Bài tập đại số

Bài tập đại số

Bài tập (Thời gian: 90 phút)Câu 1. Tính đạo hàm của hàm sốy =4x + 32− 5x3x.Câu 2. Tìm khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm sốy = 2x3(2x − 1)2.Câu 2’. Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của hàm sốy =x100(t − 1)(t − 2)4dt.Câu 3. Tính các tích phân sau (một trong các câu b):a)3− 2xx2− 3x + 2dx.b)Dx ydxd y, trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = x − 4, y2= 2x.b)Dyxdxd y, trong đó D = {(x, y) : 2 ≤ x ≤ 4, x ≤ y ≤ 2x}.b)D(7x + 2y − 1)dxd y, trong đó D là hình bình hành giới hạn bởi các đường3x − 5y = −1,3x − 5y = 2,2x + y = −2,2x + y = 3.Câu 4. Viết biểu thức vi phân toàn phần của hàm số:u = y tgzx·Câu 4’. Cho hàm số u = x y + x f (y/x) với f (·) là hàm số khả vi. Chứng minh rằng:x∂ u∂ x+ y∂ u∂ y= x y + u.Câu 5. Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số z = x0,3y0,6vớiđiều kiện 3x + 4y = 120.Câu 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số (một trong các câu):∞n=12n− 1(2)n;∞n=114.2n− 3∞n=11n2+ 2·Câu 7. Giải phương trình vi phân: y+ 4y = 3x + 1.Câu 7’. Giải phương trình vi phân: ycos2x + y = tg x với điều kiện ban đầu y(0) = 0. Chữa bài tậpAi cần thì tham khảo1. Dùng tiêu chuẩn Cauchy xét sự hội tụ của chuỗi:∞n=1sin nx − sin(n + 1)xnXét|Sn+p− Sn| =sin(n + 1)xn + 1−sin(n + 2)xn + 1+··· +sin(n + p)xn + p−sin(n + p + 1)xn + p=sin(n + 1)xn + 1−sin(n + 2)x(n + 1)(n + 2)−···−sin(n + p)x(n + p − 1)(n + p)−sin(n + p + 1)xn + p≤1n + 1+1(n + 1)(n + 2)+··· +1(n + p − 1)(n + p)+1n + p≤1n + 1+1(n + 1)−1(n + 2)+··· +1(n + p − 1)−1n + p+1n + p=2n + 1<2n.Vậy với mọi  > 0, luôn tồn tại n0sao cho |Sn+p− Sn| < ,∀n ≥ n0, p ∈ N. Theo dấu hiệuCauchy, chuỗi đã cho hội tụ.2. Sử dụng dấu hiệu so sánh xét sự hội tụ của chuỗi:∞n=21(ln n)αα > 0.Vìlimx→∞x(ln x)α= +∞, α > 0 (theo quy tắc Lopitan)Nên ta có:limn→∞1(ln n)α1n= limn→∞n(ln n)α= +∞.Vậy với n đủ lớn:1(ln n)α>1n· Chuỗi∞n=11nphân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ. . Bài tập (Thời gian: 90 phút)Câu 1. Tính đạo hàm của hàm sốy =4x + 32− 5x3x.Câu 2. Tìm khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm sốy = 2x3(2x. Viết biểu thức vi phân toàn phần của hàm số: u = y tgzx·Câu 4’. Cho hàm số u = x y + x f (y/x) với f (·) là hàm số khả vi. Chứng minh rằng:x∂ u∂ x+ y∂ u∂