đó, phân tử thuộc mặt ngồi có thêm phụ gọi lƣợng tự Nó tăng diện tích mặt ngồi tăng Ngun nhân cơng vật bên tác dụng lên chất lỏng động giảm hai Vậy “Sức căng mặt độ tăng lƣợng tự mặt ngồi đơn vị diện tích ”  E , A (3.1) với E [4]: E  ECE   N  ECE  N ECE N (3.2) Kết hợp (3.2) (3.1) ta có sức căng mặt [3]:  E  n0 A l 2  2 dz   l  2m   ,    Chuẩn hóa hàm sóng (2.58) có: (3.3) 37 I0  l l   dz  l  l   cosh      l  3tanh    2   l   (3.4) Thay hàm sóng (2.58) vào biểu thức (3.3) ta có l  z   l      z   l   n0    1  cosh   sech      cosh   sech   dz 2m     2       2   l  2 n0  Với    l    l   sech    l   sinh     2      8m (3.5)  l  3   lA l  2  ; n  N , ; I0  l   2mgN  AI  l   cosh     (3.6) ta viết lại biểu thức sức căng mặt dƣới dạng   2 gN  2l          2l  2A l 4l  2l cosh    Al    gmN             2l    sinh  Al       N gm     2l sinh   Al   gmN Al gmN   Al  3  gmN   (3.7) Triển khai  đến gần bậc có    N gN 2 g 2mN 03 31 g m N  l 3/2      O l  2 4 Aml 84 A l 1176 A 814968 A  (3.8) 38 Dễ dàng, ta nhận thấy với A  0, g  0, m  0, N0  0,  0,  , l     l     1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 20 40 60 80 100 L mg N 03 Hình 3.2 Sức căng mặt ngồi theo tham số L với   A 3.2 Lực căng mặt ngƣng tụ Bose - Einstein thành phần thống kê tắc Theo trên, tổng hợp lực thành phần tiếp tuyến l lực căng mặt Lực khiến mặt ngồi chất lỏng có xu co lại nhỏ giống nhƣ màng căng Từ đó, đặc điểm lực nhƣ sau: - Tiếp tuyến với l - Vng góc l vạch mặt ngồi l đủ nhỏ - Độ lớn tính theo cơng thức: F    l (3.9) A4 Thay (3.7) vào (3.9) nhân với để rút gọn biểu thức ta thu đƣợc: 2m g N 39       Al Al Al 2l   20 glm N0  A  glm N cosh     N gm N gm N gm Al       gmN              3 Al 4l 2l     F    A  3 A cosh  gl mN sinh    gmN Al Al          gmN  gmN                  2l 4l   18 Al sinh    Al sinh        Al Al          gmN gmN 0               3/2          Al 2l 2l 4    Al sinh     /  g 4m4   N  4l  2l cosh    gmN Al  Al     gmN         gmN  N gm                                   Khai triển gần F đến bậc ta thu đƣợc 1871 gmN0  l A3 A2 31 3/2 F  3 3     O l  2 2 203742 92702610 A g m N0 l 84 g m N l  Dễ dàng, ta nhận thấy với   0, m  0,  0, A  0, N0  0, g  F  l   F   l  40 2.5 F 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 20 40 60 80 100 L Hình 3.3 Đồ thị lực căng mặt theo tham số L 41 KẾT LUẬN CHƢƠNG Ở chƣơng này, chúng tơi tìm biểu thức giải tích sức căng mặt ngồi, tính đƣợc lực căng mặt ngồi ngƣng tụ Bose – Einstein thành phần thống kê tắc 42 KẾT LUẬN Sau hồn thành luận văn “Lực căng mặt ngƣng tụ Bose – Einstein thành phần thống kê tắc chúng tơi đạt đƣợc: - Từ việc tìm thống kê Bose - Eintstein hệ hạt đồng ta tìm ngƣng tụ Bose - Eintstein khí bose lí tƣởng - Phƣơng trình Gross-Pitaevskii khơng phụ thuộc thời gian - Hàm sóng trạng thái gần parabol kép - Tính lực căng mặt ngồi ngƣng tụ Bose – Einstein thành phần thống kê tắc 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Vũ Thanh Khiết (1988), Vật lý thống kê, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] www.wikipedia.org [3] A L Fetter, J D Walecka, Quantum theory of many-particle systems, McGraw Hill Boston 1971 [4] P Ao and S T Chui (1998), Phys Rev A 58, 4836 [5] L Pitaevskii and S Stringari(2003), Bose-Einstein condensation, Oxford University Press [6] J.O Indekeu, C.-Y Lin, N.V Thu, B Van Schaeybroeck, T.H Phat (2015), Static interfacial properties of Bose – Einstein condensate mixtures, Phys Rev A 91, 033615 ... Chƣơng Lực căng mặt ngƣng tụ Bose - Einstein thành phần thống kê tắc 35 3.1 Sức căng mặt ngƣng tụ Bose - Einstein thành phần thống kê tắc 35 3.2 Lực căng mặt ngƣng tụ Bose - Einstein. .. cứu lực căng mặt ngƣng tụ Bose - Einstein thành phần thống kê tắc Đối tƣợng nghiên cứu Hệ BEC thành phần thống kê tắc 2 Nghiên cứu lực căng mặt ngƣng tụ Bose - Einstein thành phần thống kê tắc. .. chọn Lực căng mặt ngồi ngƣng tụ Bose - Einstein thành phần thống kê tắc làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lực căng mặt ngƣng tụ Bose - Einstein thành phần thống kê tắc sở