Steiner và anti steiner

Steiner Anti-Steiner Group Hình Học Phẳng Ngày 29 tháng năm 2018 Mục lục Các khái niệm Khảo sát vị trí đặc biết 2.1 Tương ứng cho điểm đặc biệt 2.1.1 Trung điểm cung 2.1.2 Đối xứng A qua trung trực BC 2.1.3 Giao đường thẳng qua tâm ngoại song song BC 2.1.4 Giao đường thẳng trực tâm trung điểm BC 2.2 Tương ứng cho đường đặc biệt 2.2.1 Đường thẳng qua trực tâm song song BC 2.2.2 Đường thẳng qua H vuông AO 2.2.3 Đường thẳng Euler Các 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 vấn đề liên quan trực tiếp Vần đế góc hai đường Steiner Vấn đề đường thẳng Steiner điểm Miquel Vấn đề dương thẳng Steiner cực trực giao Vấn đề điểm Anti-Steiner đối xứng Các vấn đề liên quan khác 2 5 điểm qua ba cạnh 8 10 11 12 Mốt số tập liên quan 14 Nguồn 14 Các khái niệm Định lý Cho tam giác đường tròn ngoại tiếp tam giác Một điểm đường tròn ngoại tiếp đối xứng qua ba cạnh tam giác thẳng hàng Ta gọi đường thẳng đường thẳng Steiner điểm đường tròn Anti-Steier Chứng minh Vị tự tốn ta đường thẳng Simson kết quen thuộc Kết 1.1 Đường thẳng Steiner qua trực tâm tam giác Đựa Định lý Kết 1.1 ta có đường thẳng Steiner cho trước ta dựng ngược lại điểm Anti-Steiner Định lý Cho tam giác đường thẳng qua trực tâm Đối xứng đường thẳng qua ba cạnh đồng qui điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác điểm Anti-Steiner đường thẳng Đưa ý tưởng tổng quát tam giác lên thảnh tứ giác ta có định nghĩa thông dụng sau Định nghĩa 1.1 Cho tứ giác ABCD khơng có cặp cạnh song song Giao AB, CD E Giao AD, BC F Thì trực tâm EBC, EAD, F AB, F CD năm đường thẳng gọi đường thẳng Steiner tứ giác Bổ sung Kết đường thẳng Steiner tứ giác có nhiều ý nghĩa mặt hình học viết tập trung quan tâm tới định nghĩa đường thẳng Steiner tam giác Bổ sung Ngoài cách tổng qt từ tam giác thành tứ giác, ta tồng quát đựa Kết 1.1 cách thay trực tâm thành điểm Đào Thanh Oai tổng quát Trong viết không sâu vào kết tổng quát 2.1 2.1.1 Khảo sát vị trí đặc biết Tương ứng cho điểm đặc biệt Trung điểm cung Trong viết ta qui ước tam giác đề cho nhọn Vậy ta xét tam giác ABC dây cung BC ta có trung điểm cung nhỏ nằm đường phân giác gọi P , trung điểm cung lớn nằm đường phân giác gọi Q Ta nhận thấy số vấn đề sau Kết 2.1 Đường thẳng Steiner P, Q vng góc với Kết giải tổng quát phần kế Tiếp tục ta nhận thấy hai đường thẳng qua trực tâm nên giao hai đường thẳng trực tâm Hơn nữa, chúng vng góc điều cho thấy liên quan toán với đường thẳng Droz-Farny ta có kết sau Kết 2.2 Cho tam giác ABC, trung điểm cung nhỏ BC P , trung điểm cung lớn BC Q Đường thẳng Steiner P cắt BC, AC, AB X, Y, Z Đường thẳng Steiner Q cắt BC, AC, AB E, F, G Thì trung điểm XE, Y F, ZG thẳng hàng Ngồi ta nhận thấy AP vuông đường thẳng Steiner P Kết 2.3 Cho tam giác ABC, trung điểm cung nhỏ BC P Thì đường thẳng Steiner P vng AP Chứng minh Ta gọi đường thẳng Simson P cắt AB, AC X, Y ta thấy AX = AY nên gọi giao đường thẳng Steiner P cắt AB, AC E, F AE = AF Vậy AP EF AP phân giác 2.1.2 Đối xứng A qua trung trực BC Kết 2.4 Cho tam giác ABC trung điểm BC M , trực tâm H Đường thẳng HM căt đường thẳng qua A song song BC E (E.EA) cắt AB, AC X, Y Chứng minh X, Y, H thằng Kết cho ta đường thẳng XY qua trực tâm H nên XY đường thẳng Steiner gọi điểm Anti-Steiner XY P Đặc biệt P đối xứng A qua trung trực BC 2.1.3 Giao đường thẳng qua tâm ngoại song song BC Kết 2.5 Cho tam giác ABC tâm ngoại O, đường thằng qua O song song BC cắt (O) X, (X, XA) cắt AB, AC E, F Chứng minh EF qua trực tâm Kết cho đường thẳng EF qua trực tâm nên EF đường thẳng Steiner Thì điểm Anti-Steiner EF điểm P 2.1.4 Giao đường thẳng trực tâm trung điểm BC Kết 2.6 Cho tam giác ABC trung điểm BC M trực tâm H giao HM AB,AC E,F Hình chiếu E,F lên AC,AB X,Y Chứng minh X,Y,H thẳng Kết cho ta đường thẳng qua trực tâm nên ta có điểm Anti-Steiner tương ứng thuộc giao tia M H (ABC) Bổ sung Ngồi điểm ta nhiều điểm khác đặc biệt đường tròn khai thác qui mô viết ta không sâu hết 2.2 2.2.1 Tương ứng cho đường đặc biệt Đường thẳng qua trực tâm song song BC Nếu ta dựng điểm Anti-Steiner đường thằng qua trực tâm song song với BC ta có két sau Kết 2.7 Cho tam giác ABC Trực tâm H, tâm ngoại O Giao AO (ABC) P đường thẳng Steiner P song song BC Chứng minh Gọi đối xứng H qua BC Q Q thuộc (ABC) mà AQ, AP dẳng giác nên P Q//BC nên đối xứng P qua BC nằm đường thẳng qua H song song với BC 2.2.2 Đường thẳng qua H vng AO Kết 2.8 Cho tam giác ABC có trực tâm H, tâm ngoại O Thì điểm Anti-Steiner đường thẳng qua H giao AH (ABC) Kết đơn giản bạn nhận đường thẳng qua H vng AO tiếp tuyến H HBC Vậy đối xứng đường thẳng tiếp tuyến (ABC) giao AH (ABC) Kết 2.9 Cho tam giác ABC Trực tâm H Đường thẳng qua H tiếp xúc (HBC) cắt AB, AC X, Y Giao AH (ABC) P Thì (P XY ) tiếp xúc (ABC) Kết quã Nguyển Đức Bảo tìm thấy mở rộng tiếc chưa tìm thấy liên quan với đường thẳng Steiner nên ta khơng đề cập sâu Ngồi kết tiếp tục khai thác chương 2.2.3 Đường thẳng Euler Do đường thẳng Euler đường thẳng đặc biệt qua trực tâm nên điểm Anti-Steiner đường thẳng đặt tên Và tùy theo tính chất ta cần dùng mà tên thay đổi Do viết quan tâm tới tính chất Anti-steiner diểm nên ta tạm gọi điểm Euler đối xứng Định nghĩa 2.1 Cho tam giác ABC Trực tâm H, Tâm ngoại O Đối xứng OH qua BC, AC, AB đồng qui điểm (ABC) gọi diểm Euler đối xứng 3.1 Các vấn đề liên quan trực tiếp Vần đế góc hai đường Steiner Về đường thẳng Steiner song song với đường thẳng Simson nên việc tính tốn góc đường thẳng Steiner qui tính tốn góc đường thẳng Simson Kết 2.10 Cho tam giác ABC, hai điểm P, Q (ABC) Thì góc hai đường thẳng Simson P, Q số cung chắn doạn thẳng Chứng minh Đường thẳng qua Q, P vuông BC cắt (ABC) X, Y ta có góc hai đường Simson góc XAY = P AQ Vậy từ kết ta thấy P Q qua tâm ngoại tiếp hai đường Steiner tương ứng vng góc 3.2 Vấn đề đường thẳng Steiner điểm Miquel Định lý (Điểm Miquel tứ giác toàn phần) Cho tứ giác ABCD có cặp cạnh khơng song song Giao AB CD E Giao AD BC F Thì (EAD), (EBC), (F AB), (F CD) đồng qui điểm Miquel tứ giác Kết có thê qui việc áp dụng định lí Miquel hai lần ta áp dụng đường thẳng Simson hai lần rùi lấy đối xứng rõ ràng ta chứng minh đường thẳng Steiner cho tứ giác từ điều có kết sau Kết 3.1 Cho tam giác ABC có trực tâm H Trên AB, AC lấy X, Y , giao (AXY ) (ABC) Z Trực tâm AXY G Thì GH đường thảng Steiner Z Kết có ý nghĩa lớn che đấu chất tứ giác tồn phần Ta biết rẳng có nhiều tính chất tứ giác tồn phần hay quen thuộc ẩn giả thiết tứ giác tồn phần giữ ngun tính chất ví dụ tính chất đường thẳng Steiner vng với đường thẳng Gauss 3.3 Vấn đề dương thẳng Steiner cực trực giao Khi nhắc tới cực trực giao ta phải nói sơ qua định lý Fontene Định lý (Định lý Fontene thứ nhất) Cho tam giác ABC Gọi P điểm A1 , B1 , C1 trung diểm BC, CA, AB, Gọi A2 B2 C2 tam giác pedal P Gọi X, Y, Z giao B1 C1 B2 C2 ; A1 C1 A2 C2 ; A1 B1 A2 B2 Thì A2 X, B2 Y , C2 Z đồng qui giao (A1 B1 C1 ) (A2 B2 C2 ) Định lý (Định lý Fontene thứ hai) Cho tam giác ABC P di dộng đường thẳng cố dịnh qua tâm ngoại O Thì đường tròn ngoại tiếp tam giác Pedal P cắt đường tròn Euler hai điểm cố định Định lý (Định lý Fontene thứ ba) Cho tam giác ABC có điểm P bất kì, dẳng giác P Q Thì đường tròn ngoại tiếp tam giác Pedal P tiếp xúc với đường tròn Euler P Q qua tâm ngoại tiếp Định lý (cực trực giao) Cho tam giác ABC, đường thẳng d bất kì, Hình chiếu A, B, C lên d X, Y, Z Đường thảng qua X, Y, Z vuông BC, AC, AB đồng qui điểm gọi cực trực giao dường thẳng d Đây kết có ý nghịa định hình học hướng mà viết muốn đề cập đường thẳng Steiner nên ta không sâu khái niệm Ở phân ta tập trung vào tính chất sau 10 Kết 7.1 Cho tam giác ABC, Trung điểm BC, AC, AB X, Y, Z, tâm ngoại tiếp O Đường thẵng qua O d Điểm Orthopole d ứng với ABC P Thì P điểm Anti-Steiner d ứng với XY Z Ta chứng minh kết thông qua trung gian điểm Poncelet Ý nghĩa kết để ta chuyển từ chứng cực trực giao thành Anti-Steiner 3.4 Vấn đề điểm Anti-Steiner đối xứng điểm qua ba cạnh Kết 7.2 Cho tam giác ABC trực tâm H, điểm P bất kì, đối xúng P qua BC, AC, AB X, Y , Z Thì (AY Z), (BXZ), (CXY ) đồng qui điểm Anti-steiner HP Chứng minh Điểm Anti-Steiner HP T Giao HP AB, AC Q, R T, Q, Z thẳng T, R, Y thẳng Mà theo Định lý ta có đối xứng HP qua AB, AC đồng qui T nên 11 AQ, AR phân giác ngồi góc T P Q T QP Vậy A phân giác ngồi T QR nên ta có ZAY = BAC = 2(90 − QT2 R ) = 180 − QT R suy A, Y, Z, T thuộc đường tròn Qua kết ta có cách khác để dựng điềm Anti-Steiner Điều có nhiều ý nghĩa cách dựng khơng cần dựng trực tâm đường thẳng qua trực tâm từ che đấu chất điểm Anti-Steiner nhiều toán Kết 7.3 China TST 2016 Cho tam giác ABC, trực tâm H Điểm P Giao AP , BP , CP (ABC) X, Y , Z, đối xứng P qua BC, AC, AB E, F , G.Thì (P EX), (P F Y ), (P GZ) đồng qui điểm Anti-Steiner HP Chứng minh (Telv Cohl) Gọi điểm Anti-Steiner HP T Giao AH cắt (ABC) R, theo định nghĩa ta có R, E, T thẳng hàng Do AH//P E nên theo định lí Reim P , E, Z, R thuộc đường tròn Kết cho ta cách hay khác để dựng điểm Anti-Steiner Cách dựng ý nghĩa trong toán trường hợp dặc biệt Vì giả thiết đễ dàng thay giả thiết khác khiến ta khó nhận chất điểm Anti-Steiner 3.5 Các vấn đề liên quan khác Kết 7.4 Cho tam giác ABC, trực tâm H Một đường thẵng qua H cắt AB, AC E, F Tâm (AEF ) O Giao AO (ABC) T T điêm Anti-Steiner EF 12 Chứng minh Gọi hình chiếu T lên AB, AC X, Y ta có AT đường kính (AXY ) nên qua phép vị tự tâm A biến EF thành XY ta biến O thành trung điểm AT Đây kết hay để dựng điểm Anti-Steiner, đồng thơi tạo giả thiết lạ che giấu điểm Anti-Steiner Ngoài ta tiếng chất liên quan Kết 7.5 Cho tam giác ABC, trực tâm H Một đường thẵng qua H cắt AB, AC E, F Tâm (AEF ) O Giao AO (ABC) T Thì T, E, O, F thuộc đường tròn 13 Chứng minh Đưa vào ý tưởng chứng minh Kết 7.2 Kết T điểm Anti-Steiner ta có EOF = BAC = 2(90 − ET2 F ) = 180 − ET F Kết hợp Kết Kết Quả 2.9 ta https://www.facebook.com/photo.php?fbid=2058480044479686set=g tốn sau Ngồi ta tính chất liên kết cac3 kết vừa tìm điểm Miquel Kết 7.6 Cho tam giác ABC, trực tâm H Đường thẳng qua H cắt AB, AC X, Y Điểm Anti-Steiner XY T Tâm ngoại tiếp AXY O Giao (AXY ) (ABC) R Tâm ngoại tiếp ABC I Thò T, O, R, I thuộc đường tròn Kết phát biểu lại cho tứ giác toàn phần thay việc chứng minh điểm Anti-Steiner thuộc đường tròn Miquel Mốt số tập liên quan Bài tập Cho tam giác ABC Tâm Euler E, Điểm Konista K EK qua điểm Euler đối xứng Bài tập Cho tam giác ABC, Các đường cao AD, BE Giao (A, AD cắt (ABC) M, N Thì M N đường thẳng Steiner D ứng với ABE Bài tập (Telv Cohl) Cho tam giác ABC, trực tâm H, tâm ngoại O Trung trực OH cắt BC R Đối xứng R qua OH S Thì AS qua điểm Euler đối xứng Bài tập (Tevl Cohl) Cho tam giác ABC, trung điểm BC M Điểm P (ABC) Hình chiếu A lên đường thẳng Steiner P D Thì M P = M D Bài tập Cho tam giác ABC trực tâm H Điểm P bất kì, Anti-Steiner HP T Giao AP (ABC) X, Hình chiếu P lên AH Q, trung điểm HP K Thì QK//XT Bài tập (ARMO 2011) Cho hình bình hành ABCD thỏa góc DAB nhọn Lấy T nằm BC đề AT D Tâm ngoại ABT , DAT , CDT O1 , O2 ,O3 Thì trực tâm O1 O2 O3 nằm AD Nguồn http://www.xtec.cat/~qcastell/ttw/ttweng/definicions/d_Steiner_r.html http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/SteinerLine.html http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X110 http://mathworld.wolfram.com/SimsonLine.html https://www.dropbox.com/s/dyq4xb5wxerg5o4/orthopole.pdf?dl=0 http://mathworld.wolfram.com/MiquelsTheorem.html https://www.awesomemath.org/wp-pdf-files/math-reflections/mr-2015-02/article_1_bocanu.pdf 14 http://forumgeom.fau.edu/FG2002volume2/FG200212.pdf 15 ... Thì P điểm Anti -Steiner d ứng với XY Z Ta chứng minh kết thơng qua trung gian điểm Poncelet Ý nghĩa kết để ta chuyển từ chứng cực trực giao thành Anti -Steiner 3.4 Vấn đề điểm Anti -Steiner đối... thẳng Steiner cho trước ta dựng ngược lại điểm Anti -Steiner Định lý Cho tam giác đường thẳng qua trực tâm Đối xứng đường thẳng qua ba cạnh đồng qui điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác điểm Anti -Steiner. .. thẳng Steiner nên ta không đề cập sâu Ngồi kết tiếp tục khai thác chương 2.2.3 Đường thẳng Euler Do đường thẳng Euler đường thẳng đặc biệt qua trực tâm nên điểm Anti -Steiner đường thẳng đặt tên Và