Phương pháp tiếp cận vi mô ginzburg landau đối với sự đồng tồn tại pha trong hệ nhiều hạt

Trong phạm vi lý thuyết BCS chuẩn, ngưngtụ siêu dẫn được hình thành dưới tác động của một lực hút do bởi các dao động mạngliên kết các điện tử có spin đối song thành các cặp Cooper singl

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả mới

mà tôi công bố trong luận án là trung thực và chưa được ai công bố trong bất kỳ côngtrình nào khác

Hà Nội, ngày 25 tháng 9 năm 2019.

Tác giả: Nguyễn Văn Hinh

Trước hết, tôi xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Trí Lân, người thầy đầu tiên tiếp nhận tôi, đã luôn quan tâm sát sao, cùng tôi thực hiện các ý tưởng và giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình làm NCS Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến GS TS Nguyễn Toàn Thắng, người thầy thứ hai tiếp nhận và chỉ hướng cho tôi để định hình mục tiêu nghiên cứu trong luận án, đồng thời là giáo viên hướng dẫn luận án.

Tiếp theo, tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo và lãnh đạo Học viện Khoa học và Công nghệ, bộ môn Vật lý lý thuyết – Vật lý toán của Viện Vật Lý đã tạo mọi điều kiện học tập, nghiên cứu cho tôi trong quá trình làm NCS Tôi cũng chân thành cảm ơn ban Giám hiệu, các đồng nghiệp của khoa Khoa học cơ bản, trường Đại học Công nghiệp Hà Nội đã giúp đỡ tôi rất nhiều về vật chất và tinh thần trong thời gian tôi làm NCS.

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn toàn thể gia đình, bạn bè luôn đồng hành, động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình theo đuổi và thực hiện ước mơ của mình.

GL(Ginzburg-Landau) : Ginzburg-Landau

HS (Hubbard-Stratonovich) : Hubbard-StratonovichBCS (Bardeen-Cooper-Schrieffer) : Bardeen-Cooper-SchriefferHFB (Hatree-Fock-Bogoliubov) : Hatree-Fock-Bogoliubov

1.1 Giản đồ pha của U Ge2 xác định bởi các số đo độ từ hóa dưới áp suất.

T c là nhiệt độ Curie và T x xác định nơi chuyển pha giữa hai pha sắt từ

FM1 và FM2 có độ phân cực từ khác nhau T sc là nhiệt độ chuyển phasiêu dẫn [85, 38] 7

1.2 Giản đồ pha P − T của CeRhIn5 với các pha phản sắt từ (kí hiệu AFM,vùng màu xanh) và siêu dẫn (kí hiệu SC, vùng màu vàng) được xác định

từ số đo nhiệt dung riêng khi không có từ trường ngoài Khi T c < T N có

tồn tại một pha đồng tồn tại AFM+SC Khí T c > T N trật tự phản sắt

từ đột ngột biến mất [92, 32] 81.3 Hiệu ứng hút của hai điện tử do bởi sự trao đổi phonon [42] 291.4 Phổ chuẩn hạt Khe năng lượng được quan sát giữa trạng thái siêu dẫn(ở đỉnh) và trạng thái dẫn thường (ở đáy) sinh ra tham số trật tự của

hệ [42] 341.5 “Tính đối xứng bị phá vỡ” Sự tiến triển của trật tự kết tinh bên trongmột giọt nước hình cầu dẫn tới sự hình thành một bông tuyết, làm giảmtính đối xứng từ đối xứng cầu tới đối xứng sáu nếp gấp [21] 421.6 (a) Trong một kim loại thường, không có trật tự tầm xa (b) Bên dưới

nhiệt độ Curie T C của một sắt từ, các spin điện tử sắp hàng để tiếntriển một tham số trật tự sắt từ Kết quả là kim loại có một moment từhữu hạn (c) Bên dưới nhiệt độ chuyển pha của một siêu dẫn, các điện

tử kết cặp với nhau tiến triển một tham số trật tự siêu dẫn Kết quả làkim loại biểu hiện hiệu ứng Meissner, đẩy từ trường ra khỏi bên tronglòng nó [21] 43

1.7 (a) Năng lượng tự do Landau F (ψ) như là một hàm của nhiệt độ đối

với một tham số trật tự Ising Các đường cong được dịch chuyển thẳng

đứng (b) Tham số trật tự ψ như là một hàm của nhiệt độ đối với một trường hữu hạn h > 0 và một trường rất nhỏ h = 0+ [21] 451.8 Giản đồ pha trong một trường ngoài Một đường bậc nhất kéo dài dọc

theo trục trường ngoài bằng không, h = 0 đến điểm tới hạn Tham số

trật tự cân bằng đổi dấu khi vượt qua đường ranh giới pha này (a) Đồthị ba chiều cho thấy sự gián đoạn theo tham số trật tự như một hàm

của trường ψ (b) Đường ranh giới pha hai chiều cho thấy là đường bậc

nhất [21] 46

1.9 Sự phụ thuộc của năng lượng tự do vào tham số trật tự đối với (a) tham

số trật tự Ising ψ = ψ1, cho thấy hai cực tiểu cùng mức năng lượng và

(b) tham số trật tự phức ψ = ψ1 + iψ2 = |ψ| e iφ, ở đó năng lượng tự

do Landau hình thành một “thế mũ Mexican” trong đó cực tiểu nănglượng tự do hình thành một vành các trạng thái có năng lượng bằng

nhau phụ thuộc vào pha φ của tham số trật tự đồng đều [21]. 48

1.10 Nghiệm sóng đơn của các phương trình GL (a) Sự tiến hóa của ψ trong một chiều tương đương với một hạt ở vị trí ψ, chuyển động trong một thế năng nghịch đảo V [ψ] = −f L [ψ] Một sóng đơn tương đương với một “sự nảy” giữa các cực đại ở ψ = ±ψ0 của V [ψ] (b) Đường mà hạt

mô tả sự phát triển theo thời gian “t” ≡ x xác định sự phụ thuộc không gian của tham số trật tự ψ [x] [21] . 513.1 Các lựa chọn khác nhau cho phép biến đổi Hubbard-Stratonovich để táchcặp số hạng tương tác hai hạt tổng quát Hình bên trái: tách cặp theokênh “mật độ”; hình giữa: tách cặp theo kênh “kết cặp” hoặc “Cooper”;hình bên phải: tách cặp theo kênh “trao đổi” 91

4.1 Một minh họa về giản đồ T − P của UGe2 được tính cho T s = 0,

T f 0 = 52K, P c = 1.6GP a, γ/κ = 0.1089, δ/κ = 0.1867 Miền pha FS

được làm đậm Đường nét liền biểu thị đường chuyển pha loại hai FM-FS 134

4.2 Giản đồ pha trong mặt phẳng (t, r) khi γ = 0.49, δ = 0.84 136

Lời cam đoan

Lời cám ơn

Danh mục các chữ viết tắt

Danh sách hình v˜ e

1.1 Tổng quan về sự đồng tồn tại của trật tự từ và siêu dẫn trong hệ fermion

nặng 4

1.1.1 Hiện tượng đồng tồn tại pha từ - siêu dẫn trong vật liệu fermion nặng 4

1.1.2 Một số quan sát thực nghiệm trong các hợp chất Fermion nặng 6 1.1.3 Nghiên cứu lý thuyết về các hợp chất Fermion nặng 7

1.2 Sắt từ trong kim loại 10

1.2.1 Trật tự sắt từ trong các hệ moment từ định xứ 11

1.2.2 Trật tự từ của hệ spin linh động 19

1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS 22

1.3.1 Lược sử ra đời và phát triển của siêu dẫn 22

1.3.2 Lý thuyết BSC của siêu dẫn 27

1.3.3 Lý thuyết BCS tổng quát 33

1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha 39

1.4.1 Lý thuyết Landau 40

1.4.2 Lý thuyết Ginzburg-Landau I: Trật tự Ising 49

1.4.3 Lý thuyết Ginzburg-Landau II: Trật tự phức và siêu chảy 52

1.4.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau cho siêu dẫn 55

1.5 Thảo luận 58

2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN VI MÔ GINZBURG-LANDAU 59 2.1 Phương pháp hàm Green 59

2.1.1 Các hàm Green 60

2.1.2 Phương trình chuyển động cho các hàm Green 62

2.1.3 Ứng dụng của hàm Green cho lý thuyết siêu dẫn và sắt từ 64

2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm 69

2.2.1 Biến số Grassmann 70

2.2.2 Hamiltonian và hình thức luận 72

2.2.3 Áp dụng cho hệ siêu dẫn BCS 74

2.2.4 Phiếm hàm Ginzburg-Landau một thành phần 84

2.3 Thảo luận 88

3 THIẾT LẬP PHIẾM HÀM NĂNG LƯỢNG GINZBURG-LANDAU NHIỀU THÀNH PHẦN 89 3.1 Mô hình ba tham số trật tự 89

3.1.1 Hamiltonian và hình thức luận 89

3.1.2 Khử tham số kết cặp 94

3.1.3 Phiếm hàm Ginzburg-Landau ba thành phần 110

3.2 Các mô hình đơn giản 111

3.2.1 Kênh mật độ 111

3.2.2 Kênh trao đổi 112

3.2.3 Kênh Cooper 114

3.3 Thảo luận 115

4 SỰ ĐỒNG TỒN TẠI CÁC TRẬT TỰ SẮT TỪ VÀ SIÊU DẪN TRONG CÁC HỢP CHẤT FERMION NẶNG 117 4.1 Nguồn gốc vi mô của phiếm hàm Ginzburg-Landau hai thành phần 118

4.2 Sự đồng tồn tại của các trật tự siêu dẫn và sắt từ trong UGe2 125

4.2.1 Phiếm hàm năng lượng tự do Ginzburg-Landau cho siêu dẫn sắt từ 125

4.2.2 Giản đồ pha từ gần đúng phiếm hàm Ginzburg-Landau 131

4.3 Thảo luận 136

A Tính hệ fermion hiệu dụng bậc hai kết cặp với các trường phụ 143

B Khai triển hàm mũ chứa các đạo hàm 151

Trong các chất sắt từ ở dưới nhiệt độ Curie, T c, spin của các điện tử sắp hàng để tạo ramột độ từ hóa Trong một thời gian dài người ta cho rằng tính siêu dẫn không hợp vớitính sắt từ Quan điểm này bén rễ từ lý thuyết vi mô về siêu dẫn được xuất bản 1957bởi Bardeen, Cooper, và Schrieffer (BCS) Trong phạm vi lý thuyết BCS chuẩn, ngưng

tụ siêu dẫn được hình thành dưới tác động của một lực hút do bởi các dao động mạngliên kết các điện tử có spin đối song thành các cặp Cooper singlet Khi các nguyên tửtạp chất từ được đặt vào một chất siêu dẫn truyền thống, thì trường cục bộ bao quanhcác nguyên tử tạp chất sẽ ngăn cản sự hình thành các cặp Cooper singlet [15], điều

này gây ra một sự sụt giảm nhanh chóng nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn T sc Tuy nhiên,vào khoảng năm 1980, người ta nhận thấy dưới các điều kiện đặc biệt trật tự siêu dẫn

có thể đồng tồn tại với trật tự phản sắt từ [86], ở đó các spin điện tử lân cận sắp xếpthành một cấu hình đối song Chẳng hạn, trong các chất phản sắt từ fermion nặng,các mô men từ lưu động hầu như không có hiệu ứng làm giảm đi sự kết cặp lên các cặpCooper singlet vì tương tác trao đổi trung bình bằng không Quan sát đầu tiên về điện

trở kháng bằng không trong trạng thái sắt từ của HoMo6S8 được đăng bởi Lynn vàcác cộng sự [57], tiếp theo bởi Genicon và các cộng sự [31] Rồi sau đó, các thí nghiệm

nhiễu xạ neutron trên các tinh thể singlet của HoMo6S8 được tiến hành bởi Rossat vàcác cộng sự [71] đã xác nhận thêm một lần nữa các quan sát ở trên Họ nhận thấy

rằng khi T < 0, 60K, với sự làm lạnh chậm, một pha sắt từ xuất hiện Cường độ từ trường trong pha sắt từ tăng lên và sau đấy đạt bão hòa ở khoảng T = 0, 4K, biểu thị

rằng ở dưới nhiệt độ này, các thăng giáng nhiệt là không đáng kể Vật liệu có một sự

chuyển pha siêu dẫn ở T = 1, 82K và một sự chuyển pha từ ở T = 0, 67K trong vùng

lân cận của sự tái nhập tới trạng thái dẫn thường [57] Sự khám phá lần đầu tiên ra

chất sắt từ UGe2 [74] có tính siêu dẫn (T sc < T c) trong năm 2000 đã gây ra một sự

ngạc nhiên lớn Trong vật liệu này, một sự chuyển siêu dẫn xảy ra ở một nhiệt độ T sc ngập sâu trong trạng thái sắt từ, tức là ở dưới hẳn nhiệt độ Curie T c, mà không loạitrừ trật tự sắt từ (ta gọi nó là chất siêu dẫn sắt từ) Về sau, ba chất siêu dẫn sắt từkhác đã được phát hiện là UIr [7], URhGe [10] và UCoGe [44] Các vật liệu này có đặc

điểm chung là trật tự sắt từ được quyết định bởi các mô men từ 5f của Uranium và có

đặc tính lưu động mạnh Thêm nữa, tính siêu dẫn xuất hiện gần như với một từ tínhkhông ổn định Sự đồng tồn tại của tính siêu dẫn và sắt từ trong các vật liệu này cóthể được hiểu dưới dạng các mô hình thăng giáng spin: Ở vùng lân cận điểm tới hạnlượng tử sắt từ, các thăng giáng từ then chốt có thể dàn xếp tính siêu dẫn bằng cáchghép cặp các điện tử thành các cặp Cooper spin-triplet [25, 56], đó là các trạng thái

kết cặp bình đẳng về spin (L = 1, S z = 1; L = 1, S z = −1 và L = 1, S z = 0) Trongnhững năm gần đây các bằng chứng phong phú đã cho thấy một cơ chế kết cặp bấtthường như thế đang tồn tại trong các chất sắt từ có tính siêu dẫn [73, 29, 61]

Theo sát những kết quả mới mà các nhóm nghiên cứu ngoài nước đã thu được, ở ViệtNam GS Đỗ Trần Cát là người đầu tiên triển khai nghiên cứu lý thuyết pha siêu dẫn

và pha sắt từ trong UGe2 dựa trên tính chất kết ô của cấu trúc vùng năng lượng và thuđược những kết quả thú vị [20, 19] Các thành viên của nhóm Hệ tương quan mạnh,Trung tâm Vật lý lý thuyết, Viện Vật lý cũng đã bắt đầu nghiên cứu sự đồng tồn tại

hai pha từ và siêu dẫn trong UGe2 từ năm 2006 Họ đã thu được những kết quả bước

đầu về hai pha từ FM1 và FM2 trong UGe2 [87] và đã đề xuất cơ chế siêu dẫn dựatrên trao đổi các kích thích từ do tách trường tinh thể của các mức Uranium định xứ[88]

Với khám phá về các chất sắt từ siêu dẫn một chủ đề nghiên cứu mới trong lĩnh vực

từ tính và siêu dẫn đã được vạch ra Nghiên cứu các chất sắt từ siêu dẫn sẽ giúp làmsáng tỏ các thăng giáng từ làm thế nào mà có thể kích thích tính siêu dẫn, một tínhchất mà nó là chủ đề trung tâm chạy xuyên suốt các họ vật liệu ngày càng đa dạng

như các chất siêu dẫn fermion nặng, siêu dẫn đồng nhiệt độ T sc cao và các chất siêudẫn được khám phá gần đây có thành phần chính là FeAs [47] Cái nhìn mới lạ này cóthể đóng vai trò chủ chốt trong sự sáng tạo ra các vật liệu siêu dẫn mới Tuy nhiên,vấn đề hiểu bản chất thực sự và cơ chế của sự đồng tồn tại tính siêu dẫn với sắt từ

là rất phức tạp, một lời giải đầy đủ vẫn chưa có Đã có các đề xuất rằng sự kết hợpcủa các thăng giáng spin ngang và dọc đóng một vai trò quan trọng và sẽ được kể đếntrong việc nghiên cứu vấn đề [83] Abrikosov [5] và Mineev cùng các cộng sự [60] đã

đề cập rằng tính siêu dẫn sóng s có thể là kết quả từ sự tương tác điện tử được điều

đình bởi các mô men định xứ sắp trật tự có tính sắt từ Trong những năm gần đây,ngoài những nghiên cứu thực nghiệm khảo sát sự phụ thuộc chuyển pha vào áp suất

và từ trường ngoài, các công trình lý thuyết của các nhóm nghiên cứu ở Đức, Mỹ, Nga,Nhật, Bulgaria tập trung tìm các cơ chế chuyển pha, bản chất các pha và sự phụthuộc nhiệt độ chuyển pha và moment từ hóa tự phát vào các thông số của vật liệu.Nhiều cơ chế chuyển pha khác nhau đã được đề xuất như: sóng điện tích và sóng spin[90], trao đổi magnon [48], tương tác trao đổi trên các mức định xứ [5] Tuy nhiêncho đến nay bản chất của pha siêu dẫn (singlet hay triplet) chưa rõ, cơ chế gây trật

tự từ cũng còn gây tranh cãi (do moment định xứ hay do điện tử linh động), nguyênnhân gây siêu dẫn chưa xác định rõ ràng (do trao đổi phonon hay magnon hay sóngđiện tích) Đặc biệt sự phụ thuộc nhiệt độ chuyển pha và độ từ hóa vào áp suất chưađược nghiên cứu về lý thuyết Tóm lại lý thuyết đồng tồn tại hai pha siêu dẫn và sắt

từ hiện vẫn là một thách thức đối với những người nghiên cứu vật lý [22, 53] Bởi vậy,chúng tôi chọn hướng nghiên cứu này làm chủ điểm với tiêu đề của luận án: “Phươngpháp tiếp cận vi mô Ginzburg-Landau đối với sự đồng tồn tại pha trong hệ nhiều hạt”

Sự xem xét ở trên đã thúc đẩy chúng tôi thực hiện phép biến đổi lý thuyết trườngfermion tới một lý thuyết hiệu dụng dựa trên các trường kết cặp được biểu diễn dướidạng các tham số trật tự theo các kênh khác nhau Mục đích chính của luận án làhình thành một phiếm hàm Ginzburg-Landau (GL) mà nó có thể mô tả sự đồng tồntại của nhiều pha Trong nghiên cứu của chúng tôi, thông qua phép biến đổi Hubbard-Stratonovich (HS), một Hamiltonian sẽ được tách thành các kênh khả dĩ, khi đó sẽnhận được một phiếm hàm chỉ phụ thuộc vào các tham số trật tự Vì vậy chúng tôi sẽ

đi đến một sự biểu diễn chung của phiếm hàm GL cho hệ ba tham số trật tự thôngqua các tính toán dựa vào hàm Green Dựa trên bài toán riêng của siêu dẫn sắt từ của

các hệ fermion nặng dựa trên Uranium, chúng tôi sẽ rút ra một biểu diễn chính thứccho phiếm hàm GL, và sau đó sử dụng nó để nghiên cứu sự đồng tồn tại của sắt từ

và siêu dẫn trong hệ UGe2 đồng thời tạo ra các đồ thị cho thấy sự phụ thuộc giữa cáctham số trật tự và biểu thị các miền pha cân bằng

Nội dung của bản luận án sẽ được trình bày trong 4 chương:

Chương 1, tổng quan Chương này, phần đầu sẽ trình bày tổng quan về sự đồng tồntại của trật tự từ và siêu dẫn trong hệ fermion nặng Phần tiếp theo là lý thuyết sắt

từ và lý thuyết siêu dẫn Phần cuối cùng trình bày lý thuyết Ginzburg-Landau về sựchuyển pha

Chương 2, các phương pháp tiếp cận vi mô Ginzburg-Landau Chương này, mục 2.1chúng tôi sẽ trình bày tổng quan về phương pháp hàm Green cùng với ứng dụng của

nó cho hệ sắt từ và siêu dẫn Mục 2.2, chúng tôi sẽ phát triển bài toán siêu dẫn BCSbằng việc sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm để tính hàm phân bố của hệ,thiết lập phiếm hàm năng lượng Ginzburg-Landau một thành phần cho siêu dẫn BCS.Chương 3, thiết lập phiếm hàm năng lượng Ginzburg-Landau nhiều thành phần.Chương này, phần đầu xây dựng mô hình ba tham số trật tự và thiết lập phiếmhàm năng lượng Ginzburg-Landau cho ba tham số trật tự, phần sau chúng tôi xâydựng một số mô hình đơn giản tương ứng với từng kênh riêng biệt

Chương 4, sự đồng tồn tại các trật tự sắt từ và siêu dẫn trong các hợp chất fermionnặng Trong chương này, trước tiên chúng tôi trình bày một cách tiếp cận vi mô để rút

ra phiếm hàm năng lượng GL hai thành phần Tiếp theo, dựa trên bài toán riêng củasiêu dẫn sắt từ của các hệ fermion nặng dựa trên Uranium, chúng tôi sẽ rút ra mộtbiểu diễn chính thức cho phiếm hàm GL hai tham số trật tự sắt từ và siêu dẫn triplet

và sau đó sử dụng nó để nghiên cứu sự đồng tồn tại của các pha sắt từ và siêu dẫn

trong hệ UGe2

Trong chương này chúng tôi trình bày tổng quan về sự đồng tồn tại trật tự từ và siêudẫn trong hệ fermion nặng, giới thiệu về siêu dẫn và sự hình thành siêu dẫn, từ tínhcủa vật liệu, và trình bày lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha.

1.1 Tổng quan về sự đồng tồn tại của trật tự từ và

siêu dẫn trong hệ fermion nặng

1.1.1 Hiện tượng đồng tồn tại pha từ - siêu dẫn trong vật liệu

fermion nặng

Trạng thái chất lỏng Fermi trong kim loại có hai tính bất ổn định Tính siêu dẫn do sựhình thành của cặp điện tử và sóng mật độ (spin, điện tích) được hình thành bởi việcghép cặp của các điện tử và lỗ trống Về mặt lý thuyết, điều được mong đợi từ lâu làcác hàm số sóng ghép cặp khác ngoài sóng s như trong siêu dẫn truyền thống và trongcác sóng mật độ có thể tồn tại Tuy nhiên, điều đó đòi hỏi một thời gian lâu đến mứcngạc nhiên để nhận dạng các trạng thái ghép cặp đông đặc phi truyền thống trong cácvật liệu thật Giờ đây, có một sự phong phú của các chất siêu dẫn phi sóng s mà cácvật liệu này, một cách thường xuyên, được gắn liền với các hàm khe “nút” bất đẳnghướng mà tại đó các trạng thái kích thích của các chuẩn hạt trong trạng thái siêu dẫntriệt tiêu tại các điểm hoặc tại các đường trên bề mặt Fermi Hiện tượng này dẫn tớihành vi dạng “định luật lũy thừa” tại vùng nhiệt độ thấp trong nhiều đại lượng vật lý.Các vật chất siêu dẫn actinide và đất hiếm fermion nặng là các vật liệu đầu tiên đượcgiả thiết có các trạng thái ghép cặp siêu dẫn phi truyền thống được sinh ra bởi các

thăng giáng spin năng lượng thấp Các hợp chất siêu dẫn nhiệt độ cao T ccó chứa đồng

thể hiện tính siêu dẫn sóng d là các ví dụ quan trọng và đầy hứa hẹn Nhưng tính siêu

dẫn nút cũng có thể được phát hiện trong các muối hữu cơ và muối ruthenates Cáctrạng thái sóng mật độ điện tích và sóng mật độ spin truyền thống hiện diện thườngxuyên trong các kim loại với trật tự sóng mật độ spin hay trật tự phản sắt từ tươngứng là thông thường nhất Các hợp chất với các sóng mật độ phi truyền thống đượcxác nhận trong thực tế là khá hiếm hoi và với tính nhất định chỉ đã được tìm thấytrong các kim loại hữu cơ và có lẽ trong các vật liệu fermion nặng có chứa Uranium vàpha “giả khe” của các hợp chất có chứa đồng kích thích thấp Điều này một phần cóthể là do sự khó khăn trong việc tìm kiếm các tham số trật tự “ẩn” mà những tham số

đó không để lại dấu vết trong các thí nghiệm về tán xạ X quang hoặc tán xạ neutrontiêu chuẩn

Chúng ta sẽ chỉ tập trung vào một số vật liệu quan trọng mà tại đó thể hiện một khíacạnh quan trọng của siêu dẫn phi truyền thống và quan hệ của nó với từ trường haytrật tự ẩn Các giản đồ pha nhiệt độ thấp phức tạp của các kim loại fermion nặng là

kết quả của các lớp vỏ f lấp đầy không hoàn toàn của các ion actinide và đất hiếm mà

bảo toàn đặc trưng tương tự nguyên tử Việc lấp đầy các trạng thái theo quy tắc Hunddẫn tới các moment từ Trong một tinh thể, tính suy biến quay của các moment từ bịdịch chuyển từng phần bởi trường điện tích tinh thể và sự lai với các vùng dẫn rộngcủa các điện tử lớp ngoài Như một hệ quả, một số lớn các kích thích năng lượng thấpđược tạo thành Trong trường hợp của một chất lỏng Fermi lý tưởng, các kích thích

này tương ứng với các chuẩn hạt nặng mà khối lượng hiệu dụng của chúng m∗ vào cỡ

vài bậc lớn hơn so với khối lượng m của điện tử tự do Độ rộng của vùng chuẩn hạt tương ứng T c vào cỡ meV đối với các kim loại fermion nặng thực Sự tăng cường củakhối lượng được phản ánh trong sự tăng mạnh của giá trị nhiệt dung riêng, độ từ cảm

Pauli và hệ số dạng T2 của điện trở Tuy nhiên, gần điểm tới hạn lượng tử, điểm thểhiện sự khởi đầu của các tính bất ổn định của sóng mật độ, các kỳ dị nhiệt độ thấptrong các đại lượng này xuất hiện mà các kỳ dị này là các dấu hiệu đặc trưng của trạngthái chất lỏng phi Fermi Các cơ chế khác nhau đối với sự hình thành của các khối

lượng nặng đã được đề xuất Trong khi trong các hợp chất Ce với các trạng thái 4f1 bịđịnh xứ hoàn toàn, cơ chế Kondo là phù hợp, có các bằng chứng ngày càng rõ rằng bảnchất đối ngẫu, nghĩa là định xứ và linh động từng phần, bản chất của các trạng thái

5f chịu trách nhiệm đối với sự tái chuẩn hóa khối lượng trong trong các vật liệu chứa

Uranium Trong cả hai kịch bản, người ta giả thiết rằng các chuẩn hạt nặng, một cách

ưu thế, có các đặc tính f Các tương tác thặng dư giữa các chuẩn hạt dẫn đến tính

không ổn định của việc ghép cặp Hai ứng cử viên đã được nhận dạng trong các hợpchất fermion nặng: thứ nhất, các tương tác ghép cặp thông qua trao đổi của các thănggiáng spin tắt nhanh tăng cường của các chuẩn hạt linh động, một cách giả thiết tạivector sóng phản sắt từ Mô hình này được thiết lập cho các hợp chất Ce, đặc biệt khitính siêu dẫn xuất hiện ở gần một điểm tới hạn lượng tử Điều này cũng có thể chứamột sự thật nào đó đối với các hợp chất fermion nặng chứa Uranium linh động Tuynhiên, chúng ta giờ đây đã biết một cách chắc chắn rằng trong các hợp chất có chứa

Uranium với các điện tử 5f định xứ từng phần, một cơ chế khác đang chiếm ưu thế:

việc ghép cặp được sinh ra bởi sự trao đổi của các kích thích nội lan truyền (các exciton

từ) của hệ con 5f định xứ Các bằng chứng thực nghiệm mạnh mẽ (các thí nghiệm

tán xạ Neutron) về sự đồng tồn tại không bị tách pha giữa sắt từ và siêu dẫn gần đây

đã được tìm thấy trong UGe2, đã ủng hộ quan điểm rằng tính sắt từ và siêu dẫn được

gây bởi các điện tử 5f trong cùng một dải, nghĩa là các thăng giáng từ gây ra kết cặp

là một cơ chế khả dĩ Điều này dường như biểu thị rằng tương tác hút hiệu dụng giữa

các chuẩn hạt nặng tái chuẩn hóa trong UGe2 không phải được cung cấp bởi tương tácđiện tử-phô nôn như trong các chất siêu dẫn thông thường, mà là được điều đình bởicác thăng giáng spin điện tử Trong lân cận của điểm tới hạn lượng tử sắt từ, các thănggiáng từ tới hạn có thể điều đình tính siêu dẫn bằng cách kết cặp các điện tử thành cáccặp Cooper spin-triplet, đó là các trạng thái kết cặp có spin bằng nhau mà mô men

spin toàn phần không bằng không (S = 1): |↑↑i(L = 1, S z = 1), |↓↓i(L = 1, S z = −1),

và (|↑↓i + |↓↑i) /√

2 ( L = 1, S z = 0) Các cặp Cooper spin-triplet này có các trạngthái lượng tử với các spin điện tử song song và vì vậy có thể tồn tại trong sự hiện diện

của các mô men từ.

Cho đến nay, hiểu biết lý thuyết về tính siêu dẫn và từ tính trong các hệ fermion nặngvẫn luôn ở trạng thái với các mô hình có tính sơ đồ hoặc minh họa và thiếu đi nănglực dự báo thực Các khó khăn xuất hiện ở hai mức độ Thứ nhất chính các chuẩn hạttrạng thái chuẩn chỉ có thể được mô tả trong các bức tranh vùng được tái chuẩn hóamột hạt hiệu dụng với các tham số đầu vào có tính kinh nghiệm Đối với một số hợp

chất tương tự như UBe13 và các hợp chất có chứa Ce gần điểm tới hạn lượng tử, thậmchí chuyển pha siêu dẫn diễn ra trong một trạng thái mà trong đó không tồn tại cácchuẩn hạt được định xác định rõ như đã được cung cấp bằng chứng bởi quan sát vềhành vi chất lỏng phi Fermi Thứ hai, tương tác ghép cặp hiệu dụng chỉ có thể được

mô tả theo một cách được đơn giản hóa quá đáng như trong các mô hình thăng giángspin và các biến thể của mô hình này Các mô hình được đề xuất này thông thường

bỏ qua cấu trúc quĩ đạo nội của các hợp chất điện tử f gây ra bởi liên kết spin quĩ

đạo giữa các nguyên tử và thế năng trường điện tích tinh thể Các nỗ lực để đưa các

số hạng này vào các khảo sát lý thuyết, trên thực tế, cũng không cho phép đưa cácnhận thức về các hiện tượng thú vị này đi xa hơn Tuy vậy, việc hiểu biết các lý thuyếtđịnh tính này cũng rất quan trọng Các thảo luận thường tập trung vào các chuẩn hạttrạng thái cơ bản, mà cụ thể là mô hình Kondo mạng đối với các hợp chất có chứa Ce

đối lập với mô hình các điện tử 5f lưỡng tính đối với các hợp chất có chứa U Bắt đầu

từ nhận thức cơ sở này, lý thuyết vùng tái chuẩn hóa cung cấp một cách thức để mô

tả các vùng của các chuẩn hạt nặng trong khuôn khổ của một cách tiếp cận chất lỏngFermi Từ những hiểu biết đó, các mô hình gần đúng đối với các tương tác ghép cặphiệu dụng có thể được thu nhận bằng các kỹ thuật nhiễu hạt chuẩn Sự phân loại đốixứng của các tham số ghép cặp là một bước quan trọng để hiểu cấu trúc nút của khe

và để giải các phương trình khe

1.1.2 Một số quan sát thực nghiệm trong các hợp chất Fermion

nặng

Các nghiên cứu thực nghiệm về UGe2 [74, 43, 85, 38] cho thấy rằng ở áp suất bằng

không UGe2 là một sắt từ linh động, nhiệt độ Curie của nó T c = 52K, và độ từ hóa

tự phát µ s = 1.4µB/nguyên tử U Trong tinh thể trực giao trục dễ là trục a [89] Khi

áp suất tăng lên, hệ trải qua hai chuyển pha lượng tử liên tục, từ pha sắt từ (FM) tới

pha sắt từ-siêu dẫn (FM-SC) ở P = 1GP a, và từ pha sắt từ tới pha thuận từ (PM) ở

áp suất cao P c = 1.6GPa Pha siêu dẫn tồn tại hoàn toàn trong miền sắt từ ở nhiệt độ thấp và áp suất khoảng 1.0 ÷ 1.6 GPa với một nhiệt độ chuyển cực đại T sc = 0.8K ở

gần 1.2 GPa Trong miền sắt từ, có hai pha sắt từ riêng biệt được kí hiệu là FM2 vàFM1 với độ lớn mô men từ khác nhau Với sự tăng áp suất, trạng thái từ cơ bản chuyển

từ pha phân cực mạnh (FM2, µ = 1.5µB) tới pha phân cực yếu (FM1,µ = 0.9µB) ở

áp suất P x = 1.2 GPa, và đường pha kết thúc ở giá trị cực đại của nó T x = T sc Khi ápsuất tăng thì bậc của chuyển pha từ FM1 tới PM thay đổi từ bậc hai tới bậc nhất ở

điểm ba T cr trên giản đồ T (P ), và tại áp suất tới hạn P c Khi áp suất tăng hơn nữa thì

cả T F M và T F S sụt giảm nhanh chóng và gần như biến mất đồng thời quanh P ∼ 1.7

GPa (xem hình 1.1)

Hình 1.1.: Giản đồ pha của U Ge2 xác định bởi các số đo độ từ hóa dưới áp suất T c

là nhiệt độ Curie và T x xác định nơi chuyển pha giữa hai pha sắt từ FM1 và FM2

có độ phân cực từ khác nhau T sc là nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn [85, 38]

Các nghiên cứu thực nghiệm về CeRhIn5 [40, 49, 92, 67, 11, 32] cũng chỉ ra rằng ở

áp suất bằng không, trật tự AFM xuất hiện tại T N = 3.8K với một mô men từ so

le khoảng 0.8 µB Bằng cách đặt vào áp suất, ở T c < T N hệ có thể trải qua một sựchuyển pha lượng tử khi làm lạnh từ pha AFM tới pha AFM+SC Khi tăng áp suất,

nhiệt đô N’eel tăng nhẹ và có một cực đại trơn quanh 0.8 GPa Sau đó T N suy giảm

khi P tiến gần tới áp suất tới hạn P c mà tại đó tính siêu dẫn được thiết lập và nhiệt độ

chuyển siêu dẫn T c = T N Trật tự phản sắt từ biến mất ở gần P c∗ = 1.95 GPa do bởi

một chuyển pha bậc nhất từ pha AFM+SC tới pha SC không truyền thống Sự đồngtồn tại của phản sắt từ và siêu dẫn được tìm thấy trong một phạm vi hẹp áp suất từ

1.6 − 1.95 GPa Khi P tăng hơn nữa (P ở trên P c∗) một pha siêu dẫn không truyền

thống xuất hiện, nói cách khác, nếu T c > TN trạng thái cơ bản là siêu dẫn thuần trong

một miền áp suất lớn từ 1.95 tới 5 GPa (xem hình 1.2).

1.1.3 Nghiên cứu lý thuyết về các hợp chất Fermion nặng

Theo các lý thuyết trước đây, tính chất từ được gây bởi các mô men spin của các điện

tử định xứ 4f, 5f , còn tính siêu dẫn được gây ra bởi các cặp Cooper được hình thành

bởi các điện tử dẫn Các khám phá trên cùng với một số các dữ liệu thực nghiệm tincậy về độ dài kết hợp và khe siêu dẫn [74, 43, 68, 10], đã ủng hộ kết luận là các điện

tử 4f từ Ce và 5f từ U chịu trách nhiệm cho cả tính chất từ (sắt từ và phản sắt từ)

và siêu dẫn Các cặp Cooper trong các hợp chất kim loại này thuộc loại spin-triplet vàcác thăng giáng từ gây ra các kết cặp là một cơ chế khả dĩ Trong những năm gần đây,bên cạnh các nghiên cứu thực nghiệm khảo sát sự phụ thuộc của chuyển pha vào ápsuất và từ trường ngoài, cũng đã có nhiều các nghiên cứu về lý thuyết tập trung vàoviệc tìm ra cơ chế chuyển pha, bản chất các pha và sự phụ thuộc của nhiệt độ chuyểnpha và mô men từ tự phát vào các tham số của vật liệu Các cơ chế khác nhau, chẳnghạn như, kết cặp sóng mật độ điện tích và sóng mật độ spin [89, 18], trao đổi magnon

Hình 1.2.: Giản đồ pha P − T của CeRhIn5 với các pha phản sắt từ (kí hiệu AFM,vùng màu xanh) và siêu dẫn (kí hiệu SC, vùng màu vàng) được xác định từ số đo

nhiệt dung riêng khi không có từ trường ngoài Khi T c < T N có tồn tại một pha

đồng tồn tại AFM+SC Khí T c > TN trật tự phản sắt từ đột ngột biến mất [92, 32]

[48], tương tác điện tử được điều đình bởi các mô men định xứ sắp trật tự có tính sắt

từ [5, 60], tương tác phonon bị chắn [75], trao đổi điện tử d [80], M-trigger [78, 77, 76],các mô hình nhiều vùng [1, 26, 45, 8], vv , đã được đề xuất Các nghiên cứu lý thuyết

đã phần nào giải quyết được vấn đề quan trọng này và cung cấp nhiều thông tin bổích về tương tác giữa các pha từ và siêu dẫn trong các trạng thái đồng tồn tại

Các mô hình hiện tượng học [58, 72] sử dụng để mô tả sự đồng tồn tại của các trật tựsiêu dẫn và sắt từ được đề xuất ngay sau khi có các khám phá thực nghiệm [74, 43, 85].Các lý thuyết này được xây dựng dựa trên các lập luận đối xứng tổng quát và các dữliệu thực nghiệm về nhiệt động lực học của các hợp chất dựa trên Uranium, nghĩa làcác lý thuyết này không liên quan đến vật lý vi mô cơ bản Trong các hợp chất này

người ta cho rằng các điện tử định xứ 5f chịu trách nhiệm cho cả tính chất từ và siêu

dẫn Trong bối cảnh đó, các cặp Cooper phải có mô men từ, nghĩa là một chất siêudẫn sắt từ với một trật từ đồng đều phải là một siêu dẫn triplet Các mô hình hiệntượng học này, sau đó đã được Shopova và các cộng sự sử dụng để tìm các miền ổnđịnh của các pha trong nhiều công trình của họ và đã rất thành công trong việc mô tả

sự đồng tồn tại của các trật tự sắt từ và siêu dẫn triplet trong các hợp chất dựa trênUranium [77, 78, 76, 79] Mô hình hiện tượng học được xây dựng trong các tham khảo[58, 72] được cho bởi

f GL (ψ, M) = f S (ψ) + f F (M) + f I (ψ, M) +1

2H

trong đó ψ là véc tơ phức ba chiều mô tả trật tự siêu dẫn, B = (H + 4πM) = ∇ × A

là cảm ứng từ, H là từ trường ngoài và A là thế véc tơ điện từ.

Số hạng f S (ψ) mô tả tính chất siêu dẫn khi H = M = 0, và có dạng

i=1

|ψ i|4 , (1.2)

với

fgrad(ψ) = K1(D i ψ j)∗(D i ψ j ) + K2(D i ψ i)∗(D i ψ i)

+ K3[(D iψi)∗(D jψj ) + (D iψj)∗(D j ψi )] , (1.3)

ở đây sự lấy tổng theo các chỉ số i, j được thừa nhận và kí hiệu

D i = −i ∂

của phép lấy vi phân hiệp biến được đưa vào Số hạng f F(M) trong phương trình (1.1)

mô tả tính chất sắt từ và được cho bởi

f F (M) = c f

3 X

j=1

|∇j M j|2+ a f (T f) |M|2+ b f

Đây là biểu thức chuẩn cho một sắt từ đẳng hướng Thêm vào đó f I (ψ, M) mô tả sự

tương tác giữa các tham số trật tự sắt từ và siêu dẫn, và có dạng

f I (ψ, M) = iγ0M (ψ × ψ∗) + δ0|ψ|2|M|2. (1.6)

Khi không có từ trường ngoài và bỏ qua các ảnh hưởng của tính bất đẳng hướng củacác cặp Cooper và tinh thể thì phiếm hàm năng lượng GL của siêu dẫn sắt từ tripletbao gồm các số hạng sau

f GL (ψ, M) = a s |ψ|2+ b s

2 |ψ|4+ a f|M|2+ b f

2 |M|4+ iγ0M (ψ × ψ∗) + δ0|ψ|2|M|2

(1.7)

Phiếm hàm (1.7) đã được Shopova dùng để khảo sát pha Meisner trong siêu dẫn sắt

từ spin-triplet [78] và thu được nhiều kết quả phù hợp tốt với thực nghiệm

Bên cạnh các lý thuyết hiện tượng luận, các lý thuyết vi mô cố gắng giải thích các cơchế khác nhau Một trong những mô hình vi mô tốt là mô hình được đề xuất bởi Dahl

và Sudbø [23], khảo sát một Hamiltonian gồm ba số hạng Số hạng thứ nhất mô tả cácđiện tử tự do, số hạng thứ hai là số hạng BCS spin tổng quát mô tả tính siêu dẫn, và

số hạng cuối cùng là số hạng trao đổi sắt từ Heisenberg giải thích cho tính sắt từ linhđộng Với Hamiltonian đó họ đã rút ra được phiếm hàm năng lượng tự do GL cho siêudẫn sắt từ sóng p, sau đó áp dụng để tính các hiệu ứng chui hầm cả trong vùng điệntích và vùng spin, và vì vậy làm sáng tỏ tương tác giữa các nhóm đối xứng bị phá vỡ

U1 và SU2

Các khám phá mới về các chất siêu dẫn sắt từ và bối cảnh nghiên cứu trong lĩnh vực

từ tính và siêu dẫn của cộng đồng những người nghiên cứu vật lý, đã thúc đẩy chúngtôi thực hiện phép biến đổi lý thuyết trường fermion tới một lý thuyết hiệu dụng dựatrên các trường kết cặp được biểu diễn dưới dạng các tham số trật tự theo các kênhkhác nhau nhằm tìm kiếm các pha đồng tồn tại Để thuận tiện cho việc trình bày cácnghiên cứu mới (mục 2.2 chương 2, chương 3 và chương 4), dưới đây chúng tôi nhắclại một số kiến thức vật lý quan trọng và các phương pháp hữu ích phục vụ cho việcnghiên cứu của chúng tôi

1.2 Sắt từ trong kim loại

Mục này sẽ thảo luận tính chất sắt từ trong kim loại Trọng tâm của phần thảo luận

là “tích phân trao đổi”, một đại lượng chỉ xuất hiện trong cơ học lượng tử và cho phépgiải thích được hiện tượng từ tính mạnh Chính vì điều này mà các hiện tượng từ xuấthiện từ rất xa xưa nhưng mãi đến tận khi cơ học lượng tử ra đời người ta mới có được

sự hiểu biết sâu sắc về nó

Trong các vật sắt từ (Fe,Ni,Co,Gd, , và một số hợp kim của chúng) khi nhiệt độ của

vật thấp hơn một nhiệt độ xác định nào đó thì tồn tại độ từ hóa tự phát Độ từ hóa

tự phát là moment từ trung bình của vật sắt từ tính trong một đơn vị thể tích tồn

tại ngay cả khi không có cảm ứng từ trường ngoài B, và phụ thuộc vào nhiệt độ Khi

B = 0, nhiệt độ tăng thì độ từ hóa tự phát của vật sắt từ giảm và khi tăng đến nhiệt

độ chuyển pha sắt từ T C thì độ từ hóa của vật sắt từ bằng không, khi đó từ tính củavật sắt từ sẽ biến mất Vật được gọi là sắt từ nếu trong vật tồn tại moment từ tự phátngay cả khi không có từ trường ngoài

Các tính chất của vật sắt từ về cơ bản được xác định bởi moment từ spin của các

điện tử ở các lớp vỏ chưa đầy ( lớp 3d, 4f ) và moment từ các điện tử s ở lớp ngoài.

Tương tác trao đổi (một loại tương tác điện) giữa các điện tử ở các lớp vỏ chưa đầycủa các nguyên tử với nhau dẫn đến sự định hướng các moment từ spin của các điện

tử song song cùng chiều với nhau và tạo thành độ từ hóa tự phát của vật sắt từ khikhông có từ trường ngoài

1.2.1 Trật tự sắt từ trong các hệ moment từ định xứ.

1.2.1.1 Tương tác trao đổi Mẫu Heisenberg

Để dẫn đến khái niệm tương tác trao đổi, ta khảo sát bài toán Heli Nhờ tương táctrao đổi giữa các điện tử ta giải thích được bản chất của hiện tượng sắt từ Vì khốilượng của hạt nhân Heli rất lớn so với khối lượng của các điện tử cho nên trong bàitoán này ta coi hạt nhân của Heli đứng yên

Điện tích của hạt nhân Heli là +2e, điện tích của điện tử là −e; khoảng cách từ điện

tử thứ i (i = 1, 2) đến hạt nhân là r i , khoảng cách giữa hai điện tử là r12 = r21 = r =

Φ01(r 1, r2) = ψ n(r 1)ψ m(r 2)

Φ02(r 1, r2) = ψ n(r 2)ψ m(r 1) (1.14)

đều là hàm riêng của toán tử ˆH0 = ˆH0(r 1)+ ˆH0(r 2) ứng với một trị riêng E0 = E n +E m

E2 = E0+ E0 = E0+ K − J (1.30)

Hàm Φs(r 1, r2) = Φs(r 2, r1 ) là đối xứng đối với phép hoán vị r 1 cho r 2 còn hàm

Φa(r 1, r2) = −Φa(r 2, r1 ) là phản đối xứng đối với phép hoán vị r 1 cho r 2 Từ điều kiệnchuẩn hóa của các hàm sóng Φs , Φ a ta tìm được c1 = 1/√

2

Bây giờ ta xét ý nghĩa của tích phân K và tích phân J Chú ý rằng ρ(r1) = −e |ψ n(r 1)|2

là mật độ điện tích của điện tử ở điểm r 1, ρ(r2) = −e |ψ m(r 2)|2 là mật độ điện tích

của điện tử ở điểm r 2 và r = |r2− r 1| cho nên tích phân K là năng lượng tương tác

tĩnh điện giữa các điện tử trong nguyên tử Heli

Tích phân J không có ý nghĩa như tích phân K, nó cũng là năng lượng tương tác điện

giữa các điện tử nhưng không giống như tương tác tĩnh điện thông thường mà chúng

ta đã biết trong vật lý cổ điển Sự xuất hiện đại lượng mới J gắn liền với việc trao đổi

chỗ giữa các hạt đồng nhất (các điện tử) trong cơ học lượng tử và do đó không thể

tính được J trong phạm vi vật lý cổ điển Tích phân J gọi là tích phân trao đổi và phần năng lượng ±J gọi là năng lượng trao đổi Tùy thuộc vào sự định hướng của các spin của hai điện tử mà ta có năng lượng trao đổi bằng +J hay bằng −J

Ta hãy khảo sát vấn đề này một cách cụ thể hơn Từ cơ học lượng tử ta biết rằng hàmsóng của hệ hạt fermion đồng nhất là hàm sóng phản đối xứng Điện tử có spin bằng

1/2 thuộc vào loại hạt fermion nên hàm sóng hệ hai hạt điện tử là hàm sóng phản đối xứng Để đặc trưng cho chuyển động của điện tử ngoài ba tọa độ x, y, z còn có thêm một biến số thứ tư là hình chiếu spin s z = m s ~ (m s = ±12) Ta kí hiệu tập hợp bốn

biến số đặc trưng cho chuyển động của điện tử thứ i là ξ i (i = 1, 2) Hàm sóng ψ của

hệ hai điện tử là hàm sóng phản đối xứng có nghĩa là

Hàm sóng ψ(ξ1, ξ2) là hàm sóng phản đối xứng, cho nên khi Φ(r 1, r2) là hàm đối xứng

thì hàm sóng spin χ(s 1z , s 2z) phải là hàm phản đối xứng, và ngược lại, khi Φ(r 1, r2)

là hàm sóng phản đối xứng thì hàm sóng spin χ(s 1z , s 2z) phải là hàm đối xứng Hàm

sóng của hệ hai điện tử ψ(ξ1, ξ2) có thể có các trường hợp sau

ψ(ξ1, ξ2) = Φs(r 1, r2)χ a (s 1z , s 2z)

ψ(ξ1, ξ2) = Φa(r 1, r2)χ s (s 1z , s 2z) (1.33)

ở đây

Φs(r 1, r2) = Φs(r 2, r1)χ a (s 1z , s 2z ) = −χ a (s 1z , s 2z)

Φa(r 1, r2) = −Φa(r 2, r1)χ s (s 1z , s 2z ) = χ s (s 1z , s 2z) (1.34)Khi spin của hai điện tử định hướng song song cùng chiều (spin toàn phần của hệ hai

điện tử s = 1) thì hàm sóng spin là hàm sóng đối xứng χ s Khi đó hàm sóng của tọa

độ phải là hàm sóng phản đối xứng Φa(r 1, r2) và năng lượng của hệ hai điện tử là

E2 = E0+ K − J

Khi spin của hai điện tử định hướng song song ngược chiều (spin toàn phần của hệ

hai điện tử s = 0) thì hàm sóng spin là hàm sóng phản đối xứng χ a Khi đó hàm sóngcủa tọa độ phải là hàm sóng đối xứng Φs(r 1, r2) và năng lượng của hệ hai điện tử là

E1 = E0+ K + J

Như vậy sự thay đổi cách định hướng các spin của hai điện tử làm cho năng lượng traođổi thay đổi dấu Trạng thái của hệ hai điện tử càng bền vững khi hai điện tử ở mứcnăng lượng càng thấp

-Nếu J > 0 thì E2 < E1, hệ hai điện tử sẽ ở trạng thái có năng lượng E2 có hai spinđịnh hướng song song cùng chiều,

-Nếu J < 0 thì E1 < E2, hệ hai điện tử sẽ ở trạng thái có năng lượng E1 có hai spinđịnh hướng song song ngược chiều

Khi hai spin của hai điện tử định hướng song song cùng chiều thì hai mô men từ spincũng định hướng song song cùng chiều và khi hai spin của hai điện tử định hướng songsong ngược chiều thì hai mô men từ spin của chúng cũng định hướng song song ngượcchiều Điều kiện để hai mô men từ spin (hay hai spin) của hai điện tử định hướng song

song cùng chiều là J > 0 và song song ngược chiều là J < 0 Bài toán về tương tác trao đổi giữa hai điện tử với năng lượng trao đổi bằng ±J mang tính chất tổng quát không phụ thuộc vào hai điện tử có ở cùng một nguyên tử hay không Gọi J ij là tích phân

trao đổi giữa các điện tử của các nguyên tử i và j trong tinh thể ở 0K, nếu J ij > 0 thì

các mô men từ spin của các điện tử trong các nguyên tử i và j định hướng song song cùng chiều và vật là vật sắt từ Còn nếu J ij < 0 thì các mô men từ spin của các điện

tử trong các nguyên tử i và j định hướng song song ngược chiều và vật là vật phản sắt

từ

Để nghiên cứu lý thuyết lượng tử về sắt từ, đầu tiên ta khảo sát lý thuyết sắt từ tronggần đúng giả cổ điển Khi đó ta coi các toán tử spin của các điện tử trong các nguyên

tử i, j bất kì của tinh thể như những véc tơ spin S i = ~σ i, Sj = ~σ j định hướng song

song cùng chiều hay ngược chiều Độ lớn của σ2

4 + 2σ i σ j = S(S + 1) (1.36)

Trong đó S là spin tổng cộng của hệ hai điện tử Khi σ i , σ j định hướng song song cùng

chiều thì S = 1 và khi σ i , σ j định hướng song song ngược chiều thì S = 0 Vậy ta có

trong vật từ ta chỉ dùng phần năng lượng trao đổi H.

Chuyển từ lý thuyết giả cổ điển đến lý thuyết lượng tử của vật từ, ta thay đổi các véc

tơ σ i , σ j bằng các toán tử ˆS i/~, ˆ S j /~ khi đó hàm H trở thành toán tử Hamiltonian ˆ H

của vật từ Nếu chọn đơn vị đo là ~ thì ˆσ i = ˆS i , ˆ σ j = ˆS j và toán tử ˆH có dạng

Nếu trong tổng thứ hai ta thay chỉ số lấy tổng i ij = J ji, ta có

H của mẫu sắt từ Heisenberg là toán tử tổng cộng các toán tử spin của các điện tử

trong nguyên tử i và j của vật sắt từ Mẫu sắt từ Heisenberg là mẫu điện tử định xứ

trong các nguyên tử sắt từ, vì vậy mẫu này chỉ áp dụng tốt cho các vật sắt từ điện môi

Đối với các kim loại sắt từ như Fe,Co,Ni ngoài những điện tử ở các lớp 3d chưa làm

đầy, định xứ trong các nguyên tử, còn có các điện tử dẫn Tương tác giữa các điện tửđịnh xứ trong các nguyên tử và các điện tử dẫn cũng có ảnh hưởng đến tính chất từcủa các kim loại sắt từ

1.2.1.2 Lý thuyết trường trung bình phân tử Weiss

Ta bắt đầu với Hamiltonian Heisenberg

HW gọi là từ trường phân tử Weiss hay từ trường hiệu dụng.

Ta thấy rằng HW bất cứ ở đâu cũng cùng hướng với hSji Bởi vì hSji là các trung bình

spin trong từ trường hiệu dụng và H không chứa bất kỳ số hạng bất đẳng hướng nào

nên giá trị trung bình của hSji được tính như sau

Công thức này cho mối liên hệ giữa nhiệt độ Curie T C và tích phân trao đổi J ij Nếu

J ij = 0 thì T C = 0, nghĩa là vật không phải là vật sắt từ Như vậy bản chất của hiện

tượng sắt từ là do tương tác trao đổi, với J ij > 0.

Gọi J là tích phân trao đổi của một cặp nguyên tử gần nhau nhất và gần đúng coi

J ij ≈ 0 khi các nguyên tử i và j ở xa nhau (không gần nhau nhất), ta có

kT C = 2S(S + 1)

trong đó Z là số nguyên tử gần nhất bao quanh một nguyên tử bất kỳ đã cho của tinh thể (số phối vị) Đối với kim loại sắt từ thì S = 1, Z = 8, T C = 1043K, kT C =

0, 09eV ≈ 0, 1eV Khi đó ta có

Làm thế nào có thể mô tả một cách đơn giản chuyển động và tương tác của các điện

tử trong một chất rắn? Trước hết, ta cần lý giải một thực tế là có một mạng đều đặncủa các vị trí hạt nhân trong chất rắn, và để đơn giản ta coi các hạt nhân này là cốđịnh (nói cách khác, ta sẽ không phải lo nghĩ về các dao động mạng) Điều này gợi ýrằng ta sẽ bắt đầu với một mạng các nguyên tử (các vị trí) trên đó các điện tử chuyểnđộng Một nguyên tử đơn là một cấu trúc rất phức tạp với nhiều mức năng lượng khácnhau Nguyên tử đơn giản nhất ta có thể hình dung sẽ có một mức năng lượng đơn.Khi đó, nguyên lý Pauli sẽ cho chúng ta thấy rằng có tối đa hai điện tử (một có spinhướng lên và một có spin hướng xuống) có thể nằm trên nguyên tử này Trong mộtchất rắn ở đó các điện tử có thể di chuyển khắp, các điện tử tương tác qua tương tácCoulomb bị chắn Tương tác lớn nhất sẽ là với hai điện tử trên cùng một nguyên tử

Để đơn giản, Hubbard dừng ở đây, vì vậy các tương tác được được mô hình hóa bởimột số hạng mà nó bằng không nếu nguyên tử không có hoặc chỉ có một điện tử trên

nó, nhưng sẽ có giá trị U nếu nguyên tử có hai điện tử Không có tương tác giữa cácđiện tử trên các vị trí khác nhau Động năng của ta bao gồm một biểu thức cho phép

các điện tử di chuyển từ một vị trí tới các vị trí lân cận nó Tỉ lệ năng lượng t chi phối

sự “nhảy” này sẽ được khảo sát bởi sự che phủ của hai hàm sóng trên cặp nguyên tử.Bởi vì các hàm sóng giảm theo hàm số mũ, nên ta có thể bắt đầu bằng cách cho phép

sự nhảy chỉ giữa các nguyên tử gần nhất trong mạng tinh thể Bây giờ ta chính thức

hóa cấu trúc này Ta định nghĩa c†jσ là toán tử sinh điện tử có spin σ ở nút mạng j.

Tương tự c jσ là toán tử hủy và n jσ = c†jσ c jσ là toán tử số hạt

Hamiltonian Hubbard khi đó là

“nửa-lấp đầy” bởi vì mạng chứa một nửa số điện tử trong số điện tử cực đại (hai điện

tử cho mỗi vị trí) Các nghiên cứu về mô hình Hubbard thường tập trung vào trườnghợp nửa lấp đầy bởi vì nó biểu hiện nhiều hiện tượng thú vị (hành vi Mott cách điện,trật tự phản sắt từ, )

Hamiltonian Hubbard giải được chính xác trong các giới hạn U = 0 và t = 0 Giới hạn

không tương tác tương ứng với lý thuyết vùng trong gần đúng liên kết chặt, trong khi

giới hạn t = 0 tương ứng với giới hạn nguyên tử.

Giới hạn không tương tác U = 0 Trong giới hạn U = 0, Hamiltonian rút gọn thành

Theo nguyên lí Pauli, chỉ có bốn trạng thái trong không gian Hilbert của bài toán

một vị trí, đó là: trạng thái trống |0i (năng lượng 0 = 0), hai trạng thái bị chiếm

đơn |σi = c†σ |0i với spin σ (năng lượng  σ = −µ) và một trạng thái bị chiếm đôi

|↑↓i = c†↑c†↓|0i (năng lượng ↑↓ = U − 2µ) Khi đó dễ dàng tính được hàm phân bố

bằng

α

hα| e −βH |αi = 1 + 2e βµ + e 2βµ−βU , (1.60)

năng lượng bằng

E = Z−1X

α

hα| He −βH |αi =1 + 2e βµ + e 2βµ−βU−1U e 2βµ−βU (1.61)

và số điện tử trung bình chiếm mỗi vị trí có spin σ là

hn σi = 1

Z



1.2.2.2 Tiêu chuẩn Stoner cho sắt từ

Stoner đã phát triển một bức tranh rất đơn giản về sắt từ dựa trên sự cạnh tranh giữađộng năng tiêu tốn để làm cho số điện tử có spin hướng lên và spin hướng xuống khácnhau và thế năng liên kết chúng tăng lên Ý tưởng cơ bản như sau: Theo nguyên líPauli cách để chiếm một tập hợp các mức năng lượng đã cho với năng lượng thấp nhất

là bắt đầu lấp đầy từ đáy và đặt hai điện tử có spin ngược nhau vào cùng mỗi mức.Mặt khác nếu tạo ra số điện tử có spin hướng lên và spin hướng xuống không bằngnhau, và không lấp đầy mỗi mức với hai điện tử, ta sẽ phải chiếm các mức năng lượngcao hơn

Tuy nhiên, nếu ta tạo ra số điện tử có spin hướng lên và spin hướng xuống không bằngnhau, thì ta có thể làm giảm thế năng: Xét giới hạn sự phân cực spin là hoàn toàntrong đó không có các điện tử thuộc về một loại spin Khi đó, hiển nhiên là thế năngbằng không

Ta hãy làm cho lập luận này rõ ràng hơn: Xét một hệ với mật độ trạng thái N (E) và

cả các điện tử có spin hướng lên và hướng xuống đều lấp đầy các mức năng lượng lên

tới cùng mức cực đại gọi là mức Fermi E F Mật độ các điện tử có spin hướng lên và

hướng xuống bằng nhau và bằng n.

Ta hãy tính sự thay đổi trong năng lượng do sự suy giảm mật độ δn của các điện tử

có spin hướng xuống đồng thời số điện tử có spin hướng lên tăng δn Thế năng thay

đổi bằng

Nếu ta chuyển lượng điện tử thêm vào δn vào trong nhóm hướng lên, ta sẽ chiếm các mức năng lượng bên trên mức E F ban đầu Nhớ rằng ta định nghĩa mật độ trạng thái

như số mức ở một năng lượng E ta sẽ thấy rằng N (E) = dN/dE vì vậy δn = N (E F )δE.

Hệ thức này cho ta biết phạm vi năng lượng ở trên mức Fermi E F mà ta lấp đầy dưới

dạng δn lớn như thế nào Tương tự như vậy, ta đang làm trống các mức năng lượng ở bên dưới mức E F mà trước đây nó được chiếm bởi các điện tử có spin hướng xuống

Kết quả rõ ràng của quá trình này là chuyển δn điện tử lên các mức năng lượng trong khoảng δE Sự thay đổi động năng là

δK = +δnδE = + 1

N (E F)(δn)

Đặt hai biểu thức này cùng nhau, ta có

Ta thấy rằng nếu U N (E F ) > 1 thì năng lượng toàn phần thay đổi δE < 0, vì vậy sẽ

thuận lợi để có mật độ điện tử hướng lên và hướng xuống khác nhau và vì vậy thuậnlợi để có tính sắt từ Đây gọi là tiêu chuẩn Stoner Nó cho ta biết rằng từ tính đượcủng hộ bởi các tương tác điện tử lớn

1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS

Mục này trình bày lược sử ra đời và phát triển của siêu dẫn, từ sự phát hiện ra hiệntượng siêu dẫn cho đến sự ra đời của lý thuyết vi mô BCS Tìm hiểu về lý thuyết BCS,hồi tưởng lại những thành công của nó trong việc mô tả tất cả các sự kiện đã biết vàđưa ra các tiên đoán mới mà sớm đã được xác nhận bằng thực nghiệm, đóng góp vàoviệc thừa nhận rỗng rãi của lý thuyết Sau cùng trình bày về lý thuyết BCS tổng quát

1.3.1 Lược sử ra đời và phát triển của siêu dẫn

Siêu dẫn là một trong những chủ đề hấp dẫn nhất của vật lý chất rắn Nó là nguồncảm hứng bất tận cho cả các nghiên cứu vật lý thực nghiệm và lý thuyết và có mộttiềm năng khổng lồ cho việc áp dụng công nghệ vào trong thực tiễn Được khám phábởi Kamerlingh Onnes năm 1911, tuy nhiên phải cần đến gần 50 năm mới phát triểnđầy đủ khung khái niệm cần thiết để hiểu rõ hiện tượng tập thể này với sự ra đời của

lý thuyết BCS Trước khi bắt đầu ta hãy phác họa vắn tắt dòng chảy lịch sử dẫn tới

nó Hóa ra rằng hầu hết các nhà vật lý nổi tiếng của nửa đầu thế kỷ XX đã cố gắng đểtìm lời giải cho vấn đề hóc búa đó Một số điểm sáng trong sự phát triển của lý thuyếtsiêu dẫn là

• Hiện tượng siêu dẫn được khám phá năm 1911 tại phòng thí nghiệm của HeikeKammerlingh Onnes [63] ở Leiden, Hà Lan và là một bất ngờ Onnes là người đầu tiêntrên thế giới phát triển một kĩ thuật hóa lỏng Heli trước đó vài năm và điều đó chophép tiến hành các thực nghiệm ở nhiệt độ quanh mức 4,2 Kelvin Onnes và các cộng

sự sử dụng những thí nghiệm đó để nghiên cứu hành vi phụ thuộc nhiệt độ của điện trởkháng kim loại khi làm lạnh tới không độ tuyệt đối Cần phải nhấn mạnh rằng HeikeKamerlingh Onnes đã nghiên cứu các tính chất của kim loại ở nhiệt độ thấp khôngphải bởi ai đó đã mong đợi hay dự đoán sự xuất hiện của hiện tượng bất thường đó.Động cơ thúc đẩy chỉ là trả lời các câu hỏi đơn giản và gây tranh cãi bấy giờ là điện trởcủa kim loại có triệt tiêu như mong đợi theo lý thuyết Drude hay không Paul Drudelập luận rằng ở nhiệt độ rất thấp sự tán xạ của các điện tử bởi các dao động mạng sẽ

không bị tác động và điện trở kháng sẽ sụt giảm theo sự hạ thấp nhiệt độ Mặt kháctheo lý thuyết suy đoán của Lord Kelvin (Wiliam Thomson), một nhà khoa học rất cóảnh hưởng, dự đoán rằng điện trở sẽ tăng (thực sự tới vô cùng) ở các nhiệt độ thấpnhư một kết quả của sự đóng băng của các điện tử thành trạng thái các nguyên tửtrong vật liệu Thật ngạc nhiên, họ nhận thấy rằng điện trở kháng của mẫu thủy ngânsụt giảm đột ngột tới giá trị không đo được, nghĩa là trở nên thực sự bằng không ởnhiệt độ thấp Vì vậy đầu tiên người ta định nghĩa tính chất của siêu dẫn là tính dẫn

điện hoàn hảo ở dưới nhiệt độ tới hạn T C, một tính chất thể hiện đúng tên gọi củahiện tượng

• Một trong hai thí nghiệm, những thí nghiệm đã đóng góp to lớn để có được nhữnghiểu biết đúng đắn về hiện tượng và để hình thành hiện tượng học chính xác và lýthuyết vi mô sau này về hiện tượng siêu dẫn, là sự khám phá ra hiệu ứng Meissner năm

1933 bởi Meissner và Ochsenfeld [59] Khi một chất siêu dẫn được làm lạnh trong một

từ trường yếu, từ thông bị đẩy ra khỏi chất một cách tự phát khi nó trở thành siêudẫn Hiệu ứng Meissner minh họa rằng một chất siêu dẫn về bản chất là một nghịch

từ hoàn hảo

Tính chất nghịch từ xuất hiện khi một từ trường ngoài chỉ xuyên sâu hạn chế vào vậtliệu, và không cản trở việc vẫn còn lại ở phần bên trong của vật liệu Độ xuyên sâuthường là nhỏ khi so sánh với bề rộng của vật liệu Sự kiện này cũng biểu thị rằng một

từ trường riêng sẽ phá hủy tính siêu dẫn của vật liệu

Như vậy một chất siêu dẫn không chỉ là một vật dẫn hoàn hảo mà còn là chất nghịch

từ lí tưởng Một chất nghịch từ lí tưởng (đẩy từ thông ra) phải kéo theo điện trở bằngkhông (vì nếu điện trở khác không thì các dòng chắn dư phải liên tục tiêu hao nănglượng do tỏa nhiệt, vậy năng lượng này lấy ở đâu, phải chăng từ năng lượng tích trữtrong từ trường Nhưng từ trường đã cho là từ trường tĩnh và do đó không thể cungcấp năng lượng cần thiết, suy ra điện trở phải bằng không), nghĩa là chất nghịch từ lítưởng cũng là chất dẫn điện hoàn hảo Nhưng đảo lại, lại không đúng Chính vì lí donày mà tính nghịch từ lí tưởng được coi là tính chất cơ bản hơn, thực tế là tính chấtquyết định của một chất siêu dẫn

• Heinz London và Fritz London là những người đầu tiên hiểu được tầm quan trọngthực sự phát hiện của Meissner và Ochsenfeld và đã sớm đề xuất một lý thuyết hiệntượng luận (vào năm 1937) mà nó cho phép giải thích những tính chất điện động lựccủa các chất siêu dẫn Hai ông đã lập luận chính xác rằng tính siêu dẫn là một biểuhiện của các quy luật lượng tử trên một tỉ lệ vĩ mô vào cỡ met hoặc kilomet và đưa ra

hệ thức nổi tiếng

j = −n s e

2

m A,(∇A = 0).

Heinz và Fritz London đã quan tâm đến hiện tượng siêu dẫn nhưng không nỗ lực để

mô tả nguyên nhân Thay vào đó họ tìm được phương trình cho độ xuyên sâu λ của

siêu dẫn [55] Nhưng những kết quả của họ được đánh giá là quá cao với các giá trịtìm được bằng thực nghiệm, và vì vậy các giả thiết của họ bị loại bỏ

• Phỏng đoán bởi Fr¨ohlich rằng tương tác giữa phonon và electron chịu trách nhiệm

cho tính siêu dẫn [30] có từ năm 1950, cũng khi đó hiệu ứng đồng vị được khám phá.Vào ngày 24 tháng ba năm 1950 tạp chí chuyên đề Physical Review đã nhận được haibản báo cáo về hiệu ứng đồng vị [24, 70] và sau đó đã cho xuất bản trong cùng một số

ra của tạp chí trong mục các lá thư gửi tới biên tập viên Một bản là của E Maxwellgửi từ NBS, Washington D.C và một báo cáo khác là của C.A Reynolds và các cộng

sự gửi từ Rutgers University, New Jersey Cả hai nhóm đều nhận thức được công việccủa họ và đã viện dẫn lẫn nhau Điều quan trọng cần lưu ý ở đây là có một sự phùhợp đẹp đẽ của các phép đo cực kỳ cẩn thận và chính xác Một nhóm đo được nhiệt

độ chuyển pha siêu dẫn của thủy ngân tự nhiên có khối lượng nguyên tử trung bình

200,6 là T C = 4, 156 K và của198Hg là T C = 4, 177 K [24] Nhóm khác [70] đã báo cáo với thủy ngân tự nhiên là T C = 4, 150 K và với đồng vị tiêu biểu 202Hg là T C = 4, 143

K

Các kết quả thí nghiệm trong vòng mỗi chuỗi các đồng vị có thể được làm khớp với hệthức:

Từ sự phụ thuộc của T C vào khối lượng đồng vị ta thấy rằng các dao động mạng

và do đó các tương tác điện tử - mạng tinh thể có liên quan sâu sắc đến tính siêudẫn Điều này cho phép giả thiết rằng nền tảng của tính siêu dẫn dựa vào tương tácelectron-phonnon, một giả thuyết mà sau này sẽ dẫn tới sự hình thành lý thuyết BCS

• Trong suốt mấy thập kỉ sự hiểu biết đầy đủ của cơ học lượng tử về siêu dẫn tiếntriển khá chậm chạp luôn đi sau thực nghiệm, nhưng cuối cùng một đột phá đạt đượctrong năm 1950 khi lý thuyết GL được đề xuất trên nền hiện tượng học, bắt đầu từ

lý thuyết Landau tổng quát về chuyển pha loại hai như chúng ta sẽ thấy chi tiết hơntrong mục 1.4

Lý thuyết Ginzburg-Landau năm 1950 [33] là một lý thuyết hiện tượng học sử dụngtrực giác vật lý và nguyên lý biến thiên của cơ học lượng tử Nó cho phép tính toáncác đại lượng vĩ mô của vật liệu trong trạng thái siêu dẫn nếu người ta giả thiết sựchuyển pha là loại hai Các kết quả có thể phù hợp một cách chính xác với các kết quảthực nghiệm, và sau này được chỉ ra là một dạng riêng của lý thuyết BCS Trong khihữu ích và chính xác với các đại lượng vĩ mô, thì cũng giống như nỗ lực của London,

nó không giải thích sự hình thành tính siêu dẫn trong các vật liệu này

• Bảy năm sau đó một lý thuyết vi mô, gọi là lý thuyết BCS, đã được phát triển bởiBardeen, Cooper và Schrieffer [13, 12] (bao gồm những chữ cái đầu của những ngườithành lập nó) Họ nhận thấy sự xuất hiện của tính siêu dẫn được trợ giúp bởi sự hìnhthành các cặp Cooper, loại phân tử hai điện tử liên kết lỏng lẻo Tương tác hút cần

để liên kết các điện tử được nhận thấy có nguồn gốc trong tương tác electron-phonon.Các cặp Cooper không còn được mô tả bởi thống kê fermi nữa và như các boson chúng

có thể chiếm một trạng thái lượng tử cố kết được mô tả bởi một hàm sóng vĩ mô Ψ.Chúng ta sẽ phác họa những điểm chính của lý thuyết BCS trong mục 1.3.2

• Một điều quan trọng là hai năm sau khi lý thuyết BCS ra đời Gor’kov [34] đã chỉ rarằng lý thuyết hiện tượng luận GL thực tế có thể được suy ra một cách chính xác từ

lý thuyết BCS và các hệ số của nó có thể vì vậy liên quan tới các tham số vật liệu vi

mô chẳng hạn như vận tốc Fermi v F và mật độ trạng thái ở mức Fermi N (0) Thêm

vào đó Gor’kov chứng minh rằng các đại lượng nhiệt động của hai lý thuyết, nghĩa làtham số khe BCS, 4, và hàm sóng GL, Ψ, có liên hệ với nhau bởi một hằng số tỉ lệ và

Ψ có thể được coi như hàm sóng cặp Cooper trong cấu trúc khối tâm Theo một nghĩanào đó thì lý thuyết GL là nguyên mẫu của lý thuyết hiệu dụng hiện đại; mặc dù giớihạn chỉ ở sự chuyển pha nhưng nó được ứng dụng ở nhiều lĩnh vực, chẳng hạn nó được

sử dụng trong các trường hợp không đồng nhất, khi khe không đồng đều trong khônggian

• Một bước tiến nhảy vọt quan trọng khác được tạo bởi Abrikosov năm 1957 [6], người

đã nhận thấy rằng các phương trình GL cho phép sự tồn tại các chất siêu dẫn với trị

số năng lượng bề mặt phân giới siêu dẫn - dẫn thường âm Ông đặt tên lớp mới này làsiêu dẫn loại II, các vật liệu tạo ra bề mặt phân giới nhiều nhất có thể, dẫn tới sự xuyênsâu của từ thông trong mẫu theo các đơn vị nhỏ nhất được phép về mặt cơ lượng tử -

lượng tử từ thông Φ0 = hc 2e Mỗi ống từ thông riêng lẻ có các siêu dòng lưu thông baoquanh nó che chắn từ trường và ngăn cản nó lan ra phần còn lại của mẫu Các siêudòng lưu số này là lí do tại sao cấu trúc từ này có tên là xoáy Do bởi năng lượng bềmặt âm, các xoáy đẩy nhau ở mọi khoảng cách và như một hệ quả là hình thành mộtmạng đặc trưng có dạng hình tam giác (được gọi là mạng Abrikosov) Trong trườnghợp ngược lại của các siêu dẫn loại I với trị số năng lượng dương của việc hình thànhcác bề mặt phân giới, nếu từ trường quá lớn và không thể được che chắn đầy đủ nữa,

từ thông sẽ xuyên sâu vào mẫu dưới dạng các miền dẫn thường vĩ mô Các miền dẫnthường trong các chất siêu dẫn loại I có thể là hình tròn, hình lá hay một tổ hợp củachúng Hình dạng thực tế của chúng trong một mẫu riêng phụ thuộc vào hình dạngcủa mẫu

Vào cuối những năm 70, hiện tượng siêu dẫn là một chủ đề hầu như đã được giải quyếttrọn vẹn Lý thuyết BCS đã mô tả thành công tất cả các sự kiện đã biết và đưa ra một

số tiên đoán mới, những tiên đoán đã được xác nhận bằng thực nghiệm, đóng góp vào

sự thừa nhận phổ biến lý thuyết Lý thuyết này đã được ứng dụng cả trong vật lý hạtnhân, lý thuyết về các ngôi sao neutron và khí nguyên tử lạnh Các khám phá về cácchất siêu dẫn mới trong ba mươi năm cuối của thế kỉ XX và những năm đầu của thế

kỉ XXI cho thấy rằng mô hình BCS đơn giản chưa đủ để hiểu các chất siêu dẫn mới,các chất siêu dẫn phi truyền thống Các hiện tượng siêu dẫn phi truyền thống đã đượcquan sát trong nhiều lớp vật liệu khác nhau như siêu dẫn trong các hệ fermion nặng,các muối hữu cơ, các ô xit đồng nhiều lớp, hay gần đây nhất là các iron pnictides Tagọi những hệ siêu dẫn này là những hệ tương quan mạnh Bây giờ ta sẽ đưa ra một sựtóm tắt và tổng quan về lịch sử chưa đầy đủ của các chất siêu dẫn phi truyền thống

• Năm 1979, Frank Steglich và những cộng sự đã quan sát được hiện tượng siêu dẫn

dưới nhiệt độ T C ≈ 0, 5K trong CeCu2Si2[81] Vật liệu này không là một kim loạithông thường trong trạng thái thường của nó Thay vào đó là một kim loại fermion

nặng Các điện tử ở mức năng lượng Fermi có đặc tính orbital-f của Ce mạnh Lực đẩy Coulomb rất mạnh giữa các điện tử trong lớp vỏ-f dẫn tới một khối lượng hiệu

dụng cao m∗  m e tại mức năng lượng Fermi, vì vậy nó có tên như trên Từ đó vềsau, hiện tượng siêu dẫn được tìm thấy trong nhiều hợp chất fermion nặng khác Lýthuyết BCS không thể giải thích tính siêu dẫn trong các kim loại tương quan cao này.Cộng hưởng từ hạt nhân và các kĩ thuật thực nghiệm khác cho thấy rằng các chất siêudẫn fermion nặng này biểu hiện tính đối xứng không bình thường của trạng thái siêudẫn.

• Cũng trong năm 1979, D Jérome và cộng sự [46] (nhóm của Klaus Bechgaard) đãquan sát được hiện tượng siêu dẫn trong một muối hữu cơ gọi là (TMTSF)2PF2 với

T C = 1, 1K Từ đó hiện tượng siêu dẫn được tìm thấy trong nhiều vật liệu hữu cơ

khác nhau với nhiệt độ chuyển pha lớn nhất khoảng 18K Tính đối xứng của trạngthái siêu dẫn này thường là bất thường (ta sẽ không kể đến các dạng thù hình các bon(fullerites) dưới dạng các hợp chất hữu cơ vì chúng thiếu các nguyên tử hydrogen)

• Trong khi các khám phá đã đề cập trước đây cho thấy rằng hiện tượng siêu dẫn

có thể xuất hiện trong các lớp vật liệu không ngờ tới và có thể do bởi các cơ chế

không theo thông lệ, các giá trị T C không vượt quá T C ≈ 23K của Nb3Ge, thì năm

1986, J G Bednorz and K A M¨uller [14] đã quan sát hiện tượng siêu dẫn trong

La 2−x Ba x CuO4 (ion đồng perophit sắp từng lớp với một số nguyên tử Ba thay thế

cho La) với T C khoảng chừng trên 35K Trong các năm tiếp theo, nhiều chất siêu dẫn

khác dựa trên cùng loại các mặt gần như phẳng CuO2 đã được khám phá Nhiệt độ

chuyển pha kỉ lục với các ion đồng và với tất cả các chất siêu dẫn là T C = 138K đối với

Hg 0.8 Tl 0.2 Ba2Ca2Cu3O 8+δ ở áp suất thường và T C = 164K đối với HgBa2Ca2Cu3O 8+δ

dưới áp suất cao Các giá trị T C cao cũng như các khảo sát thực nghiệm cho thấy rằngcác ion đồng là các chất siêu dẫn không theo lệ thường

• Năm 1991, A F Hebard [39] và các cộng sự đã nhận thấy rằng hợp chất các bon

(fullerite) (K−)3C603− trở thành siêu dẫn ở dưới T C = 18K T C trong lớp này đã được

đẩy lên tới T C = 33K với Cs2RbC60 ở áp suất thường và T C = 38K đối với (mạngb.c.c., trong khi đó tất cả các hợp chất các bon siêu dẫn khác đã biết là mạng f.c.c)

Cs3C60 dưới áp suất cao Tính đối xứng của trạng thái siêu dẫn này xuất hiện khôngđáng kể nhưng, như đã lưu ý ở trên, có một cuộc tranh luận đang tiếp diễn về việc cóhay không sự kết cặp qua phonon trung gian

• Năm 2001, Nagamatsu và các cộng sự đã báo cáo hiện tượng siêu dẫn trong MgB2[62] với T C = 39K T C cao và cấu trúc tinh thể xếp lớp, gợi nhớ lại các ion đồng, đưa

tới một kỳ vọng rằng hiện tượng siêu dẫn trong MgB2 là không theo lệ thường Tuynhiên, hầu hết các chuyên gia bây giờ nghĩ rằng nó thực sự là siêu dẫn truyền thống,như đã lưu ý ở trên

• Một chuỗi các khám phá quan trọng gần đây nhất bắt đầu từ năm 2008, khi Kamihara

và các cộng sự (nhóm của H Hosono) [47] đã quan sát được hiện tượng siêu dẫn với

T C ≈ 4K trong LaFePO, một hợp chất xếp lớp khác Kết quả này đã thêm vào danh

sách các chất siêu dẫn mới một lớp vật liệu dựa vào Fe2+, nhưng nó đã không gây ranhiều xáo trộn do bởi nhiệt độ tới hạn thấp Tuy nhiên, năm 2008, Kamihara và các

cộng sự đã tìm thấy hiện tượng siêu dẫn với T C ≈ 26K trong LaFeAsO 1−x F x Ngay

sau đó, nhiệt độ tới hạn T C lớn nhất trong lớp pnictide sắt này được đẩy lên tới 55

K Hiện tượng siêu dẫn cũng được quan sát trong nhiều lớp vật liệu có liên quan, một

số trong chúng không chứa oxygen (chẳng hạn, LiFeAs) và một số với pnictogen (As)

thay thế bởi một chalcogen (ví dụ, FeSe) Nhân tố cấu trúc chung là một lớp Fe2+

phẳng, vuông với một pnictogen hoặc chalcogen đặt luân phiên nhau bên trên và dướitrung tâm của các mặt vuông Fe Hiện tượng siêu dẫn này được coi là không theo lệthường

Sự tương tác giữa trật tự từ và siêu dẫn trong các chất siêu dẫn phi truyền thống đang

là một trong những chủ đề được quan tâm nhất của cả các nhà vật lý lý thuyết và vật

lý thực nghiệm Việc tìm ra cơ chế chịu trách nhiệm cho sự hình thành trạng thái siêudẫn là vấn đề then chốt của vật lý hiện đại Đã có rất nhiều các công trình nghiên cứuthực nghiệm lẫn lý thuyết, nhiều cơ chế được đề xuất và đã thu được một số thànhcông nhất định Những nghiên cứu về các chất siêu dẫn vẫn đang phát triển mạnh mẽ

và mê hoặc các thế hệ các nhà vật lý mới làm việc trong các lĩnh vực khác nhau nhưkhoa học vật liệu và lý thuyết dây

1.3.2 Lý thuyết BSC của siêu dẫn

Nền tảng của lý thuyết lượng tử về siêu dẫn được đưa ra qua các bài báo kinh điểnnăm 1957 của Bardeen, Cooper, và Schrieffer [13, 12] Một lý thuyết BCS về siêu dẫn

với một phạm vi áp dụng rất rộng, từ các nguyên tử He3 trong trạng thái rắn, tới cácsiêu dẫn kim loại loại I và loại II, cho tới các siêu dẫn nhiệt độ cao dựa trên các mặtphẳng tinh thể của các ion đồng Thêm nữa còn có một hàm sóng BCS gồm các cặp

hạt k ↑ và −k ↓, mà khi nghiên cứu bằng lý thuyết BCS, sẽ xuất hiện tính siêu dẫn

điện quen thuộc đã quan sát trong một số kim loại Trong phần này chúng ta sẽ chỉ đềcập đến những thành tựu riêng của lý thuyết BCS, bao gồm:

1.3.2.1 Trạng thái cơ bản BCS

Chúng ta đã biết rằng biển Fermi trở nên không bền do bởi tán xạ của các điện tử

trong các trạng thái |k, ↑i và |−k, ↓i Bardeen, Cooper, và Schrieffer (BCS) đã đề xuất

một giả thuyết cho trạng thái cơ bản mới Giả thuyết này dựa trên ý tưởng rằng các

điện tử từ các trạng thái |k, ↑i và |−k, ↓i hình thành các cặp (gọi là cặp Cooper) và

trạng thái cơ bản là một sự siêu chồng chập các trạng thái được xây dựng từ các cặp

đó Nó được viết như sau

số phức chưa biết Điều kiện chuẩn hóa đòi hỏi

Hệ thức này tất nhiên được thỏa mãn nếu ta cho |uk|2 + |vk|2 = 1 đối với mọi k, và

từ giờ trở đi ta sẽ thừa nhận điều đó Lưu ý rằng sự chiếm các trạng thái |k, ↑i và

|−k, ↓i là tương quan cực đại; hoặc cả hai bị chiếm hoặc cả hai đều trống Trạng thái

|ψ BCSi là trạng thái đặc biệt, nó là sự siêu chồng chập các trạng thái với số điện tửtoàn phần khác nhau Như một hệ quả, các biểu thức có chứa số toán tử sinh và hủyđiện tử không bằng nhau có thể có các giá trị trung bình không bằng không Chẳnghạn,

và, chọn một gần đúng không tầm thường đơn giản nhất cho V int có tính đến

1 chỉ các điện tử có năng lượng |ξk|> ω D liên quan tới năng lượng Fermi là quantrọng và

2 tính không bền là do bởi sự tán xạ giữa các điện tử trong trạng thái hạt đơn

|k, ↑i and |−k, ↓i.

Điều này dẫn tới

1.3.2.2 Sự hút qua phonon trung gian

H.Frohlich đã chứng minh được rằng, các điện tử có thể hút nhau thực sự, khi có mộtmạng ion biến dạng được, mạng này trong thực tế luôn luôn tồn tại như một cái nền

Cơ chế H.Frohlich [30] như sau: Một điện tử hút các ion gần nó nhất Các ion đáp lạibằng cách chuyển động, dẫu chỉ một chút về phía nó, do đó tạo ra một sự dôi điện tíchdương quanh nó Ta nói rằng điện tử đã làm cho mạng bị phân cực Một điện tử kháclại bị hút về phía sự phân cực ở xung quanh điện tử thứ nhất, và khi làm như vậy, nó

đã thực sự bị hút về phía điện tử thứ nhất (xem hình 1.3)

Hình 1.3.: Hiệu ứng hút của hai điện tử do bởi sự trao đổi phonon [42]

Tuy nhiên người ta vẫn còn cảm giác không thoải mái, vì rằng sự hút nhau này, dĩnhiên là gián tiếp, không thể đủ mạnh để thắng được sự đẩy trực tiếp giữa hai điện

tử Lý lẽ ở chỗ này hơi tinh vi và đòi hỏi một chút vật lý thú vị Như chúng ta vừanhận xét, các điện tử tức là các chuẩn hạt của ta đẩy nhau thông qua một trường thếCoulomb bị chắn, tác dụng gần, có tầm tác dụng vào cỡ khoảng cách trung bình giữacác điện tử Khoảng cách ấy cỡ 1A hoặc 2 o A Nhưng điều quan trọng nhất, là sự kiện, o

trường thế tác dụng một cách tức thời nghĩa là nó chỉ phụ thuộc vị trí hiện thời củahai điện tử đang xét Một mặt khác, tác dụng hút nhau gián tiếp lại do chuyển độngmuộn mằn của các ion sinh ra Các ion đều chậm chạp vì có khối lượng tương đối lớn,

ít nhất cũng bằng vài nghìn lần khối lượng điện tử Thời gian đáp ứng của ion có thể

lấy bằng chu kì dao động điều hòa τ D của chúng, và có giá trị điển hình vào cỡ 10−12(s).Giá trị này ứng với tần số dao động điển hình 1012Hz của chúng, gọi là tần số Debye.Điều này có nghĩa là sự phân cực cục bộ do điện tử cảm ứng nên tại một điểm, vẫn

còn lưu lại trong thời gian τ D, ngay cả sau khi điện tử đã chuyển động dời khỏi điểm

ấy Mà điện tử lại chuyển động với vận tốc Fermi v F cỡ 108cm/s, thành thử trong thời

gian τ D ấy, nó đã dịch chuyển được một khoảng τ D v F cỡ 10−4 cm Khoảng này lớnhơn rất nhiều so với khoảng cách trung bình giữa các điện tử, hay tầm xa của các lựcđẩy bị chắn giữa chúng Do đó người ta có thể ngờ rằng điện tử thứ hai sẽ tới quanhđiểm đó và chịu sự hút của sự phân cực còn lưu lại, do điện tử thứ nhất để lại phía sau

nó, và còn ở quá xa nó để bị nó đẩy một cách trực tiếp Như thế là sự đẩy trực tiếp thìmạnh nhưng lại tức thời, còn sự hút gián tiếp thì yếu nhưng bị trễ, và chính sự chênhlệch về thời gian này đã làm cho lực hút yếu lại thắng được lực đẩy mạnh hơn

Theo cách nói của hệ vật lý nhiều hạt thì sự hút tương hỗ này được coi như phải qua

sự trung gian của phonon, tức là do sự trao đổi lượng tử dao động mạng ảo Một điện

tử phát ra một phonon, phonon này bị hấp thụ bởi một điện tử khác (ta nói ảo vìlượng tử trao đổi chỉ tồn tại giữa lúc phát và hấp thụ Rõ ràng là các lượng tử nàyphải là các hạt boson-hạt fermion chỉ tạo ra và hủy từng cặp) Kết quả là sự hút nhauthông qua sự trao đổi phonon là cực đại khi hai điện tử có động lượng bằng nhau vàngược chiều Điều này giúp cho hai điện tử có được sự thuận lợi tối đa của sự phân cực

do hạt nọ tạo cho hạt kia Cũng thế khi năng lượng trao đổi giữa hai điện tử vào cỡnăng lượng của các phonon trao đổi, năng lượng này thường bằng năng lượng Debye,thì chỉ những điện tử ở trong năng lượng Debye của mặt Fermi mới tham gia có hiệuquả vào quá trình Năng lượng Debye của dao động mạng thường bằng 10−4lần nănglượng Fermi nên chỉ một phần rất nhỏ điện tử là bị ảnh hưởng của sự hút tương hỗnày

1.3.2.3 Cặp Cooper

Lý thuyết BCS dựa vào giả thuyết rằng tính siêu dẫn xuất hiện khi tương tác hút cặpCooper vượt trội hơn lực đẩy Coulomb [50] Một cặp Cooper là cặp liên kết electron-electron yếu gián tiếp tạo thành bởi một tương tác phonon Một electron “được cặpđôi” là electron có mô men và spin đối song mà nó được hút bởi ảnh hưởng này

Sự giải thích ở trên chưa đầy đủ, bởi vì điểm chính của tương tác phonon trung gian

là một tương tác hút tầm xa và vì vậy, đòi hỏi phải cần đến cơ học lượng tử cho một

sự giải thích đầy đủ Cooper đã chỉ ra rằng do bởi thống kê Fermi của electron, mà

trạng thái kết cặp e−− e− có thể có năng lượng nhỏ hơn năng lượng của mức Fermicủa vật liệu Vì vậy, ở nhiệt độ đủ thấp, khi năng lượng nhiệt không phải là một nhân

tố, trạng thái liên kết e−− e− có thể hình thành

Ta đưa ra một lập luận ngắn, đơn giản về việc này Giả sử ta có hai electron tương tác

bằng lực hút Cooper này với một phông biển Fermi tại T = 0 mà ở đó những electron

này chỉ tương tác theo nguyên lí loại trừ Pauli Ta tìm kiếm một hàm sóng có xunglượng bằng không có dạng:

Ψ(r1, r2) = X

k

Tính chất phản đối xứng đòi hỏi gk = g−k Thay thế biểu thức này vào trong phương

trình Schrodinger HΨ = EΨ mang đến điều kiện sau

Bây giờ ta đi đến việc tìm kiếm mô hình Hamiltonian cho lý thuyết Việc này thực

hiện dễ dàng nhất trong ngôn ngữ lượng tử hóa lần hai Gọi c kσ và c†kσ là các toán tử

hủy và sinh electron có xung lượng k và spin σ =↑ hoặc σ =↓ Các hệ thức giao hoán

Hamiltonian được đề xuất có dạng

Số hạng đầu tiên là động năng của các electron Số hạng thứ hai là sự tịnh tiến của

tương tác electron-electron qua phonon trung gian Phần tử ma trận Vkl có thể có dạngtổng quát, nhưng ta sẽ đơn giản nó bằng cách sử dụng gần đúng trường trung bình sẽđược đề cập trong các tính toán phần sau Bây giờ, trong trạng thái thường ta trông

đợi rằng không có sự hình thành các cặp Cooper, vì vậy toán tử ck↑c−k↓ được lấy trungbình sẽ bằng không Khi đó ta định nghĩa đại lượng

Hamiltonian có thể được chéo hóa sau phép biến đổi Bogoliubov, ta định nghĩa phép

biến đổi tuyến tính các trạng thái γk0 và γk1 bởi

ck↑ = u∗kγk0+ vkγk1†

sao cho |uk|2+ |vk|2 = 1 Thực tế, ta có thể lấy một trong các uk hoặc vk là số thực

Để hoàn tất việc chéo hóa ta hãy xem xét Hamiltonian trong cơ sở này

1.3.3 Lý thuyết BCS tổng quát

1.3.3.1 Các trạng thái singlet và triplet

Do bởi tương quan spin mà chia thành trạng thái singlet và triplet