Một số dạng bài toán về số nguyên tố

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC VŨ THỊ THẢO MAI MỘT SỐ DẠNG BÀI TỐN VỀ SỐ NGUN TỐ TĨM TẮT KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán Tiểu học Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN HÀO HÀ NỘI - 2018 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào ngƣời định hƣớng chọn đề tài tận tình hƣớng dẫn để em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo khoa Giáo dục Tiểu học, trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội giúp đỡ em suốt trình học tập Nhân dịp em xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho em q trình học tập hồn thành khóa luận Lần làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học thời gian có hạn lực thân hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót Em xin chân thành cảm ơn nhận đƣợc ý kiến đóng góp thầy bạn sinh viên để khóa luận em đƣợc hồn thiện nhƣ Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Vũ Thị Thảo Mai LỜI CAM ĐOAN Trong trình nghiên cứu khóa luận “Một số dạng tốn số nguyên tố” em có sử dụng số tài liệu tham khảo để hồn thành khóa luận Danh sách tài liệu tham khảo em đƣa vào mục tài liệu tham khảo khóa luận Em xin cam đoan khóa luận đƣợc hồn thành cố gắng, nỗ lực thân với hƣớng dẫn tận tình TS Nguyễn Văn Hào đề tài em thực không trùng với đề tài tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Vũ Thị Thảo Mai CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT ƢCLN : Ƣớc chung lớn BCNN : Bội chung nhỏ ƢNT : Ƣớc nguyên tố MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu CHƢƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Tập hợp đẳng lực 1.1 Khái niệm số ví dụ tập hợp đẳng lực 1.2 Một số tính chất Tập hợp hữu hạn tập hợp vô hạn 2.1 Một số khái niệm ví dụ 2.2 ột số t nh chất tập hợp đẳng lực Tập hợp số tự nhiên ¥ 3.1 Bản số tập hợp 3.2 Số tự nhiên 3.3 ột số v dụ 3.4 Quan hệ thức tự ¥ 3.4.1 Một số khái niệm 3.4.2 Tính chất 3.5 Số tự nhiên liền sau 3.5.1 Một số khái niệm ví dụ 3.5.2 ột số t nh chất số tự nhiên liền sau 3.5.3 ản số tập hợp số tự nhiên 10 3.6 Phép cộng ph p nhân tập hợp số tự nhiên 10 3.6.1 Một số khái niệm 10 3.6.2 Các t nh chất ph p toán tập hợp số tự nhiên 11 3.7 Ph p tr 14 Số nguyên tố 15 4.1 Khái niệm số nguyên tố hợp số 15 4.2 Sàng Eratosthene 16 4.3 Định lý phân tích số nguyên tố 18 4.4 Sự phân tích tiêu chuẩn 21 4.5 Ƣớc chung lớn bội chung nhỏ 22 CHƢƠNG II MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ 24 Nhận biết số nguyên tố phân bố số nguyên tố 24 1.1 Kiểm tra số có phải số ngun tố khơng 24 1.1.1 Kiến thức cần nhớ 24 1.1.2 Một số ví dụ 24 1.2 Sự phân bố số nguyên tố tập hợp số tự nhiên 28 1.2.1 Kiến thức cần nhớ 28 1.2.2 Một số ví dụ 29 1.2.3 Bài tập áp dụng 30 Sử dụng phƣơng pháp phân t ch để giải toán ƣớc chung lớn bội chung nhỏ 31 2.1 Ƣớc số 31 2.1.1 Kiến thức cần nhớ 31 2.1.2 Một số ví dụ 31 2.1.3 Bài tập áp dụng 35 2.2 Bài toán ƣớc chung lớn bội chung nhỏ 36 2.2.1 Kiến thức cần nhớ 36 2.2.2 Một số ví dụ 36 2.2.3 Bài tập áp dụng 39 Tìm số nguyên tố để thỏa mãn điều kiện đề 41 3.1 Phƣơng pháp chung 41 3.2 Một số ví dụ 41 3.3 Bài tập áp dụng 46 Các tốn chứng minh có liên quan đến số nguyên tố 49 4.1 Phƣơng pháp chung 49 4.2 Một số ví dụ 49 4.3 Bài tập áp dụng 53 Các toán khác liên quan đến số nguyên tố 54 5.1 ột số v dụ 54 5.2 Bài tập vận dụng 58 KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học công cụ giúp học sinh học tập môn khác kiến thức tƣ Đặc biệt môn Tốn có tiềm phát triển lực trí tuệ, rèn luyện tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo, tính xác, thẩm mĩ kiên trì, nhẫn nại cho học sinh Trong chƣơng trình tốn học đa dạng phong phú, tốn số học ln để lại vấn đề mẻ làm say mê nhiều ngƣời, t nhà toán học vĩ đại giới tới đơng đảo bạn đọc u tốn Trong điển hình tốn số ngun tố Số ngun tố hóa trang cho lần khuất số tự nhiên khiến cho khó nhận Bởi số nguyên tố đƣợc ví nhƣ đứa trẻ bƣớng bỉnh, nấp ph a Đơng, chạy phía Tây, trêu tức nhà tốn học Vậy tìm đƣợc số nguyên tố số nguyên tố đƣợc phân bố nhƣ tập hợp số tự nhiên? Điều thực thú vị thơi thúc nhà tốn học tìm tòi, nghiên cứu „„những đứa trẻ bướng bỉnh này” Tuy nhiên, có nhiều lí thuyết số ngun tố chƣa tìm đƣợc quy luật Do tránh khỏi tƣợng bạn học sinh, sinh viên lúng túng, lo sợ gặp toán số nguyên tố, đa phần bạn khó khăn việc định hình phƣơng pháp giải Số nguyên tố nói riêng hay số học nói chung có nét thú vị riêng, độc đáo riêng Để phục vụ cho việc dạy học sau nhƣ rèn luyện cho học sinh, sinh viên lực tƣ định hình phƣơng pháp để giải dạng toán số nguyên tố, em định chọn đề tài: ‘‘Một số dạng toán số nguyên tố” Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu tập hợp số tự nhiên để bổ sung thêm số kiến thức giúp cho việc giải toán phần Xây dựng hệ thống tập hợp số tự nhiên giới thiệu số vấn đề số nguyên tố phân dạng toán số nguyên tố Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Số nguyên tố số dạng toán số nguyên tố Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, phân tích, so sánh tổng hợp CHƢƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Tập hợp đẳng lực 1.1 Khái niệm số ví dụ tập hợp đẳng lực Định nghĩa Ta nói tập hợp A tƣơng đƣơng hay đẳng lực với tập hợp B viết A : B , có song ánh f : A ® B Một số v ụ Tập hợp ngón tay bàn tay trái đẳng lực với ngón tay bàn tay phải Giả sử A B BC hai đoạn thẳng có độ dài tùy ý chung đầu mút B ba điểm A, B ,C không thẳng hàng ý hiệu [A B ] [CB ] tƣơng ứng tập hợp điểm hai đoạn thẳng Ta s chứng tỏ [A B ] : [CB ] Thật vậy, ta x t ánh xạ f : [A B ] ® [CB ] đƣợc xác định nhƣ sau: với điểm X Ỵ [A B ] ta cho tƣơng ứng nhƣ sau + f (X ) = C X = A; + f (X ) = B X = B ; + f (X ) = X ¢ mà X X ¢P A C X ¹ A X ¹ B dàng thấy r ng f song ánh t [A B ] lên [CB ] ậy [A B ] : [CB ] t hai đƣờng tr n V V đồng tâm O ý hiệu éêV ù ë ú û éV ù tƣơng ứng êë ú û tập hợp điểm hai đƣờng tr n Ta thiết lập tƣơng ứng f : éêëV ù ú û® éV ù nhƣ sau: với điểm M Ỵ éV ù tia OM cắt éV ù M ¢ ta êë ú êë ú êë ú û û û đặt M ¢ = f (M ) é ù ậy éV ù: éV ù thấy f song ánh t éêV ù ú lên ëêV ú êë û ú ëê ú ë û û û 1.2 Một số tính chất uan hệ đẳng lực " : " có t nh chất sau: a ) T nh chất phản ới m i t p h p A t u n A : A Hƣớng dẫn Nếu pq + 11 số nguyên tố pq + 11 số lẻ (do số nguyên tố lớn ) nên số p q b ng Giả sử p = p + q = 7.2 + q = 14 + q pq + 11 = 2q + 11 + Nếu q = p + q = 7.2 + = 16 (loại) + Nếu q = p + q = 7.2 + = 17 pq + 11 = 2.3 + 11 = 17 (thỏa mãn) + Nếu q = 3k + (vi k ẻ Ơ ) thỡ 7p + q = 14 + 3k + = 15 + 3k = 3(k+ 5) (loại) + Nếu q = 3k + pq + 11 = 2(3k + 2) + 11 = 6k + 15 = 3(2k + 5) (loại) Vậy p = q = Lập luận tƣơng tự ta tìm đƣợc cặp ( p;q) = (3;2) Đáp số: ( p;q) = {(2;3);(3;2)} Bài Tìm số nguyên tố x , y thỏa mãn phƣơng trình x - 2y - = Hƣớng dẫn Ta có x - 2y - = Û (x - 1)(x + 1) = 2y íï x + = 2y íï x = ï Û ïì TH : ì (thỏa mãn) ïï x - = y ïï y = ỵ ỵ íï x + = y TH : ïì (vơ nghiệm) ïï x - = 2y ỵ 47 íï x + = 2y ï TH : ì (vơ nghiệm) ïï x - = ïỵ íï x + = ï TH : ì (vơ nghiệm) ïï x - = 2y ïỵ Vậy (x ; y ) = (3;2) thỏa mãn đề Bài Tìm ba số nguyên tố cho tích chúng gấp lần tổng chúng Bài Tìm nghiệm nguyên tố phƣơng trình: x y + = z Bài Tìm số nguyên tố liên tiếp p, q, r cho p + q + r số nguyên tố Bài Tìm số nguyên tố p, q, r cho pq + q p = r Bài Tìm số nguyên tố x , y, z thoả mãn x y + = z Bài 10 Tìm tất số nguyên tố x , y cho a ) x – 12y = b) 3x + = 19y c ) 5x – 11y = d ) 7x –  3y = e ) 13x –  y = f ) x = 8y + Kết luận Đối với tốn thuộc dạng tìm số nguyên tố thỏa mãn điều kiện cho trƣớc tốn khơng khó tốn số nguyên tố Qua toán giáo viên cần trang bị cho học sinh kiến thức số nguyên tố Đặc biệt giúp học sinh nắm vững: Số số nguyên tố chẵn nhỏ tập hợp số nguyên tố 48 Dựa vào cách viết số nguyên tố có dạng ax + b , (a, b) = Rèn cho học sinh kĩ x t trƣờng hợp xảy ra, phƣơng pháp loại tr dẫn đến điều vơ lí Qua dạng tốn này, giáo viên cần giúp học sinh rèn luyện tƣ lôgic, tƣ sáng tạo , tính tích cực chủ động làm Các tốn chứng inh có iên quan đến số nguyên tố 4.1 Phƣơng pháp chung Đối với toán chứng minh số, biểu thức số nguyên tố thông thƣờng ngƣời ta dùng phƣơng pháp chứng minh b ng phản chứng 4.2 Một số ví dụ Ví dụ a ) Chứng minh r ng số nguyên tố m > viết đƣợc di dng 6n ( n ẻ Ơ ) b) Có phải số dƣới dạng 6n ± ; ( n ẻ Ơ ) u l s nguyờn tố hay không? Giải a ) Mọi số chia cho  6 có số dƣ 0,1, 2, 3, 4, o số tự nhiên viết đƣợc dạng 6n , 6n ± 1, 6n ± 2, 6n ± Do m số nguyên tố, m > nên m không chia hết cho không chia hết cho Vậy m số nguyên tố m có dạng 6n ± đpcm b) Khơng phải số có dạng 6n ± ; ( n ẻ Ơ u l s nguyờn t Ví dụ: 6.4 + = 25 khơng phải số nguyên tố 6.8 + = 49 số nguyên tố Ví dụ Cho 2m - số nguyên tố Chứng minh r ng m số nguyên tố 49 Giải Giả sử m hợp số Þ m = pq ( p, q > 1; p, q ẻ Ơ ) Ta cú ộ p(q 2m - = 2pq - = 2( p )q - = (2p - 1) ê2 ë 1) +2 p(q - 2) ù + + 1ú û Vì p > Þ 2p - 1> Và p(q - 1) +2 p(q - 2) + + 1> Suy 2m - hợp số, điều trái với giả thiết Nếu m = Þ m - = (loại) Vậy m phải số nguyên tố Hay 2m - số nguyên tố Þ m số nguyên tố đpcm Ví dụ Chứng minh r ng p p  +  1 hai số nguyên tố 8p  -  1 số nguyên tố Giải Giả sử p số nguyên tố lớn  3 p có dạng 3k + v 3k - (k ẻ Ơ ) + ới p = 3k + , ta có p  = (3k +  1)2  = 3(3k  +  2k ) + = 3t + Þ 8p + = (3t + 1) + = 24t + = (8t + 3) chia hết cho Þ 8p + hợp số (trái giả thiết) + ới p = 3k - , ta có p = (3k - 1)2 = 3(3k - 2k ) + = 3t ' + 50 Þ 8p  + = (3t '+ 1) + = 24t '+ = (8t '+ 3) chia hết cho Þ p  +  1 hợp số (trái giả thiết) Vậy p = 3k , p nguyên tố Þ p = 8p + = 8.32 + = 73 (nguyên tố) 8p –  1 = 8.32  –1 = 71  (nguyên tố) Vậy p p  +  1 hai số nguyên tố 8p  -  1 số nguyên tố đpcm Ví dụ Cho m m + hai số nguyên tố Chứng minh r ng m + số nguyên tố Giải + Với m = m + = + = hợp số (loại) + Với m = m + = + = 11 (thỏa mãn) + ới m > m có dạng 3k + v 3k + (k ẻ Ơ ) Ta cú m = 3k + (k ẻ Ơ ) m + = (3k + 1)2 + = 3(3k + 2k + 1) chia hết m + hợp số (trái với giả thiết) hi m = 3k + m + = (3k + 2)2 + = 3(3k + 4k + 1) chia hết m + hợp số (trái với giả thiết) Vậy với m = m m + số nguyên tố hi m + = 29 số nguyên tố đpcm 51 Ví dụ Cho p số nguyên tố lớn 5p + số nguyên tố Chứng minh r ng p + hợp số Giải Vì p số nguyên tố lớn nên p có dạng 3k + 3k + (k Î ¥ ) + Với p = 3k + , ta có 5p + = (3k + 1)+ 1= 15k + = 3(5k + 2) chia hết cho Suy 5p + có t ba ƣớc 5p + , Suy 5p + hợp số trái với giả thiết + hi p = 3k + , ta có p + = 7(3k + 2) + = 21k + 15 = 3(7k + 5) chia hết cho Suy p + có t ba ƣớc p + , ậy p + hợp số đpcm V ụ Chứng minh r ng b> 10b + hai số nguyên tố 5b + chia hết cho Giải Vì b nguyên tố b> nên b có dạng 6k - hoc 6k + (k ẻ Ơ , k ³ 1) Nếu b = 6k - 10b + = 60k - = 3(20k - 3) M3 (trái với giả thiết o b có dạng 6k + Ta suy 5b + = 30k + = 6(5k + 1) M đpcm Ví dụ Chứng minh r ng m - n nguyên tố m n hai số tự nhiên liên tiếp 52 Giải Ta có m - n = (m + n )(m - n ) (m , n ẻ Ơ ; m > n ) Vì m - n số nguyên tố m + n > m - n Nên m - n = Vậy m n hai số tự nhiên liên tiếp đpcm 4.3 ài tập áp ụng Bài Cho p 2p + số nguyên tố lớn Chứng minh r ng 4p + chia hết cho (Đề thi h n h sinh giỏi p huy n ớp năm 2017 - 2018) Bài Cho p p + số nguyên tố ( p > 3) Chứng minh r ng p + chia hết cho (Đề thi h n h sinh giỏi p huy n ớp năm 2017 - 2018) Bài Cho p số nguyên tố Chứng minh r ng không tồn cặp số nguyên dƣơng (m , n ) thỏa mãn m 2019 + n 2019 = p 2018 (Đề thi h sinh giỏi ớp p thành phố 2017 - 2018) Bài Chứng minh r ng số nguyên tố lớn có dạng 3k ± Bài Cho p 2p + hai số nguyên tố với p > Chứng minh 4p + hợp số Bài Chứng minh tổng bình phƣơng ba số nguyên tố lớn số nguyên tố Bài Chứng minh r ng a ) p - chia hết cho 24 , với p số nguyên tố lớn b) p - q chia hết cho 24 , với p q số nguyên tố lớn 53 Bài Chứng minh r ng ỗi số nguyên tố p > chia cho số dƣ b ng b ng a) b) Số dƣ phép chia số nguyên tố cho 30 b ng số nguyên tố Kết uận Đây dạng toán khó thƣờng xuất đề thi học sinh giỏi cấp Đối với toán chứng minh số, biểu thức số nguyên tố giáo viên cần hƣớng dẫn học sinh sử dụng phƣơng pháp chứng minh b ng phản chứng Ngoài học sinh cần vận vận dụng giả thiết dấu hiệu chia hết để giải toán Các toán khác iên quan đến số nguyên tố ạng tốn thƣờng tốn tƣơng đối khó hay xuất đề thi học sinh giỏi cấp, khơng đƣợc phân dạng cách cụ thể Đ i hỏi học sinh phải có tƣ linh hoạt vận dụng giả thiết để giải toán 5.1 Một số v V ụ ụ a ) Tổng ba số nguyên tố b ng 1012 Tìm số nhỏ ba số b) Có hay khơng hai số ngun tố có tổng b ng 2003 ? Giải a ) Trong tất số nguyên tố, số số chẵn c n lại số lẻ Tổng hai số lẻ số chẵn, tổng ba số lẻ số lẻ ì tổng ba số nguyên tố chẵn nên suy s có số chẵn số hai số lẻ Vì số nguyên tố chẵn nhỏ tất số nguyên tố nên ch nh số cần tìm thỏa mãn yêu cầu toán 54 b) Trong tất số nguyên tố, số chẵn nhất, c n lại số nguyên tố lẻ Vì tổng hai số nguyên tố 2003 lẻ nên suy phải có số chẵn số phải số lẻ số phải 2003 - = 2001 ) Vì 2001M3 nên 2001 hợp số ậy khơng thể có hai số ngun tố có tổng b ng 2003 Ví ụ Cho số nguyên tố p > iết r ng có số tự nhiên n cho cách viết thập phân số p n có 20 chữ số Chứng minh r ng 20 chữ số có t chữ số giống Giải Giả sử p n có 20 chữ số, khơng có chữ số giống chữ số p n viết dƣới dạng thập phân xuất t hai lần số t đến ) hi tổng chữ số p n 2(0 + + + + 9) = 90 Do p > p M3 nên p n M3 Theo điều giả sử 90 M3 hay p n M3 nên điều giả sử sai ậy p n có t chữ số giống đpcm V ụ Tìm số tự nhiên n để (n + 3)(n + 1) số nguyên tố Giải Số (n + 3)(n + 1) có ƣớc 1, n + 3, n + (n + 3)(n + 1) én + = Để (n + 3)(n + 1) số nguyên tố Û êê êën + = TH : n + = Û n = Þ (n + 3)(n + 1) = 3.1 = thỏa mãn) TH : n + = Û n = - < khơng thỏa mãn) 55 ậy n = (n + 3)(n + 1) số nguyên tố V ụ Nếu a - b2 số nguyên tố a - b2 = a + b Giải Ta có a - b2 = (a + b)(a - b) Nếu a - b > a + b > Þ a - b hợp số, trái với giả thiết o a - b £ (1) ặt khác a - b2 số nguyên tố Þ a>b Þ a- b> (2) T (1) (2) Þ a - b = ậy a - b2 = a + b V ụ Chứng minh r ng tổng bình phƣơng ba số nguyên tố lớn số nguyên tố Giải Số nguyên tố lớn có dạng 6k ± (k Ỵ ¥ * ) Nên bình phƣơng chúng có dng 6m + (m ẻ Ơ ) o ú tổng bình phƣơng ba số ngun tố có dạng 6n + M3 (n > 1) o chứng tỏ tổng bình phƣơng ba số nguyên tố lớn hợp số đpcm V ụ Tìm số nguyên tố p q cho p = 8q + Giải p = 8q + Û p - = 8q Û ( p - 1)( p + 1) = 8q 56 Ta nhận thấy 8q + lẻ Þ p lẻ Þ p lẻ Þ p = 2k + hi ta có (2k + 1)2 = 8q + Û k (k + 1) = 2q ới k (k + 1) = 2q suy p có dạng 4t + 4t - hi q có dạng t (2t + 1) t (2t - 1) Vì p, q hai số nguyên tố nên p = 5, q = Thử p = 8q + Û 52 = 8.3 + Û 25 = 25 thỏa mãn ậy p = 5, q = V ụ Chứng minh r ng ( p - 1)! chia hết cho p p hợp số không chia hết cho p p số nguyên tố Giải Nếu p hợp số p t ch th a số nguyên tố nhỏ p số mũ th a số b ng số mũ ch nh th a số ( p - 1)! Do ( p - 1)! chia hết cho p Nếu p số nguyên tố p > p - nên p nguyên tố với th a số ( p - 1)! o ( p - 1)! khơng chia hết cho p đpcm V ụ (Đề H huy n ớp năm 2014 – 2015) Tìm số chia hết cho 105 có 30 ƣớc số Nhận t Đối với tập ta chắn cần sử dụng cách tìm số ƣớc số b ng cách phân t ch số th a số nguyên tố Giải Ta có A = 3a 5b g số cần tìm Theo đề A có 30 ƣớc nên Suy (a + 1)( b + 1)( g + 1) = 30 = 2.3.5 Suy (a , b , l ) Ỵ {(1, 2, 4);(1, 4, 2);(2;1;4);(2;4;1);(4;1;2);(4;2;1)} 57 Nên A số 108075, 90875, 108045, 39375, 19845, 14175 ậy có số thỏa mãn u cầu đề Ví ụ Tìm tất số nguyên dƣơng n cho số 3n – 4, 4n – 5, 5n – số nguyên tố Giải Ta nhận thấy (3n - 4) + (5n – 3) = 8n – số lẻ Suy hai số phải có số chẵn số lẻ Nếu 3n – chẵn 3n – = Û n = Þ 4n – = 4.2 - = + 5n – = 5.2 - = số nguyên tố Nếu 5n – chẵn 5n – = Û n = Þ 3n – = 3.1 - = - < + loại ậy n = giá trị thỏa mãn điều kiện đề 5.2 ài tập vận ụng Bài Tìm số chia hết cho 35 có ƣớc Bài a) ột số nguyên tố chia cho 42 có số dƣ r hợp số Tìm số dƣ r b) ột số nguyên tố chia cho 30 có số dƣ r Tìm số dƣ r biết r ng r khơng số nguyên tố Bài Cho M = 1242018 + p1.p2 pn (với p1, p2, pn số nguyên tố, n > 2017 Hỏi M có số ch nh phƣơng không? (Đề H huy n ớp năm 2017 – 2018) Bài Tìm tất số nguyên tố p để p v a tổng v a hiệu hai số nguyên tố 58 Bài Tìm số tự nhiên có bốn chữ số cho chữ số hàng nghìn b ng chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm b ng chữ số hàng chục số viết đƣợc b ng t ch ba số nguyên tố liên tiếp Bài Hai số nguyên tố sinh đôi hai số nguyên tố k m đơn vị Tìm hai số nguyên tố sinh đôi nhỏ 50 Bài iết r ng có 25 số nguyên tố 100 Hỏi tổng số nguyên tố chẵn hay lẻ 59 KẾT LUẬN Số nguyên tố khái niệm trung tâm số học Ta thƣờng gặp toán số nguyên tố kì thi học sinh giỏi, thi Olympi toán học di n hàng năm Đề tài em trình bày n t số nguyên tố số dạng toán số nguyên tố Nó giúp biết đƣợc dạng toán, nắm đƣợc định hƣớng cách giải cho tốn liên qua đến số ngun tố Ngồi tốn số ngun tố vơ phong phú đa dạng nên bạn đọc phải tham khảo nhiều cách giải lựa chọn cho phƣơng pháp tối ƣu để giải tốn Trong khóa luận này, bƣớc đầu nghiên cứu đƣa kết đạt đƣợc số nguyên tố Cụ thể việc đƣa số dạng toán số nguyên tố Do nhiều hạn chế mặt thời gian, tài liệu, trình độ, nên em khó tránh khỏi sai sót chƣa thể đƣợc hết vấn đề số nguyên tố Em xin chân thành cảm ơn nhận đƣợc ý kiến đóng góp thầy bạn sinh viên để khóa luận em đƣợc hồn thiện nhƣ 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO ũ Hữu Bình (2008), Nâng cao phát triển tốn - t p (NXB Giáo dục Thái Nguyên) Nguy n Hữu Hoan, Lí thuy t số (NXB Đại học Sƣ phạm) Nguy n Hữu Hoan, Nguy n Tiến Tài (chủ biên), Giáo trình Số h c (NXB Giáo dục) Hà Huy Khoái (2006), huy n đề b i ưỡng h c sinh giỏi toán Trung h c phổ thông - Số h c (NXB Giáo dục) Lại Đức Thịnh (1977), Giáo trình số h c (Nhà xuất Giáo dục) Một số tài liệu khác:  Mạng Internet  Toán  Toán học tuổi trẻ 61 ... II MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ 24 Nhận biết số nguyên tố phân bố số nguyên tố 24 1.1 Kiểm tra số có phải số nguyên tố không 24 1.1.1 Kiến thức cần nhớ 24 1.1.2 Một. .. nguyên tố với p Hệ N u số nguyên tố p ước c a tích số ngun tố q1, q2, ¼ , qn p ph i trùng với số nguyên tố c tí h đ Hệ Số số nguyên tố nhỏ nh t ũng số nguyên tố chẵn nh t t p h p số nguyên tố, ... 32 52 72 = 88200 23 CHƢƠNG II MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ Nhận biết số nguyên tố phân bố số nguyên tố 1.1 Kiểm tra số có phải số ngun tố khơng Để giải tốn ta phải dựa vào kiến thức dấu