Giải tích số

N G U Y Ề N M IN H C HƯ ƠN G ( Chủ biên) - N G U Y Ễ N V Ả N KHAI K H U Ấ T V Ă N NINH - N G U Y Ễ N VĂ N T U Ấ N -N G U Y Ẻ N TƯ Ơ N G TT TT-TV * ĐHQGHN NGUYỄN MINH CHƯƠNG (chủ biên) - NGUYỄN VĂN KHẢI KHUẤT \/ĂN NINH - NGUYỄN VĂN TUẤN - NGUYỄN TƯỜNG G I A I T I C H S (T i b ả n lần th ứ ba) N H À X U Ấ T B Ả N G IÁ O DỤC O c l '' r * Nhà xuất GỈằo dục TP Hà Nội giữ quyền công bố tác phẩm Mọi tổ chức, cá nhân muốn sử dụng tác phẩm hình thức phải dược đồng ý chủ sở hữu quyền tác giả - 0 / C X B /3 - 1 /G D M ã số : K h - DAI LỜI N ÓI ĐẨU Giúi tích sơ dang phát triển mạnh, đặc biệt lủ mô số, phương pháp :ong song, xấp xỉ spìine sóng nhỏ (wavel) dang phát triển mạnh với phát triển nhanh tin học, máy vi tính Tr/ớc khơng lâu, dơi với số ngành lí thuyết đại số trừu tượng hình học vi phân, hình học đại số v.v tưởng chừng khơng thể có thvật tốn, chương trình để đưa vào máy tính, bảy ngành dã có thuật tốn, chương trình tính tốn máy vi tính (xem [81,120, 88]) Đây xu lớn toán học đại Nhà bác học tiếng S.L Soholev 30 tuổi lủ viện s ĩ Viện hàn lảm khoa học Liên Xô (cũ), xây dựng dược không gian phiếm hàm trừu tượng mang tên ông Không gian quan trọng cân thiết cho gần hết ngành khoa học công nghệ, đã, dược phát triển khơng ngừng Ơng dành nửa dời người cho tốn học tính tốn Nhiêu nhà tốn học có tên tuổi, dó có cá viện sĩ, nhà bác học giải thưởng Fieỉds, Noheỉ, dã viết nhiều cơng trình với nhan đề tưởng chừng khơng thuộc ngành giải tích sơ, gắn với ngành này, o v Besov, G.H Hardy với không gian phiếm hàm mưng tên mình, H Brezis(*), L Nirenberg với báo “Lý thuyết bậc dao động trung bình bị chặn”, B p Masỉov với sách “Các phương pháp tiệm cận cho phương trình giả vi phản”, P.J.Lious(**) với sách “Nghiệm suy rộng phương trình Hamilton - Jacobi'\ L V Kantorovich (và G.p Alcilov) với sách “Giải tích hàm” (1984) v.v Nhiều nhà toán học khác quan tâm đến nhiều lĩnh vực (*) Giám đốc Phòng Giải tích số, ĐHTH Marie Curie, Paris (**) Giải thưởng Fields với bố, Viện sĩ J.J Lions, Ban biên tập tạp chí “Mồ tốn học giải tích s ố ”, tạp chí lớn giải tích số giới đóng góp nhiều báo phương pháp tính tốn P.Lax với lược đồ mang tên ơng, O.A Ladyiheskaia [11], O.A Oỉeinik /22, 102], S.Smale 1111], Đương nhiên nhiều nhà tốn học dành đời cho giải tích s ố mà không th ể liệt kê ỏ Chúng xin lưu ỷ lĩnh vực thị trường chứng khoán diễn biến gay gắt nén kinh t ế thị trường, phải nghiên cứu nhiều phương trình vi tích phân ngẫu nhiên, có phương trình Black-Scholes, với tốn biên phi tuyến mà khơng sử dụng giải tích số máy vi tính khơng th ể giải Như giải tích số quan trọng cần thiết cho khoa học cơng nghệ Do dù nước có nhiêu sách viết tiếng Việt, Nhà xuất Giáo dục cổ vũ, hối thúc viết sách Quyển sách gồm hai phần Phần M ột gồm sáu chương giới thiệu kiến thức giải tích sọ cho sinh viên trường Đại học năm đầu năm cuối Các kiến thức phần sách chọn ì ọc đ ể thích hợp với tất đối tượng Chúng cố gắng viết để độc giả tiếp cận với giải tích số đại Bên cạnh biểu bảng, lược đổ, chúng tơi sử dụng chươììg trình MAPLE V số chỗ Cuối chương phần có tập Phán Hai gồm nám chương Phẩn nhằm đưa độc giả đến số hướng đại giải tích số, đặc biệt để độc giả làm quen với số kết nghiên cứii gần tác giả nghiệp Phán với sô' tài liệu liệt kê mục tài liệu tham khảo ỏ cuối sách giúp cho sinh viên chuẩn bị luận văn thạc sĩ, luận án tiến sĩ xa Tiếp theo Chương XI phẩn đáp số hướng dẫn giài tập N hư ta thấy giải tích số ngành rộng, nên chúng tơi chì đê cập s ố vấn đê Ngay vấn để đề cập, vớ/ khuôn kh ổ sách, không th ể sâu rộng Song đ ể khắc phục hạn chê ấy, cố gắng đưa vào tài liệu gần vê giải tích s ố mục tài tiện tham khảo, tài liệu xa đầy đủ Chúng trân trọng cám ơn Nhà xuất Giáo dục cổ vũ tạo điều kiện đ ể sách đời phục vụ sớm, đặc biệt T.s Nguyễn Huy Đoan dã giúp tác giả nhiêu trình làm sách Hà Nội, Xỉiân 2000 CÁC TÁC GIẢ FOREWORDS Nmnericcil anaìysis is intensivcìy (ỉevelopimỊ, especiallv, mimerical tiìodellimị, pcnaìleỉ nietìiocis, spline and waveìe(Ị approxìmation are very rưpidh growing along wìth the e.xtremeỉy rưpid (levelopment o f informcỉtics, microcomputers Few yeat s ligo it seemed that there were sonie tìieoi etica! areas SLich as abstract algebra, diỊỊerenùaì geometrỵ, algebrưic geometry etc., vvhich may have nothing to (lo witiì algorithms, programs fo r computeì s, hut nowudays fo r SIỈCÌ1 areas appear i eady the above mentioned materiaìs, too (see Ị 8J, 88, 120] It is one o f greưt trends o f modern mathematics The well kỉiown savant S.L.Sobolev ưt the tlììrty years old was aìready a niember o f the USSR (olcl) Academy o f sciences wìth an ahstract Ịunctiotiaỉ space beariỉìg his name Tlìis space is extremeiy important whií h has been developing endtessỉy in ưlmost all branches o f sciences, íechnologỵ S.L.Sobolev devoted a half o f lìis life to computatỉonaì niatheniatics There are several weU known niatlìematicians, among them members o f Academies o f sciences, wi/mers o f Fields, Nơbel priies, who lìíive vvritten sever xvorks with titỉes seemed not he /ong to numerical analysis, hut essentiaỉly reỉated to it,fo r instance, o.v.B esov, G.H Hardy with the /unctionaì spaces bearing tlieir names, H Brezis and L Nirenherg wìth the paper “Degree theory and BM O '\ B.p Mưsìov with the book “Asymptotìcaì methods for pseudo-differential equations ” , P.J Lions with the book “Generalized soỉutions o f Hamiỉton - Jacohi equutions”, L.v Kưntoì ovich (and G.p Akilov) with the book “Functionaỉ anaỊysis” (Nítuka, Moskva, Ỉ9H4) atưỊ so on Many other mathemưticians, who (tre interested in many Ịieiíỉs, Itave contrihuted also many papers on ( onìpiìaỉ methods, such as P.Lax with his famous difference scheme, O.A Laạyịenskaia [II], O.A Olừinik /22.102] S.Smaìe ị ì ì ì ] There are, o f course, a lot o f other matheniaticians \\’Ịì() Ịìtíve clevoted all their life to nunierical meỉhods that we cannot íist all o f them here We would like to nice tìiat even in the stock niarket W’hicìi is a heưrt o f the mocỉertì economy recỊiiires a study o f severaỉ random iníegral (lifferential ề equations, among them, the Bìack-Schoìes equation, with nơrìinear boundary vaỉue problems that cannot be solved ỉip to day vithoui numerical analysis and computers So numerical anaỉysis is extremely important and necessiry to sciences and technoỉogy By this reason even though in Vietnamthere have been many books on this field we are encouraged and pỉished iy the Education Pubìishing House to write this book The book consists o f two parts Part one with six chapters contán the basic o f an Iindergraduate and graduate course otĩ numerỉcal anilysis We arrange the materiaỉs so that this part o f the book is approprate to students o f coỉleges and ưniversitỉes We try to xvrite so that readers can approach to modern nunericai anaìysis Besides tables, schemes, we use the MAPLE V in some pìacĩs Ai the end o f each chapter o f this part there are exercices and probìens Part two consists o f five chapters aimed to lead readers to sonie rends o f modern compiitationaỉ methods, especially, to be /am iỉỉar wih the recent resuìts o f the authors and his associates This part togethei with works cited in the biblỉography at the end o f the book could help stidents to prepare a Master, Ph D Thesis or Ịurther study After the chaper XI, answers and hints to the exercices are given As already known that numerical anaìysis is a very large area, o we can cover only some probỉems as above E venfor the discussed proHems, by the fram e o f the book, we cannot go deeper and vvider To over ome, however, this limitation, we try to introduce a ỉist o f recent referencs, on numericaì anaĩysis even though, there is stilì not a complete one We are gratefuỉ to the Education Publishing House which encouages us and mak.es it possible fo r the book to see the light in a short perod oj time, especially Dr.Nguyên Huy Doan fo r great heỉp in preparing f(r the publishing Hanoiy Spring 200C AUTHORS Phần m ộ t c sở C Ủ A G IẢ I T ÍC H SỐ C hương I MỘT SỐ KHI NIM M U Đ1 K H ễ N G G I A N M E T R I C Một vài định nghĩa Ta kí hiệu R tập số thực, Q tập số hữu tỉ, z tập số nguyên, N tập số tự nhiên Đ ịnh n g h ĩa / / / Xét tập hợp X với ánh xạ d : X X X —> R thỏa mãn điều kiện : a) d(x, y) > 0, Vx, y e X b) d(x, y) = X = y c) d(x, y) = d(y, x), Vx, yG X d) d(x, y) < d(x, z) + d(z, y), Vx, y , z c - X Khi tập hợp X với d không gian metric ánh xạ d gọi hàm khoảng cách Xét tập M X, M với d khơng gian m etric không gian metric X hạn c h ế Đ ịn h n g h ĩa 1.2 Cho dãy phần tử x n X, Vn M G N phần tử X e X Khi X gọi giới hạn d ã y {xn }nG^ lim d(xn , X*) = kí hiệu n —»co lim x n = X n —»co Tập hợp B(a, r) = {X E X I d(x, a) < r} (r > 0) gọi hình cầu m ỏ tâm a, bân kính r khơng gian metric X Tương tự, tập hợp B(a, r) = |x G X I d(x, a) < r) gọi hình cẩu cỉóniỊ tâm a, bán kính r khơng gian metric X Mỗi hình cầu m B(a, r) gọi lân cận phẩn tử a X Cho tập hợp M X, điểm a e X gọi điểm giới hạn M tồn dãy {xn }n với xn e M, x n * a, Vn e N, cho lim xn = a n -»00 Dễ thấy X điểm giới hạn dãy {xn }n với * * môi lân cận B(x , r), tồn số N cho xn G B(x , r), Vn > N0 Với tập hợp M c X , xét tập hợp mói bao gồm M tất điểm giới hạn M Tập hợp gọi bao đóng M kí hiệu M Có thể thấy phép lấy bao đóng có vài tính chất sau : a) M u N = M u N b) M c M c) = Tập hợp M có tính chất M = M gọi tập hợp đóng Tập hợp M có tính chất M = X gọi trù m ật khắp nơi X Một tập hợp M X gọi m với a e M tồn hình cầu mở S(a, r) c M Dãy {xn Ị c X gọi dãy C auchy Ve > 0, N cho Vn, m > Nơ d(xn, xm) < Đ ịnh nghĩa 1.1.3 Không gian metric X thỏa mãn điều kiện mồi dãy Cauchy có điểm giới hạn a e X gọi không gian m etric đủ Giả sử X, Y hai không gian metric M không gian X, ánh xạ f : M —» Y gọi liên tục xơ e M Ve > 0, 30 > cho Vx G M thỏa mãn d(x, xơ) < ỗ d(f(x), f(xơ)) < Như : lim x n = x0 f(x) ánh xạ liên n ->00 tục : lim f(x n ) = f ( x ) n-»co Xét dãy hình cầu {Sn(an, rn)}n k h n g gian m e tric X, đ ó , n ế u n h Sn+1 (an+1, rn+1) c Sn(an, rn), Vn, ta nói dãy lim rn = ta nói dãy hình cầ u đ ó lồ n g ; ra, n ếu n —>00 hìn h cầ u đ ó thắt Một vài định lí ví dụ : Đ ịn h lí 1 (N g u y ê n lí án h xạ co) G iả sử X k h ô n g gian m e tric đ ủ ánh xạ T : X - » X thỏa m ã n điều kiện : d(T x, Ty) < a d ( x , y) (1) * với số a < Vx, y G X Khi tồn phần tử X G X * * cho X = Tx , với xơ e X dãy fx n Ịn6N xác định * Xk+1 = Txk, Vk E N, hội tụ đến X , đồng thời ta có ưóe lượng : * an d(xn, X ) < y - — d ( x , , x0 ) (2) ChứĩềiỊ minh Dễ thấy d ( x k+|, xk) = d(Txk, Txk_ị) < a d(xk, xk_j) < < a k d(Xị, x0), Vk e N Từ Vn e N, V pe N ta có : ^ ( Xn+P’ x n) — *^(x n+p’ x n+p—l ) "■^ ( x n + l ’x n) < ( a n+p ' + + a n) d(X |, x0), T a có (xs)2 (xs)3 3! — + e xs - = XS + + (1)4(X, s) K( x, s) = x( exs - l ) = x XS + 2e X3s (xs)2 (xs)3 + KeHHH K peuieHMK) onepaTopHbix ypaBHeHHH c HeMOHOTOHHOH npaBOÍÍ HacTbK), YHeH 3anMCKM B r y , cep ỘH3 MaT HayK, 1992, N o l , 5 - 9 446 gG-GTS B 17 B n MaciiOB, AcMMnTOTHHecKHe MeTOHbi nceiìAO,ancị)epeHUMa/ibHbix ypaBHeHHÊí, H a y K a , M pemeHMH 18 r H M a p ộ y K , M era abi BbiMnc;iHTe/ibHOM MaTeMaTHKH, HayKa, M 1990 19 B.M M yca eB , He/inHeHHbie ộp e/ư o/ib M a, A n y MM H T y c n , ypaBHeHHH BaKy, Tnna Bo/ibTeppa - 1992 20 C M H M k oj ib K Hỉ í, r i p n 6;iH>KeHHbie ộyHKUHH MHOTHX n e p eM e H H bix M T e ope Mb i BJ10>K6 HHH, H a y K a , M , 1969 21 C M HnKOJibCKMM, rpaHMHHbie CBOHCTBa ộyHKLXMÊí, onpe/ieiieHHbix Ha õiiacTH cyroiibHbiMM TOHKaMH, M A T C B ( ) , 1957, 127 - 144 22 O.A OiieỉiHHK, o pe iue i- mn CHCTeMbi ypaBHeHMH npamnviH MeTOAOM KOHeMHbix pa3HOCTen, npHKii MaT w Mex (1 67 ) , 1, 90 - 100 23 B c PaõeHbKHH, TOMHbiH nepeHOc pa3HOCTHbix KpaeBbix yciiOBMM, ộyHKLi aHajiM3 H ero npmi 24(1990), Bbi 3, - 24 A.A CaMapcKHH, B Be/ieHMe B Teopnỉo pa3HOCTHbix cxeM, HayKa, M 1971 25 A B CKOpOXOA, ACMMĩlTOTHMeCKHe MeTOAbl T e o p n n CTOXaCTHHeCKHX AHộ(Ị)e pe HLIMa/ibHbix ypaBHeHHM, HayKOBa, iỈMMKa, KneB, 1987 26 27 B n T a H a H a , ycTOHMHBOCTM MeTOAa H6BH3KM ri p n p e uie H M n HCKOppeKTHbix 3aAaH, H B B y3 b , MaT , N o , 75 - 82 B.n T a H a H a , n p n õ i i n a c e H H o e p e u i e H n e o n e p a T o p H b i x yp a B H e H n íí nepB oro MaT poAa B iiO K a/ibH O B binyK iibix npơCTpaHCTBax, M3 By30b, 1973, N o 9, - 77 28 A H T h x o h o b , B.5Ỉ ApceHHH, MeTOAbi pemeHMH HeKoppeKTHbix 3aaaM, HayKa, M , 9 29 H ryeH T b io H r , n o iỉb iL u eH H o ro o paBHOM epHOM CXOAM M OCTM n o p H A K a T O H H O C T M /U1H y p a B H e H H H p a H O C T H b ix cxeM íly cco H a, )K B M M M O (1980), N Ô I, 97-103 30 R.A Adams, Sobolev spaces, Acad Press, 1975 31 M v Aỉtaiski, p-adic vvavelet decompostion vs Pourier analysis on spheres, Indian J Pure Appl Math 28(2)(1997), 117 - 205 32 C.Phụm Kỳ Anh, Giải tích số, Nhà xb ĐHQG Hà Nội, 1999 33 J.p Aubin, H Frankowska, Set-valued Analysis, Birkhauser, Boston - Basel Berỉin, 1990 34 J.F A u b in , Inte rpo lation et A p p ro x im a ti o n o p tim a le s et splines í un c ti ons , J Math Anal Appl ( 96X), 1-24 35 C B a i o c c h i and A C a p e lo D i s e q u a z io n i v a r ia z io n a li e q u a s iv a r ia z io n a li, voi 12, Pitagora, 1978 36 L.p Belluce and W.A Kirk, Fixed Point Theorems for Certain Classes of Nonexpansive Mappings, Proc Amer Math Sci-20 (1969), 111-116 447 37 G Beyklin, On the Representation of Operators in Bases of Compactly Supporteđ VVaveỉets, SIAM(*), J Num.Anal (1992), No 6, 1716 - 1740 38 o Beyklin, E.Coifman and V.Roklin, Fast \Vavelct Transíorm and Numerical Algorithms, I, Comm on Pure and Appl Malh XLIV (1991), 141 - 183 39 B Bialecki, Graeme Fairweather and K.R.Bennet, Fast direct Solvers for Piecewise Hermite Bicubic orthogonal Splinc Collocation equations, SIAM*, J Num.Anal 29(1992), 156 - 173 40 O.V.Besov, Théorèmes de prolongement des espaces ĩonctionnels, Congrès Int des math., Nice II (1970), 467 - 473 41 Tran Quoc Bình, Nguyen Minh Chuong, On a Fixed Point Theorem, Funetional Analysis and its Application, 30 (1996) 93 - 94 (Russian) 42 Tran Quoc Binh, Nguyen Minh Chuong, On a Fixed Point Theorem for Nonexpansive Nonlinear Operator, Acta Mathematica Vietnamica, 24 (1999), No 1, - 43 Tran Quoc Binh an Nguyen Minh Chuong, Fixed Point Type Theorems and Projection - Iteration Approximation, Preprint ICTP, IC/93/241, Miramare Trieste, Italy, 1993 44 H Brezis, L.Nirenberg, Degree Theory and BMO, I.Compact Maniíolds without Boundaries, II Compact Manifolds with Boundary, Selecta Math (N.S) 1(1995), No 2, 197 - 263, (1996), No 3, 309 - 368 F E B r o w d e r , E x is te n c e an d A p p r o x im a tio n S o lu tio n o f N o n lin e a r V ariational Inequalities, Proc Nat Acad Sci USA, (1966), No 4, 1080 46 F.E.Browder, On the Uniĩication of the Calculus of Variations and the Theory of Monotone Nonlinear Operators in Banach Spaces, Proc Nat Acad Sci USA 56 (1965), No 2, 419 - 425 47 FE Brovvder, Nonlinear Maximaỉ Monotone Operators in Banach Spaces, Math-Ann 175 (1968) N 1,89-113 48 F.E Browder, Nonlinear Variational Inequalities and Maximal Monotone Mappings in Banach Spaces, Math Ann 183 (1969) No 3, 213 - 231 49 F.E Brovvder, Bui an Ton, Convergence of Approximants by Regularization for Solution of Nonlinear Functional Equations in Banach Spaces, Math z 106 (1968), No 1, - 16 50 F.E.Browder, Non Expansive Nonlinear Operator in a Banach Space, Proc Nat Acad Sci USA, 54(1965), 1011 - 1014 51 F E Brovvder and w Petryshyn, The Soỉution of Noníinear Functional Equations in Banach Spaces, Bull Amer Math Soc 72(1966), 571-575 52 Le Van Chong, On the Existence of Solution for a GenerMÍ Form of Variationaỉ and Quasivariational Inequalities, ZAA, 19X4, Bd ( 6), 541-548 (*) Society industriai Applied Mathematics 448 53 Charles K Chui, An Introduction to Wavelets, Acacỉemic Press, New York, 1995 54 Nguyen Minh Chuong, Nguyen Van Khai, On Multistep Ncwton - Zeidel Mcthods for Quasilinear Opcrator Equations, Acta Math Vietnamica 17 (1992), No 2, 103 - 114 55 Nguyên Minh Chuong, Ha Tien Ngoan, Nguyen Minh Tri, Le Quang Trung, Partial Differrcntial Equations, Education Publ Hounse, Ha Noi, 2000 56 Nguyen Minh Chuong, Ya.D.Mamedov, Khuat Van Minh, Approximate Solution of Operator Equations, Sci & Tech Publ House, Ha Noi, 1992 57 Nguycn Minh Chuong, Nguyen Van Co, An Iteration Scheme for Nonexpansive Mappings in Metric space of Hyperbolic Type, Vietnamese J Math., to appear 58 Nguyen Minh Chuong, Nguyen Van Kinh, Regularization of Variational Inequalities with Perturbed Nonmonotone and Discontinuous Operators, Differentialnye Uravnenjia 27 (1991), No 12, 2171 - 2172 59 Nguyen Minh Chuong, Le Dinh Thinh and Nguyen Van Khai, Nevvton - Zeidel Method for Quasilinear Operator Equations in Supermetric Spaces, ICTP, IC/89/300, Miramare - Trieste, Italy, 1989 60 Nguycn Minh Chuong, Ta Ngoe Tri, The Integral Wavelet Transform on Lp (R"), I < p < 00, FCAA, (2000), No 2, 133 - 140 61 Nguyen Minh Chuong, Ta Ngoe Tri, The Integral Wavelet Transform in Weightcd Sobolev Spaces and Some Inverse Formulas, Preprint 99/45, Hanoi '62 Nguyen Minh Chuong, Bui Kien Cuong, Nguyen Thi Thanh Huong, C o n v e r g e n c e EvStimate o f W a v e le t - G alerkin S o lu t io n s o f Integral D iíe r e n tia l Equations, Preprint 2000/9, Hanoi 63 Nguycn Minh Chuong and Nguyen Van Tuan, Spline Collocation Methods for a System of Nonlinear Predhoỉm Volterra Integral Equations, Acta Math Vietnamica, 21(1996), N o l, 155-169 64 Nguyen Minh Chuong and Nguyen Van Tuan, Spline Collocation Methods for Fredholm Volterra Integro-Diĩerential Equations of High Order, Vietnam J o f Math 25: 1(1997) 15-24 65 Nguycn Minh Chuong, Khuat Van Ninh, On Approximative Normal Vaỉues of Mullivalued Operators in Vector Topological Spaces, J Izv Vuzov SSSR; 1991, No9, 89, VINITI 29-04-91 66 Nguycn Minh Chuong and Nguyen Van Tuan, Spline Collocalion Methods for Fredholm Integro-Differential Equations of Second Order, Acta Math Vietnamica 20(1995), No 1, 85-98 67 R Coiíman, P.L Lions Y Meyer et Semmes, Compacité par compensation des espaces de Hardy, C.R Acad Sci Paris, Série I, 309(1989), 945-949 68 R Coiĩman and Y Meyer, Remarques sur ỉ’analyse de Fourier fenêtre, C.R Acad Sci Paris, Série I, 312(1991), 259 261 69 Nguyen Huu Cong, A Parallel DIRK Method for Stiff Initial Value Probỉems, J Comput Appỉ Math 53(1994), CAMO 1709T, 1-7 449 70 Michacl G Crandalỉ and P.L Lions, Viscosity Solutions o f Hamillon-Jacobi Equations in Iníinite Dimensions, IV Hamiltonians with Unboundecỉ Linear Terms, J.Funct Anal 90(1990), 237 - 283 71 \V.Dahmen, s Prổsdorf, R.Schneider, Wavelet Approximation Mcthods for Pseudo-differrential Equations, I Stability of Convergenco, Math z 215(1994), 583 - 620, II Matrix Compression and Fast Solution, Preprint, No 37, Berlin, 1993 72 Ingrid Daubechies, Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets, Comm Pure Appl Math XLI (1988), 909-996 73 Ingrid Daubcchies, Ten Lectures on Wavelets, CBMS, Lecture Notes nr 61, SIAM, Philadelphia, 1992 74 Ingrid Daubechies, The Wavelet Transíorm, Time-frequency Localization and Spline Analysis, IEEE, Transf Iníorm Theory, 36(1990), 961-1005 75 K.Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer - Verlag, Berlin Heidelberg, 1985 76 Phạm Huy Diển, Đinh Thế Lục, Tạ Duy Phượng, Practice Computation on MAPLE V, Education Publ House, Hanoi, 1998 77 M.Edelstein, On Fixed and Periodic Points Ưnder Contractive Mappings, J London Math Soc 37(1962), 74-79 78 A Jeffrey, H Brezis, and R.G Douglas, Numerical Analysis, Springer Verlag, Berlin, 1998 79 M Furi, A Vignoli, A Fixed Point Theorem in Complete Metric Spaces, Boll Un Math Monthly, 72(1965), 1Ơ04-1006 R G o r e n ĩlo , A P fe iffe r , D is k r e tis ie r u n g n ic h t lin e a n e r a b e ls c h e r Irr.egralglei- chungen erster Art, ZAMM, z.angew Math Mech 70(1990), No 6, 564-565 81 Alfred Gray, Modern Differential Gelomelry of Curves and SuríaiCes with MATHEMATICA, Springer - Verlag, Berlin, 1998 82 Phan Văn Hap, Le Dinh Thinh, Computational Methods and Aigorithms, Education Publ House, Hanoi, 2000 83 K.M Heal, M.L Hansen, K.M Rickard, MAPLE V learning guide, VVaterloo Maple Inc., Canada, 1996 84 E.N.Houstic, E.A Vavalis and J.R Rice, Convergence of ( h 4) Ciibức Spline Collocation Methods for Elliptic Partial Differential Equations, SIAM, J Num Anal 25(1988), N o l, 54-74 85 Nguyen Van Khai, On an Iterative Mcthod for Solving Diseomtinuous Oparator Equations, Vietnam J of Math 18(1990), No4, 19-23 86 Nguyen Van Kinh, On the Stability of Discrepancy Method for Solutiion of the first Kind Oparator Equations with Perturbed Operators, J Vyschisl TMat i at Fiz 29(1989), NolO, 1458-1465 87 Nguyen Van Kinh, The Approximate Solutions of the First Kiní Operator Equation in Locălly Topological Vector Space by Discrepancy Metìíod, Acta Math Vietnamica, 16(1991), N o l, 1-12 450 XX R E Kliniỉi and N.p Simnon, Abstnic! Aliichra Appliculions with MAPI.li Sprmgcr- Vcrlaii Berlin, 1999 X9 H Isliii, P.L Lions, Viscositry Solutions of FLI11y Nonlincar Seconcỉ Order Elliptic Parlial DilTcrcntial Equations, J oí DiíTerential Equations, X3(1990), 26-78 90 W.A Kirk, A Fixcd Poinl lor Mappings Which not Incrcase Distances, Amer Math Montly 72(1965), 1004-1006 91 Prem K Kylhc, An Introduction to Boundary Blemcnt Mcthods, CRC Press, Boca Raion, 1995 92 Th K Lucas, A Generalization of L-Splines, Num Math 15(1970), 359-370 93 Steplian G Mallat, Multiresolution Approximations and Wavelet Orthogonal Bases of L~(R), Trans Amer Math Soc 315 (1985), No 1, 69-87 94 Y Meyer, Onde lettes et opérateurs, I, II, III, Hermanr, Paris, 1990-92 95 Y Mcyer, Ondelcttes, fonctions splincs et analyses.graduées, Lectures Univ of Torino, Italy, 19X6 96 u Mosco, Implicit Variational Problcnis and Quasivariational Inequalities, Lccture Note in Math 543, Springer-Verlag, 1976 97 Nguyen Quynh Nga, Nguyen Minh Chuong, On a Nontinear wSct-Valucd Incqualily, Diíerentialnye Uravnenjia (acccpted) 9X Khua! Van Ninh, A Method for Approximalely Solving Operator Equations, Proc Confcrencc on "Problems on Functional Analysis and Physical Math” dcdicatcd to XOth BGU, Bacu, 1999 99 Khuat Van Ninh, Convergence of Two Sicỉe Approximations to Solutions of an Intcgral Systems of Ẽquations of Fredholm-Voltcrra Typc, Izv Acad Nauk A/crbaid/an, 18(1998), No2, 40-45 100 Khuat Van Ninh, Ya D Mamedov, Boundary Problems for Differential Equations of Firsl Order with Parameter, Proc IMM AS Azerbaizan, V.9, 1998, 58-63 101 Khual Van Ninh, V.M Musaev, Theorems on Mixed System of Partial DiíTerentiaỉ and Intcgral Inequalities, Vesnik, BPU 1993, Nol-2, 46-55 1Ơ2 O.A Oleinik, v v Zhikov, On the Homogenizalion of Elliptic Operators wiIh Almost-Periodic Coefficients, Conferenza Giugno 19X2, Italy 103 James M Ortega, Solution of Partial DiíTerential Equations on Vector and Parallel Computors, SI AM, Philadelphia, 1985 104 w v Pctryshyn, Fixcd Point Theorems for Various Classes of 1-Set C o tìtra clive and 1-h a ll-C o iilia c liv e MappingK in Banach Spaccs, Trans Am cr Math Soc 1X2(1973), 323-352 105 w v Petryshyn and T.E Williamson, Strong and Weak Convergence of the SccỊUcnce o f S u c c e s s i v e A p p r o x im a lio n s for Q u a s i- N o n e x p a n s iv e M a p p in g s, J Malh Anaỉ and Appl 13(1973), 459-479 106 P.M Prenler, Splincs and Variational Methods, A Willey Intcrsc Publ John Wilcy Sons, Ncw York, London, Toronto, 1975 451 107 Andreas Ricder, The Wavclet Transíorm on Sobolev Spaces Approximation Properlies, Num Math 38(1991), 875-894 and Its 108 A.p Roberlson, W.Robertson, Topological Vector Spaces, Cambrige, 1964 109 V.N Sadovski, On a Fixed Point Principle, Funct Anal Appl 1(19X7), - (in Russian) 10 M.H Schultz and R.s Varga, L-Splines, Num Malh 10(1967) 345-369 1 s Smale, Complcxity Aspect of Numerical Anaỉysis, ICM Berkeley, 1986 112 Yu D Sokolov, On a Problem of The Theory of Unsteady Motion oĩ Groundwater, Ukrain Math J 5(1953), 159-170 13 G il b e r S tr a n g , W a v e le ts and D ila tio n E q uations: a B r ie í I n tro d u c tio n , SI A M Review, 31(1989), No4, 614-627 114 Nguyen Van Tuan, Spline Collocation Methods for Neumann Problem for Elliptic Equations, Vietnam J of Math 24( 1996), N o l , 83-96 115 Nguyen Tuong, Sur les cocfficients de Fourier de ĩonctions de pỉusieurs variables, Vietnam J de Maíh 9(1981), No2, 31-32 116 Nguyen Tuong, Sur la convergence uniĩorme des schémas aux différences approchant le deuxièmc problème aux limites pour 1'équation biharmonique plusieurs variabỉes, Vietnam J de Math 10 (19X2), N o l, 1-3 117 Nguyen Tuong, Sur la convergence uniíorme des schémas aux différences de haute précision pour 1'équation biharmonique, Vietnam J de Math., 12(19X4), No3, 1-3 118 Y Van and Graeme Fairweather, Orthogonal Spline Collocation Mcthod for Some Partiaỉ Integro-Differential Equation, SI AM J Num Anal 29(1992), No3, 755-768 119 R.s Varga, Funcitonal Analysis and Approximation Theory in Numerical Analysis, SIAM, Philadelphia, Pensylvania, 1971 120 w Vanconcelos, Computational Methods in Commutative Algebra and Aigebraic Geometry, Springer, Berlin, 1997 121 Walter Gander, Jirí Hrebíõek Solving Problems in Scientiíic Computing Using MAPLE and MATLAB, Springer - Verlag, Berlin, 1997 122 C.E Greenvvell - Yanik and G Fairweather, Analyses of Spline Collocation Methods for Parabolic and Hyperbolic Problems in Two Space Variables, SI AM, J Num Anal 23(1986), No2, 282-296 123 E Zeidler, Nonlincar Functional Analysis and its Applications, Voi I-IV, springer, Bcrlin, 1985-88 452 M U C LUC Lởi nói đắu P h ầ n m ột C S Ở C Ủ A GIẢI T Í C H M Chương : MỘT s ố KHÁI NIỆM MỞ ĐÁU §1 Khơng gian mêtric §2 Khơng gian Banach 14 §3 Khơng gian Hilbert 23 §4 Phương trình vi phân 28 §5 Số gắn sai số 32 Bài tập Chương II GIẢI TÍCH s ố TRONG GIẢI TÍCH / L í thuyết nội suy 38 40 40 §1 Đa thức nội suy Lagrange 41 §2 Đa thức nội suy Nevvton 47 §3 Đa thức nội suy Hermitte 56 §4 Spline đa thức 58 II Xấp x ỉ phương pháp bình phương tối thiểu 61 §5 Xấp xỉ đéu 61 §6 Phương pháp bỉnh phương tối thiểu 68 III Vi phản tích phân s ố §7 Tính gắn đạo hàm 77 78 §8 Tính gắn tích phân, Phương pháp Monte - Carlo IV Vài v í dụ tính toán MAPLE V Bài tập Chương III 81 90 93 GIẢI TÍCH s ố TRO NG ĐẠI s ố 96 / Giải tich sỏ Đại sỏ tuyến tinh 96 §1 Mởđắu §2 Phương pháp Gauss §3 Phương pháp phản rã 96 97 99 §4 Phương pháp trực giao §5 Phân tích sai số 103 104 453 §6 Phương pháp lặp đơn 107 §7 Phương pháp Seidel 111 §8 Vấn đé tìm ma trận nghịch đảo 114 §9 Bài tốn giá trị riêng 117 §10 Vài ví dụ tính tốn Đại số tuyến tính MAPLE V 126 II Giải gần phương trình p hi tuyến §11 Mở đầu 128 §12 Phương pháp lặp đơn 130 §13 Phương pháp dây cung 133 §14 Phương pháp Nevvton 136 §15 Hệ phi tuyến 137 §16 Phương trình đại số bậff cao 140 Bài tập Chương IV 151 § Phương pháp lặp đơn 152 §2 Phương pháp Euler Euler cải tiến 156 §3 Phương pháp Runge - Kutta 160 §4 Phương pháp Adams 165 §5 Giải hệ phương trinh vi phân 168 §6 Phương pháp sai phân giải tốn biên 175 §7 Phương pháp Galerkin 178 §8 Phương pháp Coilocation 180 §9 Giải phương trình vi phân thường bẵng chương trình M A PLEV 183 GIẢI GẮN ĐÚNG CÁ C PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊN G 191 191 §2 Sự ổn định lược đổ sai phán 210 §3 Phương pháp đường thẳng 214 GIẢI GẤN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHẢN §1 Phương pháp lặp dơn §2 Phương pháp Newton - Kantorovich §3 Phương pháp hạch suy biến §4 Phương pháp mơmen phương pháp bình phương tối thiểu §5 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra - Predholm Bài tập 454 188 §1 Phương pháp lưới Bài tập Chương VI 147 GIẢI GẤN ĐÚNG C Á C PHƯƠNG TRÌNH V! PHÂN THƯỜNG Bài tập Chương V 128 224 230 230 234 236 242 246 250 Phẩn h a i M ỘT S Ố VẤN Đ Ế H IÊ N ĐẠI Chương VII MỘT s ố KHÁI NIỆM MỞ ĐÁU (tiếp theo) Chương VIII Chương IX 252 §1 Khơng gian tơpơ lói địa phương 252 §2 Không gian mêtric Không gian Banach 258 §3 Không gian Sobolev 263 PHƯƠNG TRÌNH V O LT E R R A - FRED H O LM 272 §1 Một số khái niệm 272 §2 Phương pháp lặp tổng quát 273 §3 Phương pháp xấp xỉ hai phía 279 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TH U Ộ C LOẠI E L L IP T IC 283 / S đố sa i phản phương trình vi phàn thuộc loại elliptic khơng gian H2m c 283 §1 Sự xấp xỉ hội tụ o 283 §2 Hàm riêng giá trị riêng toán tử sai phân Laplace A 290 §3 Tương tự sai phân định lí nhúng Sobolev 295 §4 ứng dụng 304 // S đồ sa i phân phương trình vi phàn thuộc loại elliptic khơng gian H 2m,p c 313 §5 Khơng gian Lp(wh) H2m,p(wh) 314 §6 Liên hệ Khơng gian Lp(G) Khơng gian Lp(wh) 319 §7 ứng dụng : Lược sai phân xác bậc bốn phương trình Poisson Chương X XẤP x ỉ BẰNG S P LIN E VÀ SỐ N G NHỎ / Xấp x i Sp/ine 326 333 333 §1 Phương pháp spline collocation phương trình vi phân, phương trình vi tích phân 333 §2 Phương pháp spline collocation hệ phương trình tích phân phi tuyến Fredholm - Volterra 339 §3 Các thuật tốn giải phương trình spline collocation Thuật tốn song song 342 §4 Hàm spline với phương trình giả vi phân 349 §5 Xấp xỉ không gian Sobolev L - spline 352 455 // xấp x ỉ sóng nhỏ 357 §6 Sóng nhỏ 357 §7 Phép biẽn đổi sóng nhỏ tích phân 365 §8 Xấp xỉ sóng nhỏ phương trình giả vi phân 375 Chương XI GIẢI XẤP x ỉ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ 390 §1 Phép lặp ẩn, tốn tử đặc (condensing) 390 §2 Phương pháp điêu chỉnh Bài tốn biến phân đa trị phi tuyến 399 §3 Phương pháp khơng khớp khơng gian tơpơ lói địa phương 414 Đáp số hướng dẫn giải tập 433 Tài liệu tham khảo 446 CONTENTS F o rew o rd Part one B A SIC O F NU M ERICAL A N A LY S IS Chapter I BA CKG RO U N D M A TER IA LS §1 M etricspaces §2 Banach spaces 14 §3 Hilbert spaces 23 §4 Differential equations 28 §5 Approximation numbers and errors 32 Exercices Chaptèr II NUM ERICAL A N A LY S IS IN M ATHEM ATICAL A N A LY SIS / Interpolation theory 40 40 §1 Lagrangian interpolates 41 §2 Newtonian interpolates 47 §3 Hermitian interpolates 56 §4 Polynomial spline 58 II Uniỉorm approximatìon and least square methods 61 §5 Uniíorm approximation 61 §6 Least square methods 68 III Numerícal ditterentiation and integration 77 §7 Numerical ditíerentiation 78 §8 Numerical integration Monte-Carlo method 81 IV Computation exampies on M APLE V Exercices 456 38 90 93 Chapter III NUMERICAL ANALYSIS IN ALGEBRA / Numericaí analysis in linear algebra §1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8 §9 Introduction G auss method Splitting method Orthogonal method Error analysis Simple iteration method Seidel method Problems on inverse matrix Eigenvalue problem §10 Examples on computing linear algebra on MAPLE V // Numerical anaỉysis o f nonlinear equations 96 97 99 103 104 107 111 114 117 126 128 128 §12 Simple iteration method 130 §13 Cord method 133 §14 Newton method 136 §15 Nonlinear systems 137 §16 Algebraic equations of high degree 140 NUMERICAL ANALYSIS OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS 147 151 §1 Sinple iteration method 152 §2 Euler and modiíied Euler method 156 §3 Runge - Kutta method 160 §4 Adams method 165 §5 System s of differential equations 168 §6 Diííerence method for boundary value problems 175 §7 Galerkin method 178 §8 Collocation method 180 §9 Computation on MAPLE V 183 Exercices Chapter V 96 §11 Introduction Exercices Chapter IV 96 N U M ERICAL A N A LY SIS OF PARTIAL D IFFE R E N T IA L EQ UATIO NS 188 191 §1.Netm ethod 191 §2 Stability of difference scheme 210 §3 Line method 214 Exercices 224 457 Chapter VI N U M ERICA L A N A LIS IS F IN T E R G R A L EQ U A TIO N S 230 §1 Simple iteration method 230 §2 Newton - Kantorovich method 234 §3 Degenerate kernel method 236 §4 Moment method and least square method 242 §5 Volterra - Fredholm linear integral equation 246 Exercices 250 Part two S O M E M O DERN P R O B L E M S Chapter VII Chapter VIII Chapter IX B A CK G R O U N D M A TER IA LS (CO N TỈN U ED ) 252 §1 Uniíormly convex topological spaces 252 §2 Metric spaces Banach spaces 258 §3 Sobolev spaces 263 V O L T E R R A - FRED H O LM IN TE G R A L EQ U A TIO N S 272 §1 Som e dinitions 272 §2 Ganeral iteration method 273 §3 Two sides approximation 279 DIFFERENCE METHOD FOR DIFFERENTlAL EQUATIONS OF ELLIPTIC TYPE 283 / Dìfference sch e m e s for differential equations o f e llìp tic type in sp a ces H2m and c 283 §1 Approximation and Convergence 283 §2 Eigenvectors and eigenvalues of Laplace diííerence operator A 290 §3 Ditíerence analog of Sobolev imbedding theorems 295 §4 Applications 304 II Ditterence schem es for ditterential equations o íellip tic type in spaces H2m,p a n d C §5 The spaces Lp(wh) and 313 H2m,p(wh) §6 Relation between the spaces Lp(G) and Lp(wh) 314 319 §7 Applications : Diííerence schem e with accuracy of order for Poisson equation 458 326 Chapter X S P L IN E AND VVAVELET APPROXIM ATION , / Spline approximation §1 Spline collocation me thods 333 333 for diííerential equations, integro - diííerential equations §2 Spline collocation methods for systems of nonlinear equations 333 339 §3 Algorithms for spline collocation equations Parrallel algorithm 342 §4 Splines and pseudo—differential equations 349 §5 L - Spline approximation 352 // Wave!et approximation 357 §6 VVavelets 357 §7 Integral vvavelet transíorm 365 §8 Wavelet approximation of pseudo—differential equations 375 A PPRO XIM A TE SO LU TIO N OF O P ER A T O R EQ U A TIO N S 390 §7 Implicit iteration method Condensing operators 390 §8 Regularization methods Nonlinear set -valued variational problems 399 §9 Discrepancy method in uniíormly convex topological vector spacẹs 414 Chapter XI Answers and hints to exercices 433 Reíerences 446 459 ... phương trình Black-Scholes, với tốn biên phi tuyến mà khơng sử dụng giải tích số máy vi tính khơng th ể giải Như giải tích số quan trọng cần thiết cho khoa học cơng nghệ Do dù nước có nhiêu sách... (và G.p Alcilov) với sách Giải tích hàm” (1984) v.v Nhiều nhà tốn học khác quan tâm đến nhiều lĩnh vực (*) Giám đốc Phòng Giải tích số, ĐHTH Marie Curie, Paris (**) Giải thưởng Fields với bố,... dụng chươììg trình MAPLE V số chỗ Cuối chương phần có tập Phán Hai gồm nám chương Phẩn nhằm đưa độc giả đến số hướng đại giải tích số, đặc biệt để độc giả làm quen với số kết nghiên cứii gần tác