THPT Phạm Thái Bường - HÀM TRÙNG PHƯƠNG y=ax 4 +bx 2 +c ( a ≠ 0 ) 1/. MXĐ : D= R 2/. y’= 4ax 3 +2bx y’’= 12ax 2 +2b 3/. Hàm số có 3 cực trò ⇔ y’=0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ ab < 0 Hàm số có 1 cực trò ⇔ y’=o có 1 nghiệm phân biệt ⇔ ab ≥ 0 4/.Hàm số có 2 điểm uốn ⇔ y’’=o có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ab<0 hàm số không có điểm uốn ⇔ y’’=o vô nghiệm hoặc nghiệm kép ⇔ab≥0 5/. Đồ thò hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng 6/. Hàm số luôn luôn có 1 cực trò trên trục tung 7/. Tọa độ giao điểm của đồ thò và trục hoành là nghiệm hệ phương trình : 4 2 y ax bx c y 0 = + + = ⇒ax 4 +bx 2 +c =0 (1) ⇔ 2 2 X x 0 aX bX c 0 (2) = ≥ + + = * Đồ thò hsố cắt Ox tại 1 điểm ⇔ (1) có 1 nghiệm ⇔ (2) có nghiệm kép bằng 0 ⇔ a 0 c 0 a 0 0 = = ≠ ∆ = *Đồ thò hàm số cắt Ox tại 2 điểm pbiệt ⇔ (1) có 2 nghiệm ⇔ (2) có đúng 1 nghiệm dương ⇔ (2) có1 nghiệm kép dương (2) có2nghiệmtráidấu ⇔ 0 S 0 P 0 ∆ = > < ( nếu a có chứa tham số , xét trường hợp a =0 ) *Đồ thò hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm ⇔ (2) có 2 nghiệm trong đó 1 nghiệm bằng 0, 1 nghiệm dương ⇔ 0 P 0 S 0 ∆ > = > 1 THPT Phạm Thái Bường - *Đồ thò hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt ⇔ (1) có 4 nghiệm p⇔ (2) có 2 nghiệm dương ⇔ a 0 0 P 0 S 0 ≠ ∆ > > > *Đồ thò hàm số và Ox không cắt nhau (không có điểm chung ) ⇔(1) vô nghiệm ⇔ (2)vônghiệm (2) có2 nghiệm âm phân biệt ⇔ a 0 0 0 P 0 S 0 ≠ ∆ < ∆ > > < Bài 1 : Cho hàm số : y= x 4 -mx 2 +2m+5 (C m ) a/. Khảo sát hàm số và vẽ (C) khi m= -2 b/. Đònh m để (C m ) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt c/. Tính diện tích hình phẳng bởi (C) và đường thẳng y=4 Bài 2 : cho hsố : y=x 4 +2(m-2)x 2 +m 2 -5m+5 (C m ) a/. Đònh m để hàm số (C m ) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt b/. Khảo sát hàm số và vẽ (C) khi m=1 c/. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) đi qua A ( 2,1) Bài 3: Cho hàm số : y= (m+1) x 4 -4mx 2 +2 (C m ) a/.Khảo sát hàm số và vẽ (C) khi m=1 b/. Dùng đồ thò (C) , biện luận theo k số nghiệm phương trình : 2(x 2 -1) 2 - k =0 c/. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng y =2 Bài 4 : Cho hàm số y= ax 4 +bx 2 +c a/. Tìm a,b c biết đồ thò cắt trục Oy tại điểm có tung độ bẵng 4, cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng -2 và tại điểm x=-1 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 6 b/. KSHS với a,b,c vừa tìm được và vẽ (C) c/. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 d/. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành Bài 5: a/. KSHS : y=- x 4 +5x 2 -4 b/. Đònh m để phương trình : x 4 -5x 2 -m 2 + 3 . m =0 có 4 nghiệm pbiệt Bài 6 : y=x 4 -mx 2 +4m -11 a/. KSHS với m=4 và vẽ (C) b/. Dùng đồ thò (C) , biện luận theo a số nghiệm phương trình : x 4 -4x 2 +5-a=0 2 THPT Phạm Thái Bường - c/. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và y=5 Bài 7: y= x 4 +ax 2 +b a/. Xác đònh a,b để đồ thò nhận điểm I ( 3 4 ; ) 3 9 làm điểm uốn b/. KSHS với a,b tìm được ở câu a c/. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành . Bài 8: y=x 4 -x 2 +1 đồ thò (C) a/. KSHS b/. Tìm A ∈ Oy kẻ đến (C) được 3 tiếp tuyến c/. Biện luận theo m số nghiệm phương trình :-x 4 +x 2 +m =0 HD: ptdt d qua A , hsg k : y= kx +n ( A (0,n) ) ĐKTX ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm 4 2 3 x x 1 kx n (1) 4x 2x k (2) − + = + − = ⇒ 3x 4 -x 2 +n -1 =0 YCBT ⇔ 0 P 0 S 0 ∆ > = > ⇔ A(0,1) Bài 9 : y=x 4 +mx 2 -(m+1) (C m ) a/. Tìm giá trò của m để các tiếp tuyến với (C m ) tại M 1 , M 2 vuông góc với nhau b/. KSHS với m= -2 Bài 10 : y= mx 4 + ( m 2 -9 ) x 2 +10 a/. KSHS khi m=1 b/. Tìm m để hàm số có 3 cực trò Bài 11 : y= x 4 -2mx 2 + m 3 - m 2 ( C m ) a/. KSHS khi m=1 b/. Đònh m để (C m ) tiếp xúc Ox tại 2 điểm phân biệt HD bài 11 : phương trình hoành độ giao điểm của (C m ) và Ox x 4 -2mx 2 +m 3 -m 2 =0 (1) ⇔ 2 2 3 2 X x 0 X 2mX m m 0 (2) = ≥ − + − = Ycbt ⇔ (2) có nghiệm kép dương ⇔ m=2 Bài 12 : y=-x 4 +2(m+1) x 2 -2m -1 (C m ) a/.Đònh m để (C m ) cắt Ox tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng b/. Gọi (C) là đồ thò khi m=0 .Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với đồ thò (C) . HD: a/. ÷ 2 1 1 2 X ; X ; X ; X− − ⇒ 9X 1 =X 2 ⇒10X 1 =X 1 +X 2 y=-x 4 +2(m+1)x 2 -2m-1 2 2 X x 0 X 2(m 1)X 2m 1 0 = ≥ ⇔ − + + − − = 3 THPT Phạm Thái Bường - X 1 = 1 (m 1) 5 + X 2 = 9 (m 1) 5 + ⇒m=4 hoặc m= 4 9 − b/. M(0,a) ∈Oy ptđt (d) : y=kx+a d tiếp xúc (C) ⇔Hệ phương trình sau có nghiệm 4 2 3 x 2x 1 kx a (1) 4x 4x k (2) − + − = + − + = ⇒ 3x 4 -2x 2 -1-a =0 (*) Ycbt ⇔ (*) phải có nghiệm x=0 ; x=0 là nghiệm của (*) ⇒ a= - 1 Vậy : M(0; - 1) Bài 13 : y= x 4 - 5x 2 +4 a/. KSHS b/. Tìm m để đường thẳng y =m cắt (C) tại 4 điểm phân biệt c/. Tìm m để (C) chắn trên đường thẳng y=m 3 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau HD: b/. 9 m 4 4 − < < b/. Với điều kiện trên : x 1 <x 2 <x 3 <x 4 ⇒x 1 = - x 4 ; x 2 = x 3 ycbt ⇔ x 4 = 3 x 3 ⇔m= 7 4 Bài 14: y= (1-m ) x 4 -mx 2 +2m -1 (C m ) a/. Tìm m để hàm số có đúng 1 cực trò b/. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x =1 c/. KSHS với m tìm được ở câu b , đồ thò (C) d/. Đònh m để đồ thò hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt e/. Dùng đồ thò( C) , biện luận theo k số nghiệrm phương trình : x 2 . (x 2 -2) -3k=0 Bài 15: y = -x 4 +2mx 2 +m+1 (C m ) a/. KSHS khi m = - 1 b/. Với những giá trò nào của m thì (C m ) luôn luôn lồi ? c/. Khi m=1 tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ ] 0;2 Bài 16: y= kx 4 + (k-1)x 2 + (1-2k) a/. Đònh k để đồ thò của hàm số chỉ có 1 cực trò b/. KSHS khi k= 1 2 có đồ thò (C) c/. Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) qua gốc toạ độ Bài 17: y = 4 2 x 5 3x 2 2 − + 4 THPT Phạm Thái Bường - a/. KSHS và vẽ (C) b/. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng y= 5 2 c/. Viết pttt của (C) qua A( 5 0; ) 2 Bài 18 : y= m 2 x 4 -mx 2 -1 (C m ) a/. KSHS khi m=1 , đồ thò (C) b/. Viết pttt với đồ thò (C) biết tiếp tuyến // đường thẳng 2x +y -1=0 c/. Tìm m để hàm số đã cho chỉ có 1 cực trò Bài 19 : y = x 4 -2(m+2)x 2 +2m+3 (C m ) a/. Đònh m để đồ thò (C m ) của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành cấp số cộng b/. KSHS c/. Tuỳ theo giá trò của k , biện luận số nghiệm phương trình : x 4 -10x 2 +k =0 bằng phương pháp đồ thò và bằng phép tính Bài 20 : Cho hàm số y = x 4 – 2mx 2 + 2m + m 4 1) Tìm m để hàm số có ba điểm cực tri, và 3 điểm cực trò của đồ thò tạo thành một tam giác dều. 2) Khảo sát khi m = 1. Tìm trên đồ thò các điểm mà tiếp tuyến tại đó còn có hai điểm chung với đồ thò ( k o kể tiếp điểm). Bài 21 : Cho hàm số : ( ) ( ) 4 2 2 y mx m 9 x 10 1= + − + 1/. Khảo sát hàm số khi m= 1 2/. Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trị ĐHKB-2002 Bài 22: : Cho hàm số : ( ) 4 2 y x mx m 1 1= − + − 1/. Khảo sát hàm số khi m=8 2/. Xác định m sao cho đồ thị của hàm số (1) cắt trục hồnh tạI 4 điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Bài 23: Cho hàm số 4 2 1 5 y x 3x 2 2 = − + ( C ) Cho điểm M trên (C ) có hồnh độ x= a với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C ) tại M cắt (C ) tại hai điểm khác với M . Giải : Phương trình tiếp tuyến tại M có hồnh độ x=a là : y=( 2a 3 -6a).(x –a)+ 4 2 1 5 a 3a 2 2 − + = 2 4 2 3 5 2a(a 3)x a 3a 2 2 − − + + PThđgđ của © và D; 4 2 2 4 2 1 5 3 5 x 3x 2a(a 3)x a 3a 2 2 2 2 − + = − − + + ( ) ( ) 2 2 2 x a . x 2ax 3a 6 0⇔ − + + − = Ycbtthì phương trình x 2 +2ax+3a 2 -6=0 phải có hai nghiệm phân biệt khác a 2 2 2 2 2 a 3a 6 0 3 a 3 a 2a 3a 6 0 a 1 ′ ∆ = − + > − < < ⇔ ⇔ + + − ≠ ≠ ± 5 THPT Phaïm Thaùi Böôøng - Bài 24 : Tìm điểm A trên trục tung sao cho qua A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với đồ thị hàm số : y= x 4 –x 2 +1 Giải : Gọi A( 0, y 0 ) là điểm trên trục tung Phương trình đường thẳng d qua A, hsg là k : y= kx+ y 0 ycbt 0 0 2 y 1 y 1 0 1 3t t 0 t 0 v t 3 = − = ⇔ ⇔ − = = = 6 . THPT Phạm Thái Bường - HÀM TRÙNG PHƯƠNG y=ax 4 +bx 2 +c ( a ≠ 0 ) 1/. MXĐ : D= R 2/. y’= 4ax 3 +2bx y’’= 12ax 2 +2b 3/. Hàm số có 3 cực trò ⇔ y’=0. số nghiệm phương trình : x 4 -10x 2 +k =0 bằng phương pháp đồ thò và bằng phép tính Bài 20 : Cho hàm số y = x 4 – 2mx 2 + 2m + m 4 1) Tìm m để hàm số có