Chuyên đề 1: hàmsố lợng giác. I. Kiến thức cơ bản. 1. Hàmsố y = sin x. */ Tập xác định: D = Ă ; */ x Ă ta luôn có: 1 sin 1x ; */ Hàmsố y = sin x là một hàmsố lẻ trên Ă và là một hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 . */ Đồ thị: -2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2 -1 1 x y 0 2. Hàmsố y = cos x. */ Tập xác định: D = Ă ; */ x Ă ta luôn có: 1 cos 1x ; */ Hàmsố y = cos x là một hàmsố chẵn trên Ă và là một hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 . */ Đồ thị: -2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2 -1 1 x y 0 3. Hàmsố y = tan x. */ Tập xác định: \ , 2 D k k = + ÂĂ ; */ Hàmsố y = tan x là một hàmsố lẻ và là một hàm tuần hoàn với chu kỳ ; */ Đồ thị: -3/2 - -/2 /2 3/2 -1 1 x y /4 -/4 4. Hàmsố y = cot x. */ Tập xác định: { } \ ,D k k = ÂĂ ; 1 */ Hàmsố y = cot x là một hàmsố lẻ và là một hàm tuần hoàn với chu kỳ ; */ Đồ thị: -2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2 -1 1 x y /4 -/4 0 5. Chú ý. Một số các giá trị đặc biệt của các hàmsố lợng giác: */ sin 1 2 , 2 x x k k = = +  ; */ sin 0 ,x x k k = =  ; */ sin 1 2 , 2 x x k k = = +  ; */ cos 1 2 ,x x k k = = +  ; */ cos 0 , 2 x x k k = = +  ; */ cos 1 2 ,x x k k = =  ; */ tan 1 , 4 = = + Âx x k k ; */ tan 0 ,x x k k = =  ; */ tan 1 , 4 x x k k = = +  ; */ cot 1 , 4 = = + Âx x k k ; */ cot 0 , 2 x x k k = = +  ; */ cot 1 , 4 x x k k = = +  ; II. Kỹ năng cơ bản. 2 Tìm tập xác định; xét tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn và vẽ đợc đồ thị của một hàmsố l- ợng giác. III. Một số ví dụ A. Ví dụ tự luận. Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số: 1/ cos2y x= 2/ sin 3y x= 3/ 1 siny x = 4/ 2 cos 4y x= Giải. 1/ Do 2 ,x x Ă Ă nên hàmsố đã cho có tập xác định là D = Ă . 2/ Hàmsố sin 3y x= xác định khi và chỉ khi 3 0 0x x . Vậy tập xác định của hàmsố đã cho là [ ) 0;D = + . 3/ Hàmsố 1 siny x = xác định khi và chỉ khi 1 0.x x Ă Vậy tập xác định của hàmsố đã cho là { } \ 0D = Ă . 4/ Hàmsố 2 cos 4y x= xác định khi và chỉ khi 2 2 4 0 2 x x x . Vậy tập xác định của hàmsố đã cho là ( ] [ ) ; 2 2;D = + . Ví dụ 2: Tìm tập xác định của các hàm số: 1/ 1 cos sin x y x = ; 2/ 2 cos3y x= ; 3/ cot 3 y x = + ữ ; 4/ tan 2 6 y x = ữ . Giải. 1/ Hàmsố 1 cos sin x y x = xác định khi và chỉ khi sin 0 ,x x k k  . Vậy tập xác định của hàmsố đã cho là { } \ ,D k k = ÂĂ . 2/ Hàmsố 2 cos3y x= xác định khi và chỉ khi 2 cos3 0x . Mà 2 cos3 0x x Ă . Vậy hàmsố đã cho có tập xác định là D = Ă . 3/ Hàmsố cot 3 y x = + ữ xác định khi và chỉ khi sin 0 , 3 3 3 x x k x k k + + + ữ  . Vậy tập xác định của hàmsố đã cho là \ , 3 D k k = + ÂĂ . 3 4/ Hàmsố tan 2 6 y x = ữ xác định khi và chỉ khi 2 cos 2 0 2 2 , . 6 6 2 3 3 2 x x k x k x k k + + + ữ  Vậy tập xác định của hàmsố đã cho là \ , 3 2 D k k = + ÂĂ . Lu ý: +/ Tập xác định của hàmsố y = f(x) là tập các giá trị của x để f(x) có nghĩa. +/ Tìm tập xác định của hàmsố lợng giác, ta cần lu ý tập xác định của 4 hàmsố l- ợng giác nói trên và một số giá trị đặc biệt của nó. Ví dụ 3: Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số: 1/ y = x 2 sin 3x 2/ y = cosx + sin 2 x 3/ y = tanx.cos2x 4/ y = 2cosx 3sinx. Giải. 1/ Tập xác định của hàmsố y = f(x) = x 2 sin 3x là D = Ă . x D ta có: */ x D ; */ f(-x) = (-x) 2 sin(-3x) = - x 2 sin3x = - f(x). Vậy hàmsố đã cho là hàmsố lẻ trên Ă . 2/ Tập xác định của hàmsố y = f(x) = cosx + sin 2 x là D = Ă . x D ta có: */ x D ; */ f(-x) = cos(- x) + sin 2 (- x) = cosx + sin 2 x = f(x). Vậy hàmsố đã cho là hàmsố chẵn trên Ă . 3/ Tập xác định của hàmsố y = f(x) = tanx.cos2x là \ , 2 D k k = + ÂĂ . x D ta có: */ x D ; */ f(-x) = tan(-x).cos(-2x) =- tanx.cos2x = - f(x). Vậy hàmsố đã cho là hàmsố lẻ trên D. 4/ Tập xác định của hàmsố y = f(x) = 2cosx 3sinx là D = Ă . Ta có 5 2 f 4 2 = ữ , mặt khác 2 f 4 2 = ữ nên f f 4 4 ữ ữ . Vậy hàmsố đã cho không phải là hàmsố chẵn và cũng không phải là hàmsố lẻ. Lu ý: */ Phơng pháp xét tính chẵn lẻ của hàmsố y = f(x): +/ Tìm tập xác định D của hàm số. +/ Xét x D nếu ( ) ( ) x D f x f x = thì hàmsố là hàmsố chẵn. Nếu ( ) ( ) x D f x f x = thì hàmsố là hàmsố lẻ. 4 */ Đồ thị hàmsố chẵn có trục đối xứng là trục Oy; Đồ thị hàmsố lẻ có tâm đối xứng là gốc tọa độ O. Ví dụ 4: 1/ Chứng minh rằng ( ) cos2 cos2x k x k + =  . Từ đó, vẽ đồ thị hàmsố y = cos2x. 2/ Từ đồ thị hàmsố y = cos2x, hãy vẽ đồ thị hàmsố cos2y x= . Giải. 1/ Ta có ( ) ( ) cos2 cos 2 2 cos2 , .x k x k x k + = + =  Do đó hàmsố y = cos2x tuần hoàn với chu kỳ . Ta chỉ cần vẽ đồ thị hàmsố y = cos2x trên một đoạn có độ dài bằng , rồi tịnh tiến song song với trục Ox các đoạn có độ dài ta đợc đồ thị hàm số. Mặt khác, hàmsố y = cos2x là hàmsố chẵn, nên ta lại chỉ cần vẽ đồ thị hàmsố đó trên đoạn 0; 2 sau đó lấy đối xứng qua trục tung, ta đợc đồ thị hàmsố trên đoạn ; 2 2 . Đồ thị hàmsố y = cos2x: -3/2 - -/2 /2 3/2 -1 1 x y /4 3/4 5/4 -/4 -3/4-5/4 0 2/ Ta có = = < cos2 cos2 0 cos2 cos2 cos2 0 x nếu x y x x nếu x . Vậy đồ thị hàmsố cos2y x= (nét liền) đợc suy ra từ đồ thị hàmsố y = cos2x bằng cách giữ nguyên phần đồ thị nằm trên trục hoành và lấy đối xứng phần dới trục hoành qua trục hoành. -3/2 - -/2 /2 3/2 -1 1 x y /4 3/4 5/4 -/4 -3/4 -5/4 0 Ví dụ 5: Từ đồ thị hàmsố y = tanx, hãy vẽ đồ thị hàmsố 1/ tan 4 y x = ữ 2/ y = tanx - 1 2 Giải. 5 1/ Ta có đồ thị hàmsố tan 4 y x = ữ (nét liền) đợc suy ra từ đồ thị hàmsố y = tanx ( nét đứt) bằng cách tịnh tiến song song với trục Ox sang phải một đoạn bằng 4 ( hình vẽ) -3/2 - -/2 /2 3/2 -1 1 x y /4 -3/4 5/4 2/ Ta có đồ thị hàmsố y = tanx - 1 2 (nét liền) đợc suy ra từ đồ thị hàmsố y = tanx (nét đứt)bằng cách tịnh tiến song song với trục tung xuống phía dới 1 2 đơn vị. -3/2 - -/2 /2 3/2 -1 1 x y /4 -/4 -1/2 Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số: 1/ 2cos 1 3 = ữ y x 2/ = + 1 sin 3y x Giải: 1/ Ta có ữ ữ Ă : 1 cos 1 2 2cos 2 3 1 3 3 x x x y . Vậy giá trị lớn nhất của hàmsố là 1, xảy ra khi = = = + ữ Âcos 1 2 2 , . 3 3 3 x x k x k k Giá trị nhỏ nhất của y là -3 đạt đợc khi = = + = + ữ  4 cos 1 2 2 , . 3 3 3 x x k x k k 2/ Ta có + + Ă ,0 1 sin 2 0 1 sin 2 3 2 3.x x x y 6 Vậy, giá trị lớn nhất của y là 2 3 , khi = = + Âsin 1 2 , 2 x x k k ; giá trị nhỏ nhất của y là -3, khi sin x = -1 = + Â2 , . 2 x k k B. Ví dụ trắc nghiệm khách quan. 1/ Tập xác định của hàmsố = 1 sin2 y x là A. { } ÂĂ \ ,k k B. Ă C. ÂĂ \ , 2 k k D. ÂĂ 2 \ , 3 k k .2/ Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Hàmsố y = -2sinx là hàmsố lẻ. B. Hàmsố y = -tanx sinx là hàmsố lẻ. C. Hàmsố y = sinx + x là hàmsố lẻ. D. Hàmsố y = tanx + cosx là hàmsố lẻ. 3/ Hàmsố sin2 tan x y x = là hàm số: A. Chẵn B. Lẻ C. Không chẵn, không lẻ D. Vừa chẵn, vừa lẻ. . 4/ Hàmsố cos4y x= là hàmsố tuần hoàn với chu kỳ: A. 2 B. C. 2 D. 3 5/ Giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàmsố y = 2sinx + 3 là: A. m =1, M= 5 B. m =-5 ,M =-1 C. m=-5, M=1 D. m=-1, M=5 6/ Cho hàmsố 2cos 3 y x = + ữ . Chọn mệnh đề sai: A. max y = 2 B. min y = -2 C. TXĐ D = Ă D. Hàmsố là hàm chẵn 7/ Chn mnh ỳng trong cỏc mnh sau: A. Hm s y = tanx v y = cosx cựng ng bin trờn khong ; 2 ữ . B. Hm s y = sinx v y = cotx cựng nghch bin trờn khong ; 2 ữ . C. Hm s y = tanx ng bin trờn ; 2 2 ữ v y = cotx nghch bin trờn khong ; 2 2 ữ . D. Hm s y = sinx v y = cosx cựng ng bin trờn khong 0; 2 ữ . 8/ Cho [ ] ;0x , rỳt gn 2 2cosP x= , chn kt qu ỳng: 7 A. 2sin 2 x P = B. 2cos 2 x P = C. 2sin 2 x P = D. 2cos 2 x P = Gii. 1/ Chọn phơng án C, vì hàmsố đã cho xác định khi sin2 0 2 , 2 k x x k x k  2/ Chọn phơng án D, vì các hàmsố y = sinx, y= tanx, y = x đều là các hàmsố lẻ, nên các hàmsố ở trong các phơng án A, B, C là các hàmsố lẻ.Còn hàmsố y = cosx là hàmsố chẵn, nên hàmsố trong phơng án D không thể là hàmsố lẻ, thực ra nó là hàmsố không chẵn, không lẻ. 3/ Chọn phơng án A, vì hàmsố đã cho có TXĐ là \ , 2 D k k = + ÂĂ và ( ) ( ) sin 2 sin2 tan tan x x x x = 4/ Chọn phơng án C. Để ý rằng cos4 cos4 . 2 x k x k + = ữ Ă 5/ Chọn phơng án A, vì 1 sin 1 1 5x x y x Ă Ă và 1 sin 1 2 , 2 5 sin 1 2 , 2 y x x k k y x x k k = = = + = = = +   6/ Chọn phơng án D. Hàmsố đã cho thực chất là hàm không chẵn, không lẻ. 7/ Chọn phơng án B. Dựa vào sự biến thiên của các hàmsố lợng giác. 8/ Chọn phơng án C, vì 2 4sin 2 x P = và [ ] sin 0 ;0 2 x x . IV. Bài tập. A.Bài tập tự luận. Bài 1. Tìm tập xác định của các hàmsố sau: 1/ 1 sin cos2 x y x + = ; 2/ 2 3 sin 2 y x= ; 3/ 2 cot 2 3 y x = + ữ ; 4/ tan 3 6 y x = ữ . Bài 2. Xét tính chẵn lẻ của các hàmsố sau: 1/ y = cos5x; 2/ y = tanx + 2sinx; 3/ sin3x y x = ; 4/ y = sinx + cosx. Bài 3.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số: 8 1/ 3sin 1 6 y x = + + ữ ; 2/ 1 sin2 2y x= + ; 3/ y = cos3x + sin3x; 4/ y = sinx + cos2x Bài 4. Chứng minh hàmsố y = sin2x là một hàm tuần hoàn với chu kỳ . Bài 5. Chứng minh hàmsố sin=y x là một hàm tuần hoàn, tìm chu kỳ, xét tính chẵn lẻ và vẽ đồ thị hàm số. Bài 6. Từ đồ thị của hàmsố y = sinx, hãy suy ra đồ thị của các hàmsố sin 3 y x = + ữ và 1 sin 2 y x= + . Bài 7. Chứng minh rằng: a/ sinx < cosx với 0 4 x < < . b/ sinx > cosx với 4 2 x < < . B. Bài tập trắc nghiệm. Bài 8. Chọn mệnh đề đúng: A. Hàmsố y = sin x và y = cot x có cùng tập xác định. B. Hàmsố y = sin x và y = cos x có cùng tập xác định. C. Hàmsố y =cos x và y = tan x cùng là hàm lẻ. D. Hàmsố y = sin x và y = cot x cùng là hàm chẵn. Bài 9. Tập xác định của hàmsố tan 4 y x = + ữ là: A. \ , 2 D k k = + ÂĂ B. \ , 4 D k k = + ÂĂ C. \ 2 , 4 D k k = + ÂĂ D. \ 2 , 2 D k k = + ÂĂ Bài 10 . Trong khoảng ( ) 2 ; các hàmsố nào sau đây luôn nhận giá trị dơng: A. y = cos x B. y = sin x C. y = tan x D. y = cot x Bài 11. Tìm khoảng mà trên đó các hàmsố y = cos x, y = sin x, y = tan x, y = cot x cùng dấu: A. ; 4 4 ữ B. 5 3 ; 4 2 ữ C. ; 4 3 ữ D. 3 ;2 4 ữ Bài 12. Tập giá trị của hàmsố y = 2cos x 3 là: A. [-5; -1] B. [-5; 1] C. [-1;5] D. [1; 5] Bài 13. Tìm hàmsố chẵn trong các hàmsố sau: A. cos x y x = B. sin=y x C. 3 tany x = D. cos coty x x= + 9 Bài 14. Hàmsố nào sau đây có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O: A. sin3y x x= B. cos 2 sin x y x = + C. 3 cos2y x x = D. tan 2cosy x x x= + Bài 15. Hàmsố nào sau đây có đồ thị đối xứng qua trục Oy: A. cos siny x x = + B. 2 siny x x= C. 2cos siny x x x = + D. sin 2 cos x y x = + Bài 16. Chọn câu sai: A. Hàmsố sin 4 y x = + ữ và y = sin x cùng có chu kỳ là 2 ; B. Hàmsố 2 siny x= và y = sin x cùng có chu kỳ là 2 ; C. Hàmsố cosy x= và y = sin x cùng có chu kỳ là 2 ; D. Hàmsố sin2y x= và y = tan x cùng có chu kỳ là ; Bài 17. Chu kỳ của hàmsố y = sin2x + 2cos2x là A. 3 B. 2 C. D. 2 Bài 18. GTLN (M) và GTNN (m) của hàmsố 3 sin 1 1y x= + là: A. 2 1, 0M m= = B. 2, 0M m= = C. 3 2 1, 1M m= = D. 3 2 1, 1M m= + = 10 . vẽ đồ thị hàm số y = cos2x trên một đoạn có độ dài bằng , rồi tịnh tiến song song với trục Ox các đoạn có độ dài ta đợc đồ thị hàm số. Mặt khác, hàm. liền) đợc suy ra từ đồ thị hàm số y = tanx ( nét đứt) bằng cách tịnh tiến song song với trục Ox sang phải một đoạn bằng 4 ( hình vẽ) -3/2 - -/2 /2 3/2