Một số dạng bài toán về số nguyên tố

Do vậy không thể tránh khỏi hiện tượng các bạn học sinh, sinh viên lúng túng, lo sợ khi gặp các bài toán về số nguyên tố, đa phần các bạn khó khăn trong việc định hình ra phương pháp giả

TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán Tiểu học

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN VĂN HÀO

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS Nguyễn Văn Hào

người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong khoa Giáo dục Tiểu học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập và hoàn thành khóa luận

Lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và do thời gian

có hạn cùng năng lực của bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót Em xin chân thành cảm ơn đã nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện như hiện tại

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Vũ Thị Thảo Mai

LỜI CAM ĐOAN

Trong quá trình nghiên cứu khóa luận “Một số dạng bài toán về số

nguyên tố” em có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa luận

của mình Danh sách tài liệu tham khảo em đã đưa vào mục tài liệu tham khảo của khóa luận

Em xin cam đoan khóa luận được hoàn thành bởi sự cố gắng, nỗ lực của

bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Văn Hào đề tài do

em thực hiện không trùng với đề tài của các tác giả khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Vũ Thị Thảo Mai

CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT

ƢCLN : Ƣớc chung lớn nhất

BCNN : Bội chung nhỏ nhất

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1 Tập hợp đẳng lực 3

1.1 Khái niệm và một số ví dụ về tập hợp đẳng lực 3

1.2 Một số tính chất 3

2 Tập hợp hữu hạn và tập hợp vô hạn 5

2.1 Một số khái niệm và ví dụ 5

2.2 ột số t nh chất của tập hợp đẳng lực 5

3 Tập hợp số tự nhiên ¥ 5

3.1 Bản số của tập hợp 5

3.2 Số tự nhiên 6

3.3 ột số v dụ 6

3.4 Quan hệ thức tự trên ¥ 6

3.4.1 Một số khái niệm 6

3.4.2 Tính chất 7

3.5 Số tự nhiên liền sau 8

3.5.1 Một số khái niệm và ví dụ 8

3.5.2 ột số t nh chất của số tự nhiên liền sau 8

3.5.3 ản số của tập hợp số tự nhiên 10

3.6 Phép cộng và ph p nhân trên tập hợp số tự nhiên 10

3.6.2 Các t nh chất của các ph p toán trên tập hợp số tự nhiên 11

3.7 Ph p tr 14

4 Số nguyên tố 15

4.1 Khái niệm về số nguyên tố và hợp số 15

4.2 Sàng Eratosthene 16

4.3 Định lý cơ bản về phân tích số nguyên tố 18

4.4 Sự phân tích tiêu chuẩn 21

4.5 Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất 22

CHƯƠNG II MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ 24

1 Nhận biết số nguyên tố và sự phân bố số nguyên tố 24

1.1 Kiểm tra một số có phải là số nguyên tố không 24

1.1.1 Kiến thức cần nhớ 24

1.1.2 Một số ví dụ 24

1.2 Sự phân bố số nguyên tố trong tập hợp số tự nhiên 28

1.2.1 Kiến thức cần nhớ 28

1.2.2 Một số ví dụ 29

1.2.3 Bài tập áp dụng 30

2 Sử dụng phương pháp phân t ch để giải quyết các bài toán về ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất 31

2.1 Ước của một số 31

2.1.1 Kiến thức cần nhớ 31

2.1.2 Một số ví dụ 31

2.1.3 Bài tập áp dụng 35

2.2 Bài toán về ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất 36

2.2.1 Kiến thức cần nhớ 36

2.2.2 Một số ví dụ 36

2.2.3 Bài tập áp dụng 39

3 Tìm số nguyên tố để thỏa mãn điều kiện đề bài 41

3.1 Phương pháp chung 41

3.2 Một số ví dụ 41

3.3 Bài tập áp dụng 46

4 Các bài toán chứng minh có liên quan đến số nguyên tố 49

4.1 Phương pháp chung 49

4.2 Một số ví dụ 49

4.3 Bài tập áp dụng 53

5 Các bài toán khác liên quan đến số nguyên tố 54

5.1 ột số v dụ 54

5.2 Bài tập vận dụng 58

KẾT LUẬN 60

TÀI LIỆU THAM KHẢO 61

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài Toán học là công cụ giúp học sinh học tập các môn

khác cả về kiến thức và tư duy Đặc biệt môn Toán có tiềm năng phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo, tính chính xác, thẩm mĩ cùng sự kiên trì, nhẫn nại cho học sinh

Trong chương trình toán học đa dạng và phong phú, các bài toán số học luôn

để lại những vấn đề mới mẻ đã làm say mê nhiều người, t những nhà toán học vĩ đại trên thế giới tới đông đảo bạn đọc yêu toán Trong đó điển hình là các bài toán về số nguyên tố Số nguyên tố đã hóa trang cho mình rồi lần khuất trong các số tự nhiên khiến cho chúng ta rất khó nhận ra Bởi vậy số nguyên tố được ví như những đứa trẻ bướng bỉnh, nó nấp ở ph a Đông, chạy ở phía Tây, trêu tức các nhà toán học Vậy làm sao chúng ta có thể tìm ra được các số nguyên tố và các số nguyên tố được phân bố như thế nào trong tập hợp

số tự nhiên? Điều này thực sự thú vị thôi thúc các nhà toán học tìm tòi, nghiên

cứu về „„những đứa trẻ bướng bỉnh này”

Tuy nhiên, cho đến nay có rất nhiều lí thuyết về số nguyên tố vẫn chưa tìm được quy luật của nó Do vậy không thể tránh khỏi hiện tượng các bạn học sinh, sinh viên lúng túng, lo sợ khi gặp các bài toán về số nguyên tố, đa phần các bạn khó khăn trong việc định hình ra phương pháp giải Số nguyên tố nói riêng hay số học nói chung đều có những nét thú vị riêng, độc đáo riêng

Để phục vụ cho việc dạy học sau này cũng như rèn luyện cho học sinh, sinh viên năng lực tư duy và định hình ra phương pháp để giải quyết các dạng bài

toán về số nguyên tố, em quyết định chọn đề tài: ‘‘Một số dạng bài toán về số

nguyên tố”

2 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về tập hợp số tự nhiên để

bổ sung thêm một số kiến thức giúp cho việc giải quyết các bài toán trong phần này

Xây dựng hệ thống về tập hợp số tự nhiên và giới thiệu một số vấn đề cơ bản

về số nguyên tố và phân dạng các bài toán về số nguyên tố

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Số nguyên tố và một số dạng bài toán

về số nguyên tố

4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, phân tích, so sánh và

tổng hợp

CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 Tập hợp đẳng lực

1.1 Khái niệm và một số ví dụ về tập hợp đẳng lực

Định nghĩa Ta nói tập hợp A tương đương hay đẳng lực với tập hợp B và

viết là A : B , nếu có một song ánh :f A ® B

Một số v ụ

1 Tập hợp các ngón tay của bàn tay trái đẳng lực với các ngón tay của bàn tay phải

2 Giả sử A B vàBC là hai đoạn thẳng có độ dài tùy ý chung đầu mút B và

ba điểm , ,A B C không thẳng hàng ý hiệu [A B] và [CB] tương ứng là tập hợp các điểm của hai đoạn thẳng này Ta s chứng tỏ [A B]: [CB] Thật vậy,

ta x t ánh xạ f : [A B]® [CB] được xác định như sau: với mỗi điểm

dàng thấy r ng f là một song ánh t [A B] lên [CB] ậy [A B]: [CB]

3 t hai đường tr n V1 và V2 đồng tâm O ý hiệu é ùê úV1

ë û lên Vé ùê ú2

ë û ậy Vé ù é ùê ú ê ú1 : V2

1.2 Một số tính chất uan hệ đẳng lực ": " có các t nh chất sau:

T nh chất phản ạ ới m i t p h p t u n

Thật vậy, với mọi tập hợp A có song ánh

Như vậy, quan hệ đẳng lực là một quan hệ tương đương o đó, khi A : B ta cũng nói A tương đương với B và theo quan hệ tương đương ta có thể nói về

lớp các tập hợp đẳng lực

Ta giới thiệu nhưng không chứng minh định lý sau

Định 1(Cantor) ới h i t p h p A và B b t , u n y r một trong h i trư ng h p s u:

2 Tập hợp hữu hạn và tập hợp vô hạn

2.1 Một số khái niệm và ví dụ

Định nghĩa Tập hợp không đẳng lực với một bộ phận thực sự nào của nó gọi

là một tập hợp hữu hạn Tập hợp không hữu hạn gọi là tập hợp vô hạn Nói cách khác, tập hợp vô hạn là tập hợp đẳng lực với một bộ phận thực sự của nó

Một số v ụ

1 Tập hợp Æ là một tập hợp hữu hạn vì Æ không có bộ phận thực sự nào

2 Tập hợp một phần tử { }x là một tập hợp hữu hạn vì nó chỉ có một bộ phận thực sự duy nhất là Æ Nhưng r ràng tập hợp { }x không đẳng lực với tập hợp Æ

3 Tập hợp [A B] các điểm của đoạn thẳng A B (A ¹ B) là một tập hợp vô

hạn Thật vậy, giả sử M là một điểm bất k n m trong đoạn A B mà M ¹ A

và M ¹ B hi đó, r ràng [A M] là một bộ phận thực sự của [A B] Lấy C là

một điểm n m ngoài đường thẳng A B Như phần trên, ta biết r ng

[A B]: [A C] và cũng vậy [A M]: [A C] o quan hệ đẳng lực là một quan hệ tương đương nên [A B]: [A M] Như thế, tập hợp [A B] là một tập hợp vô hạn 2.2 Một số tính chất c a tập hợp đẳng ực

1 Tập hợp đẳng lực với một tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn

2 Tập hợp con của một tập hợp hữu hạn là tập hợp hữu hạn

3 Hợp của hai tập hợp hữu hạn là tập hợp hữu hạn

4 T ch ecartess của hai tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn

3 Tập hợp số tự nhiên ¥

3.1 Bản số c a tập hợp ản số là khái niệm đặc trưng về số ư ng cho

lớp các tập hợp đẳng lực ỗi tập hợp A đều có một bản số, ký hiệu là

cardA hay A sao cho

cardA = cardB Û A : B

3.2 Số tự nhiên ản số của một tập hợp hữu hạn gọi là một số tự nhiên Các

số tự nhiên cũng lập thành một tập hợp Tập hợp các số tự nhiên ký hiệu là ¥ Như vậy, a là số tự nhiên nếu và chỉ nếu tồn tại tập hợp hữu hạn A sao cho

Nếu a £ b và a ¹ b thì ta viết a < b và đọc là a nhỏ hơn b

Hiển nhiên, định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn các tập hợp A và

B để a = card ,A b= cardB Thật vậy, giả sử A ¢ và B ¢ là hai tập hợp hữu hạn sao cho ta cũng có a = cardA b¢, = cardB¢ hi đó, theo định nghĩa ta

có A : A ¢ và B : B ¢ o đó, tồn tại các song ánh

:

f A ® A¢ và g B: ® B ¢ Nếu A tương đương với một bộ phận của B thì tồng tại đơn ánh h A: ® B

hi đó, ta có sơ đồ sau

A¢¾ ¾® A ¾ ¾® B ¾ ¾® B¢

nh xạ t ch go(h of) là một đơn ánh t A ¢ vào B ¢ Như vậy, ta cũng có A ¢

tương đương với một bộ phận của B ¢

Theo định nghĩa, nếu a £ b thì A tương đương với một bộ phận A1 Ð B hi

đó, ta cũng có a = cardA1 Như vậy, ta cũng có thể phát biểu định nghĩa quan hệ £ như sau: với ,a bÎ ¥,a £ b nếu tồn tại các tập hữu hạn ,A B sao

cho A Ð B và a = card ,A b = cardB

3.4.2 Tính chất u n h "£ " à một qu n h thứ t toàn ph n trong t p

h p số t nhi n ¥

Chứng inh Trước hết ta kiểm tra quan hệ "£ " thỏa mãn ba tiên đề của một quan hệ thứ tự

( )i Phản xạ ới mọi a Î ¥,a = cardA ta luôn có a £ a vì A Ð A

( )ii Phản đối xứng Giả sử ,a b Î ¥ và a = card ,A b= cardB Nếu a £ b và

b £ a, thì theo định nghĩa A tương đương với một bộ phận của B và ngược lại B tương đương với một bộ phận của A hi đó, theo định lý Cantor, A

tương đương với B Như vậy a = b

(iii) ắc cầu Giả sử , ,a b c Î ¥ và a = card ,A b = card ,B c = cardC Nếu

a £ b và b £ c, thì A tương đương với một bộ phận của B và B tương đương với một bộ phận của C Nói cách khác, tồn tại các đơn ánh f và g

B tương đương với một bộ phận của A Nghĩa là a £ b hoặc b £ a

3.5 Số tự nhiên iền sau

3.5.1 Một số khái niệm và ví dụ

Định nghĩa Giả sử a và b là hai số tự nhiên, ta nói b là số kề sau a nếu tồn tại các tập hữu hạn A và B sao cho a = card ,A b= cardB và A Ð B B, \ A

là tập hợp đơn tử hay card(B \ A =) 1 ý hiệu số kề sau của a là a ¢

Khi b là số liền sau của a , ta cũng nói a là số liền trước của b

V ụ Số tự nhiên 1 là số liền sau của số tự nhiên 0 Thật vậy, ta có

0= card ,1Æ = card{ }x và ÆÐ { }, { } \x x Æ= { }x là một tập hợp đơn tử

3.5 Một số t nh chất c a số tự nhiên iền sau

T nh chất M i số t nhi n đều một số t nhi n iền s u uy nh t

Chứng inh Giả sử a là một số tự nhiên và a = cardA Lấy một phần tử

x Ï A, đặt tập hợp B = A È{ }x hi đó B là một tập hợp hữu hạn hợp của

hai tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn và r ràng ta có

, \ { }

A Ð B B A = x là một tập hợp đơn tử o đó, nếu đặt b = cardB thì b

là số tự nhiên liền sau a ậy mọi số tự nhiên đều có số liền sau

Tiếp theo ta chứng minh số tự nhiên liền sau a là duy nhất Thật vậy, giả sử

số tự nhiên a có hai số tự nhiên liền sau là b1 và b2 ởi vì b1 và b2 là các số

tự nhiên liền sau của a , nên tồn tại các tập hợp hữu hạn B1 và B sao cho 2

= ìï

=ïî

Hiển nhiên g là một song ánh ậy B : B hay cardB = cardB

T nh chất ố 0 h ng ỏ số t nhi n iền s u b t số t nhi n nỏo M i

số t nhi n hõ 0 đều ỏ số t nhi n iền s u một số t nhi n uy nh t

Chứng inh ởi vớ 0= cardặ vỏ tập hợp ặ khừng cụ một bộ phận thực

sự nỏo, nởn số 0 khừng lỏ số tự nhiởn liền sau của bất k số tự nhiởn nỏo Giả sử a đ lỏ số tự nhiởn khõc 0 vỏ ađ= cardAđ ởi vớ a đỈ 0 nởn A đỈ ặ

o đụ, tồn tại phần tử x ẽ A đ Đặt A = Ađ\ { }x thớ A Ð A đ vỏ Ađ\ A = { }x

lỏ một tập hợp đơn tử hi đụ a = cardA lỏ một số tự nhiởn liền trước a đ Giả sử a đ cụ hai số tự nhiởn liền trước a1 vỏ a2 hi đụ, tồn tại cõc tập hợp hữu hạn A1 vỏ A sao cho 2

= ớủ

=ủù

a

T nh chất 3 i s a vỏ b ỏ h i số t nhi n hi đ , n u a < b th a đê b

Chứng inh Nếu a < b thớ tồn tại cõc tập hợp hữu hạn A vỏ B sao cho

A Ð B vỏ a = card ,A b = cardB hi đụ, bởi vớ B \ A Ỉ ặ nởn tồn tại

Chứng inh Giả sử ngược lại cụ số tự nhiởn b sao cho a < b< ađ Theo

t nh chất 3, t a < b ta suy ra a đê Điều đụ móu thuẫn với giả thiết b ađ b < Tập hợp số tự nhiởn ơ với quan hệ thứ tự cụ t nh chất trởn được gọi lỏ một tập sắp thứ tự rời rạc ới cõc t nh chất trởn đóy, tập hợp số tự nhiởn được viết thỏnh một dọy như sau 0,1, 2, 3,

Trước hết f lỏ một õnh xạ vớ mỗi số tự nhiởn n cụ duy nhất một số tự nhiởn liền sau n đỈ 0 ặt khõc, theo t nh chất 2 mỗi số tự nhiởn khõc 0 đều lỏ số

liền sau của một số tự nhiởn duy nhất o đụ f v a lỏ đơn õnh v a lỏ toỏn

õnh Như vậy, tập hợp số tự nhiởn ơ tương đương với một bộ phận thực sự của nụ, nghĩa lỏ ơ lỏ một tập hợp vừ hạn

Định nghĩa Lực lượng của tập hợp số tự nhiởn lỏ v hạn đ m đư ột lực

lượng hữu hạn hay vừ hạn đếm được gọi chung lỏ ư ng đ m đư

Ph p nhân của a với b là số tự nhiên đƣợc ký hiệu bởi a b và đƣợc xác

card , card , card , card , ,

a = A b = B a¢= A b¢ ¢= B A¢ ÇB = ÆA¢ÇB¢= Æ, thì

card (A ÈB) = card (A¢ÈB¢) và card (A´ B) = card (A¢´ B¢)

3.6.2 Các t nh chất c a các ph p toán trên tập hợp số tự nhiên

T nh chất 1 T nh chất giao hoán ới m i số t nhi n a và b t u n

là một song ánh o đó A´ (B ´ C) : (A´ B)´ C

hay card (A´ B) = card (A¢´ B¢) T đó suy ra a bc.( )= ( ).a b c

T nh chất 3 Phần tử trung lập của các ph p toán ới m i số t nhi n a t

u n

0 0

a+ = + a = a và 1 a = 1.a Ngh à: số 0 à ph n t trung p ph p ộng và số 1 à ph n t trung

T đó, ta suy ra điều phải chứng minh

T nh chất 5 Luật giản ƣớc ho á số t nhi n , , a b c t y hi đ , t

á h ng đ nh s u

( )i T đ ng thứ a + c = b+ c ta suy ra a = b,

( )ii T đ ng thứ a c = bc ; với c ¹ 0 ta suy ra a = b

Chứng inh Thực vậy, giả sử a ¹ b hi đó, do t nh bình đẳng của a và b

nên ta có thể giả sử r ng a < b Tiếp theo, ta lấy các tập hợp hữu hạn , ,A B C

đại diện tương ứng cho các số tự nhiên , ,a b c như dưới đây

cardA = a, cardB = b, cardC = c và A ÇC = Æ = B ÇC

( )i Theo giả thiết phản chứng, do a < b nên A ÈC Ð B ÈC T đó, suy ra

card( ) card( )

a+ c = A ÈC < B ÈC = b+ c

Điều này mâu thuẫn với giả thiết và ta nhận được điều phải chứng minh

( )ii Do A là tập con thực sự của B nên tồn tại phần tử y Î B y, Ï A và hiển nhiên A´ C Ð B´ C Thêm nữa, do C ¹ Æ nên tồn tại phần tử z Î C hi

( )ii ởi vì A ´ Æ = Æ nên a.0= card(A´ Æ =) cardÆ= 0

T nh chất 7 Sự tương th ch của thứ tự và ph p cộng ới m i số t nhi n

, ,

a b c t y , t

( )i N u a < b, th a + c < b+ c;

tỏ điều phải chứng minh

T nh chất 8 Sự tương th ch của thứ tự và ph p nhân ới m i số t nhi n

Để chứng minh t nh duy nhất, ta giả sử cũng tồn tại số tự nhiên c ¢ sao cho

a+ c¢= b

hi đó, ta có a + c¢= a+ c Theo luật giản ƣớc của ph p cộng ta suy ra

c¢= c

Định nghĩa Số tự nhiên duy nhất c thỏa mãn đẳng thức a+ c = b đƣợc gọi

là hiệu của b và a , ký hiệu là c = b- a đọc là c b ng b tr a)

T nh chất ph n phối c a ph p nh n với ph p tr ới m i số t nhi n

4.1 Khái niệm về số nguyên tố và hợp số

Định nghĩa Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có hai ƣớc là 1 và

chính nó Những số tự nhiên có hơn hai ƣớc đƣợc gọi là hợp số

Tập hợp các số nguyên tố ký hiệu là Ã

Một số ví dụ

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,

( )ii Một vài số tự nhiên là hợp số

4, 6, 8, 9,10, 12, 14, 15, 18, 20, 22,

Sự tồn tại số nguyên tố và các số nguyên tố trong dãy số tự nhiên là một vấn

đề đã được quan tâm và giải quyết t thời cổ Về điều này, ta có kết quả sau

Định lý 4 Có vô số số nguyên tố hay t p h p số nguyên tố là vô hạn

Chứng minh Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là p1 < p2 < < p n Hiển nhiên, ta thấy r ng số tự nhiên a = p1´ p2´ ¼ ´ p n + đều lớn hơn tất cả 1các số nguyên tố p p1, 2, ,p nên nó phải là hợp số Như thế, số tự nhiên n a

phải có ít nhất một ước nguyên tố trong các số p p1, 2, ,p o đó, số tự n.nhiên 1 cũng phải chia hết cho ước đó Điều này, mâu thuẫn với khái niệm về

số nguyên tố

4.2 Sàng Eratosthene Số nguyên tố được các nhà toán học nghiên cứu t rất

sớm Người ta đã lập ra bảng các số nguyên tố không vượt quá một số nào đó Sàng Eratosthene là một trong những phương pháp để lập bảng này

Nhà toán học Eratosthene là người đầu tiên lập được bảng này Ông viết các

số này lên tấm giấy cỏ sậy căng trên một cái khung, ông không xóa đi các hợp

số mà dùi thủng chúng giống như một cái sàng Tất cả các hợp số tựa như bị sàng qua cái sàng này, chỉ còn sót lại những số nguyên tố Tới ngày nay, bảng

số nguyên tố vẫn được gọi là sàng Eratosthene Để giới thiệu về vấn đề này, trước tiên ta cần đến bổ đề sau

Bổ đề 1 Một h p số a có ít nh t một ước nguyên tố h ng vư t quá a

Chứng minh Giả sử a là một hợp số và p là ước nguyên tố nhỏ nhất khác 1

của a Giả sử a = pq Bởi vì a là một hợp số, nên a ¹ p và đương nhiên

Theo giả thiết về số p ta có p £ q và do đó a = p q ³ p2 hay p £ a

Sàng Eratosthene Để lập được bảng các số nguyên tố không vượt quá số tự

nhiên A ³ 1 ta làm như sau Viết tất cả các số tự nhiên t 1 đến A rồi tìm cách

gạch bỏ đi những số không phải là số nguyên tố Trước hết ta gạch bỏ số 1 vì số

này không phải là số nguyên tố Số đầu tiên không bị gạch bỏ là số 2 vì nó chỉ

có hai ước là 1 và chính nó (đ y à số nguyên tố chẵn duy nh t)

Ta giữ lại số 2 và gạch đi trong bảng tất cả các số khác 2 là bội của 2 hi đó

số đầu tiên lớn hơn 2 chưa bị gạch là số 3 cũng chỉ có hai ước là 1 và chính nó

Ta giữ lại số 3 và gạch đi trong bảng tất cả các số khác 3 là bội của 3 Khi

đó số đầu tiên lớn hơn 3 chưa bị gạch là số 5, đó là một số nguyên tố

Ta giữ lại số 5 và gạch đi trong bảng tất cả các số khác 5 là bội của 5 Tiếp tục quá trình với các số nguyên tố tiếp theo Việc làm như vậy đến bao giờ kết thúc với một bảng số tự nhiên không lớn hơn A Quá trình trên s d ng lại sau khi gạch tất cả các bội của p1 = 2,p2 = 3,p3 = 5,¼,p n (không kể các số này) ở đó p là số nguyên tố lớn nhất không vượt quá n A thì tất cả các số còn lại trong bảng đều là những số nguyên tố

Ví dụ Lập bảng số nguyên tố không vượt quá 100

Trong bảng trên, số nguyên tố là những số in đậm

Hệ quả 1 N u số t nhiên a > 1 không có một ước nguyên tố nào trong kho ng t 1 đ n a thì a là số nguyên tố

Chứng minh Giả sử a là hợp số thì phải có ước nguyên tố trong khoảng t

1 đến a Điều này mâu thuẫn với bổ đề trên Vậy a là số nguyên tố

Với bảng các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc b ng 100 ở trên và dựa vào chú ý này ta có thể kiểm tra được mỗi số tự nhiên a £ 10000 có phải là một số nguyên tố hay không

Ví dụ Xét a = 257 ta có 257 < 17, các số nguyên tố £ 257 là

2, 3, 5, 7,11,13 đều không là ước của 257 nên 257 là một số nguyên tố

4.3 Định lý cơ ản về phân tích số nguyên tố Vấn đề quan trọng nhất có

liên quan đến số nguyên tố là khả năng phân tích một số bất k dưới dạng tích các số nguyên tố và phương pháp biểu thị đó là duy nhất Chúng ta s nghiên cứu một định lý về vấn đề này, qua đó thấy được vai trò quan trọng của số nguyên tố trong tập hợp số tự nhiên Để chuẩn bị cho việc chứng minh định lý trước hết ta chứng minh các bổ đề sau

Bổ đề 2 Với số t nhiên a và số nguyên tố p thì ho c a nguyên tố với p

Chứng minh Giả sử phản chứng r ng tích a1´ a2´ ´ a n chia hết cho số nguyên tố p và không có một th a số nào chia hết cho p

hi đó, theo bổ đề 2 tất cả các th a số a a1, 2, ,a đều nguyên tố với n p và

theo tính chất của các số nguyên tố cùng nhau ta có

ƢCLN(a a1, 2, ,a n)= ƢCLN( , , ,a a1 2 a p n, )= = ƢCLN( , )a p n = 1

Điều mâu thuẫn này, chứng tỏ tích a1´ a2´ .´ a n nguyên tố với p

Hệ quả 2 N u số nguyên tố p là ước c a một tích các số nguyên tố

1, ,2 , n

q q ¼ q thì p ph i trùng với một trong các số nguyên tố c tí h đ

Hệ quả 3 Số 2 là số nguyên tố nhỏ nh t và ũng à số nguyên tố chẵn duy

nh t trong t p h p các số nguyên tố, các số nguyên tố còn lại đều là số lẻ

Định lý 5 M i số t nhiên lớn hơn 1 đều ph n tí h đư c thành tích những

Ta thấy quá trình trên s d ng lại khi có một a = i 1 Nhưng điều đó s xảy ra sau một số hữu hạn bước vì ta có a > a1 > a2 > ¼ mà một dãy số tự nhiên giảm dần thì chỉ có hữu hạn số Nếu quá trình d ng lại ở bước thứ n ta có

a = p ´ p ´ ¼ ´ p là sự phân tích của a thành tích những th a số nguyên tố

( )ii Tính duy nh t Giả sử số tự nhiên a có hai sự phân tích thành tích những

th a số nguyên tố

a = p ´ p ´ ¼ ´ p = q ´ q ´ ¼ ´ q

Đẳng thức trên chứng tỏ p1´ p2´ ¼ ´ p n chia hết cho q 1

hi đó theo bổ đề 3 , có ít nhất một trong các th a số p p1, 2,¼ p n phải chia hết cho q 1

Vì ta không kể đến thứ tự của các th a số, nên có thể coi r ng p chia hết cho 1 q 1

Vì p và 1 q đều là số nguyên tố nên t 1 p q1M suy ra 1 p1 = q1 Chia cả hai vế đẳng thức trên cho p1 = q1 ta được

Lặp lại lí luận trên ta được p2 = q2,¼

Lí luận trên có thể lặp lại cho đến lúc có một vế không còn th a số nào nữa, nhưng khi đó vế kia cũng không c n th a số nào, vì nếu ngược lại s xảy ra hoặc 1= q n+1 q m hoặc p m+1 p n = 1

Cả hai đẳng thức trên đều vô lí vì các số p , i q là những số nguyên tố i

Vậy phải có n = m và p i = q i i; = 1, 2,¼,n Nghĩa là hai sự phân tích trên trùng nhau

Vậy mỗi số nguyên tố lớn hơn 1 chỉ có một biểu di n duy nhất dưới dạng tích

Ví dụ Tìm sự phân tích tiêu chuẩn của 1764

Nhận xét Để phân tích 1764 thành tích những th a số nguyên tố, ta thực hiện b ng cách tìm các ƣớc nguyên tố của a = 1764 t nhỏ đến lớn (chia nhẩm a cho các số nguyên tố t nhỏ đến lớn) Ta viết nhƣ sau

để viết tích những th a số đó, thì sự phân tích của đƣợc viết là

Trong cách viết này có thể có những th a số nguyên tố p nào đó không có i

mặt thực sự trong sự phân tích của a tương ứng với số mũ a = i 0) Sự phân tích này không phải là sự phân tích tiêu chuẩn, mặc dù về hình thức nó giống với sự phân tích tiêu chuẩn

4.5 Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

Giả sử p p1, 2, p là tất cả các ước nguyên tố phân biệt của ít nhất một trong n

(Số nguyên tố p không nh t thi t ph i à ước nguyên tố đ ng th i c a c i a

và b ương ứng với điều đ à thể a = i 0 ho c b = i 0, nhưng

BCNN[ , ]a b bằng tích các th a số nguyên tố chung và riêng c a a và b , mỗi

th a số mang số mũ ớn nh t c a nó trong s phân tích c a a và b

Chứng minh ( )i T giả thiết với mọi i = 1, 2, ,n ta có l i£ a i và l i£ b i

một ước chung của a và b thì nó phải có dạng 1 2

p m ´ p m ´ ´ p m là bội chung của a và b Hơn nữa giả sử m là một bội

chung của a và b thì nó phải có dạng 1 2

CHƯƠNG II MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ

1 Nhận biết số nguyên tố và sự phân bố số nguyên tố

1.1 Kiểm tra một số có phải là số nguyên tố không

Để giải quyết bài toán này ta phải dựa vào kiến thức về các dấu hiệu chia hết

đã học

1.1.1 Kiến thức cần nhớ

Để kiểm tra một số có phải là số nguyên tố không thông thường chúng ta s

sử dụng hai cách sau

Cách 1 Chia số đó lần lượt cho các số nguyên tố t nhỏ đến lớn 2, 3, 5, 7,

+ Nếu có một phép chia hết thì số đó không nguyên tố

+ Nếu thực hiện ph p chia cho đến lúc thương số nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn có số dư thì số đó là nguyên tố

Cách 2 Một số có nhiều hơn hai ước thì số đó không phải là số nguyên tố

 Một số dấu hiệu chia hết cơ bản trong tập hợp số tự nhiên

Dấu hiệu chia hết cho 2 : Các số có chữ số tận cùng là số chẵn (0, 2, 4, 6, 8)

Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3

Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5

Dấu hiệu chia hết cho 9: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9

Dấu hiệu chia hết cho 11: Các số có tổng các chữ số hàng chẵn tr đi tổng các chữ số hàng lẻ (tính t trái sang phải) chia hết cho 11 thì số đó chia hết cho 11

1.1.2 Một số ví dụ

Ví dụ 1 Kiểm tra xem 131 có phải là số nguyên tố không?

Giải

(132= 269>131 nên ta d ng lại ở số nguyên tố 11)

ước 2 Thử các ph p chia 131 cho các số nguyên tố trên R ràng 131 không chia hết cho số nguyên tố nào trong các số 2, 3, 5, 7,11 ậy 131 là số nguyên tố

Ví dụ 2 Các số sau là số nguyên tố hay hợp số?

312; 213; 435; 417; 3311; 67

Nhận xét Để làm các bài tập về kiểm tra một số có phải là số nguyên tố

không, trước hết ta nên xác định xem số đó có chia hết cho các số nhỏ (t 1 tới 11) hay không b ng cách sử dụng các dấu hiệu chia hết

Giải

Các số 312; 213; 435; 417 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên chúng chia hết cho 3 o đó các số này là hợp số

Số 3311 chia hết cho 11 nên số này là hợp số

Số 67 không chia hết cho các số nguyên tố 2, 3, 5, 7 nên số 67 là số nguyên tố

Ví dụ 3 Tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số?

d Vì tổng 16354+ 67541 có chữ số tận cùng b ng 5(4+ =1 5) nên chia hết cho 5

+ Số 1991 chia hết cho1 1 nên ta loại

+ Các số c n lại đều không chia hết cho các số nguyên tố trên

trong hai số 8p - 1 và 8p + 1 chia hết cho 3

Vậy nếu p là số nguyên tố và một trong hai số 8 p - 1 và 8p + 1 là số nguyên tố thì số còn lại phải là hợp số