Đề cương ôn thi vào lớp 10 (môn toán)

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI VÀO LỚP 10 (Tổng số 42 tiết) I VÒNG 1: ( 18 TIẾT): NHỮNG NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN A.Đại số: I.Căn bậc hai: Khái niệm, đẳng thức, ĐKXĐ, phép biến đổi (2 tiết ) II.Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình bậc ẩn: Dạng, phương pháp giải (2 tiết) III.Hàm số bậc nhất, bậc hai: Đ/n, t/c, đồ thị, tương giao đồ thị (2 tiết ) IV.Giải tốn cách lập hệ phương trình, phương trình (2 tiết ) V.Phương trình bậc hai: Dạng, cơng thức nghiệm, Định lý Viet, ứng dụng (2 tiết ) B.Hình học: I Hệ thức lượng tam giác vuông Tỉ số lượng giác góc nhọn (2 tiết ) II Chứng minh Bằng – Song song; vng góc - Đồng quy; thẳng hàng (2 tiết ) III.Chứng minh hai tam giác đồng dạng Hệ thức hình học (2 tiết ) IV.Tứ giác nội tiếp: Khái niệm, tính chất, dấu hiệu (2 tiết ) II VÒNG 2: ( 12 TIẾT): NHỮNG CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN SÂU I Cực trị đại số (2 tiết ) II Sự tương giao đường thẳng parabol mặt phẳng toạ độ (2 tiết ) III Hệ thức Vi-et ứng dụng (2 tiết ) IV.Cực trị hình học (2 tiết ) V Phương trình vơ tỉ (2 tiết ) VI Bất đẳng thức (2 tiết ) III VÒNG 2: ( 12 TIẾT): THAM KHẢO MỘT SỐ ĐỀ THI VÀO THPT I Đề số 1: II Đề số 2: III Đề số 3: IV Đề số 4: VÒNG 1: ( 18 TIẾT) NHỮNG NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN §1.CĂN BẬC HAI A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Khái niệm x bậc hai số không âm a � x2 = a Kí hiệu: x  a 2.Điều kiện xác định biểu thức A Biểu thức A xác định � A �0 3.Hằng đẳng thức bậc hai A A �0 � A2  A  � A A  � 4.Các phép biến đổi thức +) A.B  A B  A �0; B �0  +) A A  B B +) A 2B  A B  B �0  +) A  A.B B B  A.B �0; B �0  +)  A �0; B      B �0; A �B n. A m B    A �0; B �0; A �B  m A m B m  A2  B A� B +) n A� B +) A �2 B  m �2 m.n  n  AB  m� n   m� n mnA � với � m.n  B � B.MỘT SỐ VÍ DỤ VD1.Thu gọn, tính giá trị biểu thức      A   2  3  B 3 2   2 3 1   C  3 2  6 D 2  2 Giải A  6   27    34 B  32   2  2 1 1 C   2 1     D     2 2      2 2 1  2  2  42  42       1   1    1 � D      � D  x2  x 2x  x 1 VD2.Cho biểu thức y  x  x 1 x a)Rút gọn y Tìm x để y = b)Cho x > Chứng minh y  y  c)Tìm giá trị nhỏ y Giải x � x  1� � � a) y  � �  x x   x x    x   x  x x  x 1 x y  � x  x  � x  x   � x 1 x            � x 20� x 2� x 4 (Ở ta áp dụng giải phương trình bậc hai cách đặt ẩn phụ) b) Có y  y  x  x  x  x Do x  � x  x � x  x  � x  x  x  x �y y 0     1 � 1� 1 c) Có: y  x  x  x  x  x  x    � x  � � 4 � 2� 4 1 1 Vậy Min y   x  � x  � x  2 VD3.So sánh hai số sau a  1997  1999 b  1998 Giải 2 Có a  1998   1998    1998   1998    2.1998  19982   2.1998  19982  1998 Vậy a < b C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN 1.Thực phép tính, rút gọn biểu thức A   2  57  40 B  1100  44  176  1331  C   2002 2003  2002 D  72   4,5  27 3 �3 � �� E� 2 4 �  12  �  � �� �2 �   F   15   15 G  4  4 H   60  45  12 I 94  94   K  3 7 L M   14 12 5   50  24 72  20  2   75  3 3 N  3 3  12  20 P 18  27  45 Q   3 �5  � � �  � � R   13  48 2.Tính giá trị biểu thức 1 1 A  a  ;b a 1 b 1 74 74 B  5x  5x  x    2x  2x  x    2x   2x 3.Chứng minh 1     a) 3 12 C b) c)    1 2  2  2  2  2 1    d) S  số nguyên 1 2 99  100  x x 2 ; B  x  2x  4.Cho A  2x  x 2 x 2 a) Rút gọn A B b) Tìm x để A = B x 1 5.Cho A  Tìm số nguyên x để A nhận giá trị nguyên x 3 6.Tìm x, biết: x  x 1 a)   x  81  36 b) 3 c) x x 5 1 x4 §2.HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Định lý Pitago ABC vuông A � AB2  AC2  BC2 2.Hệ thức lượng tam giác vuông A B H C 1) AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC 2) AB.AC = AH.BC 3) AH2 = BH.HC 1   2 AH AB AC Kết quả: 4) a -Với tam giác cạnh a, ta có: h  ; 3.Tỉ số lượng giác góc nhọn Đặt �ACB  ; �ABC   đó: a2 S AB AH AC HC AB AH AC HC  ; cos   ; tg   ; cot g   BC AC BC AC AC HC AB AH b  a sin B  acosC  ctgB  ccot gC c  acosB  asinC  bctgB  btgC Kết suy ra: 1) sin   cos; cos  sin; tg  cotg; cot g  tg sin  cos 2)  sin   1;  cos AC, kẻ trung tuyến AM đường cao AH Chứng minh: BC2 2 a) AB  AC  2AM  b) AB2  AC  2BC.MH VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm a) Chứng minh AC vng góc với BD b) Tính diện tích hình thang VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15; �ADC=700 C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN 1.Cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến BD Gọi I hình chiếu C BD, H hình chiếu I AC Chứng minh: AH = 3HI 2.Qua đỉnh A hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt BC E cắt đường thẳng DC F Chứng minh: 1   2 AE AF a 3.Cho tam giác cân ABC có đáy BC = a; �BAC =  ;   450 Kẻ đường cao AE, BF a) Tính cạnh tam giác BFC theo a tỉ số lượng giác góc  b) Tính theo a, theo tỉ số lượng giác góc  2 , cạnh tam giác ABF, BFC c) Từ kết trên, chứng minh đẳng thức sau: 1) sin 2  2sin cos; 2) cos2 =cos 2  sin ; 2tg 3) tg2   tg 2 §3.PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH (Bậc nhất) A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Phương trình bậc ẩn -Quy đồng khử mẫu -Đưa dạng ax + b = (a ≠ 0) b -Nghiệm x  a 2.Phương trình chứa ẩn mẫu -Tìm ĐKXĐ phương trình -Quy đồng khử mẫu -Giải phương trình vừa tìm -So sánh giá trị vừa tìm với ĐKXĐ kết luận 3.Phương trình tích Để giái phương trình tích ta cần giải phương trình thành phần Chẳng hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) = � A x  � �� B x   � C x  � 4.Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải biện luận phương trình) Dạng phương trình sau biến đổi có dạng ax + b = Song giá trị cụ thể a, b ta nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm phương trình b -Nếu a ≠ phương trình có nghiệm x  a -Nếu a = b = phương trình có vơ số nghiệm -Nếu a = b ≠ phương trình vơ nghiệm 5.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối Cần ý khái niệm giá trị tuyệt đối biểu thức A A �0 � A � A A  � 6.Hệ phương trình bậc Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số Chú ý phương pháp đặt ẩn phụ số trường hợp xuất biểu thức giống hai phương trình 7.Bất phương trình bậc Với bất phương trình bậc việc biến đổi tương tự với phương trình bậc Tuy nhiên cần ý nhân hai vế với số âm phải đổi chiều bất phương trình B.MỘT SỐ VÍ DỤ VD1.Giải phương trình sau a)  x  3    x  1  c) Giải b) 13   2x  x  21 2x  x  7x 20x  1,5  5 x  9  d) x   x   10 (*) a)  x  3    x  1  � 2x   2x  � 5  7 (Vơ lý) Vậy phương trình vơ nghệm 7x 20x  1,5  5 x  9  � 21x  120x  1080  80x  � 179x  1074 � x  Vậy phương trình có nghiệm x = b) 13 13 �      x  3  2x   2x   x  3  x  3 2x  x  21 2x  x  ĐKXĐ: x ��3; x � � 13  x     x  3  x     2x   � 13x  39  x   12x  42 c) x  �DKXD � � x  x  12  �  x    x    � � x  4 �DKXD � Vậy phương trình có nghiệm x = - d) Lập bảng xét dấu x x–3 x-7 -Xét x < 3: - + - (*) �  x    x   10 � 24  4x  10 � 4x  14 � x  -Xét �x  : + + (loại) (*) � x     x   10 � 2x  18  10 � 2x  8 � x  (t/mãn) -Xét x �7 : 17 (*) � x    x    10 � 4x  24  10 � 4x  34 � x  (loại) Vậy phương trình có nghiệm x = VD2.Giải biện luận phương trình sau x  a  b x  b  a b2  a   a) (1) a b ab a  x  1 b) ax    (2) x 1 x  x 1 Giải a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ (1) � b  x  a  b   a  x  b  a   b  a � bx  ab  b  ax  ab  a  b  a �  b  a  x  2 b  a   b  a  2 b  a   b  a   2 b  a  ba -Nếu b – a = � b  a phương trình có vơ số nghiệm Vậy: -Với b ≠ a, phương trình có nghiệm x = 2(b + a) -Với b = a, phương trình có vơ số nghiệm -Nếu b – a ≠  b a x  b) ĐKXĐ: x ��1 (2) �  ax-1  x  1   x  1  a  x  1 � ax  ax  x   2x   ax  a �  a  1 x  a  a 3 a 1 -Nếu a + = � a  1 phương trình vơ nghiệm Vậy: -Nếu a + ≠  a x  -Với a ≠ -1 a ≠ -2 phương trình có nghiệm x  -Với a = -1 a = -2 phương trình vơ nghiệm VD3.Giải hệ phương trình sau �1   � �x  5y  �x  y x  y a) � b) � 3x  2y  � �1  3 � �x  y x  y Giải a 3 a 1 �x  2y  3z  � c) �x  3y  z  �x  5y  � �x   5y �x  5y  �x   5y �x   5y �x  a) � �� �� �� ��   5y   2y  � 3x  2y  � 21  17y  � �y  �y  3x  15y  21 � 17y  17 �x  5y  � �y  �� �� �� � 3x  2y  � 3x  2y  3x  2y  �x  � � b) ĐK: x ��y 1  u; v đặt xy xy � � 2v  uv � � �v  � � � �� Khi đó, có hệ � 5�� uv � � � u u  v  � � � �x  y  �x  �� Thay trở lại, ta được: � �x  y  �y  �x  2y  3z  �x   5y �x   5y �x  � � � �  5y  2y  3z  � � 7y  3z  � �y  c) �x  3y  z  � � �x  5y  � � �  5y  3y  z  2y  z  z2 � � � � C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN 1.Giải phương trình sau x  17 3x  a)  x     x     3x  1  82 b)   2 x 1 x  x  x  x 1 x 7x  c)    d)   65 64 63 62 x  x   x2 x2 e)   f) x 3 5 x  x x  x  2 g) 3x   2x  h)  x  2x   i)  3x  x  3   3x  1  x   k) 4x  x  2x  x     2.Giải biện luận phương trình sau x a xb a) b a a b b) a  x  1  3a  x ax-1 x  a a  c)   a+1  a a  a a 1 a 1 d)    x  a x 1 x  a x 1 3.Giải hệ phương trình sau 10 �A  �A '; �B  �B'; �C  �C' � � -Khái niệm: ABC : A 'B'C' �AB AC BC   � �A'B' A 'C' B'C' -Các trường hợp đồng dạng hai tam giác: c – c – c; c – g – c; g – g -Các trường hợp đồng dạng hai tam giác vng: góc nhọn; hai cạnh góc vng; cạnh huyền - cạnh góc vng… *Tính chất: Hai tam giác đồng dạng tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi tỉ số đồng dạng; tỉ số hai diện tích bình phương tỉ số đồng dạng 2.Phương pháp chứng minh hệ thức hình học -Dùng định lí Talet, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, hệ thức lượng tam giác vuông, … Giả sử cần chứng minh MA.MB = MC.MD -Chứng minh hai tam giác MAC MDB đồng dạng hai tam giác MAD MCB -Trong trường hợp điểm nằm đường thẳng cần chứng minh tích tích thứ ba Nếu cần chứng minh MT2 = MA.MB chứng minh hai tam giác MTA MBT đồng dạng so sánh với tích thứ ba Ngồi cần ý đến việc sử dụng hệ thức tam giác vuông; phương tích điểm với đường tròn B.MỘT SỐ VÍ DỤ VD1.Cho hình bình hành ABCD Từ đỉnh A kẻ cát tuyến cắt đường chéo BD E, cắt cạnh BC F cắt cạnh CD G Chứng minh: a) Các tam giác DAE BFE đồng dạng b) Các tam giác DGE BAE đồng dạng c) AE2 = EF.EG d) Tích BF.DG khơng đổi cát tuyến qua A thay đổi VD2.Cho hình bình hành ABCD Từ C kẻ CM vng góc với AB, CN vng góc với AD Giả sử AC > BD Chứng minh rằng: AB.AM + AD.AN = AC2 C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN 1.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi M trung điểm BC Đường thẳng qua H vng góc với MH cắt AB P, cắt AC Q Chứng minh: a) AHP ~ CMH b) QHA ~ HMB c) HP = HQ 2.Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm BC Lấy P cạnh AB, Q cạnh AC cho góc PMQ 600 a) Chứng minh MBP ~ QCM Từ suy PB.CQ có giá trị khơng đổi b) Kẻ MH vng góc với PQ, chứng minh MBP ~ QMP; QCM ~ QMP 19 c) CHứng minh độ dài MH không đổi P, Q chạy AB, AC thỏa mãn điều kiện góc PMQ 600 3.Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c (b > c) phân giác BD, CE a) Tính độ dài CD, BE suy CD > BE b) Vẽ hình bình hành BEKD, chứng minh CE > EK c) Chứng minh CE > BD §7.GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH A.KIẾN THỨC CƠ BẢN Phương pháp giải Bước Gọi ẩn đặt điều kiện: Gọi (hai) số điều chưa biết làm ẩn đặt điều kiện cho ẩn Bước Biểu diễn đại lượng chưa biết lại qua ẩn Bước Lập phương trình (hệ phương trình): Dựa vào mối quan hệ đại lượng biết chưa biết Bước Giải phương trình (hệ phương trình) vừa lập Bước Kết luận: Kiểm tra giá trị tìm với điều kiện kết luận *Chú ý việc tóm tắt tốn trước làm B.MỘT SỐ VÍ DỤ 1.Để đoạn đường từ A đến B, xe máy hết 3h20 phút, ơtơ hết 2h30phút Tính chiều dài quãng đường AB biết vận tốc ôtô lớn vận tốc xe máy 20km/h Qng đường (km) Xe máy x Ơtơ x Từ có phương trình x - 20 Ơtơ Vận tốc (km/h) 10 3x x:  10 2x x:  2x 3x   20 , giải x = 200 km 10 Vận tốc (km/h) Xe máy Thời gian (h) 10 3h20ph = h 2h30ph = h x Thời gian (h) 10 3h20ph = h 2h30ph = h Quãng đường (km) 10  x  20  x 10 x   x  20  , giải x = 80 km/h Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km) Từ có phương trình 20 Xe máy Ơtơ x x + 20 10 h 2h30ph = h 10 x 3h20ph =  x  20  10 x   x  20  , giải x = 60 km/h *Nhận xét: Trong cách làm cách thứ ngắn gọn Từ có phương trình C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN 1.Cho 200g dung dịch có nồng độ muối 10% Phải pha thêm vào dung dịch lượng nước để dung dịch có nồng độ muối 8% 2.Có hai vòi nước, vòi chảy đầy bể 1,5 giờ, vòi chảy đầy bể Người ta cho vòi chảy thời gian, khóa lại cho vòi chảy tiếp, tổng cộng 1,8 đầy bể Hỏi vòi chảy bao lâu? 3.Tổng chữ số hàng chục hai lần chữ số hàng đơn vị số có hai chữ số 18 Nếu đổi chỗ hai chữ số cho số lớn số ban đầu 54 Tìm số ban đầu 4.Một đám đất hình chữ nhật có chu vi 124m Nếu tăng chiều dài 5m chiều rộng 3m diện tích tăng thêm 225m2 Tính kích thước hình chữ nhật 5.Một cửa hàng ngày bán số xe đạp xe máy Biết số xe đạp bán nhiều số xe máy tổng bình phương hai số 97 Hỏi cửa hàng bán xe loại 6.Dân số địa phương 41618 người Cách năm dân số địa phương 40000 người Hỏi trung bình năm dân số địa phương tăng phần trăm §8.CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP A.KIẾN THỨC CƠ BẢN Phương pháp chứng minh -Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cách điểm -Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù -Chứng minh hai đỉnh nhìn đoạn thẳng tạo hai điểm lại hai góc -Chứng minh tổng góc ngồi đỉnh với góc đối diện bù -Nếu MA.MB = MC.MD NA.ND = NC.NB tứ giác ABCD nột tiếp (Trong M  AB �CD; N  AD �BC ) -Nếu PA.PC = PB.PD tứ giác ABCD nội tiếp (Trong P  AC �BD ) -Chứng minh tứ giác hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuông; … Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm thuộc đường tròn ta chứng minh điểm lúc Song cần ý tính chất “Qua điểm không thẳng hàng xác định đường tròn” B.MỘT SỐ VÍ DỤ 21 VD1.Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, có điểm M Trên đường kính AB lấy điểm C cho AC < CB Kẻ hai tiếp tuyến Ax By A B với (O) Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax P, đường thẳng qua C vng góc với CP cắt By Q Gọi D giao điểm CQ BM Chứng minh: a) Các tứ giác ACMP, CDME nội tiếp b) AB//DE c) Ba điểm P, M, Q thẳng hàng VD2.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AA’, đường cao AM a) Hai đường cao BN, CP cắt H PN cắt AA’ S Chứng minh tứ giác BPNC A’SNC nội tiếp b) Chứng minh PN vng góc với AA’ C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN 1.Cho (O; R) dây cung AB ( AB < 2R) Trên tia AB lấy điểm C cho AC > AB Từ C kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn P K Gọi I trung điểm AB a) Chứng minh tứ giác CPIK nội tiếp b) Chứng minh hai tam giác ACP PCB đồng dạng Từ suy CP2 = CB.CA c) Gọi H trực tâm tam giác CPK, tính PH theo R d) Giả sử PA//CK, chứng minh tia đối tia BK tia phân giác góc CBP 2.Cho tam giác ABC cân A, cung tròn phía tam giác tiếp xúc với AB, AC B C Từ điểm D cung BC kẻ đường vng góc DE với BC, DF với AC DG với AB Gọi M giao điểm BD GE, N giao điểm EF DC Chứng minh: a) Các tứ giác BEDG CEDF nội tiếp b) DE2 = DF.DG c) Tứ giác EMDN nội tiếp, suy MN vuông góc với DE d) Nếu GB = GE EF = EC 3.Từ điểm M đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta kẻ đường vng góc hạ xuống ba cạnh tam giác MH  AB; MI  BC; MK  AC Chứng minh: a) Ba tứ giác AHMK, HBIM, ICKM nội tiếp b) Ba điểm H, I, K nằm đường thẳng (đường thẳng Simson) §9.HÀM SỐ - ĐỒ THỊ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Tính chất hàm số bậc y = ax + b (a ≠0) -Đồng biến a > 0; nghịch biến a < -Đồ thị đường thẳng nên vẽ cần xác định hai điểm thuộc đồ thị +Trong trường hợp b = 0, đồ thị hàm số qua gốc tọa độ +Trong trường hợp b ≠ 0, đồ thị hàm số cắt trục tung điểm b -Đồ thị hàm số ln tạo với trục hồnh góc  , mà tg  a -Đồ thị hàm số qua điểm A(xA; yA) yA = axA + b 2.Vị trí hai đường thẳng mặt phẳng tọa độ Xét hai đường thẳng: (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2 với a1 ≠ 0; a2 ≠ -Hai đường thẳng song song a1 = a2 b1 ≠ b2 22 -Hai đường thẳng trùng a1 = a2 b1 = b2 -Hai đường thẳng cắt a1 ≠ a2 +Nếu b1 = b2 chúng cắt b1 trục tung +Nếu a1.a2 = -1 chúng vng góc với 3.Tính chất hàm số bậc hai y = ax2 (a ≠ 0) -Nếu a > hàm số nghịch biến x < 0, đồng biến x > Nếu a < hàm số đồng biến x < 0, nghịch biến x > -Đồ thị hàm số Parabol qua gốc tọa độ: +) Nếu a > parabol có điểm thấp gốc tọa độ +) Nếu a < Parabol có điểm cao gốc tọa độ -Đồ thị hàm số qua điểm A(xA; yA) yA = axA2 4.Vị trí đường thẳng parabol -Xét đường thẳng x = m parabol y = ax2: +) ln có giao điểm có tọa độ (m; am2) -Xét đường thẳng y = m parabol y = ax2: +) Nếu m = có giao điểm gốc tọa độ +) Nếu am > có hai giao điểm có hồnh độ x = � m a +) Nếu am < khơng có giao điểm -Xét đường thẳng y = mx + n ( m ≠ 0) parabol y = ax2: +) Hoành độ giao điểm chúng nghiệm phương trình hoành độ ax = mx + n B.MỘT SỐ VÍ DỤ VD1.Cho (P): y = x2 Vẽ (P) hệ trục Oxy Trên (P) lấy hai điểm A B có hồnh độ Hãy viết phương trình đường thẳng qua A B Lập phương trình đường trung trực (d) AB Tìm tọa độ giao điểm (d) (P) 5.Tính diện tích tứ giác có đỉnh A, B điểm 1; trục hoành VD2.Trong hệ trục tọa độ, gọi (P), (d) đồ thị hàm số x2 y   ; y  x 1 a) Vẽ (P) (d) b) Dùng đồ thị để giải phương trình x  4x   kiểm tra lại phép toán x2 Phương trình cho �   x  Nhận thấy đồ thị hai hàm số vừa vẽ đồ x thị y   y  x  Mà đồ thị hai hàm số đo tiếp xúc A nên phương trình có nghiệm kép hồnh độ điểm A c) Viết phương trình đường thẳng (d1) song song với (d) cắt (P) điểm có tung độ - Tìm giao điểm lại (d1) với (P) 23 VD3.Cho (P): y = x đường thẳng (d) qua hai điểm A, B (P) có hồnh độ – a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (P) b) Viết phương trình đường thẳng (d) c) Tìm M cung AB (P) tương ứng với hoành độ x chạy khoảng từ - đến cho tam giác MAB có diện tích lớn Do đáy AB khơng đổi nên để diện tích lớn đường cao MH lớn MH lớn khoảng cách từ AB đến đường thẳng (d)//AB tiếp xúc với (P) � 1� 1; � Tìm tọa độ M � � 4� C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN 1.Cho (P): y = ax2 a) Xác định a để đồ thị hàm số qua A(1; 1) Hàm số đồng biến, nghịch biến b) Gọi (d) đường thẳng qua A cắt trục Ox điểm M có hồnh độ m ( m ≠ 1) Viết phương trình (d) tìm m để (d) (P) có điểm chung 2.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A (-2; 2) đường thẳng (d1): y = -2(x+1) a) Giải thích A nằm (d1) b) Tìm a hàm số y = ax2 có đồ thị (P) qua A c) Viết phương trình đường thẳng (d2) qua A vng góc với (d1) d) Gọi A, B giao điểm (P) (d2); C giao điểm (d1) với trục tung Tìm tọa độ B C Tính diện tích tam giác ABC 3.Cho (P): y = x2 (d): y = 2x + m Tìm m để (P) (d): a) Cắt hai điểm phân biệt b) Tiếp xúc c) Không giao 4.Trong hệ trục tọa độ Oxy gọi (P) đồ thị hàm số y = x2 a) Vẽ (P) b) Gọi A, B hai điểm thuộc (P) có hồnh độ – Viết phương trình đường thẳng AB c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB tiếp xúc với (P) 5.Cho hai đường thẳng (d1) (d2) có phương trình là: y = (m-2)x + y = mx + m + a) Tìm m để (d1) qua điểm A(1; 5) Vẽ đồ thị hai hàm số với m vừa tìm b) Chứng tỏ (d1) ln qua điểm cố định với m ≠ c) Với giá trị m (d1) //(d2); (d1)  (d2) d) Tính diện tích phần giới hạn hai đường thẳng (d1), (d2) trục hoành trường hợp (d1)  (d2) 24 - PHẦN BÀI LUYỆN GIẢI CƠ BẢN I.BIẾN ĐỔI CĂN THỨC Bài Tìm điều kiện xác định biểu thức sau 6x  2x  a)  5x b) c) d) x2 1 x x  1 x Bài Thực phép tính, rút gọn biểu thức a) 18   32  50 b) 48  27  12 :   c)  18  50 d) 12  75  48 2 e)     f)  74 74 3 g) h) 3 2 3 Bài Giải phương trình, bất phương trình sau  a)1  2x  10   b)  x  x  x  11 d) 16x  3x  e) 3  5x �72 c)   x  f )  2  2x �4 II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài Giải hệ phương trình sau 3x  5y  � � 5x  2y  � 2x  3y  2 � � 3x  2y  3 � 3u  v  � � 7u  2v  23 � y �x � 1 �5 15 � 2x  5y  10 � 4a  5b  10  � � �a b   0 � �5 3  x  y    2x  3y 2  2x  1  1,5   y    6x � � � � � 10 �  y  x    3x  2y 11,5    x   2y    x  � � �2  2 �x  y   � �  x  1   x    9y 3x  y  � � 11 � 12.� 13 � 2 2 x  3y 1 � y   y   5x     � � �  1 � �x  y  �x  6y  17 � 5x  y  23 � 40x  3y  10 � � 20x  7y  � �1 �x y20 �3 � 5x  y  11 � 25 �x   z � 14 �y   3z � z  3x  3y  2 � �x  y  � 15 �y  z  � z  x 1 � Bài Với giá trị tham số m �x  y  m  a) � có nghiệm nguyên 3x  5y  2m � �x  y  z  12 � 16 � 2x  3y  z  12 �x  y  2z  9 � mx  2y  � b) � vô nghiệm 3x  y  � III.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Bài Giải phương trình sau a) 3x  12x  b) 5x  10x  c) 3x  12  d) 3x   e) x  5x   f ) 3x  7x   g) 5x  31x  26  h) x  15x  16  i) 19x  23x   k) 2x  3x  11  y 9x  12 1 l)   m)   y  6y  2y y  3y x  64 x  4x  16 x  1 27 n) 3x  x  14  p)  x  x  1  x  x  12   12 q) x   x   x x Bài Cho phương trình x + 5x + = Khơng giải phương trình tính: � �1 � x x � a) x12 x  x1x 2 b)  c)  x1  2x   2x1  x  d) � x1  �  x � 2� x x1 � x2 � �x1 � Bài Giả sử x1, x2 hai nghiệm phương trình 2x – 7x – = Hãy lập phương trình có nghiệm là: 1 1 x x a) 3x1; 3x b) ; c) x1x 2 ; x12 x d) ; e) ; f ) x1  2x ; 2x1  x x1 x x1 x x x1 Bài Cho phương trình x + (m + 2)x + 2m = a) Giải biện luận số nghiệm phương trình b) Phương trình có nghiệm x = Tìm m nghiệm lại x1 x   c) Tìm m để x x1 d) Tìm m để  2x1  x   x1  2x  �0 e) Tìm biểu thức liên hệ x1 x2 mà khơng phụ thuộc vào m f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối g) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dấu Có nhận xét hai nghiệm IV.HÀM SỐ Bài Cho hàm số y = (a – 3)x + b (d) Tìm giá trị a, b cho đường thẳng (d): a) Đi qua hai điểm A(1; 2) B(-3; 4) b) Cắt trục tung điểm  cắt trục hoành điểm  26 c) Cắt hai đường thẳng 2y – 4x + = ; y = x – điểm song song với đường thẳng y = -2x + d) Đi qua điểm C (1; -3) vng góc với đường thẳng y = x + e) Tính diện tích phần giới hạn hai đường thẳng câu d trục tung Bài Cho hai hàm số y = x2 (P); y = x + 2m – (d) a) Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục tọa độ (d) qua điểm A(1; 1) b) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm c) Tìm m để (d1): y = 2x – cắt (d) (P) điểm d) Chứng minh (d2): y = -x + m2 cắt (P) hai điểm với m V.GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1.Cách 18 năm, hai người tuổi gấp đôi Nhưng năm tuổi người thứ tuổi người thứ hai Tính tuổi người 2.Một ôtô dự định từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính qng đường AB thời gian dự định lúc đầu 3.Tìm hai số biết bốn lần số thứ hai với năm số thứ 18040 ba lần số thứ hai lần số thứ hai 2002 4.Hai thùng nước có dung tích tổng cộng 175 lít Một lượng nước đổ đầy thúng thứ 1 thùng thứ hai đổ đầy thùng thứ hai thùng thứ Tính dung tích thùng “Cơ gái làng bên lấy chồng Họ hàng kéo đến thật đông Năm người cỗ thừa ba cỗ Ba người cỗ chín người khơng.” Hỏi có người, cỗ 6.Hai vòi nước chảy vào bể khơng sau đầy bể Nếu vòi thứ chảy giờ, vòi thứ hai chảy bể Hỏi vòi chảy đầy bể 7.Một phong họp có 120 chỗ ngồi, số người đến họp 165 người Do người ta phải kê thêm dãy ghế dãy ghế phải thêm người ngồi Hỏi phòng họp lúc đầu có dãy ghế, biết phòng họp có khơng q 20 dãy ghế ? 8.Một tầu thủy khúc sông dài 100 km Cả hết 10giờ 25 phút Tính vận tốc tầu thủy, biết vận tốc dòng nước km/h 9.Cạnh huyền tam giác vng 10m Hai cạnh góc vng 2m Tính độ dài cạnh góc vng tam giác ==================@@@================== 27 VỊNG 2: ( 12 TIẾT) NHỮNG CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN SÂU CHUYÊN ĐỀ 1: CỰC TRỊ ĐẠI SỐ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Định nghĩa Tìm giá trị lớn (max) hay giá trị nhỏ (min) biểu thức xác định giá trị biến để biểu thức đạt giá trị lớn hay nhỏ -Giá trị lớn biểu thức A: maxA Để tìm maxA cần A �M , M số Khi maxA = M -Giá trị nhỏ biểu thức A: minA Để tìm minA cần A �m , m số Khi minA = m 2.Các dạng toán thường gặp 2.1 Biểu thức A có dạng đa thức bậc chẵn (thường bậc hai): Nếu A = B2 + m (đa thức biến), A = B2 + C2 + m (đa thức hai biến), … A có giá trị nhỏ minA = m Nếu A = - B2 + M (đa thức biến), A = - B2 – C2 + M (đa thức hai biến), … A có giá trị lớn maxA = M 2.2 Biểu thức A có dạng phân thức: m 2.2.1 Phân thức A  , m số, B đa thức B -Nếu mB > A lớn B nhỏ nhất; A nhỏ B lớn -Nếu mB < (giả sử m < 0) A lớn B lớn nhất; A nhỏ B nhỏ B 2.2.2 Phân thức A = , B có bậc cao bậc C C Khi ta dùng phương pháp tách giá trị nguyên để tách thành m D A  n  ; A  n  m, n số; D đa thức có bậc nhỏ bậc C C C B 2.2.3 Phân thức A = , C có bậc cao bậc B C Cần ý tính chất: A có giá trị lớn có giá trị nhỏ ngược A lại 2.3 Biểu thức A có chứa dấu giá trị tuyệt đối, chứa thức bậc hai: -Chia khoảng giá trị để xét -Đặt ẩn phụ đưa bậc hai -Sử dụng tính chất giá trị tyệt đối: a  b �a  b ; a  b �a  b a,b Dấu “=” xảy ab �0 28 -Sử dụng số bất đẳng thức quen thuộc Bất đẳng thức Côsi: a1 ,a , ,a n �0 �  a1  a   a n  �n a1a a n dấu n “=” xảy a1 = a2 = …= an Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski: a1 ,a , ,a n ;b1 ,b , ,b n có a  a 2   a n   b12  b 2   b n  � a1b1  a 2b   a n b n  dấu “=” xảy a1 a a    n b1 b bn B.MỘT SỐ VÍ DỤ Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ có biểu thức sau A   x  3x  3; B  2x  2y  y  2x  2xy  2007 C ; 4x  4x  E  x 1  x  ; G  x   x; x2 D  x  1 x 1 F  2x   2x   H  1 x  1 x Giải 2 �2 �3 �� �3 � � � 21 21 x  2.x  � ��  � �  �x  � � x *A  � 2 2 4 � �� �� � � � Dấu “=” xảy � x   21 Vậy maxA = x = - * B   x  2xy  y  2y  2x  1   x  4x    2002   x  y  1   x    2002 �2002 x, y 2 x2 �x  y   � �� Dấu “=” xảy � �x   �y  3 Vậy minB = 2002 x = y = - *C   2x  1 mà  2x 1  6 �6 x  C 6 x Dấu “=” xảy x  1 Vậy maxC = x  2 x2 1  1 * D  x 1  x 1 2 x 1 x 1 x 1 29  theo Bđt Cơsi có x 1 �1 � x 1 �2  x  1 � �  x 1 �x  � 1  D Dấu “=” xảy x    � x 1  1� x  x 1 x 1 Vậy minD = x = Do x > nên x   0; * x x–1 x-3 - + - + + Khi x < 1: E = – x + – x = – 2x > – 2.1 = Khi �x �3 : E = x – + – x = Khi x > 3: E = x – + x – = 2x – > 2.3 – = Vậy minE = �x �3 � 3� * Đặt t  2x  �0 F  t  3t   �t  � � t � 2� � x � 3 Dấu “=” xảy t  � 2x   � 2x   � � � 2 � x � Vậy minF =  x  x   4 * ĐKXĐ: x �2 Đặt t   x �0 � t   x � x   t 2 � 1� 9 G   t  t   �t  � � t � 2� 4 1 Dấu “=” t  �  x  � x  2 Vậy maxG = x = 4 * ĐKXĐ: 1 �x �1 H   x   x � H2    x Có � �x2� x 2 �� 2 H H Dấu “=” thứ xảy x = Dấu “=” thứ hai xảy x = 30 Vậy minA = x = 1; maxA = x = CHUYÊN ĐỀ 2: SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC ĐỒ THỊ TRÊN MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ I) Vị trí tương đối đường thẳng (D) y=f(x) đường thẳng (D’) y=g(x) Trước hết ta cần nhớ lại kiến thức tương giao hai đường thẳng: Cho (C) đồ thị hàm số y=f(x) điểm A(xA;yA) ta có: (C ) YA f ( X A ) A�(C ) � YA  f ( X A ) ; A�۹ Muốn tìm toạ độ điểm chung đồ thị hàm số y=f(x) y=g(x) ta tìm nghiệm hệ �y=f(x) �y=g(x) phương trình: � Vì hồnh độ giao điểm chung hai đồ thị nghịêm hệ phương trình Ta củng cần nhớ lại vị trí tương đối hai đường thẳng: x  b�� (a �0) ( D� ) phương trình hồnh độ cho đường thẳng y=ax+b (a �0 ) (D) y= a� ) là:  a  a�  x  b  b�(1) giao điểm chung (D) ( D� ) � phương trình (1) nghiệm � a=a,và b � b, - (D) // ( D� ) � phương trình(1) có vô số nghiêm � a=a, b � b, - (D) trùng ( D� ) � phương trình(1) có nghiệm � a �a, - (D) cắt ( D� Dạng1:Tìm toạ độ giao điểm hai đường thẳng Ví dụ1: cho hai hàm số y=x+3 (d) hàm số y=2x+1 (d,) a)Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục toạ độ b)Tìm toạ độ giao điểm có hai đồ thị Giải: a) vẽ đồ thị hai hàm số b)Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình:x+3=2x+1 � x=2 suy y=5 Ví dụ2: Cho đường thẳng có phương trình: (D1) y=x+1 ; (D2) y=-x+3 ; (D3) y=(m2-1)x+m2-5 (với m ��1) Xác định m để đường thẳng (D1) ,(D2), (D3) đồng quy Giải: Hoành độ giao điểm B (D1) ,(D2) là:-x+3=x+1 � x=1 thay vào y=x+1suy y=2 để đường thẳng đồng quy (D3)phảI qua điểm B nên ta thay x=1;y=2 vào phương trình (D3) ta có: 2=(m2-1)1+m2-5 � m2=4 � m=2;m=-2 Vậy với m=2;m=-2thì đường thẳng (D1) ,(D2), (D3) đồng quy 2) Vị trí tương đối đường thẳng (D) y=f(x) parabol (P) y=g(x) Ta cần nhớ lại hoành độ điểm chung (D)và (P) nghiệm phương trình 31 f(x)= g(x) (2).phương trình(2) phương trình bậc hai.Ta thấy: (D) (P) khơng có điểm chung � phương trình(2) vơ nghiệm �   D) tiếp xúc (P) � phương trình(2) có nghiệm �   D) cắt (P) hai điểm � phương trình(2) có hai nghiệm �   Sau số toán biện luận đường thẳng parabol Dạng 1: Bài toán chứng minh C/minh rằng:Đường thẳng (D):y=4x-3 tiếp xúc với parabol (P): y=2x2-4(2m-1)x+8m2-3 Giải: Hoành độ giao điểm chung (D) (P) nghiệm phương trình: 2x2-4(2m-1)x+8m2-3=4x-3 � 2x2-8mx+8m2=0 � x2+4mx+4m2=0 Ta có:   16m  16m  với giá trị m nên Đường thẳng (D):y=4x-3 tiếp xúc với parabol (P):y=2x2-4(2m-1)x+8m2-3 Dạng 2: Bài tốn tìm điều kiện Ví dụ:Chứng minh đường thẳng (D):y=x+2m parabol(P):y=-x2-x+3m a)Với giá trị m thì(D) tiếp xúc với parabol(P) b) Với giá trị m thì(D) cắt parabol(P)tại hai điểm phân biệt A B.tìm toạ độ giao điểm A B m=3 Giải: a)Hoành độ giao điểm chung (D) (P) nghiệm phương trình: -x2-x+3m=x+2m � -x2-2x+m=0 Đường thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P) � phương trình (3) có nghiệm kép �   � 4+4m=0 � m=-1 b) Đường thẳng (D) cắt parabol (P) � phương trình (3) có nghiệm phân biệt �   � 4+4m>0 � m>-1 Khi m=3 hồnh độ giao điểm (D) (P) nghiệm phương trình -x2-2x+3=0 � x=1 x=3 Từ suy toạ độ giao điểm A,B (D) (P) là:A(1;7) B(3;9) Dạng 3:Lập phương trình tiếp tuyến Ví dụ:Cho đường thẳng (D):y=ax+b tìm a b biết: a) đường thẳng (D) song song với đường thẳng 2y+4x=5 tiếp xúc với parabol (P):y=x2 b)Đường thẳng (D) vng góc với đường thẳng x-2y+1=0 tiếp xúc với parabol (P):y=x2 c) đường thẳng (D) tiếp xúc với parabol(P):y=x2-3x+2 điểm C(3;2) Giải: a)Ta có: 2y+4x=5 � y=-2x+5/2 nên phương trình đường thẳng (D) có dạng: y=-2x+b (b � ) theo cách tìm dạng ta tìm b= Vậy phương trình đường thẳng (D) là:y=-2x+1/4 b)Ta có: x-2y+1=0 � y=1/2x+1/2.Đường thẳng (D) vng góc với đường thẳng có phương trình:x-2y+1=0 � a.1/2=-1 � a=-2 suy (D):y=-2x+b Theo cách làm dạng 2,ta tìm b=1.Vậy phương trình đường thẳng (D) có phương trình là:y=-2x+1 c)Ta có:C(3;2) � (D) � 2=3a+b � b=2-3a 32 Theo cách làm dạng ta tìm a=3 suy b=-7 Vậy phương trình đường thẳng (D) có phương trình là:y=3x-7 Dạng 4:Xác định toạ độ tiếp điểm Ví dụ:Cho parabol (P):y=x2-2x-3 Tìm điểm (P) mà tiếp tuyến (P) điểm song song với đ/thẳng (D):y=-4x Giải: Gọi đường thẳng tiếp xúc với (P) (d) Do (d) song song với (D) nên d có dạng:y=-4x+b (b �0) Hồnh độ điểm chung (p) (d) nghiệm phương trình: x2-2x-3=-4x+b � x2+2x-3+b=0 (2) Ta thấy: (d) tiếp xúc với (P) � phương trình (2) có nghiệm kép � �  �  b  � b  4 Khi điểm A(x0;y0) tiếp điểm (P) (d) thì(do A �( p); A �(d ) nên ta có hệ phương trình; �y0  x  x0  �x0  1 �� � �y0  4 x0  �y0  Dạng 5:Xác định parabol Ví dụ:Xác định parabol (P):y=ax2+bx+c thoả mãn: a) (P) tiếp xúc với đường thẳng (D) :y=-5x+15 qua hai điểm (0 ; -1) (4 ; -5) b) (P) cắt trục tung điểm có tung độ cắt đường thẳng (D) : y = x - hai điểm có hồnh độ Giải : a) (P) qua hai điểm (0 ; -1) (4 ; -5) Do parabol (P) đồ thị hàm số y = ax2 - (1 + 4a)x - Hoành độ điểm chung (D) (P) nghiệm phương trình : ax2 - (1 + 4a)x - = -5x + 15 ax2 - 4(a - 1)x - 16 = (5) Đường thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P) Phương trình (5) có nghiệm kép ∆’ = 4(a - 1)2 - 16a = 0 (a + 1)2 = a = -1 Do : a = -1 ; b = c = -1 Vậy (P) đồ thị hàm số y = -x2 + 3x - b) Parabol (P) cắt trục tung điểm có tung độ nên (P) qua điểm (0 ; 2) (P) cắt đường thẳng (D) : y = x - hai điểm có hồnh độ Giao điểm (P) với đường thẳng (D) : (1 ; 0) (3 ; 2) Vậy parabol (P) qua ba điểm (0 ; 2) ; (1 ; 0) (3 ; 2) Do a = ; b = -3 c = 33 ...  x   10 � 24  4x  10 � 4x  14 � x  -Xét �x  : + + (loại) (*) � x     x   10 � 2x  18  10 � 2x  8 � x  (t/mãn) -Xét x �7 : 17 (*) � x    x    10 � 4x  24  10 � 4x... tốc (km/h) 10 3x x:  10 2x x:  2x 3x   20 , giải x = 200 km 10 Vận tốc (km/h) Xe máy Thời gian (h) 10 3h20ph = h 2h30ph = h x Thời gian (h) 10 3h20ph = h 2h30ph = h Quãng đường (km) 10  x ... khơng 20 dãy ghế ? 8.Một tầu thủy khúc sông dài 100 km Cả hết 10giờ 25 phút Tính vận tốc tầu thủy, biết vận tốc dòng nước km/h 9.Cạnh huyền tam giác vuông 10m Hai cạnh góc vng 2m Tính độ dài cạnh