THIẾT LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER STOKES

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG NGUYỄN ĐỨC LỄ THIẾT LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG NGUYỄN ĐỨC LỄ THIẾT LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN PGS TS MAI ĐỨC THÀNH Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2019 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỊA THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - TRHCM Cán hướng dẫn: PGS.TS Mai Đức Thành Cán chấm nhận xét 1: TS Nguyễn Bá Thi Cán chấm nhận xét 2: TS Cao Thanh Tình Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại Học Bách Khoa, ĐHQG Tp.HCM ngày 10 tháng 08 năm 2019 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: Chủ tịch: PGS.TS Nguyễn Đình Huy Thư ký: TS Huỳnh Thị Hồng Diễm Phản biện 1: TS Nguyễn Bá Thi Phản biện 2: TS Cao Thanh Tình ủy viên: TS Nguyễn Minh Tùng Xác nhận Chủ Tịch hội đồng đánh giá luận văn Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn sửa chữa (nếu có) CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG PGS TS TRUƠNG TÍCH THIỆN NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên: NGUYỄN ĐỨC LỄ Ngày, tháng, năm sinh: 03/02/1986 Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số học viên: 1570242 Nơi sinh: Nam Định Mã số: 60 46 01 12 I TÊN ĐỀ TÀI: THIẾT LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER- STOKES II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: - Thiết lập hệ phương trình Navier-Stokes - Giải tốn Riemann III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 11/02/2019 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 01/08/2019 V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TS MAI ĐỨC THÀNH Tp Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2019 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM (Họ tên chữ kí) PGS.TS MAI ĐỨC THÀNH NGÀNH TOÁN ỨNG DỤNG (Họ tên chữ kí) TS NGUYỄN TIEN DŨNG TRƯỞNG KHOA (Họ tên chữ kí) PGS.TS TRUƠNG TÍCH THIỆN LỜI CẢM ƠN Lời tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn PGS TS Mai Đức Thành - Trường Đại Học Quốc Tế, ĐHQG Tp Hồ Chí Minh, người ln tận tụy, nhiệt tình hướng dẫn, giảng dạy, giúp đỡ, quan tâm, truyền đạt kiến thức tạo điều kiện để hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Q thầy, mơn Tốn ứng Dụng, khoa Khoa Học ứng Dụng, Đại Học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh tận tụy giảng dạy, truyền đạt kiến thức tạo điều kiện để hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn anh, chị, bạn bè Cao học khóa 2015, 2016, 2017 động viên giúp đỡ suốt trình học q trình thực luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình ln hỗ trợ, động viên để tơi n tâm thực khóa học Cuối cùng, việc thực luận văn khó tránh khỏi sai sót, mong nhận góp ý Q Thầy, Cơ bạn đọc để bổ sung hoàn thiện đè tài tốt Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2019 Tác giả Nguyễn Đức Lễ TÓM TẮT LUẬN VĂN Trong luận văn này, nghiên cứu đến vấn đề sau: Các định luật bảo tồn Các phương trình vi phân Thiết lập phương trình Navier-Stokes Tìm cấu hình nghiệm phương trình Navier-Stokes: Bài tốn Riemann Phương pháp nghiên cứu luận văn sử dụng định luật bảo toán, sử dụng phép biến đổi phương trình vi phân, tích phân mặt, tích phân khối, phân tích lực, để đưa phương trình định luật bảo tồn dạng đơn giản Kết thu cách thiết lập hệ phương trình vi phân thơng qua định luật xây dựng cấu hình nghiệm phương trình học chất lưu ABSTRACT In this thesis we consider the following problems: Conservation laws Differential equations Establish a system of Navier-Stokes equations Determine the solution structures of Navier-Stokes equations: Riemann problems Some methods are used in the Thesis such as use conservation laws, Differential equation tranformation, surface integral, volume integral, force analysis to bring equations of conservation laws intosimpler forms We establish a system of Navier-Stokes equations from the momentum conservation law and build the solutions of equation of fluid mechanics 11 LỜI CAM ĐOAN Tôi tên Nguyễn Đức Lễ, học viên cao học chuyên ngành Toán ứng Dụng trường Đại Học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh khóa 2015 Tơi xin cam đoan ngoại trừ kết tham khảo từ cơng trình khác ghi rõ luận văn, cơng việc trình bày luận văn tơi thực hướng dẫn PGS.TS Mai Đức Thành tơi hồn tồn chịu trách nhiệm tính trung thực đề tài nghiên cứu Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2019 Tác giả Nguyễn Đức Lễ MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Các phương trình hệ phương trình học chất lỏng xuất mô tả chuyển động chất lỏng khí nước, khơng khí, dầu mỏ, điều kiện tương đối tổng quát, chúng xuất nghiên cứu nhiều tượng quan trọng khoa học hàng khơng, khí tượng học, cơng nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma Một lớp phương trình quan trọng học lưu chất, miểu tả dòng chảy chất lỏng lí tưởng, nhớt, nén phương trình Navier-Stokes Phương trình Navier-Stokes xây dựng từ định luật bảo toàn khối lượng động lượng Phương trình Navier-Stokes có dạng (pU)t + v ■ (p(UU T ) +pl-ũ) =0 u = (u, V , w) : vận tốc dòng chảy „ ( d d d\ ( d d d\ v= {ủ’ị’dz) „ = {ử ’ử ’ử ) - to4n tử Lagrange n : tenso căng p : mật độ p : áp suất Mặc dù đưa lần vào năm 1822, có nhiều báo sách tham khảo viết phương trình Navier-Stokes Tuy nhiên hiểu biết phương trình khiêm tốn Tuy nhiên, nhu cầu Khoa học Cơng nghệ việc nghiên cứu phương trình Navier-Stokes nói riêng phương trình học chất lỏng nói chung ngày trở lên thời cần thiết Như vậy, vấn đề đặt nghiên cứu phương trình hệ phương trình học chất lỏng là: • Làm rõ cở hình thành phương trình Navier-Stokes • Làm rõ chứng minh nghiệm phương trình Navier-Stokes IV Mục đích nghiên cứu • Tìm hiểu việc thiết lập hệ phương trình Navier-Stokes từ định luật bảo tồn khối lượng, bào tồn động lượng • Khảo sát trường hợp riêng biệt hệ phương trình Navier-Stokes hệ phương trình khí động lực học đẳng entropy để thấy ý nghĩa vật lý phức tạp toán học Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Hệ phương trình Navier-Stokes • Phạm vi nghiên cứu: Thiết lập hệ phương trình Navier-Stokes Phương pháp nghiên cứu • Đọc tìm hiểu tài liệu, làm rõ chứng minh định lý tài liệu tham khảo • Hiểu sâu ứng dụng giải tích hàm • Các phương pháp chứng minh nghiệm phương trình vi phân Muc luc LỜI CẢM ƠN i TÓM TẮT LUẬN VĂN ii LỜI CAM ĐOAN iii MỞ ĐẦU iv Chương THIẾTLẬP PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Đạo hàm vật chất Định lý vận tải Reynolds Định luật bảo toàn khối lượng Định luật bảo toàn động lượng 1.4.1 Sự căng nhớt 1.4.2 Đạo hàm thời gian 1.4.3 Bảo toàn động lượng Phương trình Navier-Stokes 5 Chương BÀI TỐN RIEMAN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÍ ĐỘNG Lực HỌC ĐANG ENTROPY 10 2.1 Tính chất 10 2.1.1 Nghiệm trơn hệ phương trình bảo toàn 10 2.1.2 Nghiệm yếu 13 2.1.3 Điều kiện Entropy 17 2.2 Sốc điều kiện chấp nhận 19 2.3 Sóng giãn 22 2.3.1 Sóng giãn 23 2.3.2 Đường đặc trưng điều kiện Entropy 26 VI Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ Do h(0) = 0, suy h(s) = với tất giá trị thích hợp s Do hệ thức RankineHugoniot dọc theo đường cong tích phân, hai đường trùng Ak (w (s)) = Ãk(u0,w(s)) □ 2.3.2 Đường đặc trưng điều kiện Entropy Giả sử u nghiệm cổ điển hệ (2.1) miền D Ut + A(u)ux = D hay lk{u)T (Ut + Ak (lí) ux) = 0,1 < k < p (2.48) Ta định nghĩa đường đặc trưng ck hệ đường cong tích phân phương trình vi phân ^ = Ak{u {x, t)) (2.49) kí hiệu sk i-y (xk (sk), t (sk)) tham số hóa ck, (2.48) trở thành = 0,1 < k < p dsk Các phương trình (2.48) gọi phương trình đặc trưng 2.4 Bài tốn Riemann: Bài tốn Riemann cho hệ Euler tuyến tính giới hạn áp suất triệt tiêu Trong phần này, tự nghiên cứu dựa vào lý thuyết chung phần trước 2.4.1 Các tính chất Hệ phương trình Euler đẳng hướng chiều khí động học dtp + ỏx (pù) = F J ^ dt {pu) + dx (pu2 +p) = Nguyễn Đức Lễ ỵ (2.50) 26 Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ p > 0, u,p mật độ, vận tốc áp suất khí Áp suất phụ thuộc vào mật độ xác định từ mối quan hệ thiết lập nhiệt động lực học khí xem xét Giải phương trình vi phân (2.50) ta được: < Pt + upx + pux = v' Uị + uux H ~ẸPX = Chúng ta giới hạn loại khí lý tưởng đẳng nhiệt mà phương trình trạng thái cho áp suất đưa p = p{p) = , K > 0,7 > (2.51) Viết ngắn gọn phương trình (2.50) Ut + A{U)Ux = (2.52) MU)=ụfị (2.53) có hai giá trị riêng Ai (U) = u- vV (p), Ằ2 (U) = u+ vV (p) (2.54) Các vec tơ riêng bên phải tương ứng Hệ (2.50) hyperbolic ngặt p'{p) > Đặt c = y/p'(p) Vì ri (U) = -DXiri = DẰ2T2 = (pc' + 2c) > zc nên trường đặc trưng thứ thứ hai phi tuyến ngặt Dễ thấy AI(M) < A2(M) nên (2.50) có nghiệm trơn u (X, t) = U-, < X < st u+, X > st với s thỏa Aj (U+) < s < X ị ( U-) , * = 1,2 Nguyễn Đức Lễ 27 Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ Bài tốn Riemann cho phương trình Euler đẳng hướng gồm nghiệm (2.50)— (2.51) với liệu ban đầu (p,«)(ar,0) = (p±,u±), ±x > (2.55) P-,P+ £ M+ Ií_, 1Í+ £ K số 2.4.2 Đường cong sốc Áp dụng hệ thức Rankine-Hugoniot (2.11) ta có s[p\ = [pu] „s[H = [pu2 +PÌ- (2.56) Suy [pu]2 = [p] [pu2 + pị Đặt UQ = C/_, u = u+, (2.56) cho ta (pu - PQUQ)2 = {p- PÒ) (pu2 + p- pữuị - Po) Biến đổi tương đương ta (u_uo)2 = k-/>o)(p-po) pp Suy Uo + y5EãEiEãĩ PPŨ (p-Po)jp-Po) PPo «1,2 = «0 Ta có v'\f^ịpp« + ppo/ «1,2 — p-po P~P o Poy/(p-po ) (p-po) 2(ppof Khi «1,2 (po) = ± Do vec tơ ri (c/o) = Po vs Pũ phương vec tơ , Mí «í (po) = Nguyễn Đức Lễ yM \/Pũ Pũ 28 Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ Suy {p-Po){p-Po) U l = U Q - \ — - Tương tự V PPO , l(p-po)ip-po) U2 = UQ+ \ — V PPO Do ta có đường cong 1-Hugoniot Hl m : «! = «0 - >-*>>fr-») V PPO đường cong 2-Hugoniot V PPũ Áp dụng bất đẳng thức sốc - Lax ta c nr \ l(p~ pò) (p - Po) ^ s (C/o) :u = UQ-\ - — - , p > Po V PPO 2.4.3 oB Í T T \ „ _ „ , l(p- po) (p - po) Ố2 (Co) : u = UQ + \ — - , p > PũV PPO Đường cong giãn (2.57a) (2.57b) Tại UQ G D, phương trình (2.50) thỏa mãn hệ thức (2.43) ''lữ=DXk = Ĩ02C (-„) í2-58) c = y/p' (p) Gán /3 = 7^2 • Do (2.58) ta = Ị3p < 0,Vệ nên tồn ánh xạ ngược £ = i(p) Cũng (2.58) ta ^ = —/3c Suy đq du dp Nguyễn Đức Lễ du dị dị dp du d{ d^/dp c p 29 Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ Do Từ điều kiện Xk(u) tăng qua sóng giãn, ta có Ai {U) < Ai (Uo) Nên p < PQ Ta có đường 1-giãn \[¥Ụ) Ri (Uo) : u = Uũ to dto,p < PQ (2.59a) Tương tự đường cong 2-giãn r, fTT\ _ R2[Ụ O ): U = 2.4.4 , r yV M —77—du,p < Pũ J Po ^ (2.59b) UO+ Đường cong sóng Như vây, ta kí hiệu - ỉ, du, Poo) íup - p ọ ) ự í p'- P UQ PPo u m (Uo) : u = W\ («0, p) = M0 wf (Uo) : u = W l { u 0, p ) + ^Í£z£»]Ì£z£»ĩ PPŨ yVn du, Lủ «0 uo+í PPo p yVM du Po u u0+f , Po _ Po P Pữ PPo PPo Bổ đề 2.4.1 Các hàm số u = W\ (u*,p), u = wf (u*,p), p > hàm giảm ngặt lồi du ngặt Và hàm số u = w2 (u*, p), u = W2 (u*, p), p > hàm tăng ngặt lõm ngặt , + J{p-pữ}[rpữ), u V PPo Nguyễn Đức Lễ 30 Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ Định lý 2.4.1 Dường cong Wi(u*) cắt trục tung u = (0,ií) điểm đường cong W2(u*) cắt trục tung u = (0 u) điểm «5*(o J p* Nếu uỴ > u™ W\{UL) cắt W2(Ufí) điểm [/* Chứng minh Ta có W\(UL) W2(UR) qua điểm [/* nên W\(UL) W2(UR) CÓ điểm chung [/* Theo Bổ đề 2.4.1, W\(UL) hàm tăng ngặt W2{UR) hàm giảm ngặt Do [/* giao điểm W\(UL) W2(Ufí) Điều phải chứng minh □ 2.4.5 Nghiệm phương trình Riemann (2.50)—(2.51) Có bốn trường hợp nghiệm cho vấn đề Riemann cho (2.50)—(2.51): hai sốc, hai giãn, 1-sốc kết hợp với 2-giãn 1-giãn kết hợp với 2-sốc Để thuận tiện việc tính tốn, ta áp dụng (2.51) vào đường cong giãn, đường cong sốc ta tính ' (p - po) (p - Po) PPO /; vV M LƯ du = 2XA7 7- Cấu hình nghiệm: sốc, giãn Theo [2], hai trường hợp nghiệm hai sốc, hai giãn mô tả Hình 2.2 Hình 2.3 Cấu hình nghiệm: sốc giãn Lấy U- > M_|_, p± > Với K > 0, lấy (pi, P*M*) trạng thái trung gian (p ,pKuK) nghiệm hệ (2.50)-(2.51) với liệu Riemann (2.55), kết nối sóng 1-sốc ui, u+ kết nối sóng 2-giãn Sau đó, K Nguyễn Đức Lễ 31 Tốn ứng dụng Luận văn thạc sĩ Hình 2.3: Hai giãn trạng thái trung gian xác định (2.57a) (2.59a) từ suy p+ > P— Bổ đề 2.4.2 K , , „ U-> < > U+, V K e (0, K s r ) ,U* = U + & K = K a r := P-P + (U- — U + Ỷ - ifr- - - [pị - P-) (p+ - P-) (2.60) Chứng minh Lấy K > Giả sử u%, từ (2.59a) ta có pl = p + Áp đụng vào (2.57a), ta u+ — U- = Nguyễn Đức Lễ «(p+7 - p-7) p+p- (p+ - p-) = (p+ - p-) «(p+7 - p- ) (p+ - P-) PĨP(2.61) 32 Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ Suy /í — • Ngược lại, giả sử K = Ksr P—7) t^sr (pịU- — u+ = — H (,p+ - p-) • p+p- (p+ - P-) (2.62) Giả sử p1sr < p+ Ảp dụng (2.57a), (2.59a) ta U- — u+ = —* ' Ksr {{p*sry P-]) _ p1 p- (pt - p_) sr p sr _ ’ Y[P^ - {.pl^Ỵ p < Plsr < p+ (2.63) Do hàm hi : p —> (p7 — pZ) ^1 — tyj hàm đồng biến nên (2.62), (2.63) sai Do p1sr = p+ Theo (2.57a) ta / U- u1 sr = t^sr (p+ P—7) (,p+ - p-) • (2.64) p+p- (p+ - P-) Từ (2.62) (2.64) suy p+p- (p+ - P-) (p+ - P-) ■ (2.65) Mặt khác, trạng thái trung gian (p*1,^*1) thỏa mãn (2.57a), (2.59a) U- — U-ị- = K1((pĩ-) -p-V) v^7/ í>Ví>- w - P-) {fC ỳ- v+ _ (PĨ1)2^) (2.66) p- < p* < p+ Do hàm hi : p —> (p7 — pZ) ^1 — — ^ hàm đồng biến nên (2.65), (2.66) sai Vậy minh Nguyễn Đức Lễ kết nối sóng 2-sốc với K e (0, Kgr) Điều phải chứng □ 33 Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ Định lý 2.4.2 Lấy U- > u+,p± > Với K > 0, giả sử (pK,pKuK) sóng 1-sốc sóng 2-giãn nghiệm (2.50)-(2.51) với liệu Riemann (2.55), K —ì 0, nghiệm (pK,pKuK) trở thành nghiệm S-sốc hệ phương trình khí lý tưởng (2.52) với điều kiện Riemann cho Chứng minh Theo Bổ đề 2.4.2, nghiệm biếm đổi từ hai sóng sốc nghiệm (2.50)— (2.51) K < Ksr■ Khi K —^ 0, nghiệm trở thành nghiệm ố-sốc hệ phương trình (2.55) với liệu Riemann tương tự □ Hình 2.4: 1-sốc 2-giãn Cấu hình nghiệm giãn sốc Lấy U- < u+,p± > Với K > 0, lấy (pl, plul) trạng thái trung gian (pK,pKuK) nghiệm hệ (2.50)-(2.51) với liệu Riemann (2.55), U-,U% kết nối sóng 1-giãn , u+ kết nối sóng 2-sốc Sau đó, trạng thái trung gian xác định (2.57b) (2.59b), từ suy p+ < p— Bổ đề 2.4.3 U— < u+ < W-|_, V/í £ (0, Ksr-) , u+ — U-\- Giả sử = u+, từ (2.57b) ta có pl = p+ Áp dụng vào (2.59b), ta 2./K7 / 2=1 2=1 \ u+ = u- + ịpj - p+2 J (2.68) Nguyễn Đức Lễ 34 Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ Suy /í - /ír C Ngược lại, giả sử K = Krs, u+-u-= 2^«rs7 ( ^2 _ ° (p_ - p+2 J írt an^ (2.69) Giả sử p1rs < p+ Ấp dụng (2.57b) (2.59b) ta Vg^7/ y _ , K„^\ _ ((^rs)°' - l+7) / «„ _ + 7-1 V ; p+ < PĨ” < p_ / V - ) ’ (2.70) ^*rv+ (^rs p+) * Do hàm /ỉ2 : p —> p^ — p_2 hàm đồng biến nên (2.69), (2.70) sai Do p1rs = p+ Theo (2.59b) ta 2^/KTS7 / (2.71) -^{PT-PT) Từ (2.69) (2.71) suy ui = u+ Do (2.67) Giả sử tồn «2 £ (0,KVs) cho 1Í*2,1Í+ kết nối sóng 2-sốc Theo (2.67) ta có 2-/K27 u+-u-> - Y (p- P+ Mặt khác, trạng thái trung gian (p*2,u*2) thỏa mãn (2.57b), (2.59b) ) 2ựvã ( u + — U - = — [ p - (p^) - /K2((p*a)7"p+7) p£2p+ (pĩ2 - p+) — p+ < p? < p_ (2.72) (p? - P+), (2.73) 7-1 (2.73) Do hàm /12 : p —> p — p_2 hàm đồng biến nên (2.72), (2.73) sai Vậy u+ kết nối sóng 2-giãn với K £ (0, Krs) Điều phải chứng minh □ Định lý 2.4.3 Lấy U - < u+,p± > Với K > 0, giả sử (pK,pKuK) sóng 1- giãn sóng 2-sốc (2.50)-(2.51) với liệu Riemann (2.55), K —> 0, nghiệm ( p K , pKuK) trở thành nghiệm 2-tiếp xúc-gián đoạn hệ phương trình khí lý tưởng (2.52) với điều kiện Riemann cho Nguyễn Đức Lễ 35 Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ Chứng minh Theo Bổ đề 2.4.3, nghiệm biến đổi từ hai sóng giãn nghiệm (2.50)— (2.51) K < Krs Khi K —^ 0, nghiệm trở thành nghiệm 2-tiếp xúc-gián đoạn hệ phương trình (2.52) với liệu Riemann tương tự □ Hình 2.5: 1-giãn 2-sốc Nguyễn Đức Lễ 36 Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ KẾT LUẬN Phương trình Navier-Stokes xây dựng từ: 1/ Bảo tồn khối lượng, 2/ Bảo toàn động lượng, 3/ Giả thuyết Newton Nếu thay đổi giả thuyết ta nhánh nghiên cứu khác Như phương trình Navier-Stokes phương trình có hướng mở rộng Trong tương lai, chúng tơi tiếp tục nghiên cứu tiếp tốn cách thay đổi giả thuyết ban đầu, bổ sung thêm định luật bảo toàn lượng để phương trình mới, phương trình Euler Trong luận văn này, chúng tơi tìm cách xây dựng phương trình NavierStokes dạng vi phân thơng qua định luật bảo toàn khối lượng, định luật bảo toàn động lượng số kiến thức sở thích phân mặt tích phân khối Bên cạnh việc xây dựng phương trình Navier-Stokes, chúng tơi áp dụng vào giải tốn Riemann cho hệ Euler tuyến tính điều kiện áp suất triệt tiêu cách sử dụng đường sóng sốc sóng giãn Luận văn giúp phát triển cách xây dựng phương trình thơng qua định luật bảo toàn tiền đề để tìm kiếm cách tìm nghiệm cho phương trình học chất lưu Luận văn làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, giảng viên cộng đồng nghiên cứu lĩnh vực Nguyễn Đức Lễ 37 Tài liêu tham khảo [1] F Bouchut; On zero pressure gas dynamics In Advances in kinetic theory and computing, Vol 22, pages 171-190, 1994 [2] G.-Q Chen and H Liu; Formation of delta-shocks and vacuum states in the vanishing pressure limit of solutions to the Euler equations for isentropic fluids SIAM J Math Anal, 34 (2003), 925-938 [3] G.-Q Chen and H Liu; Concentration and cavitation in the vanishing pressure limit of solutions to the Euler equations for nonisentropic fluids Phys D, 189 (2004), 141-165 [4] w E, Yu.G Rykov and Ya.G Sinai; Generalized variational principles, global weak solutions and behavior with random initial data for systems of conservation laws arising in adhesion particle dynamics Comm Math.Phys, 177 (1996), 349380 [5] D Serre; Systems of Conservation Laws: Hyperbolicity, Entropies, Shock Waves Cambridge University Press, Cambridge, 1999 [6] w Sheng and T Zhang; The Riemann Problem for the Transportation Equations in Gas Dynamics American Mathematical Society, 1999 [7] J Smoller; Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations Springer- Verlag, New York, 1994 [8] E Tadmor; Numerical viscosity and the entropy condition for conservative difference schemes Math Comp, 43 (1984), 369-381 [9] H Yang and J Wang; Delta-shocks and vacuum states in the vanishing pressure limit of solutions to the isentropic Euler equations for modified Chaplygin gas J Math Anal Appl, 413 (2004), 800-820 38 Toán ứng dụng [10] Luận văn thạc sĩ G Yin and w Sheng; Delta shocks and vacuum states in vanishing pressure limits of solutions to the relativistic Euler equations for polytropic gases J Math Anal Appl, 355 (2009), 594-605 [11] Pijush K Kundu and Ira M Cohen; Fluid Mechanics Fourth Edition, 82- 137, Oxford, UK, 2010 [12] Peter Constantin and Ciprian Foias; Navier - Stokes Equations, The University of Chicago, 1988 [13] Roger Temam; Navier - Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, American Mathematical Society, 2000 [14] D.H.Cuong, M.D.Thanh; Constructing a Godunov-type scheme for the model of a general fluid flow in a nozzle with variable cross-section, Appl.Math Comput, 305 (2017), 136-160 [15] D.H.Cuong, M.D.Thanh; A Godunov-type scheme for the isentropic model of a fluid flow in a nozzle with variable cross-section, Appl Math Comput, 256 (2015), 602-629 [16] D.H.Cuong, M.D.Thanh; Building a Godunov-type numerical scheme for a model of two-phase flows, Comput Fluids, 148 (2017), 69-81 [17] M.D.Thanh; The Riemann problem for the shallow water equations with horizontal temperature gradients, Appl Math Comput, 325 (2018), 159- 178 [18] Edwige Godlewski, Piere-Arnaud Raviart; Numerical Approximation of Hyperbolic Systems of Conservation Laws., Springers, New York, 1996 [19] Sana Keita, Yves Bourgault; A Note On The Riemann Solutions To The Isentropic Euler Equations In The Vanishing Pressure Limit, arXiv.org (2018), 1805.04641v2 [20] Eleuterio F.Toro; Riemann Solvers and Numberical Methods for Fluid Dynamics., Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2009 Nguyễn Đức Lễ 39 Tốn ứng dụng Luận văn thạc sĩ LÝ LỊCH TRÍCH NGANG I sơ Lược CÁ NHÂN Họ tên: NGUYỄN ĐỨC LỄ Ngày, tháng, năm sinh: 03/02/1986 Nơi sinh: Nam Định Địa liên lạc: 127/26 Phạm Hồng Thái, Phường 7, Tp.Vũng Tàu, Tỉnh Bà Rịa-Vũng Tàu II QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO THỜI GIAN 2015-2019 2004-2009 TÊN TRƯỜNG CHUYÊN NGÀNH Đại học Bách khoa Tp Hồ Tốn ứng dụng Chí Minh Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Sư phạm Tốn HÌNH THỨC ĐÀO TẠO Giảng dạy mơn học luận văn Thạc sĩ Chính quy III Q TRÌNH CÔNG TÁC THỜI GIAN Cơ QUAN CHỨC VỤ 2012-2014 Trường Cao đẳng Nghề tỉnh BRVT Giảng viên 2015-2016 Trường THCS Huỳnh Khương Ninh Giáo viên 2016-2018 Trường Quốc tế Singapore Giáo viên 2018-nay Nguyễn Đức Lễ Trường Quốc tế Học viện Anh Quốc Giáo viên 40 ... Tìm hiểu việc thiết lập hệ phương trình Navier- Stokes từ định luật bảo toàn khối lượng, bào tồn động lượng • Khảo sát trường hợp riêng biệt hệ phương trình Navier- Stokes hệ phương trình khí động... thời cần thiết Như vậy, vấn đề đặt nghiên cứu phương trình hệ phương trình học chất lỏng là: • Làm rõ cở hình thành phương trình Navier- Stokes • Làm rõ chứng minh nghiệm phương trình Navier- Stokes. .. sinh: Nam Định Mã số: 60 46 01 12 I TÊN ĐỀ TÀI: THIẾT LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER- STOKES II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: - Thiết lập hệ phương trình Navier- Stokes - Giải tốn Riemann III NGÀY GIAO NHIỆM