A05 1 r TOÁN CAO cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BAN CƠ BẢN LƯU HÀNH NỘI BỘ MỤC ĐÍCH Tài liệu nhằm hỗ trợ cho học viên hình thức giáo dục từ xa nắm vững nội dung ôn tập làm kiểm tra hết môn hiệu Tài liệu cần sử dụng với tài liệu học tập môn học giảng giảng viên ơn tập tập trung theo chương trình đào tạo NỘI DUNG HƯỚNG DẪN Nội dung tài liệu bao gồm nội dung sau:  Phần 1: Các nội dung trọng tâm môn học Bao gồm nội dung trọng tâm môn học xác định dựa mục tiêu học tập, nghĩa kiến thức kỹ cốt lõi mà người học cần có hồn thành mơn học  Phần 2: Cách thức ôn tập Mô tả cách thức để hệ thống hóa kiến thức luyện tập kỹ để đạt nội dung trọng tâm  Phần 3: Hướng dẫn làm kiểm tra Mơ tả hình thức kiểm tra đề thi, hướng dẫn cách làm trình bày làm lưu ý sai sót thường gặp, nỗ lực đánh giá cao làm  Phần 4: Đề thi mẫu đáp án Cung cấp đề thi mẫu đáp án, có tính chất minh hoạ nhằm giúp học viên hình dung yêu cầu kiểm tra cách thức làm thi (Bảng chi tiết đính kèm) TRƯỞNG BAN CƠ BẢN Ninh Xuân Hương Phần CÁC NỘI DUNG TRỌNG TÂM Chương 1: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 1.1 Đạo hàm vi phân 1.2 Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị 1.3 Phân tích số tốn kinh tế Chương 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 2.1 Đạo hàm riêng, vi phân toàn phần 2.2 Cực trị địa phương, cưc trị có điều kiện 2.3 Ứng dụng vào tốn kinh tế Chương 3: MA TRẬN 3.1 Định nghĩa phép toán 3.2 Các phép biến đổi sơ cấp dòng 3.3 Tìm ma trận nghịch đảo Chương 4: ĐỊNH THỨC 4.1 Định nghĩa, phương pháp tính tính chất 4.2 Tìm ma trận nghịch đảo định thức Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 5.1 Định nghĩa phương pháp Gauss-Jordan 5.2 Hệ phương pháp Cramer 5.3 Mơ hình cân tuyến tính 5.4 Mơ hình Input-Output Phần CÁCH THỨC ÔN TẬP Chương 1: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN o Đạo hàm vi phân :  Các khái niệm kỹ cần nắm vững: đạo hàm, vi phân - Nắm vững quy tắc tính đạo hàm vi phân - Nhớ bảng đạo hàm bản, biết cách vận dụng để tính đạo hàm vi phân hàm đa thức, mũ, logarit,…  Đọc TLHT, xem kỹ ví dụ TLHT  Làm tập 1,8 o Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị  Khái niệm kỹ cần thiết: - Nắm phuơng pháp tìm cực trị hàm số, đặc biệt phải biết cách xét dấu biểu thức  Đọc TLHT, xem kỹ ví dụ TLHT  Làm tập 14 o Phân tích số tốn kinh tế  Kiến thức kỹ cần thiết : - Nhớ biểu thức toán học biên tế, hệ số co giãn, giải toán lợi nhuận cực đại - Áp dụng xác cơng thức để tính đại lượng kinh tế  Đọc TLHT  Làm tập 18 Chương 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN o Đạo hàm riêng, vi phân toàn phần  Khái niệm kỹ cần nắm vững: đạo hàm riêng, vi phân tồn phần - Cơng thức tính vi phân toàn phần cấp 1, cấp - Cần ghi nhớ : hàm z  f  x, y  có hai biến x, y , tính đạo hàm riêng theo biến x ( z x ) ta coi y số, ngược lại tính đạo hàm riêng theo biến y, coi x số Khi đó, việc tính đạo hàm riêng giống tính đạo hàm hàm biến - Xem kỹ ví dụ trình bày TLHT  Đọc TLHT  Làm tập 2, 3,7,8,9 o Cực trị địa phương, cưc trị có điều kiện  Khái niệm kỹ cần nắm vững : - Cực đại cực tiểu địa phương, cực đại cực tiểu có điều kiện - Các bước tìm cực trị địa phương - Biết dùng phương pháp nhân tử Lagrange để tìm cực trị có điều kiện Chú ý: Nếu từ điều kiện   x, y   ta tính y theo x: y    x  cách thay y    x  vào z ta xem z hàm biến Khi tìm cực trị hàm z hàm theo biến x ( làm tương tự tính x theo y)  Đọc TLHT  Làm tập 10, 11 o Ứng dụng vào toán kinh tế  Khái niệm kỹ cần thiết: - Ứng dụng tìm cực trị địa phuơng để giải tốn tìm sản luợng để lợi nhuận cực đại điều kiện cạnh tranh hoàn hảo điều kiện sản xuất độc quyền - Ứng dụng cực trị có điều kiện để giải toán người tiêu dùng  Đọc TLHT  Làm tập 12,13,14 Chương 3: MA TRẬN o Định nghĩa phép toán  Khái niệm kỹ cần nắm vững: - Nhận dạng loại ma trận, sử dụng phép toán ma trận - Đặc biệt phép nhân hai ma trận, cần nắm vững điều kiện nhân quy tắc nhân hai ma trận  Đọc TLHT  Làm tập o Các phép biến đổi sơ cấp dòng  Khái niệm kỹ cần nắm vững: - Ba phép biến đổi sơ cấp dòng, ma trận bậc thang, hạng ma trận - Biết cách sử dụng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận ma trận bậc thang tương đương - Biết cách tìm hạng ma trận  Đọc TLHT  Đọc kỹ ví dụ o Tìm ma trận nghịch đảo  Khái niệm kỹ cần nắm vững: Ma trận khả nghịch, - Biết cách tìm ma trận nghịch đảo cách dùng phép biến đổi sơ cấp dòng - Biết giải phương trình ma trận Chú ý phép nhân hai ma trận khơng có tính chất giao hốn nên ý thứ tự A X: A1 A X  B  X  A1.B X A  B  X  B.A1 Nếu tồn  Đọc TLHT  Làm tập Chương 4: ĐỊNH THỨC o Định nghĩa, phương pháp tính định thức tính chất  Các khái niệm kỹ cần thiết: - Hiểu định nghĩa tính định thức - Biết vận dụng tính chất định thức để tính định thức - Khi tính định thức phép biến đổi áp dụng cho dòng cột - Đặc biệt, biết sử dụng quy tắc Sarrus để tính định thức cấp - Lỗi sai thuờng gặp tính định thức: khơng đổi dấu định thức đổi chỗ hai dòng (hoặc hai cột)  Đọc TLHT  Làm tập 1,2 o Tìm ma trận nghịch đảo định thức  Các khái niệm kỹ cần nắm vững: - Tìm điều kiện tồn ma trận nghịch đảo - Hiểu rõ khái niệm ma trận đồng thừa (phần phụ đại số), ma trận phó - Cơng thức tính ma trận nghịch đảo  Đọc TLHT  Làm tập Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH o Định nghĩa phương pháp Gauss-Jordan  Khái niệm kỹ cần thiết: Hệ phương trình tuyến tính, phương pháp Gauss – Jordan - Kỹ sử dụng phép biến đổi dòng ma trận để tìm ma trận bậc thang tương đương Nắm vững định lý Kronecker – Capelli - Lỗi hay mắc: không xác định hạng ma trận hệ số hạng ma trận mở rộng từ khơng kết luận đuợc nghiệm hệ phương trình tuyến tính trường hợp  Đọc TLHT  Làm tập o Hệ phương pháp Cramer  Các khái niệm kỹ cần thiết: Quy tắc Cramer - Tính thành thạo định thức Áp dụng công thức nghiệm hệ Cramer  Đọc TLHT  Làm tập o Mơ hình cân tuyến tính:  Các khái niệm kỹ cần thiết: - Hiểu mơ hình cân tuyến tính - Biết áp dụng quy tắc Cramer để tìm đơn giá thời điểm cân thị trường  Đọc TLHT  Làm tập 1, o Mơ hình Input-Output  Các khái niệm kỹ cần thiết: - Hiểu mơ hình input – output mở Letiontief: giải thích ý nghĩa hệ số ma trận hệ số đầu vào - Tính sản lượng ngành kinh tế, chi phí nguyên liệu đầu vào nhu cầu ngành kinh tế mở  Đọc TLHT  Làm tập 3, Phần HƯỚNG DẪN LÀM BÀI KIỂM TRA a Hình thức kiểm tra kết cấu đề: Đề kiểm tra theo hình thức tự luận, thời gian 90 phút Sinh viên phép sử dụng tài liệu giấy Đề gồm có bài, điểm nội dung phân phối sau: o Bài (2 điểm): bao gồm kiến thức chương (Phép tính vi phân hàm biến):  Tính đạo hàm, tìm cực trị hàm số biến  Ứng dụng cực trị hàm biến kinh tế: Bài toán lập kế hoạch sản xuất để đạt lợi nhuận cực đại o Bài (2 điểm): bao gồm kiến thức chương (Phép tính vi phân hàm nhiều biến), đó:  Tìm đạo hàm riêng vi phân toàn phần cấp cấp hàm số biến Tìm cực trị (cục bộ) hàm hai biến  Ứng dụng kinh tế: Bài toán lập kế hoạch sản xuất để đạt lợi nhuận cực đại (trong điều kiện kinh doanh hoàn hảo độc quyền) o Bài (2 điểm): bao gồm kiến thức chương (Ma trận), tập trung vào tìm dạng nghịch đảo (nếu có) ma trận vuông cấp 10 o Bài (2 điểm): bao gồm kiến thức chương (Định thức)trong tập trung vào phương pháp tính định thức ma trận vuông( đến cấp 4) o Bài (2 điểm): bao gồm kiến thức chương (Hệ phương trình tuyến tính) đó:  Giải hệ phương trình tuyến tính (có ẩn) u cầu phải trình bày bước giải, khơng dùng máy tính để tìm nghiêm  Ứng dụng kinh tế: Mơ hình cân tuyến tính (hay tìm điểm cân thị trường) Lưu ý: hai 2, phải có ứng dụng kinh tế b Hướng dẫn làm phần tự luận: Yêu cầu chung: o Trước hết phải đọc thật kỹ đề để làm vừa đủ theo yêu cầu Làm thừa không phương pháp so với yêu cầu khơng tính điểm o Khơng cần làm theo thứ tự Câu dễ làm trước o Các yêu cầu tính tốn cần làm cẩn thận để tránh bỏ sót o Bài làm phải thật chi tiết, không viết tắt, kí hiệu tốn học phải viết rõ ràng thống Hướng dẫn cụ thể o Chương 1: Khi tìm cực trị, trước hết phải tìm miền xác định hàm số Tìm điểm dừng thuộc miền xác định, Sau dùng hai cách sau để tìm cực trị: 1) Lập bảng xét dấu ý, suy cực trị 2) Tính giá trị ý điểm dừng suy cực trị 11 Trong tốn kinh tế, sau tính tốn xong phải kiểm chứng tính đắn( phải dương) đại lượng chi phí, doanh thu, hàm cung, hàm cầu, o Chương 2: Lưu ý kĩ yêu cầu đề bài: tính đạo hàm riêng hay vi phân toàn phần, cấp hay cấp Đối với vi phân toàn phần cấp 2, nhớ nhân vào Z”xy o Chương 3: Trước tìm ma trận nghịch đảo cần kiểm tra điều kiện khả nghịch ma trận Tìm ma trận nghịch đảo ma trận vng cấp hai cách 1) Dùng phương pháp Gauss: cần ghi rõ phép biến đổi sơ cấp dòng 2) Dùng định thức: Cần nhớ xác cơng thức A1  adjA Trình bày cụ thể bước tính định det A thức ma trận phó (adj A) Khi giải xong cần thử lại ngồi giấy nháp (nhân ma trận tìm với ma trận ban đầu phải ma trận đơn vị I để kiểm tra) o Chương 4: Tính định thức: - Chú ý tính định thức biến đổi dòng cột - Nhớ đổi dấu định thức đổi chỗ hai dòng hai cột - Khi tính định thức cần lưu ý dấu định thức 12 o Chương 5: Giải hệ phương trình tuyến tính hai cách 1) Phương pháp Gauss ( dùng cho loại hệ ) ý thực xác phép biến đổi sơ cấp dòng 2) Quy tắc Cramer cho hệ Cramer Cả hai cách phải trình bày bước giải Tuyệt đối khơng bấm máy tính nghiệm hệ o Chép người khác khơng tính điểm 13 Phần ĐỀ THI MẪU VÀ ĐÁP ÁN ĐỀ THI MƠN: TỐN CAO CẤP NĂM HỌC: LỚP: HỆ: ĐTTX Thời gian làm bài: 90 phút SV sử dụng tài liệu Câu 1(2 điểm): Một công ty sản xuất độc quyền loại sản P hàm tổng chi phí C = C(Q) = Q3 – 77Q2 + 1000Q + 40.000 Hãy xác định mức sản lượng sản phẩm Q để cơng ty có lợi nhuận cao phẩm Q bán với giá P, biết hàm cầu QD = D(P) = 656  Câu 2(2 điểm): Tìm cực trị hàm số hai biến: z  x3  y3  18xy Câu 3(2 điểm):  2 3   Cho ma trận: A  1 Hãy tìm A-1(nếu có)    1    14 Câu (2 điểm):Hãy tính định thức ma trận sau: 1 1 1  1   B  1 1 1     1 Câu (2 điểm): Giải hệ phương trình tuyến tính sau:  x1  x2  x3  x4  2 x  x  x  x  3    x1  x2  x3  x4    x1  x2  x3  x4  15 ĐÁP ÁN Câu 1: Từ hàm cầu Q  656  P  P  1312  2Q  Doanh thu: R  P.Q  1312  2Q  Q  1312Q  2Q L  R C  Lợi nhuận:  L  1312Q  2Q  Q  77Q  1000Q  40000   L  Q  75Q  312Q  40000 Bài tốn trở thành tìm Q cho L cực đại Ta có: L'  3Q  150Q  312 Q  2  Q  52 Cho L'    Ta loại nghiệm Q = -2 Q sản lượng nên dương Ta có: L"  6Q  150  L"Q 52  6.52  150  162  => L đạt cực đại Q = 52 với Lmax = 38.416 Khi đó: Doanh thu R = 62.816 Chi phí C = 24.400 16 3 Câu 2: Tìm cực trị hàm số hai biến: z  x  y  18xy ' ' Ta có Z x  3x  18 y; Z y  y  18x 3x  18 y  x  x     y  y  3 y  18 x  => Có điểm dừng M1(0;0) M2(6;6) Ta có: Z x2  x; Z y  y; Z xy  18 " " " * Tại điểm dừng M1(0;0): A  Z x"  0;0   0.6  " Đặt B  Z xy  0;0   18 C  Z "y  0;0   0.6     B2  AC   18  0.0  324  => Z không đạt cực trị M1(0;0) * Tại điểm dừng M2(6;6): A  Z x"  6;6   6.6  36 " Đặt B  Z xy  6;6   18 C  Z "y  6;6   6.6     B2  AC   18  36.36  972    972  Vì  A  36   => Z đạt cực tiểu M2(6;6) với Zmin = - 216 17  2 3 Câu (2 điểm): Cho ma trận: A   1  Hãy tìm ma    1    trận nghịch đảo A-1(nếu có) Ta có:  2 0  113  4 1           3  A | I    1 0    3 3 1   1 1   1 0  0 2      0 4 3   3  36  1          3  5 3  11 4 4 3   1  0 1    Câu (2 điểm): Hãy tính định thức ma trận sau: 1 1 1  1   B  1 1 1     1 Ta có: 1 1 (2)(2)2(1) 1 (3)(3)(1) B   1 1 1 (4)(4)(1) 1  B  1 1 (4)  (4)  (2) 3 2  2 2 2  6 18 1 1 3 2 2 Câu (2 điểm): Giải hệ phương trình tuyến tính sau:  x1  x2  x3  x4  2 x  x  x  x  3    x1  x2  x3  x4    x1  x2  x3  x4   * Đặt :  x1   1 2       x 2 2 1 3 A , X   , B     x3   1 1  5       2 1  3  x4  Thì (*) < = > A.X = B Ta có :  1  1   (2)(2) 2(1)  2 2 1 3  (3)(3) 3(1)  6    A | B    1 1  (4)(4) 2(1)  7    2 1  0 1 1  1    (2) (2) (3) 3 6  (3)37         7 10 1  0     0 5 1  0 1   8 7  10 1   5 1  1   3 6  18 43   5 1  1  (3)  3       0  0 1   3 6  1 14 44   0 73 219  1  1   3 6  (4)  53    0 1 14 44    5 1  0 19 Thay vào hệ phương trình, ta có:  x4   x1  x2  x3  x4    x  x  3x  6   x2  1      x3  14 x4  44  x3    73x4  219   x4   x4   x  1  Kết luận: Vậy hệ PT có nghiệm:   x3   x4  MỤC LỤC Phần CÁC NỘI DUNG TRỌNG TÂM Phần CÁCH THỨC ÔN TẬP Phần HƯỚNG DẪN LÀM BÀI KIỂM TRA 10 Phần ĐỀ THI MẪU VÀ ĐÁP ÁN 14 20 ... phần, cấp hay cấp Đối với vi phân toàn phần cấp 2, nhớ nhân vào Z”xy o Chương 3: Trước tìm ma trận nghịch đảo cần kiểm tra điều kiện khả nghịch ma trận Tìm ma trận nghịch đảo ma trận vuông cấp. .. tập o Các phép biến đổi sơ cấp dòng  Khái niệm kỹ cần nắm vững: - Ba phép biến đổi sơ cấp dòng, ma trận bậc thang, hạng ma trận - Biết cách sử dụng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận ma trận... hướng dẫn cách làm trình bày làm lưu ý sai sót thường gặp, nỗ lực đánh giá cao làm  Phần 4: Đề thi mẫu đáp án Cung cấp đề thi mẫu đáp án, có tính chất minh hoạ nhằm giúp học viên hình dung yêu