Các phép biến hình trong bài toán hàm số

1 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc Kính gửi: HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP NGÀNH Chúng ghi tên đây: TT Họ tên Ngày tháng Nơi năm sinh cơng tác Chức vụ Trình độ Tỷ lệ (%) chun mơn đóng góp vào việc tạo sáng kiến Đinh Hồng Chinh 11/03/1986 Trường THPT Giáo viên Đại học 60% Giáo viên Đại học 40% Bình Minh Dương Xn Lợi 28/06/1982 Trường THPT Ngơ Thì Nhậm I Tên sáng kiến “Các phép biến hình tốn hàm số” Lĩnh vực áp dụng: Phương pháp dạy học môn Toán II Nội dung sáng kiến Giải pháp cũ thường làm Kiểm tra đánh giá khâu thiếu q trình dạy học Hoạt động khơng nhằm ghi nhận kết đạt học sinh mà hướng vào việc đề xuất phương hướng đổi mới, cải thiện thực trạng, điều chỉnh nâng cao chất lượng, hiệu giáo dục Trước yêu cầu xã hội sản phẩm giáo dục, kiểm tra đánh giá dạy học môn Tốn cần có thay đổi Nếu trước đây, trình kiểm tra đánh giá định kỳ kì thi tuyển sinh đại học thi THPT Quốc gia đề thi mơn Tốn thi theo hình thức tự luận, hình thức thi truyền thống thực nhiều năm nay, nhiên hình thức có nhiều điểm hạn chế Vì vậy, từ kì thi THPT Quốc Gia năm 2017 Bộ Giáo dục Đào tạo chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm Việc thay đổi nhiều gây khó khăn bỡ ngỡ cho giáo viên học sinh Cái thay đổi nhiều với giáo viên vấn đề đề thi kiểm tra, với học sinh vấn đề học tồn chương trình khơng tình trạng học tủ, cần phải ý đến nội dung mà trước không xuất đề thi Cũng thay đổi mà nhiều nội dung trước khơng xuất đề thi, mà điểm hình phép biến hình Học sinh giáo viên nghiên cứu nội dung thường tốn hình học túy việc tìm ảnh của: điểm, đường thẳng, đường tròn, elip Khi gặp dạng toán khác liên quan đến phép biến hình học sinh lúng túng việc tìm sở lý luận để giải toán Ngay giáo viên giảng cho học sinh nội dung khó khăn Qua nghiên cứu thực tế giảng dạy, với mong muốn xây dựng tài liệu với đầy đủ sở lý thuyết dạng tập nhằm hỗ trợ cho giáo viên học sinh trình giảng dạy học tập nội dung này, viết sáng kiến “Các phép biến hình tốn hàm số đồ thị” Mục đích Sáng kiến đưa nhìn phép biến hình vào tốn hàm số Nhằm có tài liệu ơn luyện chất lượng cho giáo viên học sinh Cũng góp phần giúp cho giáo viên học sinh việc áp dụng nội dung vào giải nội dung khác chương trình Giải pháp cải tiến 2.1 Cơ sở lý luận Được trình bày chương I Trong nội dung tác giả trình bày sơ lược phép biến hình như: 2.1.1 Lịch sử hình thành 2.1.2 Kiến thức Trình bày định nghĩ, tính chất, biểu thức tọa độ phép biến hình 2.1.3 Tổng quan ứng dụng phép biến hình 2.2 Giải pháp Trong phần giải pháp nội dung sáng kiến tác giả trình bày bốn chương: Chương II: Phép tịnh tiến Chương III: Phép đối xứng Chương IV: Phép quay Chương V: Phép vị tự Trong chương tác giả trình bày lý thuyết quan trọng phục vụ cho qua trình giải tốn sở lý thuyết để tìm lời giải cho toán Trong chương phân dạng tập rõ ràng Mỗi dạng tập có phương pháp, phân tích giúp cho việc tiếp cận lời giải cách tốt Các dạng tập mà tác giả phân chia đưa nội dung mới, chưa bắt gặp tài liệu trước Ví dụ việc tìm ảnh, tìm vật, tìm phép tịnh tiến toán hàm số, đồ thị Các toán đơn điệu, cực trị, tương giao, hàm số qua phép biến hình III Hiệu kinh tế xã hội dự kiến đạt Hiệu kinh tế: Các nội dung viết sáng kiến tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh Học sinh dùng tài liệu để tham khảo vấn đề liên quan đến phép biến hình, hàm số đồ thị Giáo viên dùng tài liệu phục vụ công tác giảng dạy đề kiểm tra đề thi thử Nội dung sáng kiến tài liệu tham khảo giá trị khoảng 40.000đ (phô tô), phù hợp với nhiều đối tượng học sinh Tại THPT Bình Minh THPT Ngơ Thì Nhậm, tài liệu sử dụng để giảng dạy học tập cho tồn giáo viên Tốn – Tin nhà trường Và toàn học sinh khối 11 12 với khoảng 1000 học sinh Khơng riêng áp dụng cho năm học 2018 – 2019, Sáng kiến tiếp tục chỉnh sửa bổ sung để áp dụng vào năm học Nếu áp dụng nhân rộng toàn tỉnh với số luợng 27 trường THPT tiết kiệm số tiền lớn sản phẩm tri thức có giá trị Hiệu xã hội: - Đối với học sinh, phụ huynh xã hội: Tạo tâm lí tự tin cho phụ huynh học sinh trước kì thi quan trọng Học sinh giải tập trắc nghiệm liên quan đến hàm số sử dụng phép biến hình đề thi đề kiểm tra - Đối với nhà trường THPT Bình Minh THPT Ngơ Thì Nhậm: Sau áp dụng sáng kiến nhà trường thu kết tốt, tạo tin tưởng chuyên môn nhóm tốn nhà trường Đồng thời khích lệ phong trào viết sáng kiến, cải tiến phương pháp dạy học đạt hiệu cao Đóng góp vào nâng cao chất lượng giảng dạy nhà trường Trong năm gần trường THPT Bình Minh, THPT Ngơ Thì Nhậm có tiến vượt bậc kết thi Học sinh giỏi thi THPT Quốc Gia - Đối với việc giảng dạy: Sáng kiến tiếp tục đóng góp vào việc giáo viên tích cực đổi phương pháp giảng dạy, đặc biệt mơn tốn trường THPT Bình Minh THPT Ngơ Thì Nhậm Nội dung Sáng kiến tài liệu tham khảo áp dụng cho tất trường THPT toàn tỉnh (27 trường THPT) Đặc biệt cho đối tượng học sinh ôn thi HSG, THPT Quốc gia Là chuyên đề giảng dạy hiệu cho giáo viên IV Điều kiện khả áp dụng Khả áp dụng sáng kiến thực tiễn: Rộng rãi tất trường trung học phổ thông Hiện nay, hầu hết trường THPT coi trọng vấn đề dạy ôn thi THPT Quốc gia cho học sinh, mà mơn Tốn mơn thi nằm nhiều khối thi học sinh Vì vấn đề dạy ơn thi THPT Quốc gia mơn Tốn nhà trường quan tâm nhiều Mà nội dung chuyên đề phép biến toán đồ thị hàm số liên quan đến phép biến hình dung trước ý khan tài liệu Chính nhiều học sinh cảm thấy khó khăn tiếp cận để giải nội dung Và khó khăn với giáo viên công việc soạn đề kiểm tra đề thi Do đó, việc áp dụng sáng kiến vào thực tiễn giảng dạy khả quan Vấn đề khơng nằm khả truyền đạt thầy giáo mà cần có cố gắng nhà trường, giáo viên học sinh Điều kiện áp dụng sáng kiến: Để áp dụng sáng kiến cho đạt hiệu tốt cần: + Đưa thảo luận, trao đổi, thống ý kiến với thầy cô giáo tổ chuyên môn vấn đề liên quan đến sáng kiến từ rút kinh nghiệm + Tùy theo đối tượng học sinh lớp mà đưa mức độ ví dụ sáng kiến cho phù hợp + Kiểm tra tiếp thu học sinh nội dung sáng kiến qua việc làm giải tập nhà Cũng kiểm tra 15 phút, 45 phút + Thường xuyên cập nhật đề thi THPT Quốc gia thi thử trường để bổ sung vào sáng kiến góp phần làm phong phú kho tập Chúng xin cam đoan thông tin nêu đơn trung thực, thật hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật Bình Minh, ngày 21 tháng năm 2019 XÁC NHẬN CỦA LÃNH ĐẠO ĐƠN VỊ Người nộp đơn (Ký ghi rõ họ tên) Đinh Hồng Chinh Dương Xuân Lợi Chương SƠ LƯỢC VỀ PHÉP BIẾN HÌNH Lịch sử hình thành Hình 1.1: Euclide Hình 1.2: Bellavitis (1803-1880) Từ kỉ III TCN đến kỉ XVIII, với hàng loạt công trình nghiên cứu nhà tốn học như: Euclide (sống khoảng 330-275 trước Công nguyên), Desargues (1591-1661), Pascal (1623-1662), De La Hir (1640-1718), Newtơn (1642-1737) phép biến hình xuất công cụ ngầm ẩn đề chuyển tính chất hình học (bất biến) từ hình sang hình kia, sử dụng để giải số tốn Phép biến hình sử dụng thuật ngữ mô tả đối tượng nghiên cứu toán học Vào cuối kỉ XVIII, phép biến hình trở thành đối tượng nghiên cứu toán học Nghiên cứu cách hệ thống đối tượng “phép biến hình” Bellavitis (18031880) trình bày lý thuyết hình ơng sau số nhà tốn học khác bổ sung thêm Ở giai đoạn gắn liền quan niệm xem hình tập hợp điểm mà hình học giải tích đóng vai trò quan trọng việc hình thành quan niệm Có thể nói phương pháp nhà toán học phát minh đem lại thay đổi quan trọng hình, cho phép chuyển từ cách nhìn hình tổng thể vào cách nhìn theo điểm Đến cuối thể kỉ XIX, phép biến hình khơng sử dụng cơng cụ để dựng hình hay tính chất hình Khái niệm nhóm phép biến hình đời từ vấn dề xếp CHƯƠNG SƠ LƯỢC VỀ PHÉP BIẾN HÌNH tính chất bất biến phép biến hình Và khái niệm tính chất đưa vào chương trình THPT Kiến thức 2.1 Phép biến hình Định nghĩa Phép biến hình quy tắc để với điểm M mặt phẳng xác định điểm M mặt phẳng, điểm M gọi ảnh điểm M qua phép biến hình Nếu ta kí hiệu phép biến hình F • M = f (M ) • Nếu H hình tập hợp điểm M = f (M ), với M ∈ H tạo thành hình H , ta viết H = f (H) 2.2 Phép dời hình Định nghĩa Phép dời hình phép biến hình khơng làm thay đổi khoảng cách hai điểm Định lí Phép dời hình biến: • Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm khơng thẳng hàng • Đường thẳng thành đường thẳng • Tia thành tia • Đoạn thẳng thành đoạn thẳng • Tam giác thành tam giác • Đường tròn thành đường tròn có bán kính • Góc thành góc 2.3 Phép đồng dạng Định nghĩa Phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) với hai điểm M N ảnh M N chúng, ta ln có M N = kM N CHƯƠNG SƠ LƯỢC VỀ PHÉP BIẾN HÌNH Định lí Mọi phép đồng dạng F tỉ số k (k > 0) hợp thành phép vị tự V tỉ số k phép dời hình D Hệ Phép đồng dạng tỉ số k biến: • Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm thẳng hàng • Đường thẳng thành đường thẳng • Tia thành tia • Đoạn thẳng thành đoạn thẳng độ dài nhân lên với k • Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số k • Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|.R • Biến góc thành góc Định nghĩa Hai hình đồng dạng với có phép đồng dạng biến hình thành hình Tổng quan ứng dụng Phép biến hình có nhiều ứng dụng giải toán thực tiễn sống 3.1 Trong giải tốn Phép biến hình cơng cụ để giải tốn hình học tốn: • Giải số tốn dựng hình • Giải số tốn tìm tập hợp điểm • Vẽ đồ thị hàm số 3.2 Trong thực tiễn Ngồi ứng dụng giải tốn, phép biến hình nhiều ứng dụng quan trọng đời sống thực tiễn Đó là: • Các cơng trình xây dựng vẽ thiết kế cầu, đường, nhà, đài phun nước khuân viên trường học, quan CHƯƠNG SƠ LƯỢC VỀ PHÉP BIẾN HÌNH 10 • Dựa vào tính chất phép biến hình để thiết kế họa tiết gạch hoa, họa tiết quần áo, • Ứng dụng hội họa, mỹ thuật( hình vẽ hoa văn có tâm đối xứng) • Chế tạo sản phẩm mỹ nghệ như: bình gốm, thổ cẩm, • Tạo đồ dùng: Đèn trần, chén đĩa, mâm tròn, • Chế tạo chi tiết máy (bánh răng, bánh xe, ) • Để phóng to nhỏ đồ vật CHƯƠNG PHÉP VỊ TỰ 119 y Cho đồ thị hàm số (C) : y = x2 + 2x − đồ thị hàm số (C ) : y = −2x2 + 8x − hình vẽ Có phép vị tự tâm I(1; 1) tỉ số k biến (C) thành (C ) Tìm tỉ số k x O Lời giải V(I,k) : M (x; y) → M (x ; y )   x ∀M (x; y) ∈ (C) ⇒ M (x ; y ) ∈ (C ), ta có   = kx + (1 − k) y = ky + (1 − k)     x ⇔   y x − (1 − k) k y − (1 − k) = k = Thế vào (C) ta y − (1 − k) x − (1 − k) x − (1 − k) +2 = −3 k k k 2k − (1 − k)2 x + − 2k − = −2x2 + 8x − ⇔ y = x +2· k k k Ç       k     å Ç å = −2 2k − −1 =8 Suy 2 · ⇔k= k      (1 − k)2 −9    − 2k − = k −1 Vậy tỉ số vị tự k = Ví dụ Cho đồ thị hàm số (C) : y = x3 − 2x2 − x + đồ thị hàm số (C ) : y = x3 − 3x2 − x + hình vẽ Có phép vị tự tâm O tỉ số k biến (C) thành (C ) Tìm tỉ số k y O Lời giải V(O;k) : M (x; y) → M (x ; y ) x CHƯƠNG PHÉP VỊ TỰ 120 ∀M (x; y) ∈ (C) ⇒ M (x ; y ) ∈ (C ), ta có   x = kx  y = ky x k = y k    x = ⇔  y Thế vào (C) ta 1 −2· y = x x − x +2 k k k k x3 x2 ⇔ y = −2· − x + 2k = x3 − 3x2 − x + k k Ç    =     k2   −2 å Ç å Ç å Suy  = −3 ⇔ k =  k      2k = Vậy tỉ số vị tự k = Ví dụ Cho đồ thị hàm số (C) : y = x4 − 10x2 + đồ 33 199 thị hàm số (C ) : y = x4 + x3 + x2 − x− 8 hình vẽ Có phép vị tự tâm I(3; −1) tỉ y số k biến (C) thành (C ) Tìm tỉ số k O Lời giải V(I;k) : M (x; y) → M (x ; y ) ∀M (x; y) ∈ (C) ⇒ M (x ; y ) ∈ (C ), ta có   x = kx + (1 − k) ·  y = ky + (1 − k) · (−1)     x ⇔   y x − 3(1 − k) k y + (1 − k) = k = x CHƯƠNG PHÉP VỊ TỰ 121 Thế vào (C) ta x +3 x +3 − 10 · +9 2 x4 + 12x3 + 14x2 − 132x − 135 ⇔ y −1= 127 3 33 ⇔ y = x + x + x − x − 8 y −1 =        k3        −      Ç å Ç å 12(1 − k) = k 54(1 − k)2 10 Suy  ⇔ k = = − k3 k      60(1 − k) 108(1 − k)3 −33    − =   k k      81(1 − k) −127 90(1 − k)2   10k − + = − k k Vậy tỉ số vị tự k = = Ví dụ 2x + Cho đồ thị hàm số (C) : y = đồ thị 1−x 4x + hình vẽ Có hàm số (C ) : y = − 4x phép vị tự tâm O tỉ số k biến (C) thành (C ) y Tìm tỉ số k O Lời giải V(Ok) ˙ : M (x; y) → M (x ; y ) ∀M (x; y) ∈ (C) ⇒ M (x ; y ) ∈ (C ), ta có x k ⇔   y = ky  y = y k   x = kx    x = 2· x +1 8kx + 4k 4x + k Thế vào (C) ta y = ⇔y = = k 4k − 4x − 4x 1− x k x CHƯƠNG PHÉP VỊ TỰ    8k      122 =4 Suy 4k = ⇔ k =      4k = Vậy tỉ số vị tự k = Bài toán Cho hàm số y = g(x) có đồ thị (C ) ảnh hàm số (C) qua V(I;k) Tìm (C) Phương pháp Bước 1: Tìm hàm số ban đầu y = f (x) qua V(I;k) Ta có V(I;k) : M (x; y) → M (x ; y )   x Do ∀M (x ; y ) ∈ (C ) ⇒ M (x; y) ∈ (C) ⇒  = kx + (1 − k) · a = ky + (1 − k) · b Thay x y vào (C ) : y = g(x) ta hàm số y = f (x) hàm số cho có đồ thị hàm y số (C) Bước 2: Vẽ đồ thị hàm số (C) Ví dụ minh họa Ví dụ Cho đồ thị hàm số (C ) : y = 2x − ảnh hàm số (C) qua y phép vị tự tâm I(−2; 3) tỉ số k = Tìm vẽ đồ thị hàm số ban đầu x O Lời giải y V(I,3) : M (x; y) → M (x ; y ) ∀M (x ; y )   x ∈ (C ) = 3x + (1 − 3) · (−2) ⇒  x M (x; y) ∈ (C), ta có = 3x + ⇔   y = 3y + (1 − 3) · y = 3y − Thế vào (C ), ta 3y − = 2.(3x + 4) − ⇔ y = 2x + Vậy (C) : y = 2x + O x CHƯƠNG PHÉP VỊ TỰ 123 Ví dụ ảnh −1 Tìm vẽ hàm số (C) qua phép vị tự tâm I(1; 1) tỉ số k = đồ thị hàm số ban đầu Cho đồ thị hàm số (C ) : y = −2x2 + 8x − y x O Lời giải VÇ −1 å : M (x; y) → M (x ; y ) ∀M (x; y ) ∈ (Cå) ⇒ M (x; y) ∈ Ç   −1 −1      x+ x = x = x + + · 2 Ç å ⇔  −1 −1   y = y = y+  y+ 1+ ·1 2 2 Thế vào (C ), ta −1 y+ −1 ⇔ y+ y (C), ta có O x −1 −1 3 +8 = −2 x+ x+ − 2 2 2 −1 = x − x + ⇔ y = x2 + 2x − 2 Ç å Ç å Vậy (C) : y = x2 + 2x − Ví dụ x − 3x2 − x + ảnh hàm số (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k = Tìm vẽ đồ thị hàm số ban đầu Cho đồ thị hàm số (C ) : y = y O Lời giải x CHƯƠNG PHÉP VỊ TỰ 124 y VÇ å : M (x; y) → M (x ; y ) 0, = x ∀M (x; y ) ∈ (C ) ⇒ M (x; y) ∈ (C), ta có   y = y Ç å Ç å23 2 Thế vào (C ), ta y = · x − · x − x + ⇔ 3 3 y = x3 − 2x2 − x +    x x O Vậy (C) : y = x3 − 2x2 − x + Ví dụ 33 Cho đồ thị hàm số y = x4 + x3 + x2 − x − 199 ảnh hàm số (C) qua phép vị tự tâm I(3; −1) tỉ số k = Tìm vẽ đồ thị hàm y số ban đầu O x Lời giải y V(1,2) : M (x; y) → M (x ; y ) ∀M (x; y ) ∈ (C ) ⇒ M (x; y) ∈ (C), ta có   x = 2x + (1 − 2) ·  y = 2y + (1 − 2) · (−1) Thế vào (C ), ta   x = 2x − y = 2y + ⇔ O x CHƯƠNG PHÉP VỊ TỰ 125 33 199 2y + = (2x − 3)4 + (2x − 3)3 + (2x − 3)2 − (2x − 3) − 8 81 81 323 3 ⇔ 2y + = 2x − 12x + 27x − 27x + + 12x − 54x + 81x − + 7x2 − 54x + 8 ⇔ 2y + = 2x4 − 20x2 + 10 ⇔ y = x4 − 10x2 + Vậy (C) : y = x4 − 10x2 + Ví dụ 2x + ảnh 1−x hàm số (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k = Tìm vẽ đồ thị hàm số (C) Cho đồ thị hàm số (C) : y = y O x O x Lời giải VÇ å : M (x; y) → M (x ; y ) o, ∀M (x; y ) ∈ (C ) ⇒ M (x; y) ∈ (C), ta có    x = x   y = y Ç å x +1 Ç å Thế vào (C ) ta y = ⇔y= 2−4 x 2x + 1−x 2x + Vậy (C) : y = 1−x y Bài toán Một số đồ thị hàm số mở rộng 4a Kiến thức liên quan Đơn ánh Một hàm số đơn ánh áp dụng lên đối số khác cho giá trị khác Một cách chặt chẽ, hàm f , xác định X nhận giá trị Y, đơn ánh thỏa mãn điều kiện với x1 x2 thuộc X x1 = x2 f (x1 ) = f (x2 ) CHƯƠNG PHÉP VỊ TỰ 126 Nghĩa là, hàm số f đơn ánh ∀x1 , x2 ∈ X; x1 = x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 ) Điểm bất động phép biến hình Định nghĩa: Cho điểm M nằm mặt phẳng Một phép biến hình F biến M thành M gọi điểm bất định phép biến hình F - Kí hiệu: M = F (M ) 4b Đồ thị hàm số y = f (kx), k = Tổng quan Giả sử M (x; f (x)) thuộc đồ thị hàm số y = f (x) đặt tương ã Å x ; f (x) thuộc đồ thị hàm số y = f (kx) ứng với điểm M k Dễ thấy quy tắc đơn ánh y Do đó, đồ thị hàm số y = f (kx) suy từ đồ thị hàm số y = f (x) phép co dãn theo trục hoành x O Điểm bất động điểm thuộc trục tung 1 Nếu k > ⇒ < < phép co với hệ số co k k 1 Nếu < k < ⇒ > phép dãn với hệ số dãn k k Nếu k < ta dựng đồ thị hàm số y = f (−kx) sau lấy đối xứng qua trục tung Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hàm số y = f (x) = x3 + 4x2 + x − có đồ thị hình vẽ y Xác định vẽ đồ thị hàm số cho biết số giao điểm hàm số với trục Ox Lời giải O x CHƯƠNG PHÉP VỊ TỰ 127 y Ta có y = f (2x) = (2x)3 + · (2x)2 + 2x − = 8x3 + 16x2 + 2x − Số giao điểm hàm y = f (2x) với trục Ox số nghiệm phương trình x O −3 8x3 + 16x2 + 2x − = ⇔ x = −1; x = ; x = 2 Do hàm số y = f (2x) với trục Ox có giao điểm 4c Đồ thị hàm số y = kf (x), k = Tổng quan Giả sử M (x; f (x)) thuộc đồ thị hàm số y = f (x) đặt tương y ứng với điểm M (x; kf (x)) thuộc đồ thị hàm số y = kf (x) Dễ thấy quy tắc đơn ánh Do đó, đồ thị hàm số y = kf (x) suy từ đồ thị hàm số y = f (x) phép co dãn theo trục tung x O Điểm bất động điểm thuộc trục hoành Nếu k > phép co với hệ số co k Nếu < k < phép dãn với hệ số dãn k Nếu k < ta dựng đồ thị hàm số y = −kf (x) sau lấy đối xứng qua trục hồnh Ví dụ minh họa Ví dụ Cho đồ thị hàm số y = f (x) = x3 + 4x2 + x − Vẽ đồ thị y hàm số y = 2f (x) cho biết số giao điểm đồ thị hàm số y = 2f (x) với trục Ox Lời giải O x CHƯƠNG PHÉP VỊ TỰ 128 y Ta có y = 2f (x) = 2x3 + 8x2 + 2x − 12 Số giao điểm hàm y = 2f (x) với trục Ox số nghiệm phương trình 2x3 + 8x2 + 2x − 12 = ⇔ x = 1; x = −2; x = −3 O x Do hàm số y = 2f (x) với trục Ox có giao điểm Nhận xét Với lời giải hai ví dụ 4b 4c bạn đọc thường giải tương tự Nhưng ta nắm vững kiến thức dạng đồ thị tốn trở nên vơ đơn giản không nhiều thời gian Bài tập tự luyện Câu Cho hàm số y = 2x + 1, phép vị tự tâm I(1; 1) tỉ số k biến hàm số cho thành y = 2x Tính tổng hệ số khai triển x = b A −4 B 36 C 16 D Câu Cho hàm số y = x2 + 3x + 2, phép vị tự tâm I(1; 2), biến hàm số y thành y = 3x2 − x + Khi giá trị P = 2k − 2019 A −2001 B −2011 C −2017 D −1987 Câu Cho hàm số y = x3 + 4x2 + 2x + 8, phép vị tự tâm I(1; 2), biến hàm số y thành y = 4x3 − 2x2 + 2x + Khi đó, phương trình x2 − 2kx + = có nghiệm? A B C D Câu Cho hàm số y = x4 + 6x2 + 9, phép vị tự tâm I(1; 1) tỉ số k biến hàm số y thành 53 y = 3x4 + 72x3 + 90x2 − 56x + Tìm tỉ số vị tự k 3 A B C D Câu Trong mp tọa độ Oxy cho phép vị tự tâm I(1; 1) tỉ số k = biến hàm số (C) thành hàm số (C ) : y = 2x+7 Xác định số giao điểm (C) với đồ thị hàm số y = x2 +3x−4 A B C D CHƯƠNG PHÉP VỊ TỰ 129 Câu Trong mp tọa độ Oxy cho phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số k = biến hàm số (C) thành x2 − x − Tìm (C) hàm số (C ) : y = 2 A y = x2 − x − B y = x2 − 2x + C y = 2x2 + x + D y = x2 − 2x − Câu Trong mp tọa độ Oxy, cho phép vị tự tâm I(1; 1) tỉ số k = biến hàm số (C) thành x4 x3 11x2 9x 41 + + + + Tìm (C) hàm số (C ) : y = 8 A y = x4 + 4x2 + B y = x3 + 4x2 + C y = x3 + 2x2 + D y = 2x4 + 8x2 + Câu Trong mp tọa độ Oxy cho phép vị tự tâm I(1; 1) tỉ số k = biến hàm số (C) thành x−5 hàm số (C ) : y = Tìm (C) x+9 2x + x+1 2x + 2x + B y = C y = D y = A y = 2x + x+8 x+8 x−8 Câu Trong mp tọa độ Oxy cho phép vị tự tâm I(3; 2) tỉ số k = −2 biến hàm số (C) thành hàm số (C ) : y = x3 − 24x2 + 9x − 495 Hàm số (C) có cực trị? A B C D Câu 10 Cho hàm số (C) : y = 3x − 5, phép vị tự tâm I(−2; a) tỉ số k = biến (C) thành (C ) : y = x − Tìm tọa độ điểm I A (−2; 1) B (−2; 2) C (−2; 0) D (−2; −1) Câu 11 Tìm ảnh hàm số (C) : y = x2 − 2x + qua phép vị tự tâm I(2; 1) tỉ số k = A y = x2 − 8x + 10 B y = −x2 + 8x − 10 C y = 2x2 + 16x − 20 D y = 2x2 − 16x + 20 Câu 12 Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d qua phép vị tự tâm I(2; −1) tỉ số k = biến x3 5x2 50x 269 hàm số thành hàm số có dạng y = − − − Tính tổng a + b + 2c 3 A B −2 C D Câu 13 Cho hàm số y = x4 + 5x3 − 2x2 + qua phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số k = biến (C) thành (C ) Tìm (C ) −x4 7 9 −x4 7 9 A y = + x − x + x− B y = − x − x + x+ 4 4 x4 7 9 x4 7 9 C y = + x − x − x− D y = + x + x + x− 4 4 Câu 14 Cho hàm số y = phép vị tự tâm I(−2; 1) tỉ số k biến (C) thành (C ) : y = x+4 3x + 22 Tìm k x−2 −1 A B −2 C D 2 Câu 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số (C) : y = 2x2 − x + hàm số (C ) : y = 4x2 − 21x + 31, phép vị tự tâm I(a; b) tỉ số k = biến (C) thành (C ) Tính giá trị a + 2b CHƯƠNG PHÉP VỊ TỰ A −7 130 B C 34 D 17 Câu 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số (C) : y = 4x3 + 2x2 − x + hàm số (C ) : y = x3 + 4x2 + 4x + 1, phép vị tự tâm I tỉ số k = biến (C) thành (C ) Tìm tâm vị tự I A (3; 4) B (1; 2) C (−2; 1) D (2; −1) Câu 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số (C) : y = 8x4 − 2x2 + hàm số (C ) y = x4 − x2 + 3, phép vị tự tâm I tỉ số k = biến (C) thành (C ) Tìm tâm vị tự I A (1; 0) B (0; 2) C (0; 1) D (2; −1) 2x + Câu 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số (C) : y = hàm số (C ) : y = x+1 −6x − , phép vị tự tâm I tỉ số k = biến (C) thành (C ) Điểm I thuộc đường thẳng 9x + sau A 2x − y = B 2x − y + = C x − 2y + = D x − 2y = x−2 Ảnh (C ) hàm số 4x + qua phép vị tự tâm I(2; −3) tỉ số k = có tiệm cận ngang y = a tiệm cận đứng Câu 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hàm số (C) : y = x = b Tính giá trị biểu thức a2 − b2 A −26 B −6 C D 26 Câu 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hàm số (d) : y = 5x + Tìm ảnh hàm số −1 qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 A y = −5x + B y = 5x − C y = 5x + D y = −5x − 5 Câu 21 y Cho đồ thị hàm số hình vẽ Đồ thị hàm số y = f (x) có điểm bất động? A B C D O x Câu 22 Cho đồ thị hàm số y = f (x) = x3 − 3x2 + hình vẽ Tìm m y để phương trình f (|3x| + m) − = có nghiệm phân biệt A m ∈ (0; +∞) B m = C m ∈ (−∞; 0) D ∀m ∈ R O x CHƯƠNG PHÉP VỊ TỰ 131 Câu 23 y Cho đồ thị hàm số hình vẽ Phương trình f (2x) + = có số nghiệm dương A B C D O x Câu 24 y Cho đồ thị hàm số hình vẽ Phương trình f (ax) + = ln có nghiệm a thay đổi? A x = −1 B x = C x = D không tồn x O x Câu 25 Cho đồ thị hàm số hình vẽ Đồ thị hàm số y = f (3x) có dạng y sau đây? O y O A y x O B x x CHƯƠNG PHÉP VỊ TỰ 132 y y x O x O C D Bảng đáp án C A C B A 11 B 12 A 13 D 14 B 15 D 21 C 22 C 23 D 24 B 25 B B 16 B A 17 C A 18 A D 10 A 19 C 20 B Mục lục 133 ... dạng biến hình thành hình Tổng quan ứng dụng Phép biến hình có nhiều ứng dụng giải tốn thực tiễn sống 3.1 Trong giải toán Phép biến hình cơng cụ để giải tốn hình học tốn: • Giải số tốn dựng hình. .. qua phép biến hình Nếu ta kí hiệu phép biến hình F • M = f (M ) • Nếu H hình tập hợp điểm M = f (M ), với M ∈ H tạo thành hình H , ta viết H = f (H) 2.2 Phép dời hình Định nghĩa Phép dời hình phép. .. xếp CHƯƠNG SƠ LƯỢC VỀ PHÉP BIẾN HÌNH tính chất bất biến phép biến hình Và khái niệm tính chất đưa vào chương trình THPT Kiến thức 2.1 Phép biến hình Định nghĩa Phép biến hình quy tắc để với điểm