Chuyên đề VDC tổ hợp xác suất

Chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp, tính xác suất để được 6 viên bi có cả ba màu đồng thời hiệu của số bi xanh và bi đỏ, hiệu của số bi trắng và số bi xanh, hiệu của số bi đỏ và số bi trắn

TỔ HỢP – XÁC SUẤT

Câu 1: [1D2-2-4] Một quán cafe nhạc cần trang trí một

bức tường vuông được chia thành 4 ô như hình

vẽ Có bao nhiêu cách để người thợ sơn có thể

dùng 4 màu khác nhau để sơn tấm tường này

sao cho những ô vuông cạnh nhau không có

màu trùng nhau?

Lời giải Chọn C.

Trường hợp 1:  1 và  3 cùng màu

 1 có 4 cách chọn;  3 có 1 cách chọn;  2 có 3 cách chọn;  4 có 3 cách chọn

4.1.3.3 36

Trường hợp 2:  1 và  3 khác màu

 1 có 4 cách chọn;  3 có 3 cách chọn;  2 có 2 cách chọn;  4 có 2 cách chọn

5 là hạt giống đậu đỏ Do bao hạt giống này bị lỗi nên chỉ

Gọi số hạt giống trong bao là 10n số hạt giống đậu xanh là 6n, số hạt giống đậu đỏ là 4n Số hạt giống đậu xanh nảy mần là 4n, số hạt giống đậu

đỏ nảy mần là 3n.

Số phần tử không gian mẫu là n  10n.

Gọi A là biến cố thỏa đề bài  n A  4n

Xác suất cần tìm là    

 

25

Câu 3: [1D2-4-4] Cho đa giác đều  H có 12 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O Có

bao nhiêu hình thang cân có 4 đỉnh là đỉnh của  H

Lời giải Chọn A.

Gọi d là trục đối xứng của hình thang cân có 4 đỉnh là đỉnh của  H

Trường hợp 1: d đi qua hai đỉnh của  H

là đỉnh của  H

Nếu đa giác  H có 2 1k đỉnh k  thì có 2 2k1C k2 hình thang cân có 4đỉnh

là đỉnh của  H

Câu 4: [1D2-4-4] Cho đa giác đều  H có 18 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn

tâm O Gọi X là tập hợp các tam giác có các đỉnh là đỉnh của  H Tính xác

suất để chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân nhưng không

phải là tam giác đều

Không gian mẫu  là số cách chọn 3 đỉnh trong 18 đỉnh của  H , do đó:

3

18 816

C

Gọi A là biến cố cần tính xác suất.

Gọi d là trục đối xứng của tam giác cân có 3 đỉnh là đỉnh của  H Có 18 trục đối xứng

Ứng với mỗi trục đối xứng có 8 tam giác cân, trong đó có 1 tam giác đều

Câu 5: [1D2-4-4] Bạn A chọn ngẫu nhiên một số từ nhiên từ 1 đến 2018, bạn B

chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên từ 1 đến 4016 Tính xác suất để số bạn A chọn luôn bé hơn số bạn B chọn.

Số phần tử của không gian mẫu  2018.4016

Giả sử bạn A chọn được số tự nhiên x , thì số tự nhiên bạn B chọn có

Câu 6: [1D2-4-3] Gieo 1 con súc sắc đồng chất, cân đối 6 lần Tính xác suất để

được một số lớn hơn bằng 5 xuất hiện ít nhất 5 lần là

Lời giải Chọn A.

Số phần tử của không gian mẫu  66

TH1: có đúng 5 số 5 có 5

65.C cách

TH2: có đúng 5 số 6 có 5

65.C cách

Câu 7: [1D2-2-4] Xếp 2 viên bi xanh khác nhau, 3 viên bi đỏ giống hết nhau và

một viên bi vàng thành một hàng ngang Có bao nhiêu cách xếp 6 viên bi trên sao cho không có 2 viên bi cùng màu nào đứng cạnh nhau

Lời giải Chọn D.

Cách 1: Xếp 2 xanh và 1 vàng có 6 cách trong đó có 2 cách vàng ở giữa

Cách 2: Do có 4 viên bi đỏ mà 2 viên cùng màu khác nhau cạnh nhau thì

bắt buộc phải có ít nhất 1 viên đỏ đứng đầu hoặc cuối hàng

¾ ^Đ^Đ^Đ  có 3! Cách.

¾ Đ^Đ^^Đ  Trùng với TH1 3

¾ Đ^^Đ^Đ  Trùng với TH1 2

 có 3!.2 4 4 20   cách

Câu 8: [1D2-4-4] Một hộp chứa 5 viên bi đỏ, 6 viên bi xanh và 7 viên bi trắng

Chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp, tính xác suất để được 6 viên bi có cả ba màu đồng thời hiệu của số bi xanh và bi đỏ, hiệu của số bi trắng và số bi xanh, hiệu của số bi đỏ và số bi trắng theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp củamột cấp số cộng

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp chứa 18 viên bi

18 18564

C

Gọi A là biến cố "6 viên bi được chọn có cả ba màu đồng thời hiệu của số

bi xanh và bi đỏ, hiệu của số bi trắng và số bi xanh, hiệu của số bi đỏ và số

bi trắng theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng "

Gọi , ,x y z lần lượt là số bi đỏ, bi xanh và bi trắng được lấy Suy ra

¾ Hiệu của số bi xanh và bi đỏ là y x

¾ Hiệu của số bi trắng và bi xanh là z y

¾ Hiệu của số bi đỏ và bi trắng là x z

Theo giả thiết, ta có y z   x z  2z y   y z 2y z   y z

Do đó biến cố A được phát biểu lại như sau "6 viên bi được chọn có cả ba

màu đồng thời số bi xanh bằng số bi trắng " Ta có các trường hợp thuận lợi

cho biến cố A như sau:

● Trường hợp 1 Chọn 2 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh và 2 viên bi trắng

Câu 9: [1D2-2-3] Có 16 học sinh gồm 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình Có bao

nhiêu cách chia số học sinh thành 2 tổ , mỗi tổ có 8 người, đều có học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh

Lời giải Chọn A.

Mỗi tổ có học sinh giỏi suy ra số học sinh giỏi ở mỗi tổ hoặc là 1 hoặc là 2

Vì mỗi tổ đều có học sinh khá, suy ra số học sinh khá ở mỗi tổ là 2 hoặc 3

Khi đó ta có số học sinh giỏi, khá, trung bình ở mỗi tổ tương ứng như sau

Như vậy có hai trường hợp bị trùng

Vậy chỉ còn hai trường hợp

Trường hợp 1: số cách chọn một tổ nào đó có 1 giỏi, 2 khá, 5 trung bình

¾ Bài toán này chỉ là bài toán chia thành 2 tổ (không có thứ tự) Học sinh

có thể hiểu sai đề và nhân đôi kết quả

¾ Một sai lầm nữa của bài toán là học sinh có thể chọn học sinh trong tổ 1

và ứng với mỗi cách chọn học sinh của tổ 1 thì có 1 cách chọn số học sinhcủa tổ 2 từ đó dẫn đến sai lầm

¾ Nếu kẻ bảng như trên và nhấn mạnh cái không có thứ thự chia tổ, họcsinh sẽ hiểu bài toán một cách rõ ràng

Câu 10: [1D2-2-4] Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số mà tích của các chữ số

bằng 1800

Lời giải Chọn B.

Câu 11: [1D2-4-4] Cho đa giác 20 đỉnh nội tiếp đường tròn, gọi  S là tập hợp

các đường thẳng đi qua 2 trong số 20 đỉnh đã cho Chọn hai đường thẳng bất kì thuộc tập  S Tính xác suất để được chọn được hai đường thẳng mà

giao điểm của chúng nằm bên trong đường tròn

Số phần tử thuộc tập  S bằng 2

20 190

C  Chọn hai phần tử thuộc  S suy ra: 2

190( )

n C

Nhận thấy: hai đường có giao điểm nằm bên trong đường tròn là hai đường

chéo của tứ giác Chọn một tứ giác có 4

20

C cách.

Xác suất cần tính bằng

4 20 2 190

1763

C

C  .

Câu 12: [1D2-4-4] Chọn ngẫu nhiên một số nguyên thuộc 1;500 Tính xác suất 

để chọn được một số là ước của 10800?

Số phần tử không gian mẫu: ( ) 500n   .

Số ước lớn hơn 500 bằng số nhỏ hơn hoặc bằng 20 (phần nguyên của 10800

500)

Các ước nhỏ hơn 20 là 1, 2, 4, 8, 16, 3, 9, 5, 6, 12, 18, 10, 15, 20 có 14 ước

Vậy số ước nhỏ hơn 500 bằng 60 14 46 

500 250 .

Câu 13: [1D2-2-3] Đội sinh viên tình nguyện gồm 12 bạn nam, 4bạn nữ Chia

ngẫu nhiên thành 4tổ, mỗi tổ 4 bạn sao cho có ít nhất hai tổ có nữ Hỏi có bao nhiêu cách chia?

Lời giải Chọn B.

Xét trường hợp phủ định chỉ có đúng một tổ có nữ khi đó tổ đó có đúng 4bạn nữ, ba tổ còn lại mỗi tổ 4 bạn nam Nên số cách chia là: 12 84 4

Câu 14: [1D2-4-4] Từ các tập con của tập A 1, 2, 3, , 2018 , người ta chọn

ngẫu nhiên ra hai tập Tính xác suất của biến cố cả hai tập được chọn đều khác rỗng đồng thời có số phần tử là một số chẵn nhỏ hơn 1009

C P C



2 1008 2 2018

C P C

C P C



2018

2 2 2 2

C P C

Lời giải Chọn C.

C P C



Câu 15: [1D2-2-4] Trong kỳ thi KSCL các môn thi THPT QUỐC GIA dành cho

khối 12 của trường THPT Triệu Sơn 4 có tất cả 10 phòng thi Có 7 em học

sinh lớp 11 cũng đăng kí dự thi Hỏi có bao nhiêu cách xếp 7 em học sinh này vào phòng thi nếu một phòng thi có 3 em và hai phòng thi mỗi phòng

có 2 em

Lời giải

Miền đa giác ABCD là hình bình hành như hình vẽ Vẽ đường thẳng

3 3

y x

Miền đa giác ABCD có 5.5 25 điểm có tọa độ nguyên Vậy n S   25 Điểm

 ; 

M x y thỏa mãn yêu cầu bài toán khi nó thuộc miền tam giác MDC

( không kể cạnh MC ) Miền này có 9 điểm có tọa độ nguyên

Vậy xác suất cần tìm là 9

25.

Câu 17: [1D2-4-3] Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi S là tập hợp tất cả các điểm

 ; 

M x y với , x y  và x 6, y6 Lấy ngẫu nhiên một điểm M S Tính

xác suất để điểm M thỏa mãn hệ thức: ME MF 10 với E4;0 , F 4;0

Vậy xác suất cần tìm là: 45

169.

Câu 18: [1D2-4-4] Từ ba chữ cái V, D, C ta xếp chúng thành 1 dãy có 2019 chữ

cái Hỏi xác suất để xếp được dãy mà các chữ cái V, D, C đều xuất hiện số

Nếu tổng quát gọi x là số dãy có n n2m1 chữ cái VDC ở trên n  3

Tổng số dãy tạo thành là 3n

Do số các chữ cái là số lẻ nên ta có:

Nếu x thỏa mãn đề bài hay cả ba chữ cái VDC đều xuất hiện lẻ lần thì ta có n

3 cách thêm 2 chữ cái giống nhau vào cuối để được dãy x n2

Nếu x không thảo mãn đề bài và do số chữ cái là số lẻ nên sẽ có hai chữ n

cái xuất hiện chẵn lần và một chữ cái xuất hiện lẻ lần Như vậy ta cũng có hai cách thêm hai chữ cái bất kỳ từ các chữ cái VDC vào cuối để được dãy2

Câu 19: [1D2-2-4] Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số thỏa mãn đồng thời

các điều kiện sau: Hai chữ số đứng cạnh nhau thì khác nhau, các chữ số đứng giữa thì khác chữ số đứng đầu và đứng cuối

Lời giải Chọn B.

Giải: Gọi X 0, 1, , 9 và số thỏa đề là: aa a a a a a a  1 2 3 4 5 6 7, 1 0

Có 2 trường hợp xảy ra:

Trường hợp này có 9.9.8.741555848 số.

Vậy tổng cộng có 331776 1555848 1887624  số

Câu 20: [1D2-4-4] Cho một tập hợp X có 10 phần tử Một người chọn ngẫu

nhiên ba tập con khác nhau của tập X Tính xác suất (chính xác đến hàng

phần nghìn) để giao của mỗi hai trong ba tập con được chọn đều có 2 phần

tử và giao của ba tập con được chọn có 1 phần tử

Lời giải Chọn C.

Dùng biểu đồ Ven biểu diễn ba tập con Các tập con nhỏ được đánh số

1, 2, 3, 4 có 1 phần tử còn các tập con nhỏ không đánh số có thể rỗng

Do số tập con của tập hợp X là 210 nên số phần tử của không gian mẫu là

3 1024

C

Ta sẽ đếm số phần tử của không gian thuận lợi cho biến cố A trong bài

bằng cách lựa phần tử cho các tập con được chọn

Bước 1: chọn phần tử cho giao ba tập con (tập con đánh số 1) Bước này có

10 cách

Bước 2: chọn 3 phần tử cho 3 giao của hai tập con (các tập con đánh số

2, 3, 4), mỗi giao có 1 phần tử Bước này có 3

9

C cách.

Bước 3: quyết định xem 6 phần tử còn lại thuộc tập con nào hoặc không

thuộc cả ba (các tập con không đánh số), mỗi phần tử có 4 cách lựa chọn Bước này có 46 cách

10 .4C 0,019P

C

Câu 21: [1D2-4-4] Một chiếc hộp đựng 8 viên bi màu xanh được đánh số từ 1

đến 8, 9 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 9 và 10 viên bi màu vàng được đánh số từ 1 đến 10 Một người chọn ngẫu nhiên 3 viên bi trong hộp Tính xác suất để 3 viên bi được chọn có số đôi một khác nhau

Cách 1 (Cô Nguyễn Thắm)

Số phần tử của không gian mẫu là  C273 2925

Để đếm số phần tử của không gian thuận lợi cho biến cố A trong bài ta chia

nhiều trường hợp theo số màu của 3 viên bi được chọn

Cách 2 (Thầy Nguyễn Thanh Hải)

Nhận thấy số viên bi mang cùng số thuộc tập hợp X 1; 2; 3; ; 8 đều là 3,trong chỉ có 2viên bi mang số 9 và 1 viên bi mang số 10 Vì vậy để đếm số

phần tử của không gian thuận lợi cho biến cố A trong bài ta chia nhiều

trường hợp theo việc ba viên bi có viên nào mang số 9 hoặc số 10 haykhông

TH 1: có đúng một viên bi mang số thuộc tập hợp X

viên bi mang số thứ nhất, chọn một viên bi mang số thứ hai, chọn một viên

bi trong ba viên bi mang số 9 hoặc số 10

TH 3: cả ba viên bi mang số thuộc tập hợp X

Câu 22: [1D2-4-4] Cho A là tập hợp các số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau

được lập thành từ tập hợp X 1; 2; 3; 4; 5; 8 Chọn ngẫu nhiên 2số từ tập A

Tính xác suất để hai số được chọn có các chữ số khác nhau và có tổng bằng 19?

Gọi B: ''hai số được chọn có các chữ số khác nhau và có tổng bằng 19''

Từ tập hợp X 1; 2; 3; 4; 7; 8 lập được 30 số tự nhiên có 2 chữ số khácnhau

Câu 23: [1D2-4-4] Cho tậpX 4; 5; 6; 7; 8 Viết ngẫu nhiên lên bảng 2 số tự

nhiên , mỗi số có 3 chữ số đôi một khác nhau lập từ X Tính xác suất để

Từ tập X lập được 5.4.3 60 số tự nhiên đôi một khác nhau

Số các số có mặt chữ số 4là 3.4.3 36 số Số các số không có mặt chữ số 4

là 24 số

Gọi A là biến cố hai số viết lên bảng đều có mặt chữ số 4.

B là biến cố hai số viết lên bảng không có mặt chữ số 4.

C là biến cố hai số viết lên bảng có đúng một số có chữ số 4.

Số phần tử của không gian mẫu là:  C213

Gọi A là biến cố 3 bi được chọn có số khác nhau

Để tính số phần tử của biến cố A ta loại trừ các trường hợp sau:

Trường hợp 1 Cả ba bi lấy được ghi cùng 1 số: Có 6 trường hợp như vậy Trường hợp 2 Có đúng 2 bi ghi số giống nhau:

Khả năng 1 2 bi ghi số giống nhau từ 1 đến 6: Có 2

3

6.C cách chọn 2 trong

ba bi ghi cùng 1 số nào đó Bi còn lại có 18 cách chọn (khác số với hai bi

3

6 .18C cách chọn

Khả năng 2 2 bi ghi số giống nhau là số 7: Có 1 cách chọn hai bi ghi số

giống nhau là số 7 Có 19 cách chọn bi còn lại Khả năng này có 19 cáchchọn

Vậy số phần từ của biến cố A là: A    6 6 18 19 981 C32  

Khả năng 1 Bi vàng được chọn ghi số 7 Khi đó có 6 cách chọn bi xanh Khả năng 2 Bi vàng được chọn ghi số bé hơn 7 Khi đó bi vàng có 6 cách

chọn, bi xanh có 5 cách chọn

Trường hợp 1 có 6 6.5 36  cách chọn

Trường hợp 2 Bi đỏ được chọn ghi số 7 Khi đó bi vàng có 6 cách chọn (từ

1 đến 6) và bi xanh có 5 cách chọn (vì ghi số phải khác số bi vàng) Trườnghợp này có 6.5 30 cách chọn

Trường hợp 3 Bi đỏ được chọn ghi số bé hơn 7 Bi đỏ có 6 cách chọn Khả năng 1 Bi vàng được chọn ghi số 7 Khi đó bi xanh có 5 cách chọn

Với 10 số tự nhiên từ 0 đến 9 ta chia là 5 nhóm, mỗi nhóm gồm 2 chữ sốđồng dư với nhau khi chia cho 5

Gọi số cần lập là abcd

Rõ ràng với mỗi cách chọn ba chữ số , ,a b c có hai cách chọn chữ số d để

tổng của chúng chia hết cho 5

Do đó, số các số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 5 đúng bằng hailần số cách chọn số có ba chữ số abc

Vậy nên số cách chọn là 9.10 2 18002  số

Câu 27: [1D2-4-4] Cho tập A 0;1;2;3;4;5;6 Gọi S là tập hợp gồm 5 chữ số

khác nhau chọn từ các phần tử của tập A Chọn ngẫu nhiên một số từ tập

S Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 15.

Số phần tử của tập S là 6.6.5.4.3 2160

Gọi  là không gian mẫu Khi đó n    2160.

Gọi B là biến cố: “Số được chọn chia hết cho 15”.

Gọi abcde là số có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 15 chọn từ các phần

tử của tập A

Ta có 15 3.5, 3,5 1    Do đó abcde15 abcde5 và abcde3

TH1 e Khi đó 0 abcde3a b c d   3 khi và chỉ khi

Vậy trong trường hợp này có 5.4! 5! 120  số tự nhiên

TH2 e Khi đó 5 abcde3 a b c d   5 3  a b c d   :3 dư 1 khi và chỉ khi

Câu 29: [1D2-4-3] Cho đa giác đều 12 cạnh Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa

giác đó Tính xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không

có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho

Ta có: n  C123

Số tam giác có 2 cạnh trùng với cạnh của đa giác là: 12

Số tam giác có đúng 1 cạnh trùng với cạnh của đa giác là: 12 12 4  

 Số tam giác có cạnh không trùng với cạnh của đa giác là:

P C

Câu 30: [1D2-4-4] Có 2 hộp đựng bi, trong mỗi hộp chỉ có bi màu đỏ và màu

đen Tổng số bi của hai hộp là 20 Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi Biết xác suất để chọn được hai bi màu đỏ là 55

84 Xác suất để chọn được 2 bimàu đen là

Gọi ,x y là số bi của mỗi hộp Ta có x y 20 với x y  và , * x y , 20

Ta có  

21002

14

x y

Lại có 55 11.5 nên hộp 1 có 11 bi đỏ và 3 bi đen; hộp 2 có 5 bi đỏ và 1 bi đen.

Xác suất để chọn được 2 bi màu đen là: 3.1 1

84 28 .

Câu 31: [1D2-2-4] Cho đa giác đều có 100 Số tam giác tù tạo thành từ 3 trong

100 đỉnh của đa giác là

A 44100 B 58800 C 78400 D 117600.

Lời giải Chọn D.

Đánh số các đỉnh là A A1, 2, , A100

Xét đường chéo A A của đa giác là đường kính của đường tròn ngoại tiếp 1 51

đa giác đều chia đường tròn ra làm hai phần, mỗi phần có 49 điểm: từ A 2đến A và 50 A đến 52 A 100

Khi đó, mỗi tam giác có dạng A A A là tam giác tù nếu 1 i j A và i A cùng nằm j

trong nửa đường tròn

Câu 32: [1D2-4-4] Cho tập A 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 Gọi S là tập các số tự

nhiên có 4 chữ số lập từ A Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất để số

được chọn chia hết cho 6 bằng

Tập S có 94 phần tử

Gọi số thỏa mãn biến cố là aa a a Do 1 2 3 4 aa a a1 2 3 46 aa a a1 2 3 42