Đề thi số 1 môn toán cao cấp A1 doc

Đề 1 Câu 1: ' ( 3 1) ' 3 x y y P e y= + + = 3 ' (3 ) ' 3 x x P y y= − = ' ' y x P P⇒ = ⇒ pt vi phân toàn phần Nghiệm tổng quát: ( ) ,u x y C= ( ) 0 0 3 0 0 4 0 0 4 ( , ) ( , ) ( , ) ( 3 1) (3 1) 4 (3 1) 1 4 y x y x x y x x x u x y P x y dx Q x y dy e y dx y dy y e y x y e y x = + = + + + − = + + − = + + − − ∫ ∫ ∫ ∫ Kết luận:nghiệm của pt là 4 (3 1) 1 4 x y e y x C+ + − − = Câu 2: * Cách 1: Khử 2 x từ hệ 2 1 1 ' 4 ' 10 4 t x x x t e− = − + − (*) Đạo hàm 2 vế pt (1) 1 1 2 2 1 1 " 3 ' ' ' " 3 ' t t x x x e x x x e = + + ⇒ = − − Thế vào (*) (*) 1 1 1 " 7 ' 10 3 t x x x t e⇔ − + = − pt đặc trưng : 2 7 10 0 2 5k k k k− + = ⇒ = ∨ = (0) 2 5 1 1 2 . . t t x C e C e⇒ = + ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 r r r x x x= + 1 ( ) 1 r x là nghiệm của pt 1 1 1 " 7 ' 10x x x t− + = (1) ( ) 1 ( ) 0 1 . . r S t x t e At B⇒ = + 0 α = không là nghiệm pt đặc trưng 0S ⇒ = ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1 ' " 0 1 10 1 10 (1) 7 10 0 7 100 1 7 10 100 r r r r x At B x A x A A A B B x t ⇒ = + ⇒ = ⇒ =  =  =   ⇔ ⇔   − + =   =   ⇒ = + 2 ( ) 1 r x là nghiệm của pt 1 1 1 " 7 ' 10 3 t x x x e− + = − (2) 2 ( ) 1 . . r S t x t e A⇒ = 1 α = không là nghiệm pt đặc trưng 0S⇒ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1 1 1 0 2 5 1 1 1 1 2 . ' . " . 3 (2) 4 3 4 1 7 3 10 100 4 1 7 3 . . 10 100 4 r t r t r t r t r r r t r t t t x A e x A e x Ae A x e x x x t e x x x C e C e t e ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇔ = − ⇒ = − = + = + − = + = + + + − Thay vào pt (1) của hệ 2 1 1 2 5 2 5 1 2 1 2 5 2 1 2 ' 3 1 3 1 7 3 2 . 5 . 3 . . 10 4 10 100 4 3 3 1 2 2 10 10 t t t t t t t t t t t t x x x e C e C e e C e C e t e te C e C e te e t ⇒ = − −     = + + − − + + + − −  ÷  ÷     = − + − + − + Kết luận: 2 5 1 1 2 5 2 2 1 2 1 7 3 . . 10 100 4 3 3 1 2 2 10 10 t t t t t t t x C e C e t e x C e C e te e t  = + + + −     = − + − + − +   * Cách 2: 2 1 2 3 1 2 4 3 1 0 0 2 4 (3 )(4 ) 2 0 7 10 0 2 5 1 1 2 : 0 2 2 A A I x X x λ λ λ λ λ λ λ λ λ α λ α   =  ÷   − − = ⇔ = − ⇔ − − − = ⇔ − + = =  ⇔  =        = = ⇔ =  ÷  ÷  ÷ −       Chọn vectơ riêng là 1 1 X   =  ÷   1 2 2 1 5: 0 2 1 2 x X x α λ α −       = = ⇔ =  ÷  ÷  ÷ −       Chọn vectơ riêng là 1 2 X   =  ÷   1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 0 0 5 P P D −   ⇒ =  ÷   −   ⇒ =  ÷ −     =  ÷   Hệ 1 ' . . .X P D P X F − ⇔ = + 1 1 ' . . .P X P D P X F − − ⇔ = + Đặt 1 .Y P X − = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 5 5 2 1 ' . . ' 2 0 2 1 ' 0 5 1 1 ' 2 2 ' 5 2 . . t t t dt dt t dt dt t Y D Y P F y y e y y t y y e t y y e t y e e t e dt C y e e t e dt C − − − ⇔ = + −           ⇔ = +  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ −            = + −  ⇔  = + − +      ∫ ∫ = − +  ÷     ⇔    ∫ ∫  = − + +  ÷     ∫ ∫ _ Giải 1 y ( ) 5 2 5 1 1 5 1 1 (8 3 2). 16 t t t y e t t e dt C e I C − −   = − − +  ÷   = + ∫ .Giải I 2 5 5 5 2 1 3 (8 3 2) 16 16 5 1 3 (8 3 2). 16 5 16 5 t t t t u t t du t dt e dv e dt v e e I t t t dt   = − − ⇒ = −  ÷   = ⇒ =   = − − − −  ÷   ∫ Kết luận:nghiệm của hệ X=P.Y 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 x y x y x y y x y y       ⇔ =  ÷  ÷  ÷       = +  ⇔  = +  Câu 3: Tử 1 1 5 4 (1 3 ) .(1 2 ) 1x x= + + − 3 1 1 ( ) . 1 .2 ( ) 1 5 4 1 3 . ( ) 2 5 11 ( ) 10 x o x x o x x o x x o x     = + + + + −  ÷  ÷       = + +  ÷   = + Mẫu 2 2 2 (2 ) . 1 ( ) 2 x x o x x   = − + −  ÷   ( )x o x= + 11 10 I⇒ = Câu 4: Đặt 3sin 3cosx t dx tdt= → = 3 2 2 0 (3sin ) .3cos 9 (3sin ) t tdt I t = − ∫ 2 2 0 2 2 0 2 0 2 0 9.sin .3cos 3cos 9sin 1 cos2 9( ) 2 1 1 sin 2 9. . 9. . 2 2 2 1 1 sin( ) 1 1 sin 0 9. . 9. . 9. .0 9. . 2 2 2 2 2 2 2 9 4 t tdt t tdt t dt t t π π π π π π π = = − =   = −  ÷     = − − −  ÷   = ∫ ∫ ∫ Câu 5: 2 2 0 1 ( 1)( 2) 2 1 1 1 1 , , 3 3 3 1 3 2 A Bx C x x x x x x A B C dx I x +∞ + = + + + + + + + ⇒ = = − = = + ∫ 2 2 0 0 0 2 2 0 0 2 0 3 1 1 2 1 1 3 2 6 1 2 1 1 1 1 ln 2 ln 1 3 6 2 1 3 2 4 1 1 2 1 1 2 ln . .arctan 3 2 3 3 1 2 2 1 1 0 .ln 2 3 2 6 3 1 ln 2 3 3 dx x dx dx x x x x x dx x x x x x x x x π π π +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ + = − + + + + + +   = + − + + +  ÷     + +  ÷   +   + = +  ÷  ÷ + +     = − + −  ÷     = +  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ Câu 6: 3 . x y x e − = TXĐ: ¡ 2 3 ' 3 . . x x y x e e x − − = − 2 3 2 .(3 ) . .(3 ) x x e x x e x x − − = − = − 3 ' 0 0 3 lim lim . 0 x x x y x x y x e − →+∞ →+∞ = ⇔ = ∨ = + = = 3 lim lim . x x x y x e − →−∞ →−∞ = = −∞ 0y⇒ = là TCN bên phải + 2 lim lim . x x x y a x e x − →−∞ →−∞ = = = +∞ ⇒ không TCX Bảng biến thiên: x -∞ 0 3 +∞ y' + | + 0 - y -∞ 0 3 27 e 0 Điểm đặc biệt: x 0 1 -1 y 0 1 e e− Câu 7: pt hoành độ giao điểm của 2 y x= − và 2 2 4y x x= − − là 2 2 2 2 4 2 0x x x x− = − − ⇔ − − = 2 1x x⇔ = ∨ = − 2 2 2 1 ( 2 4) D S x x x dx − = − − − − ∫ Vì y=-x 2 và y=x 2 -2x-4 không cắt nhau trong (-1,2) 2 2 1 ( 2 2 4) D S x x dx − ⇒ = − − − ∫ 3 2 2 1 2 4 3 x x x − = − − − 21= − 21= ĐỀ 2 Câu 1: Nghiệm tổng quát: ( ) 2 2 3 3 3 3 2 5 2 5 (3 3 ). (3 3 ). x dx x dx x x y e x x e dx C e x x e dx C − −   ∫ ∫ = + +  ÷   = + + ∫ ∫ Đặt 3 2 3t x dt x dx= → = ( ) 3 3 3 3 3 (1 ). ( ) ( . ) x t x t x x y e t e dt C e te C e x e C − − − = + + = + = + ∫ Câu 2: pt đặc trưng: 2 3 2 0 1, 2k k k k+ + = ⇒ = − = − 2 0 1 2 . . x x y C e C e − − ⇒ = + 1 2 r r r y y y= + + 1 r y là nghiệm của pt y"+3y'+2y=(2x+3)e 0x (1) 0 . ( ) S x r y x e Ax B= + 0 α = không là nghiệm của pt đặc trưng 0S → = 1 1 1 ' " 0 (1) 0 3 2( ) 2 3 r r r y Ax B y A y A Ax B x = + = = ⇔ + + + = + 1 0 A B =  ⇒  =  1 r y x⇒ = + 2 r y là nghiệm của pt y"+3y'+2y=6e x (1) 2 . . S x r y x e A⇒ = 1 α = không là nghiệm của pt đặc trưng 0S→ = 1 1 1 ' " (2) 3 2 6 x r x r x r x x x x y Ae y Ae y Ae Ae Ae Ae e = = = ⇔ + + = 1A ⇒ = Vậy 1 2 0tq r r y y y y= + + 2 1 2 . . x x x C e C e x e − − = + + + Câu 3: I = 0 1 1 lim arctan x x x →    ÷   − = 0 arctan lim .arctan x x x x x → −    ÷   = 3 3 2 0 ( ) 3 lim x x x x o x x →   − − +  ÷   = 3 3 2 0 ( ) 3 lim x x o x x → + = 0 Câu 4 : Đặt 2 1 1 t dt dx x x = ⇒ = − 1 1 1 1 . . ( 1). 1 2. lim 2 t t t t t I t e dt t e dt t e t e e e −∞ − − −∞ − −∞ − − →−∞ ⇒ = − = = − − = − − = − ∫ ∫ Câu 5: 0 0 cos2 2sin 2 .cos2 2 .sin 2 x x x x u x du xdx dv e dx v e I e x e xdx − − +∞ +∞ − − = → = − = → = − = − − ∫ 0 1 2 1 2 J J = + − = − + Giải J 0 0 sin 2 2cos 2 sin 2 2 .cos2 x x x x u x du x dv e dx v e J e x e xdx − − +∞ +∞ − − = → = = → = − = − + ∫ 0 0 2 2 I I = + + = 1 4 1 5 I I I ⇒ = − ⇒ = Câu 6: 1 2 . x y x e= TXĐ: 0x ≠ 1 1 2 2 1 ' 2 . . . x x y x e x e x = − 1 (2 1) x e x= − 1 ' 0 2 y x= ⇔ = + 1 2 2 0 lim . lim t x t x e x e t + →+∞ → = = +∞ ( 1 t x = ) 1 2 2 0 lim . lim 0 t x t x e x e t − →−∞ → = = 0x ⇒ = là TCĐ về bên phải + 1 2 lim . x x x e →+∞ = +∞ 1 2 lim . x x x e →−∞ = +∞ ⇒ không TCN [...]... ÷+ t.e  − 11 + 11 ÷÷ 10          1 1  −6t 10 5t 1 6t   C =  C1 − ÷e5t +  − 2 + ÷e + t.e − t.e 11  11 11   10 11 0  Kết luận: 1 1  x1 = C1.e5t + C2 e −6t + t.e5t + t.e −6t  11 11    x2 =  C1 − 1  e5t +  − C2 + 1  e −6t + 10 t.e5t − 1 t.e6 t  ÷  ÷  11  11 11   10 11 0   * Cách 2:  −5 10  A= ÷  1 4 A − λI = 0 ⇔ −5 − λ 1 10 =0 4−λ ⇔ ( −5 − λ )(4 − λ ) − 10 = 0 ⇔ λ... 11 11 ⇒ x2 ( r ) = x2( r1 ) + x2( r2 ) = x1 = x1( 0) + x1( r ) (2) Thay vào pt (1) của hệ 1 ( x1 '+ 5 x1 − e5t ) 10 1  1 1 1 1     =   5C1.e5t − 6C2 e −6t + (e5t + 5.t.e5t ) + (e −6 t − 6.t.e −6 t ) ÷+ 5  C1.e5t + C2 e −6 t + t.e5t + t.e −6 t ÷− e5t ÷ 10   11 11 11 11     ⇒ x2 = = 1  1 1 6 5   5 t −6 t  5 t  10  6t   10 C1 + 11 − 1 e + e  −C2 + 11 ÷+ t.e  11 ÷+ t.e  − 11 ... 5(e5t + 5.t.e5t )) (1) ⇔ 11 A = 1 ⇔ A = ⇒ x2( r1 ) = 1 11 1 5t t.e 11 x2 ( r2 ) là nghiệm của pt x1 "+ x1 '− 30 x1 = −e −6t ⇒ x2 ( r2 ) = t S e −6t A α = −6 là nghiệm pt đặc trưng ⇒ S = 1 ⇒ x2 ( r1 ) = t e −6t A ⇒ x2 ( r1 ) ' = A(e −6t − 6.t e −6t ) ⇒ x2 ( r1 ) " = A(−6e −6t − 6(e −6t − 6.t.e −6 t )) (1) ⇔ 11 A = 1 ⇔ A = ⇒ x2( r2 ) = 1 11 1 −6t t.e 11 1 5t 1 −6t t.e + t.e 11 11 1 1 = C1.e5t + C2 e −6t... −6  10 10   x1  α   1 1  x ÷ = 0 ⇔ X =  α ÷   2     1 Chọn vectơ riêng là X =  ÷  1 λ = −5 : 1 10   x1  10 α   ÷ x ÷ = 0 ⇔ X =  ÷ 1 10   2   −α   10  Chọn vectơ riêng là X =  ÷  1   1 10  ⇒P= ÷  1 1 1  1 10  ⇒ P 1 = −  ÷ 11  1 1  5 0  D= ÷  0 −6  Hệ ⇔ X ' = P.D.P 1 X + F ⇔ P 1 X ' = P.D.P 1 X + F Đặt Y = P 1 X ⇔ Y ' = D.Y + P 1. F ...  y1  1  1 10   e5t  ⇔  1 ÷=  ÷ ÷−  ÷ −6t ÷  y2 '   0 −6   y2  11  1 1   e  1  5t −6 t  y1 ' = 5 y1 − 11 ( −e − 10 e )  ⇔  y ' = −6 y − 1 ( −e5t + e −6t ) 2  2  11 − ∫ 5 dt   1  2 ∫ 5dt  ∫ (8t − 3t − 2).e dt + C1 ÷  y1 = e   16  ⇔  y = e ∫ 4 dt  1 (8t 2 + 3t + 2).e − ∫ 4 dt dt + C  1 ∫  2  16   _ Giải y1  1  y1 = e −5t  ∫ (8t 2 − 3t − 2).e5t dt + C1... t 2 1 + − 1 1 + ÷ − 2  t   t 1 2 1 dt ∫ = 2 1  t +1  t2  ÷ −2 t  t  0 1 2 1 dt ∫ = 1 −t 2 + 2t + 1 t2 t t2 0 1 2 1 dt ∫ = −t 2 + 2t + 1 0 1 2 1 dt ∫ = −(t − 1) 2 + 2 0 2− 2 2 1 du ∫ = ( u = t − 1 ⇒ du = dt ) −u 2 + 2 1 Câu 6: TXĐ: R y' = x +1 x + 2x +1 y = 0 ⇔ x = 1 2 ' + lim y = +∞ ⇒ không TCN x →±∞ y x2 + 2 x + 2 + a = lim = lim = 1 x →∞ x x →∞ x Xét x → +∞ : a =1 b = lim x... 1 I =∫ ln (1 + x 5 ) x+ x 0 1 + Xét I1 = ∫ ∫ ln (1 + x 5 ) x+ x 1 ln (1 + x 5 ) 0 f = dx + +∞ x+ x dx dx 1 − sinh x x →0 1 : 2 phân kỳ x.sinh x x + Xét I1 = +∞ ∫ ln (1 + x 5 ) 1 x+ x dx 1 − sinh x x.sinh x e x − e− x 1 2 = x e − e− x x 2 x 2 − e + e− x = x x.e − x.e − x f = x →+∞ : −e − x 1 = − phân kỳ x x.e x Câu 5:* Đặt t = 1 1 dt → x = 1 + → dx = − 2 x 1 t t 0 ∫ I= − 1 2 1 dt 2  1   1 t 2 1. ..  y1  1  8 1  t 2  ⇔  ÷=  ÷ ÷ ÷+  ÷  y2 '   0 4   y2  16  8 1   3t + 2  1  2  y1 ' = −5 y1 + 16 ( 8t − (3t + 2) )  ⇔  y ' = 4 y + 1 ( 8t 2 + 3t + 2 ) 2  2 16  − ∫ 5 dt   1  2 ∫ 5dt  ∫ (8t − 3t − 2).e dt + C1 ÷  y1 = e   16  ⇔  y = e ∫ 4 dt  1 (8t 2 + 3t + 2).e − ∫ 4 dt dt + C  1 ∫  2  16   _ Giải y1  1  y1 = e −5t  ∫ (8t 2 − 3t − 2).e5t dt + C1 ÷  16 ... 2− X = Y 1 + 2 X = Đặt u = Y ⇒ Y ' = u + X u ' X 2−u 1 + 2u du 2−u 2 − 2u 2 ⇒ X = −u = dx 1 + 2u 1 + 2u (2u − 1) du dx ⇒∫ = ∫ +C 2 x 2 (1 u ) ⇒ u + X u ' = ⇒ 1  3 1  dx + − ∫  2 ( 1 + u ) 2 (1 − u ) ÷ = ∫ x + C ÷ 2   1 3 1  ⇒  − ln 1 + u + ln 1 − u ÷ = ln x + C 2 2 2  1 3 x +1 1 x +1  ⇒  − ln 1 + + ln 1 − ÷− ln x − C = 0 2 2 y−2 2 y−2  Câu 2: * Cách 1: Khử x1 từ hệ x2 '− x1 ' = 2 x2... λ=4  8 1  x1   α  λ = −5 :  ÷ x ÷ = 0 ⇔ X =  ÷  8 1  2   − 8α  1 Chọn vectơ riêng là X =  ÷  −8  λ = −5 :  −8 1   x1  α   ÷ x ÷ = 0 ⇔ X =  ÷  8 1  2   8α  1 Chọn vectơ riêng là X =  ÷ 8  1 1 ⇒P= ÷  −8 8  1  8 1 ⇒ P 1 =  ÷ 16  8 1   −5 0  D= ÷  0 4 Hệ ⇔ X ' = P.D.P 1 X + F ⇔ P 1 X ' = P.D.P 1 X + F Đặt Y = P 1 X ⇔ Y ' = D.Y + P 1. F  y1 '  . 1 1 1 dt t x dx x t t = → = + → = − − 0 2 1 2 2 1 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 2 2 2 1 2 1 1 1 . 1 1 . 1 2 1 1 . . 2 1 2 1 . . 2 1 ( 1) 2 2 dt I t t t dt t t t t dt t t t t t dt t. 2 0 1 ( 1) ( 2) 2 1 1 1 1 , , 3 3 3 1 3 2 A Bx C x x x x x x A B C dx I x +∞ + = + + + + + + + ⇒ = = − = = + ∫ 2 2 0 0 0 2 2 0 0 2 0 3 1 1 2 1 1 3 2 6 1 2 1 1 1 1 ln 2 ln 1 3 6 2 1 3 2 4 1 1 2 1. 1 1 1 " 7 ' 10 x x x t− + = (1) ( ) 1 ( ) 0 1 . . r S t x t e At B⇒ = + 0 α = không là nghiệm pt đặc trưng 0S ⇒ = ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1 ' " 0 1 10 1 10 (1) 7 10 0 7 10 0 1