đề thi toán ôn tập thpt

NHĨM TỐN STRONG TEAM-TỔ 25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THPT CHUYÊN BẮC NINH Câu 1: ĐỀ THI ĐỊNH KÌ LẦN NĂM 2019-2020 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Mã Đề: 103 Dãy số sau có giới hạn ? n  −5  5 C   D     3 Lời giải Tác giải: Trần Tuấn huy; Fb: Trần Tuấn Huy n n n 4 B   e 1 A   3 Chọn A Ta có: q  lim q n = n 1 Trong đáp án có  nên lim   = 3 Câu 2: ) ( Tính đạo hàm hàm số y = ln x + + x A x + + x2 B x x + + x2 C x + x2 D 1 + x2 Lời giải Tác giả: Nguyễn Diệu Linh; Fb: Dieulinh Nguyen Chọn D  x + 1+ x ) 1+ ( 1+ x = Ta có: y = ( ln ( x + + x ) ) = x + 1+ x x + 1+ x  2x 2 Câu 3: 1+ = x 1 + x2 = + x2 x + 1+ x Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B , cạnh bên SA vuông góc mặt đáy Góc đường thẳng AC mp ( SAB ) A CSB B CAB C SAC Lời giải D ACB Tác giả: Trần Thanh Sang; Fb: Thanh Sang Trần Chọn B NHĨM TỐN STRONG TEAM-TỔ 25 Vì CB ⊥ AB (do tam giác ABC vuông B ) Và CB ⊥ SA (do SA ⊥ ( ABC ) ) Nên CB ⊥ ( SAB )  Hình chiếu C lên ( SAB ) điểm B  Hình chiếu AC lên ( SAB ) AB Vậy góc đường thẳng AC ( SAB ) CAB Câu 4: Diện tích tồn phần hình lập phương 96 Tính thể tích khối lập phương A 48 B 81 C 64 D 72 Lời giải Tác giả: Lưu Thị Minh Phượng; Fb: Jerry Kem Chọn C Giả sử hình lập phương có độ dài cạnh a Diện tích tồn phần hình lập phương: Stp = 6a = 96  a = Thể tích khối lập phương là: V = a = 64 Câu 5: Cho tam giác ABC có M trung điểm BC , G trọng tâm tam giác ABC Khẳng định sau đúng? A AG = AB + AC B AG = AB + AC 3 2 C AG = AB + AC D AG = AB + AC 3 Lời giải ( ) ( ) Tác giả: Nguyễn Văn Đăng; Fb: nguyenvandang Chọn B A NHĨM TỐN STRONG TEAM-TỔ 25 Vì M trung điểm BC nên ta có AM = ( Mặt khác G trọng tâm tam giác ABC nên AG = ( ) ) AB + AC (1) 2 AM ( ) ( ) 1 Từ (1) ( 2) suy AG = AB + AC = AB + AC 3 Vậy chọn đáp án B Câu 6: Cho dãy số hữu hạn u1 ; u2 ; u3 ; u4 ; u5 theo thứ tự lập thành cấp số cộng, biết tổng chúng 20 Tìm số hạng u3 B A C Giải D Chọn A Ta có: u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 20  5u3 = 20  u3 = Tác giả: Trương Thúy; Fb: Thúy Trương Câu 7: () Cho hàm số f x = S A 2x +1 Gọi S tập nghiệm phương trình f  ( x ) = f  ( x ) Số phần tử x -1 C Lời giải B D Tác giả & Fb: Nguyễn Trần Phong Chọn B Điều kiện: x ¹ Ta có y = −3 ( x − 1)  y = ( x − 1) NHĨM TỐN STRONG TEAM-TỔ 25 Xét phương trình f  ( x ) = f  ( x )  −3 ( x − 1) =  x  x     x = −1  x = 1; x = − x − x + = ( ) ( ) ( x − 1)    { } Suy S = -1 Vậy số phần tử S Câu 8: Hàm số sau khơng có cực trị A y = x3 + 3x C y = x − 3x + B y = x D y = x3 − x Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Hương; Fb: Nguyễn Hương Chọn B Xét phương án A: y = x3 + 3x  y = 3x + x x = Do y =   y đổi dấu x qua hai nghiệm nên hàm số có điểm cực trị  x = −2 Do loại phương án A Xét phương án B: y = x3  y ' = 3x  0, x  nên hàm số khơng có cực trị Chọn phương án B Xét phương án C: y = x − 3x +  y = x3 − x x = Do y =   y đổi dấu x qua ba nghiệm nên hàm số có điểm cực trị x =   Do loại phương án C Xét phương án D: y = x3 − x  y ' = 3x − , y đổi dấu x qua hai nghiệm nên hàm số có điểm cực trị Do loại phương án D Do y =  x =  Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc mặt đáy, SA = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD A a3 B a3 C Lời giải Chọn C a3 D a3 NHĨM TỐN STRONG TEAM-TỔ 25 Vì ABCD hình vng cạnh a nên S ABCD = a Ta có SA ⊥ ( ABCD ) , suy SA đường 1 a3 cao Vậy VS ABCD = SA.S ABCD = a 6.a = 3 Câu 10: Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = A B 2x −1 x − 3x + C Lời giải D Chọn A  x = 1(tm) x − 3x + =    x = 2(tm)  x = 1, x = TCĐ 2x −1 =0 x→+ x − x + lim y = lim x →+ lim y = lim x →− x→+ 2x −1 =0 x − 3x + 2  y = TCN Vậy đồ thị hàm số y = 2x −1 có ba đường tiệm cận x − 3x + 2 Câu 11: Số nghiệm phương trình A x3 − x + x = log ( x − ) B C D Lời giải Tác giả: Phạm Thị Minh Thư; Fb: Pham Minh Thu Chọn D  x −  x  x    Điều kiện xác định:  log ( x − )  x −  x  x3 − x + x =  x3 − x + x = log ( x − ) x = x =    x =  x − 5x + =  x = Kết hợp với điều kiện ba giá trị x = 0, x = 2, x = không thỏa điều kiện tốn Vậy phương trình vơ nghiệm Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f  ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Khẳng định sau khẳng định đúng? NHĨM TỐN STRONG TEAM-TỔ 25 A Hàm số y = f ( x ) đồng biến ( −;1) B Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại x = C Đồ thi hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị D Đồ thị hàm số y = f ( x ) có điểm cực tiểu Lời giải Tác giả: Phạm Hồng Giang; Fb: Pham Hong Giang Chọn D Dựa vào đồ thị hàm số y = f  ( x ) ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) sau: Vậy đồ thị hàm số y = f ( x ) có 1điểm cực tiểu Câu 13: Biết log a b = , tính giá trị biểu thức log a2 b2 b A 12 B C D Lời giải Tác giả:Lê Thị Như Thủy; Fb: Nhuthuy Le Chọn B Ta có: log a b b = log a b 2 1 5 = log a b = log a b = = 2 12 Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm có tọa độ ( x; y ) thỏa mãn: 2x đường sau đây? A Elip Chọn D Ta có: + y +1 = 4x+ y +1 B Nửa đường tròn C Đường thẳng D Đường tròn Lời giải Tác giả: Đinh Thị Ba; Fb: Ba đinh NHĨM TỐN STRONG TEAM-TỔ 25 2x + y +1 = x + y +1  x + y +1 = 22 x + y +  x + y + = x + y +  x + y − x − y − =  ( x − 1) + ( y − 1) = 2 Vậy mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm có tọa độ ( x; y ) thỏa mãn: 2x + y +1 = 4x+ y +1 đường tròn có tâm I (1;1) , bán kính R = Câu 15: Cho hình tứ diện ABCD Gọi B ', C ' trung điểm AB, AC Khi tỉ số thể tích tứ diện AB ' C 'D ABCD 1 A B C D Lời giải Tác giả: Trần Huy Tuyển; Fb:Trân TuyenHuy Chọn D A C' B' C B D Vì B ', C ' trung điểm AB, AC nên AB ' AC ' = = AB AC Áp dụng công thức tỉ số thể tích có VAB 'C ' D AB ' AC ' AD 1 = = = VABCD AB AC AD 2 Câu 16: Cho dãy số hữu hạn u1 , u2 , u3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân, biết u2 = tích u1.u3 B 16 A 36 C Lời giải D 25 Tác giả: Nguyễn Thị Thanh; Fb: Thanhh Thanhh Chọn A Giả sử u1 , u2 , u3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội q Khi đó, ta có: u2 = u1.q, u3 = u1.q ( ) Vậy u1.u3 = u1 u1.q = ( u1.q ) = u2 = 62 = 36 Câu 17: Cho chữ số 1; 2;3; 4;5;6;9 hỏi có số tự nhiên có chữ số khác nhỏ 7000.000 từ số trên? A 4320 B 5040 C 8640 Lời giải D 720 Tác giả: Kim Oanh; Facebook: Kim Oanh NHĨM TỐN STRONG TEAM-TỔ 25 Chọn A Gọi số có dạng a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 Vì số cho có chữ số phân biệt nhỏ 7000.000 nên a1  , có cách chọn a1 Các chữ số a2 ; a3 ; a4 ; a5 ; a6 ; a7 hoán vị số lại Vậy có 6.6! = 4320 số thỏa mãn tốn Câu 18: Tìm tập xác định hàm số y = A −1   2; + ) (x − x − 2) ln ( x + 2) C  −2; −1   2; + ) D  2; + ) B  −2; + ) Lời giải Tác giả: Trần Hùng; Fb: Hung Tran Chọn A  x +  Điều kiện xác định:  ( x − x − ) ln ( x + )    x  −2   x  −2  x      x  −1  x − x −   x    x +       x  −1   x = −1     x  −2    x − x −   −1  x     x +      x  −1 Câu 19: Cho hai đường thẳng d1 d song song với Trên d1 có 10 điểm phân biệt, d có n điểm phân biệt ( n  2) Biết có 2800 tam giác có đỉnh điểm số điểm cho, tìm n A 30 B 25 C 20 Lời giải D 15 Tác giả: Nguyễn Thị Duyên; Fb: Nguyễn Duyên Chọn C Một tam giác tạo ba điểm phân biệt nên ta xét: Cn2 tam giác ® có C10 TH1 Chọn điểm thuộc d1 điểm thuộc d ¾ ¾ ® có C102 Cn1 tam giác TH2 Chọn điểm thuộc d1 điểm thuộc d ¾ ¾ Như vậy, ta có C101 Cn2 + C102 Cn1 = 2800 NHĨM TỐN STRONG TEAM-TỔ 25  10 n! n! + 45 = 2800  5n ( n − 1) + 45n = 2800 2!( n − )! 1!( n − 1)!  n = 20 (tm)  5n2 + 40n − 2800 =    n = −28 (l ) Vậy n = 20 Câu 20: Một khối trụ tích 100 Nếu chiều cao khối trụ tăng lên ba lần giữ ngun bán kính đáy khối trụ có diện tích xung quanh 100 Bán kính đáy khối trụ ban đầu A r = B r = C r = D r = Lời giải Tác giả: Trần Minh Lộc; Fb: Trần Lộc Chọn D Khối trụ ban đầu có chiều cao h bánh kính đáy r Thể tích khối trụ ban đầu V =  r h Suy  r h = 100  r h = 100 (1) Khi tăng chiều cao lên ba lần giữ ngun bán kính đáy ta có diện tích xung quanh khối trụ S xq = 2 r (3h) = 6 rh = 100  6rh = 100 (2) Chia vế theo vế (1) cho (2) ta có: r 2h = 1Û r = 6rh Câu 21: Cho hàm số y = A cos( x +  ) có đạo hàm cấp hai y Đặt M = y +  y Khẳng định sau đúng? A M = −1 B M = C M = A cos( x +  ) D M = Lời giải Tác giả: Đặng Tấn Khoa; Fb: Đặng Tấn Khoa Chọn D Ta có y = − A sin( x +  ) , y = − A cos( x +  ) Khi M = − A cos( x +  ) +  A cos( x +  ) =  2x +1 − x + x   Câu 22: Cho hàm số f ( x) =  Tìm tất giá trị thực tham số a để x−4 a + x =  hàm số liên tục x0 = A a = B a = C a = D a = − 11 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Thảo; Fb:Cỏ Vơ Ưu Chọn D NHĨM TOÁN STRONG TEAM-TỔ 25 lim f ( x) = lim x →4 = lim x →4 ( x →4 ( )( 2x +1 − x + ( x − 4) ( x →4 = lim 2x +1 − x + x−4 2x +1 + x + 2x +1 + x + 2x +1 + x + ) = ) ) Hàm số liên tục x0 =  f (4) = lim f ( x)  a + = x →4 11 a=− 6 Câu 23: Mệnh đề mệnh đề đúng? A Đồ thị hai hàm số y = log e x y = log x đối xứng qua trục tung e B Đồ thị hai hàm số y = e y = ln x đối xứng qua đường phân giác góc phần tư thứ C Đồ thị hai hàm số y = e x y = ln x đối xứng qua đường phân giác góc phần tư thứ hai x x 1 D Đồ thị hai hàm số y = e y =   đối xứng qua trục hoành e Lời giải x Tác giả: Ngô Gia Khánh; Fb:Khánh Ngô Gia Chọn B Nhận xét: Với  a  đồ thị hai hàm số y = a x y = log a x đối xứng qua đường phân giác góc phần tư thứ Câu 24: Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' có cạnh a , khoảng cách hai đường thẳng AB ' CD A a B a C a Lời giải D a Tác giả: Đinh Thị Mỹ; Fb:Mỹ Đinh Chọn C NHĨM TỐN STRONG TEAM-TỔ 25 Ta có d ( A; ( SBD ) ) = 2d ( H ; ( SBD ) ) Từ H kẻ đường thẳng vng góc với BD K , từ H kẻ HP ⊥ SK     BD ⊥ ( SHK )  BD ⊥ HP SH  HK = H ; SH , HK  ( SHK )  BD ⊥ HK BD ⊥ SH Ta có:     HP ⊥ ( SBD ) K  d ( H ; ( SBD ) ) = HP BD  SK = K ; BD, SK  ( SBD )  HP ⊥ BD HP ⊥ SK Tam giác SAB có SH đường cao nên SH = AC a a = ; HK = 4 1 16 28 a 21 = + = + =  HP = 2 HP SH HK 3a 2a 3a 14 d ( A; ( SBD ) ) = 2d ( H ; ( SBD ) ) = a 21 28 ( Câu 32: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = ( x − 1) x − x ) với x  Có số nguyên m  100 để hàm số g ( x ) = f ( x − x + m ) đồng biến khoảng ( 4;+ ) A 83 B 18 C 82 Lời giải D 84 Tác giả: Nguyenphamminhtri ; Fb:Tri Nguyen Chọn C Do hàm f có đạo hàm R nên hàm g có đạo hàm theo đề ta có đẳng thức sau: g ' ( x ) = ( x − 8) f ' ( x − 8x + m ) Hay g ' ( x ) = ( x − ) ( x − x + m − 1) ( x − 8x + m )( x − 8x + m − ) NHĨM TỐN STRONG TEAM-TỔ 25 Khi để hàm g đồng biến khoảng ( 4;+ ) ta phải có (x − x + m )( x − x + m − )  x  Bất đẳng thức viết lại thành: ( x − x + m − 1) −  (*) Ta xét trường hợp sau: - Với m  18 x − x + m −  với x nên bất đẳng thức (*) hiển nhiên Vậy hàm g đồng biên ( 4;+ ) với m  18 - Với m = 17 g ' ( x ) = với x  ( 4; + ) nên hàm g hàm đồng biến ( 4;+ ) - Với m  16 Khi ta để ý phương trình x − x + m = có nghiệm x1 = + 16 − m , phương trình x − x + m − = có nghiệm x2 = + 18 − m Dễ thấy  x1  x2 với số nguyên m m  16 , ta chọn số thực x ' thỏa mãn  x1  x '  x2 Theo định lý dấu tam thức bậc 2, ta có ( x ') − x '+ m  ( x ') − x '+ m −  Do (( x ') − 8x '+ m) (( x ') − 8x '+ m − 2)  Do hàm g khơng 2 đồng biến ( 4;+ ) Vậy để hàm g đồng biến ( 4;+ ) m  18 Mà theo đề m số nguyên m  100 Do có 99 −18 + = 82 giá trị m thỏa yêu cầu toán Cách Chọn C x =  Ta có f  ( x ) = ( x − 1) ( x − x ) =   x =  x = x − + 0 + + − f ( x) 2 Xét g  ( x ) = ( x − ) f  ( x − x + m ) Để hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( 4;+ ) g  ( x )  0, x   ( x − ) f  ( x − x + m )  0, x   f  ( x − x + m )  0, x   x − x + m  0, x  ( 4; + )   m  18  x − x + m  2, x  ( 4; + ) Vậy 18  m  100 Do có (99 − 18) + = 82 số nguyên m thỏa đề NHĨM TỐN STRONG TEAM-TỔ 25 Câu 33: Cho số thực m nhỏ phương trình 91+ viết dạng m = A P = 11 1− x2 + (1 − m)31+ 1− x2 − 2m = có nghiệm a , a , b hai số nguyên tố Tính P = a + b b B P = 83 C P = 17 D P = 75 Lời giải Chọn C Đặt t = 31+ 1− x ,vì x  −1;1  t  3;9 Ta có phương trình t + (1 − m)t − 2m =  m = t2 + t Xét f (t ) = t+2 Có f '(t ) = − t2 + t t+2 (*) t  3;9 0 (t + 2)2 t  3;9  f (t ) đồng biến đoạn 3;9 (*) có nghiệm với m nhỏ m = f (3) = 12 Vậy P = a + b = 12 + = 17 Câu 34: Gọi M giá trị lớn nhất, m giá trị nhỏ hàm số y = sin 20 x + cos 20 x + Khi tích M m bằng: A B 169 84 C 513 256 D 513 512 Lời giải Tác giả: Lê Tiếp; Fb:Lê Tiếp Chọn C Cách 1: Tập xác định hàm số: D = R Ta có: y = f ( x) = sin 20 x + cos 20 x + = ( sin x ) + ( cos x ) + = ( sin x ) + (1 − sin x ) + 10 10 Đặt t = sin x, ta có f (t ) = t10 + (1 − t ) + , t  0;1 10 f ' ( t ) = 10t − 10 (1 − t ) f ' ( t ) =  10t − 10 (1 − t ) =  t = − t  t = Ta có bảng biến thiên: 10 10 NHĨM TỐN STRONG TEAM-TỔ 25 t 0 f  (t ) - f (t ) - + 2 513 512 Từ bảng biến thiên ta có: M = 2, m = 513 513  M m = 512 256 Cách 2: Đặt y = f ( x) = sin 20 x + cos 20 x + Ta có: f '( x) = 20sin19 xcosx − 20sin xcos19 x f '( x) = 20sin xcosx(sin18 x − cos18 x) = 10sin x(sin18 x − cos18 x)   x = k sin x =  sin x =   f ' ( x ) =   18  sin x = cosx   x = + k , k  Z 18  sin x − cos x = sin x = −cosx    x = −  + k  +) Với k = 2n , n  Z ta có: 20   f  k  = f ( n ) = sin 20 ( n ) + cos 20 ( n ) + = + ( 1) + =  2 20  2 513         f  + k  = f  + 2n  = sin 20  + 2n  + cos 20  + 2n  + =   + = 512 4  4  4  4                f  − + k  = f  − + 2n  = sin 20  − + 2n  + cos 20  − + 2n  +         20 20   2 2 =  −  +   + =     20  2 513   + = 512   +) Với k = 2n + 1, n  Z ta có: 20         f  k  = f  + n  = sin 20  + n  + cos 20  + n  + = ( 1) + + =  2 2  2  2          f  + k  = f  +  + 2n  = sin 20  +  + 2n  + cos 20  +  + 2n  + 4  4  4  4  20 20 20    2 2 2 513 =  −  +  −  + =   + = 512       NHĨM TỐN STRONG TEAM-TỔ 25             f  − + k  = f  − +  + 2n  = sin 20  − +  + 2n  + cos 20  − +  + 2n  +         20 20 20  2   2 2 513 =   +  −  + =   + = 512       Vậy: M = 2, m = 513 513  M m = 512 256 Câu 35: Cho tam giác ABC cân A , có cạnh đáy BC , đường cao AH , cạnh bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội q Tính giá trị cơng bội q A q = 2 ( ) +1 C q = B q = + 2 +1 D q = ( ) +1 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Phương; Fb: Phương Nguyễn Chọn C A B H C Đặt BC = x ( x  0) Vì cạnh đáy BC , đường cao AH , cạnh bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội q  AH = x.q q  0) nên  2(  AB = x.q Theo Định lý Pytago có:  x AB = AH + BH  x q = x q +    q − q − = 2  2 +1  q= +1  q =     ( q  0)  1− q = − +1 ( L) ( L )  q =  Vậy q = 2 +1 NHĨM TỐN STRONG TEAM-TỔ 25 Câu 36: Có giá trị nguyên thuộc đoạn [ − 2019, 2019] tham số m để đồ thị (Cm ) hàm số y = x3 + mx + (2m − 3) x + 10 có hai điểm nằm hai phía trục tung mà tiếp tuyến (Cm ) hai điểm vng góc với đường thẳng (d ) : x + y + 2020 = A 2022 B 2020 C 2019 Lời giải D 2021 Tác giả:; Fb: Vuong Pham Chọn A y ' = x + 2mx + (2m − 3) Đường thẳng (d ) : x + y + 2020 =  y = − x − 1010  Hệ số góc (d ) : k = − Tiếp tuyến vng góc với (d ) nên hệ số góc tiếp tuyến u cầu tốn  x + 2mx + (2m − 3) = có hai nghiệm trái dấu  a.c   2m −   m  mà m nguyên thuộc đoạn [ − 2019, 2019] Nên m  { -2019, -2018, ,2} có 2022 giá trị nguyên thỏa mãn Câu 37: Cho hình đa giác ( H ) có 24 đỉnh, chọn ngẫu nhiên đỉnh ( H ) Tính xác suất để đỉnh chọn tạo thành hình chữ nhật khơng phải hình vng 11 15 10 A B C D 1771 322 46 161 Lời giải Tác giả: Bùi Chí Tính; Fb: Chí Tính Chọn B Hình đa giác ( H ) có 24 đỉnh nên có 12 đường chéo qua tâm đường tròn nội tiếp ngoại tiếp ( H ) Cứ đường chéo qua tâm đường tròn ngoại tiếp ( H ) cho ta hình chữ nhật Số hình chữ nhật C122 = 66 (hình chữ nhật) Trong 66 hình chữ nhật có ta chọn hình chữ nhật có đường chéo vng góc Góc tâm 3600 900 = 150 Cần 900 tức cần = 24 15 Vậy có hình vng 66 hình chữ nhật NHĨM TỐN STRONG TEAM-TỔ 25 Số phần tử không gian mẫu: C244 Gọi A: “ đỉnh chọn tạo thành hình chữ nhật khơng phải hình vng”  n ( A) = 66 − = 60 Xác suất biến cố A : P ( A ) = n ( A ) 60 10 = = n (  ) C24 1771 Câu 38: Cho lăng trụ tam giác ABC.A ' B ' C ' tích V Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AB, BB ', B ' A ', A ' A Thể tích khối chóp có đáy tứ giác MNPQ đỉnh điểm cạnh CC ' A V B V C V D V Lời giải Tác giả:Nguyễn Thị Hường; Fb: Nguyen Huong Chọn A A' P B' C' N Q E M A B C S MNPQ = S ABB ' A ' Gọi E điểm cạnh CC ' Khi d ( E; ( ABB ' A ') ) = d (C; ( ABB ' A ') ) VEMNPQ = d ( E ; ( ABB ' A ' ) ) S MNPQ 1 = d ( C; ( ABB ' A ' ) ) S ABB ' A ' 1 V = VCABB ' A ' = V = 2 3 Câu 39: Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số đôi khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lấy ngẫu nhiên số từ tập hợp S Tìm xác suất để số lấy chia hết cho 11 có tổng chữ số chia hết cho 11 NHĨM TỐN STRONG TEAM-TỔ 25 A 21 B 126 252 C D 63 Lời giải Tác giả:Nguyễn Phương; Fb:Nguyễn Phươngg Chọn D Ta có khơng gian mẫu n ( ) = A94 Giả sử số cần lập abcd Theo giả thiết ta có Vì abcd chia hết cho 11 nên ta có b + d − ( a + c ) 11 (1) abcd có tổng chữ số chia hết cho 11 => a + b + c + d 11 (2) Từ (1) (2) ta a + c = b + d chia hết cho 11 Vì a, b, c, d  1;2;3;4;5;6;7;8;9   a + b + c + d  36  a + b + c + d  11; 22; 33 Do a + c = b + d  a + c = b + d = 11  ( a, c ) ( b, d ) cặp số ( 2,9 ) , ( 3,8) , ( 4, ) , (5,6) Có C42 cách chọn cặp số trên, ứng với cách ta có: a có cách chọn, b có cách chọn, c d chữ số có cách chọn Suy n ( A) = C42 4.2 Từ suy P ( A) = Câu 40: Cho hàm số y = C42 4.2 = 63 A94 x- có đồ thị (C )và đường thẳng d : y + x = m với m tham số Biết x+1 với giá trị m d ln cắt (C ) hai điểm phân biệt A B Tìm độ dài AB ngắn A B C Lời giải D Tác giả:; Fb:Cuongkhtn Chọn D Phương trình hồnh độ giao điểm: Û x + (3 - m)x - m - = x- = - 2x + m x+1 (x ¹ - 1) NHĨM TỐN STRONG TEAM-TỔ 25 Ta có D > 0, " m Ỵ ¡ nên d cắt (C ) hai điểm phân biệt Gọi x1 , x hai nghiệm (*) Theo định lí Viet, ìï ïï x1 + x = m - ta có ïí ïï - m- ïï x1 x = ïỵ Giả sử A(x1;- 2x1 + m) B (x2 ;- 2x2 + m) tọa độ giao điểm d (C ) Ta có 2 AB = 5(x - x1 ) = éê(x1 + x ) - x1 x ùú= éê(m + 1) + 40ùú³ 50 ë û 4ë û Û AB ³ Dấu '' = '' xảy Û m = - Câu 41: Cho a b hai số thực dương thỏa mãn 5a + 2b + = 2a + 4b + 4ab Xét hệ thức sau: Hệ thức 1: ln ( a + 1) + ln ( b + 1) = ln ( a + b + 1) Hệ thức 2: ln ( a + 1) + ln ( b + 1) = ln ( b + 1) + ln ( a + 1) Hệ thức 3: ln ( a + b + 3ab − 1) = 2ln ( a + b ) Hệ thức 4: ln ( a + b + 2ab + 2) = 2ln ( a + b ) Trong hệ thức trên, có hệ thức đúng? A B C Lời giải D Tác giả: Trần Quang Kiên; Fb: Kien Tranquang Chọn B Ta có: 5a + 2b + = 2a + 4b + 4ab  ( 4a − 4ab + b ) + ( a − 2a + 1) + ( b − 4b + ) =  ( 2a − b ) + ( a − 1) + ( b − ) = 2 a =  b = Thay a = , b = vào hệ thức ta được: Hệ thức 1: ln + ln = ln Đúng Hệ thức 2: ln + ln = ln + ln Sai NHĨM TỐN STRONG TEAM-TỔ 25 Hệ thức 3: ln8 = 2ln Sai Hệ thức 4: ln = 2ln Đúng Vậy có hệ thức Câu 42: Cho hàm số y = ax3 + bx + cx + d , với a, b, c hệ số Tìm điều kiện để hàm số đồng biến a = b = c = B  a  0; b − ac    a = b = 0; c  D   a  0; b − 3ac  Lời giải  a = b = 0; c  A  b − ac    a = b = 0; c  C  a  0; b − ac   Tác giả: Nguyễn Văn Hùng; Fb:Nguyễn Văn Hùng Chọn C Quan sát đáp án, ta xét hai trường hợp là: a = b = a   Nếu a = b = y = cx + d hàm bậc → để y đồng biến c  Nếu a  , ta có y ' = 3ax + 2bx + c Để hàm số đồng biến  y '  0, x  a  a  Chọn đáp án C    '  b − 3ac  Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt đáy Thể tích khối chóp S.ABC 3a Gọi  góc mp ( SCD ) mp ( ABCD ) Khi tan  bằng? A B C D Lời giải Tác giả: Vũ Hương; Fb: Vũ Hương Chọn C ( ABCD )  ( SCD) = CD  Ta có:  AD ⊥ CD  SD ⊥ CD  NHĨM TỐN STRONG TEAM-TỔ 25 Suy ra: ( ( SCD ), ( ABCD) ) = ( SD, AD ) = SDA =  a3 V = S SA =  SA = a Mà S ABC ABC Vậy tan  = a = a Câu 44: Cho hàm số f ( x) xác định \ 0 v có bảng biến thiên hình vẽ Số nghiệm phương trình f (3x −1) −13 = là: A B C D Lời giải Tác giả: Phạm Quang Linh, Fb: Linh Phạm Quang Chọn D f (3x −1) −13 = (1) Đặt 3x −1 = t ta có: f (t ) = 13 Số nghiệm phân biệt (1) số giao điểm đồ thị hàm số f (t ) với đường thẳng d :y = 13 13  f (t ) = → 3no  13   f (t ) = Từ bảng biến thiên   có nghiệm − 13  f (t ) = → 1no   Vậy số nghiệm phương trình f (3x −1) −13 = Câu 45: Cho hàm số y = x +1 có đồ thị ( C ) Gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) hai điểm phân biệt thuộc ( C ) 2x +1 cho tiếp tuyến ( C ) A B song song với Độ dài nhỏ đoạn AB A h = B h = 2 C h = D h = NHĨM TỐN STRONG TEAM-TỔ 25 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Liên; Fb: Nguyễn Thị Liên Chọn D  1 \ −   2 Tập xác định: D = Ta có y ' = − ( x + 1) Tiếp tuyến ( C ) A B song song với nên k A = kB  y ' ( x1 ) = y ' ( x2 ) − ( x1 + 1) =− ( x2 + 1)  x1 = x2  A  B ( loai )  x + = x2 +    x1 + x2 = −1  x1 + = −2 x2 −  x2 + = − ( x1 + 1) Do x1 + x2 = −1 nên khơng tính tổng quát giả sử x2  Ta có: AB = ( x2 − x1 ) = ( x2 + (1 + x2 ) ) = ( x2 + 1) +  x +1 x +1  + −   x2 + x1 +  2  x +1 x +1  + +  (do x1 + x2 = −1 )  x2 + x2 +  ( x2 + 1)  (bất đẳng thức Cauchy) AB = A ( 0;1) , B ( −1;0) Vậy độ dài nhỏ đoạn AB Câu 46: Cho hàm f ( x) = số Tính giá +  1− x   1009    2 Q = f  sin ) + + f (sin  + f  sin  2020  2020 2020    1009 A 1009 B 504 C Lời giải trị biểu thức sau: D 505 Tác giả: Phạm Hồng Quang; Fb:Quang Phạm ChọnC Biến đổi: f ( x) = Ta thấy 1 +  1− x =  1+ x  = x x +  NHĨM TỐN STRONG TEAM-TỔ 25 f ( x ) + f (1 − x ) =  x  +  x +   1− x 1− x +  =  x  +  x +  x  +  x = x  +  x +   + x = , x  R Vậy  1009  504 506  505   Q =  f (sin ) + f (sin )  + +  f (sin ) + f (sin )  + f (sin ) 2020 2020  2020 2020  2020   1009  = 504 + f (sin ) = ex −1 a = , với a , b nguyên tố Tính giá trị 2a + b x +1 −1 b B C D Lời giải Tác giả: Trần Văn Huấn; Fb: Huấn Trần Câu 47: Cho giới hạn lim x →0 A Chọn B  3x   e − 1 x + + x e −1  Ta có lim = lim  x →0 x → x x +1 −1 (   3x    e − 1  = lim   x →0  x   Nên 2a + b = ( )  x +1 +1   = = = a  3 b   ) Câu 48: Cho hình nón có chiều cao h = a bán kính đáy r = 2a Mặt phẳng ( P ) qua S cắt đường tròn đáy A B cho AB = 2a Tính khoảng cách d từ tâm đường tròn đáy đến ( P ) A d = a 30 B d = 6a C d = a 30 D d = a Lời giải Tác giả: Trịnh Thúy; Fb: Catus Smile Chọn A Gọi I trung điểm AB Kẻ OH ⊥ SI vng góc với SI H NHĨM TỐN STRONG TEAM-TỔ 25  AB ⊥ OI   AB ⊥ ( SOI )  AB ⊥ OH Ta có:  AB ⊥ SO OI  SO = O  OH ⊥ SI  OH ⊥ AB  OH ⊥ ( SAB ) H  SI  AB = I  Suy d ( O, ( P ) ) = d (O, ( SAB ) ) = OH Tam giác SOI vuông O OH đường cao, nên ta có 1 = + 2 OH OS OI  OS = h = a  2 2  OI = r − AI = 4a − 2a = a 1  = 2+ = 2 OH 3a 2a 6a  OH = a 30 Câu 49: Cho hai cấp số cộng ( un ) : 4,7,10,13,16, ( vk ) :1,6,11,16, 21, Hỏi 100 số hạng đầu cấp số cộng có số hạng chung? A 30 B 10 C 20 Lời giải D 40 Tác giả: Nguyễn Thị Thơm; Fb:Thom Nguyen Chọn C un = + 3n Do đó: un = vk  + 3n = + ( k − 1)  3n = ( k − 1) (*)  vk = + ( k − 1) * n n = 5m n, k   (m  Vì  nên từ (*)   ( 3,5 ) =  k −  k − = 3l * ,l ) Khi (*) trở thành: 3.5m = 5.3l  m = l 1  n  100 1  m  20  Vì ta xét 100 số hạng đầu cấp số cộng nên  1  k  100 0  l  33 mà m = l   m = l  20  Số giá trị m = l thỏa mãn 20  Số giá trị n, k tương ứng 20 Vậy 100 số hạng đầu cấp số cộng có 20 số hạng chung Câu 50: Cho khối cầu ( S ) có tâm I , bán kính R = Một khối trụ thay đổi nội tiếp khối cầu có chiều cao h bán kính đáy r Tính chiều cao h để thể tích khối trụ lớn NHĨM TỐN STRONG TEAM-TỔ 25 B h = A h = C h = D h = Lời giải Tác giả: Mai Thanh Lâm; Fb: Mai Thanh Lâm Chọn C 36 − h h 2 Ta có tam giác IEA vng E , nên   + r =  r = 2 36 − h  = ( 36h − h3 ) mà Vtru = h. r = h. 4 Đặt f (h) = 36h − h3 , f (h) = 36 − 3h2 f (h) =  36 − 3h =  h = 2 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy Vtru lớn h = , (  h  6) ... x + ) = ) ) Hàm số liên tục x0 =  f (4) = lim f ( x)  a + = x →4 11 a=− 6 Câu 23: Mệnh đề mệnh đề đúng? A Đồ thị hai hàm số y = log e x y = log x đối xứng qua trục tung e B Đồ thị hai hàm... biến ( 4;+ ) Vậy để hàm g đồng biến ( 4;+ ) m  18 Mà theo đề m số nguyên m  100 Do có 99 −18 + = 82 giá trị m thỏa yêu cầu toán Cách Chọn C x =  Ta có f  ( x ) = ( x − 1) ( x − x ) =... 10t − 10 (1 − t ) =  t = − t  t = Ta có bảng biến thi n: 10 10 NHĨM TỐN STRONG TEAM-TỔ 25 t 0 f  (t ) - f (t ) - + 2 513 512 Từ bảng biến thi n ta có: M = 2, m = 513 513  M m = 512 256 Cách