Giải toán hình học bằng CASIO TOÁN 12

Cách giải nhanh tốn hình học khơng gian casio - Độ dài đoạn thẳng - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, đường thẳng - Khoảng cách hai đường thẳng - Góc hai đường thẳng, hai mặt phẳng, đường thẳng mặt phẳng - Thể tích khối đa diện - Diện tích hình - Quan hệ song song, vng gióc II Bổ sung kiến thức : Cho khối chóp S.ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A', B', C' khác với S Ta có: V S A ' B 'C ' V S ABC  SA ' SB ' SC ' SA SB SC Xác định tọa độ điểm không gian Tọa độ hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng Oxy H(a;b) ta tính AH=c, kho A có tọa độ A(a;b;c) với giả sử thành phần tọa độ A nằm phần dương Phương trình tổng quát mp   có dạng: Ax + By + Cz + D =  Với A2  B2  C  ; n   A; B; C  VTPT mp   Chú ý   Giả sử mp   có cặp VTCP a   a1; a2 ; a3  b   b1; b2 ; b3  Nên có VTPT là:     a a a a aa  n   a , b    ; ;   b2b3 b3b1 b1b2  Phương trình mặt phẳng toạ độ: (Oxy) : z = ; (Ozy) : x = (Oxz) : y =  Phương trình mặt phẳng có VTPT n   A; B; C  điểm qua M  x0 ; y0 ; z0  A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   Để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm VTPT VTCP qua điểm Khoảng cách a Khoảng cách hai điểm AB AB   xB  xA    yB  yA    zB  z A  2 b Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0 ; z0) đến mp   : Ax + By + Cz + D = d  M ,     Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C c Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng d Lấy M0  d  Tìm VTCP đường thẳng d u    M M1 , u    d  M1 , d    u d Khoảng cách hai đường thẳng chéo   /   Gọi u u / VTCP   /  qua điểm M0 , M 0/   /   u, u /  M M /   0 d  ,  /    u, u /    Chọn hệ trục tọa độ Phần quan trọng phương pháp cách chọn hệ trục tọa độ, khơng có phương pháp tổng qt để lựa chọn hệ trục cần tìm cạnh đơi vng góc với nhau, có tốn lựa chọn nhiều hệ trục tọa độ chọn hệ trục tọa độ cho việc tìm tọa độ điểm dễ dàng nhiều số tốt nhất, có toán việc tạo hệ trục tọa độ phức tạp dẫn đến việc tính tọa độ chúng gặp khó khăn phải theo hướng giải theo phương pháp truyền thống Tóm lại cần ý  Hệ trục tọa độ nằm đường thẳng đơi vng góc  Gốc tọa độ thường chân đường cao hình chóp, lăng trụ có đáy hình vng, hình chữ nhật, tam giác vng trung điểm cạch đó, theo giả thiết toán…  Một số cách chọn hệ trục tọa độ Tứ diện Hình chóp đáy tứ giác lồi Hình lăng trụ xiên, lăng trụ đứng tương tự hình chóp, riêng hình hộp có nhiều cách lựa chọn hệ trục tọa độ II Bài tập minh họa Các tập qui ước với a=1 khơng nói thêm Câu Đề minh họa BGD 2017 Cho tứ diện ABCD có cạnh AB,AC,AD đơi vng góc với AB=6a, AC=7a, AD=4a Gọi M,N,P tương ứng trung điểm cạnh BC, CD, DB Tính thể tích V tứ diện AMNP A a B 14a C 28 a D 7a Do AB;AC; AD đơi vng góc với chọn hệ trục tọa độ Oxyz theo hình vẽ ta cần tính thể tích tứ diện AMNP ta cần tìm tọa độ A;M;N;P, M; N;P trung điểm BC; CD; BD ta có tọa độ đỉnh 7 sau A(0;0;0); M ( ;3;0); N ( ;0; 2); P(0;3; 2) x1 Sử dụng cơng thức tính thể tích chóp tam giác V  y1 z1 x1 V  x2 x3 x2 y2 z2 x3 y3 z3 y1 y2 y3 z1    z2 với ( xi ; yi ; zi ), i  1, 2,3 tọa độ AM ; AN ; AP ta z3  khơng phải tính trực tiếp mà nhập vào máy tính ví dụ tính AM nhập  0;3  0;0  ví dụ điểm tương đối dễ tính nhẩm em tính nhẩm ngay, ví dụ khác để tránh nhầm lần ta nên nhập Trước tiên ta vào chế độ matrận w6 Chọn 1;2;3 chế độ lưu ma trận, có ma trận mxn tức m dòng, n cột ta quan tâm đến dòng, cột tức chọn 3x3 hình trên, ô ta nhập phép thực “ ngọn- gốc” vectơ , theo hàng ngang hàng dọc được, sau khỏi hình lệnh C Tiếp ta nhập lệnh q47 Tiếp tục nhập lệnh q43 ( ta nhớ vào ma trận A, 4,5 nhớ vào ma trận B, C bước ban đầu ) lệnh = kết ( lấy giá trị dương) Vậy thể tích 42  đáp án D Câu Đề minh họa BGD 2017 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a Tam giác SAD cân S mặt bên (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S.ABCD a Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) A a B a C a D a Do (SAD) vng góc với đáy, tam giác SAD cân S nên gọi O trung điểm AD, SO vng góc với đáy chọn hệ trục tọa độ oxyz 3 hình vẽ ta có V   SO.2  SO  ,yêu cầu tính khoảng cách từ B đến (SCD) ta có tạo độ đỉnh sau O(0;0;0); S(0;0;2); C ( 2; 1 ;0); D(0; ;0); B( 2;  ;0) 2 Ta viết phương trình mặt phẳng (SCD) qua điểm S;C;D có dạng ax+by+cz+d=0   Trong (a; b; c)  u1; u2  hai vtcp mặt phẳng ta sử dụng lệnh w8 Chọn vec tơ A B,C tùy ý chọn A không gian chiều chọn   Ta nhập vec tơ phương mặt phẳng vào ta lấy SC; SD ta nhập “ ngọn- gốc” vectơ ta Tương tự ta nhập vào vectơ B lệnh q5121 Ta Tiếp theo ta tính tích có hướng hai vectơ A B lệnh q5 Vậy mp có dạng 2,83y+z+d=0 -> d=2,83y-z nhập hình sử dụng lệnh r cho qua điểm, cho qua điểm S(0;0;2) y=0, z=2 ta d=-2 Khi phương trình mặt phẳng (SCD) 2,83y+z-2=0 Ta tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) từ cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Đáp án B Câu Đề minh họa BGD 2017 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  2a Tính thể tích khối chóp S.ABCD A 2a B 2a C 2a3 D 2a 3 Ở em để ý sử dụng phương pháp tọa độ hóa sai lầm lâu việc sử dụng phương pháp truyền thống thầy đưa em thấy đừng có thần thánh phương pháp hết phải kết hợp nhuần nhuyễn sử dụng linh hoạt phương pháp cho phù hợp Ta có S=1 nên V  đáp án D Câu Đề minh họa BGD 2017 Tính thể tích V khối lập phương ABCDA’B’C’D’ biết AC '  a A V  a3 B 6a V C V  3a3 D V  a3 Tương tự câu 3, câu ta gọi hình vng cạnh x ta có A 'C  x  AC '2  AA '2  A ' C '2  3a  x  2x  x 1 V 1 Đáp án A Câu Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SC tạo với đáy góc 45 Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) A a B a C a D a 3 Do SA vng góc đáy , SC tạo đáy góc 450 nên góc SCA =600, AC   SA  AC tan 450  AC  Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, yêu cầu tính khoảng cách từ B đến (SCD) ta cần tọa độ đỉnh S,B,C,D ta có A(0;0;0), B(1;0;0), C(1;1;0), D(0;1;0), S (0;0; 2) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (SCD),   Mặt phẳng (SCD) có hai vtcp SC; SD , qua điểm S ta nhớ chúng vào vectơ A,B,C với véc tơ C tọa độ điểm S Hệ số -d phương trình mặt phẳng (SCD) –d=ax+by+cz Chú ý dấu phép tính tích vơ hướng từ lệnh q57 Khi ta có phương trình mặt phẳng ( làm tròn số ) 1,41y+z-1,41=0 khoảng cách từ B(1;0;0) đến (SCD) So sánh với đáp án toán ta đáp án A Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc SC mặt phẳng (ABCD) 450.Khoảng cách hai đường thẳng SB AC A 10 B C 10 D 10 Tương tự SA vng góc với đáy nên góc SC mặt phẳng đáy góc SAC =450 nên SA  Ta chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, u cầu tính khoảng SB AC ta có tọa độ điểm sau A(0;0;0), B(1;0;0), C(1;1;0), D(0;1;0), S (0;0; 2) Sử dụng công thức tính khoảng cách hai đường thẳng   | [u1 , u2 ].M 1M |  d | [u1 , u2 ] |   với u1 , u2 vtcp hai đường thẳng M1; M hai điểm qua hai đường thẳng Hay ta sử dụng công thức d x1 Trước tiên tính y1 z1 x2 y2 z2 x1 y1 z1 x2 x3 y2 y3 z z  2 |[u1 , u2 ] | x3    y3 hướng dẫn với vec tơ SB; AC; AB ( z3 vtcp véc tơ qua hai điểm A B đường thẳng) nhớ vào phím A   Tương tự tính |[SB, AC ] | So sánh với đáp án toán đáp án D Câu Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A’C mặt phẳng đáy 600 Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’) A a 13 B 13a 13 C 3a 13 D a 13 Ta có A’H vng góc với đáy nên góc đường thẳng A’C mặt phẳng đáy góc A’CH=600 Ta có CH  3  A ' H  Ta chọn hệ trục tọa độ hình vẽ 2 Khi tọa độ đỉnh H(0;0;0) , B( ;0;0); C (0;   3 ;0).A'(0;0; ); A(  ;0;0) 2   Có vtcp (ACC’A’) AA '; AC  vtpt [ AA ', AC ] Ta d phương trình mặt phẳng ax+by+cz=-d cho mặt phẳng qua điểm A’ ta nhập điểm A’ vec tơ C tích vơ hướng với véc tơ vừa tính –d Vậy phương trình mặt phẳng kết làm tròn -1,3x+0,75y+0,43z-0,65=0 Ta tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng So sánh với đáp án đáp án C Câu Cho hình chóp S.ABCD cáo đáy ABCD tam giác vuông B, AC=2a,  ACB  300 Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt đáy trung điểm cạnh AC SH  a Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) A 66a 11 B 66a 11 C 66a 11 D 66a 11 Trong tam giác vng ABC ta có AC=2a,  ACB  300 AB  AC sin  ACB  2.sin 300  1, BC  cos300 AC  Do SH  ( ABCD) tam giác ABC vuông B nên từ B ta kẻ song song với SH chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, yêu cầu tính khoảng cách từ điểm C đến (SAB) ta có tọa độ điểm B(0;0;0), A(1;0;0), C (0; 3;0);S(1; ; 2) Viết phương trình mặt phẳng (SAB) tương tự câu trước ta véc tơ pháp tuyến hệ số -d mặt phẳng Khi phương trình mặt phẳng (SAB) -1,414y+0,866z=0 khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) Đối chiếu với đáp án ta đáp án B Sử dụng đề chung cho hai câu Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC vng B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a Gọi M trung điểm A’C’, I giao điểm AM A’C Câu Thể tích khối tứ diện IABC 4a A 4a B a3 C a3 D Do hình lăng trụ đứng tam giác ABC vuông B nên ta chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, khơng để hệ trục tọa độ đáy ta cần tính thể tích hình chóp IABC nên việc ta chọn hệ trục cho việc tìm tọa độ dễ dàng nhiều tọa độ AB  1, AA '  2, A ' C   AC  A ' C -AA'2   AC  BC  AC  AB  Khi ta có tọa độ điểm B(0;0;0); C(2;0;0), A(0;1;0), A’(0; 1;-2) Tìm tọa độ điểm I, thay tìm trực tiếp ta dễ thấy I trọng tâm   A ' C   tam giác AA’C’ ta có A ' I   A ' C ta có A ' C (2; 1; 2) 3 2   xI     2 4 Khi  yI    tức I ( ; ; ) 3 3  4   z I  2    Tính thể tích theo cơng thức trên, trước tiên tính ma trận cấp 3x3 véc    tơ BC; BI ; BA chọn điểm B làm gốc điểm B( 0;0;0) tọa độ véc tơ trùng với tọa độ điểm, sử dụng cơng thức tính thể tích ta tính thể tích IABC So với đáp án đáp án A Câu 10 Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) A a B 2a C 3a D a Ta viết phương trình mặt phẳng (IBC) trước hết tính vec tơ phát tuyến   mặt phẳng có hai vec tơ phương BI ; BC qua điểm B(0;0;0) nên hệ số d=0 Phương trình mặt phẳng (IBC) 2,66 y+1,33z=0 khoảng cách từ điểm A đến (IBC) So sánh với đáp án đáp án B Giải phương pháp tọa độ việc khó khăn tính tọa độ điểm liên hệ yêu cầu tốn Đơi việc kết hợp trợ giúp hình học cổ đỉnh ta dẫn đến kết nhanh đỡ phức tạp Một tọa độ tính việc lại sử dụng công thức không cần kĩ suy nghĩa khéo léo chọn lọc giải hình khơng gian Tuy nhiên có nhược điểm thầy nhắc lại khơng phải toàn nên đừng coi trọng phương pháp mà bỏ rơi phương pháp kia, qua câu hỏi thầy nhấn mạnh ưu điểm nhược điểm nó.Thầy hi vọng với chuyên đề em có nhìn bao qt thêm vốn hiểu biết hình học khơng gian, thời gian có hạn nên việc tính tốn, hay trình bày nhiều thiếu sót mong góp ý em thầy cô Chúc em học tập tốt đạt kết cao kì thi tới Hà Nam 08/12/2017 Th.s Hà Ngọc Toàn Group: Thủ thuật casio khối A | HÌNH HỌC KHƠNG GIAN SỬ DỤNG CASIO 18 ... đường cao hình chóp, lăng trụ có đáy hình vng, hình chữ nhật, tam giác vng trung điểm cạch đó, theo giả thiết tốn…  Một số cách chọn hệ trục tọa độ Tứ diện Hình chóp đáy tứ giác lồi Hình lăng... vốn hiểu biết hình học khơng gian, thời gian có hạn nên việc tính tốn, hay trình bày nhiều thiếu sót mong góp ý em thầy cô Chúc em học tập tốt đạt kết cao kì thi tới Hà Nam 08 /12/ 2017 Th.s Hà... đạt kết cao kì thi tới Hà Nam 08 /12/ 2017 Th.s Hà Ngọc Toàn Group: Thủ thuật casio khối A | HÌNH HỌC KHƠNG GIAN SỬ DỤNG CASIO 18