phương pháp giải một số phương trình bằng cách ghép biến đổi thông thường và đặt ẩn phụ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI THÔNG THƯỜNG VÀ ĐẶT ẨN PHỤ A ĐĂÏT VẤN ĐỀ Trong trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh môn toán, ta hay gặp số dạng tập mà sử dụng phương pháp truyền thống đại đa số học sinh phổ thông đả biết khó khăn Có không giải được,vì thường dẫn tới phương trình bậc ba hay bậc bốn đầy đủ nghiệm nguyên hay nghiệm hữu tỉ Tuy nhiên trước ta thực vài phép biến đổi đơn giản dùng phương pháp đặt ẩn phụ sẻ dẫn tới phương trình quen thuộc mà em biết cách giải Qua tham khảo tài liệu xin đề xuất số dạng toán Trong dạng có đưa số ví dụ có lời giải chi tiết, sau trình bày cách giải tổng quát đưa thêm tập để em áp dụng B NỘI DUNG I Daïng kax + bx + kc max + b2 x + mc + = d ( ac ¹ 0) 2 pax + b1 x + pc nax + b3 x + nc Ví dụ Giải phương trình : 4x x + =1 2 x + x + x - 2x + (1) Giải - Điều kiện x ¹ - Nếu khử mẫu ta phương trình bậc bốn đầy đủ nghiệm đặc biệt nói chung học sinh phổ thông không giải Để giải dạng toán ta tiến hành sau: Ta có x = nghiệm (1) ”Chia tử mẫu phân số vế trái cho x” @ Nguyễn Quang Minh * Tổ Toán SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Þ (1) Û Đặt : + =1 1 x + +1 x + - x x x t = x + (2) ( |t|≥ ) Þ (2)trở thành : t + = Û t - 6t + = t +1 t - Û t =1 (loại ) t = T = Þ (1) Û x + = Û x - x + = Û x = ± 21 x Đáp số: Phương trinh có nghiệm x = Ví dụ 2: 5± 21 Giải phương trình: x2 - x2 - + =1 x2 + x - x2 + 2x - Giải Điều kiện { (1) x2 + x- 2¹ x2 + x-2¹0 Học sinh nghỉ tới cách đặt t = x2 - cách giải phải tiến hành tương tự trên: Ta có x = nghiệm (1) ”Chia tử mẫu phân số vế trái cho x” Þ (1) Û Đặt t = x + Þ (2) trở thaønh : x- x x - +1 x x + x- x x- +2 x =1 (2) (| t | ≥2 ) t t + =1 t +1 t + @ Nguyeãn Quang Minh * Tổ Toán Û t2 = Û t=± 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - Với t= = x Þ (1) Û x + Þ x2 - 2x - = Û x= 2 ± 10 (Thoả mãn điều kiện) Þ (1 ) Û x + = - Với t = - x Û x2 + x - = Û Đáp số : x= x= ± 10 2 - ± 10 (Thoả mãn điều kiện) x = - ± 10 Tổng quát: Phương trình dạng: kax + bx + kc max + b2 x + mc + = d ( ac ¹ 0) (1) pax + b1 x + pc nax + b3 x + nc Ta coù phương pháp giải sau: - Xét x= thay trực tiếp vào (1) suy kết luận - Nếu x ¹ ”Chia tử mẫu phân số vế trái cho x” c c k (ax + ) + b m ( a x + ) + b2 x x (1) Û + = d (2) c c p ( a x + ) + b1 n ( a x + ) + b3 x x c Đặt: t = ax + (2) trở thành : x kt + b m t + b2 + = d (3) p t + b1 n t + b3 Là phương trình giải cách chuyễn phương trình bậc hai quen thuộc @ Nguyễn Quang Minh * Tổ Toán SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Bài tập Giải phương trình : 1; x + x + x + x + 15 =2 x - x + 10 x + x + 2; x + x + x + x + 12 + =3 2 4x - x + 4x + 7x + II PHƯƠNG TRÌNH DAÏNG (ax2 + bx + ka)(cx2 + dx + kc) + mx3 + nx2 + km = (1) (kac ¹ 0) Ví dụ 1: Giải phương trình : ( x - x + 8)( x - x + 8) - 70 x = (1) Giải Ta có x = nghiệm (1) “Chia hai vế chox 8 Þ (1) Û ( x - + )( x - + ) - 70 = (2) x x Đặt : Þ (1) t = x+ ” ( t ³ 2) x Trở thành: (t - 9)(t - 6) - 70 = Û t - 15t - 16 = Û 1( Loai ) éë tt ==16 = 16 Û x x - 16 x + = Û x = ± 14 Đáp số: x = ± 14 Với Ví dụ 2: t = 16 Þ (1) Û x + Giải phương trình : x - 101x + 42 x = x - 11 + 2 x + x + 12 (2) Giải @ Nguyễn Quang Minh * Tổ Toán SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM (2) xác đònh "x Ỵ R Þ (2) Û 2 ( x - 11x + 6)(2 x + x + 12) - 70 x - x + 101x + 42 x = (3) x Ta coù x = nghiệm (2) “Chia hai vế cho Þ (2) Û (x + Đặt : ” 12 42 - 11)(2 x + + 1) - (7 x + + 101) = x x x ( t ³ 6) x t = x+ Þ (3) Trở thành: (t - 11)(2 t + 1) - t + 101 = Û t - 28t + 90 = Û éë tt ==59 Với t = Þ (2) Û x + Với t = Þ (2) Û x + Đáp số: = Û x2 - 5x + = Û x éë xx==32 ± 57 = Û x2 - 9x + = Û x = x x = 2; x = 3; x = ± 57 Tổng quát: Với phương trình dạng: ( ax + bx + ka )(cx + dx + kc ) + mx + nx + km = (1) (k , a, c ¹ 0) Ta có cách giải sau : Từ giả thiếtÞ x = nghiệm (1) “Chia hai vếcho x ” k k k Þ (1) Û [ a ( x + ) + b][c( x + ) + d ] + m( x + ) + n = (2) x x x k (điều kiện t tuỳ thuộc vào k) x Þ (2) Trở thành: ( a t + b ) ( c t + d ) + m t + n = Đây phương trình bậc hai mà ta biết cách giải ! Đặt t = x + Bài tập: @ Nguyễn Quang Minh * Tổ Toán SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 1; Giải phương trình : (4 x + 12 x + 1)(4 x - x + 1) = 192 x 2; Giải phương trình : x3 + x = x2 - x + III PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: ax + bx + a = cx + dx + c (1) (a, c ¹ 0) Ví dụ 1: Giải phương trình : x + x + = x + x + (1) Ta có : Giải x = nghiệm (1) x ¹ “Chia hai vế cho x ” Þ (1) Û 1 ± x2 + + = x + + (2)Đặt t = x + ( t ³ 2) x x x Þ (2) Trở thành: ± t - = t + Û éê ë éë tt == 59 t -1 = t + t -1 =- ( t + 3) Û é { tt +2 3-³1=0 ( t + ) Û ê t + 3£ ë { t -1 = ( t + ) @ Nguyeãn Quang Minh * Tổ Toán é ìïí t ³ - 35 ïỵ t = - ê Û ì Û ê ïí t £ - 35 êë ïỵ t = - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Ût=- (loại) Vậy phương trình có nghiệm nhất: x = Tổng quát: Phương trình dạng : a x + b x + a = cx + d x + c (1) (a, c ¹ 0) Ta có phương pháp giải sau : Xét x= thay trực tiếp vào (1) suy kết luận x ¹ chia hai vế cho “Chia hai vế cho x ” Þ (1) Û a 1 ± ax + + b = c ( x + ) + d (2)Đặt t = x + ( t ³ 2) x x x (2) Trở thành: a (t Þ - ) + b = ± (ct + d ) Đó phương trình dạng f = g mà ta biết cách giải! Bài tập: Giải phương trình : x + 3x + = x - x + x + x + = 3x + x + IV PHƯƠNG TRÌNH DAÏNG: a(ax2 +bx + c)2 +b(ax2 +bx + c) + c = x Ví dụ 1: Giải phương trình : 2(2 x - x - 5) - x + x + = (1) Giaûi 2(2 x - x - 5) - 2(2 x - x - 5) - = x (2) (1) Û Đặt: { x2 - 2x - = y ³ x2 -2 x-5= y y2 -2 y -5= x Þ (1) Trở thành: ( Là hệ đối xứng kiểu 2) @ Nguyễn Quang Minh * Tổ Toán SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2 Trừ theo vế ta : 2( x - y ) - 2( x - y ) = y - x Û Với ( x - y )(2 x + y - 1) = é ê ë Û x = y ta x - x - = x Û Với y = x = x = y y é x =-1= y ( Loai ) ê x = (Thman ) ë - x Ta : 1+3 1-3 é x= Û y= 0 Đáp số x= x = 1- Tổng quát phương trình dạng: a(ax2 + bx + c)2 + b(ax2 + bx + c) + c = x (1) Ta có cách giải sau: ax + bx + c = y ³ Đặt : { Þ (1) trở thành ax2 + bx + c = y ay + by + c = x “Đây hệ đối xứng loại mà ta đả biét cách giải” Bài tâïp: : Giải phương trình : -3 x - x + 16 = x + x - -6 x - 35 x + 98 = x + x - 14 (2) @ Nguyễn Quang Minh * Tổ Toán (1) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Lưu ý : Các phương trình có dạng: f = g Tuy nhiên biến đổi tương đươngá mà không để ý đến dạng ta phương trình bậc bốn đầy đủ Thực vế phải đả có dạng : ax + bx + c Cho 2 nên ta đặt từ đầu : ax + bx + c = y ³ biến đổi trình hệ đối xứng loại mà ta đả biết cách giải phương V PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN KHUYẾT SỐ HẠNG BẬC BA DẠNG: ax + bx + cx + d = (a ¹ 0) Ví dụ : Giải phương trình: x - x - 10 x - = (1) Û (1) Giaûi x = x + 10 x + Û ( x + k )2 = (3 + 2k ) x2 + 10 x + + k 2 Đặt : f(x) = (3 + 2k ) x + 10 x + + k 2 Ta tìm k để : f(x) = (3 + k ) x + 10 x + + k laø bình phương nhò Û thức ì í ỵ Û Û { a =3+ k > D ' = - ( + k )( + k ) = k >2 -2 k - k - k ) +13 = Û ì k >- 32 í (k -1)(2k2 +5k +13)=0 ỵ 2 k = Þ (1) Û ( x + 1) = 5( x + 1) Û x + = ± 5( x + 1) Û é ë @ Nguyeãn Quang Minh * Tổ Toán x2 + x2 - x + +1= ( a ) x +1- = ( b ) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM (a) Vô nghiệm Û (b) x = D 0 D ' = n - ( m + k )( p + k ) = Giải hệ tìm k từ (1) cho ta hai phương trình bậc hai từ ta dễ dàng tìm nghiệm phương trình @ Nguyễn Quang Minh * Tổ Toán 10 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Bài tập : Giải phương trình : 1; x - x + x + = 2; x - 10 x + 16 x - = 3; x + x + 20 x - 16 = C KẾT LUẬN Trên số dạng toán mà qua trình giảng dạy, qua tham khảo tài liệu tổng kết lại biên soạn thêm số ví dụ,các tập Nhằm giúp em học sinh điều kiện để đọc sách hay thiếu tài liệu môn toán để tham khảo Mong giúp thêm em học sinh phần nhỏ bé trình học tập rèn luyện Có sơ suất mong thầy cô em thông cảm @ Nguyễn Quang Minh * Tổ Toán 11 ... Đây phương trình bậc hai mà ta biết cách giải ! Đặt t = x + Bài tập: @ Nguyễn Quang Minh * Tổ Toán SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 1; Giải phương trình : (4 x + 12 x + 1)(4 x - x + 1) = 192 x 2; Giải phương. .. số: Phương trình có ngiệm : x = 1± 13 1± 13 Tổng quát: Mọi phương trình bậc khuyết hệ số bậc đưa daïng : x = m x + n x + p (1) Phương pháp giải: (1) Û ( x + k ) = (m + 2k ) x + nx + p + k 2 Đặt. .. (2 )Đặt t = x + ( t ³ 2) x x x (2) Trở thành: a (t Þ - ) + b = ± (ct + d ) Đó phương trình dạng f = g mà ta biết cách giải! Bài tập: Giải phương trình : x + 3x + = x - x + x + x + = 3x + x + IV PHƯƠNG