Bài tập biến số ngẫu nhiên

Bài tập biến số ngẫu nhiên

BT BIẾN NGẪU NHIÊNXác đònh biến ngẫu nhiên.Bài 1. Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạnga) [ ][ ]Ax khi x 0,1f (x)0 khi x 0,1∈=∉b) [ ][ ]A sin x khi x 0,f (x)0 khi x 0,∈ π=∉ πc) [ ][ ]1212A cos x khi x 0,f (x)0 khi x 0,π ∈=∉d) 41A khi x 1f (x)x0 khi x 1≥=<Hãy xác đònh A. Tìm hàm phân phối xác suất của X. Tính µX, σ2X, nếu có.Bài 2. Tuổi thọ của một loại bóng đèn nào đó là 1 biến ngẫu nhiên X (đơn vò năm) với hàm mật độ như sau2kx (4 x) khi 0 x 4f (x)0 khi x [0, 4]− ≤ ≤=∉a) Tìm k và vẽ đồ thò f(x).b) Tìm xác suất để bóng đèn cháy trước khi nó được 1 năm tuổi.Bài 3. Trọng lượng của một con vòt 6 tháng tuổi là 1 biến ngẫu nhiên X (đơn vò tính là Kg) có hàm mật độ 2k(x 1) khi 1 x 3f (x)0 khi x [1, 3]− ≤ ≤=∉a) Tìm k.b) Với k tìm được, tìm(i) trọng lượng trung bình của vòt 6 tháng tuổi,(ii) hàm phân phối xác suất của X,(iii) tỷ lệ vòt chậm lớn, biết vòt 6 tháng tuổi chậm lớn là vòt có trọng lượng nhỏ hơn 2Kg.Bài 4. Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng2 22 2a cos x khi x ,f (x)0 khi x ,π ππ π∈ −  =∉ −  a) Tìm a và xác đònh hàm phân phối xác suất F(x) của X.1 b) Tính xác suất để X nhận giá trò trong khoảng ,4π π  .Bài 5. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phốiπ< −π π= + − ≤ ≤π>0 khi x ,2F(x) a b sin x khi x ,2 21 khi x2với a, b là hằng số.a) Tìm a và b. b) Với a và b tìm được ở câu a), tính hàm mật độ f(x) của X; [ ]Mod x; [ ]Me x; P X4π >  . Vectơ ngẫu nhiên.Bài 6. Số trẻ em sinh ra trong một tuần ở một làng A nào đó là một đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất làX 0 1 2 3P 0,4 0,3 0,2 0,1Số người chết trong một tuần ở làng A là một đại lượng ngẫu nhiên Y có phân bố xác suất làY 0 1 2 3 4P 0,1 0,3 0,4 0,15 0,05Giả sử rằng X và Y độc lập.a) Tìm phân phối xác suất đồng thời của X và Y.b) Tính P(X > Y).Bài 7. Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của X, Y như sau :YX4 51 0,1 0,062 0,3 0,183 0,2 0,16a) Lập bảng phân phối xác suất thành phần của X và Y.b) Lập bảng phân phối xác suất có điều kiện của X và Y.c) Tính covariance và hệ số tương quan của X và Y.Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên.2 Bài 8. Các đại lượng ngẫu nhiên X và Y có bảng phân phối xác suất đồng thời như sauYX1 2 31 0,12 0,15 0,032 0,28 0,35 0,07a) Chứng minh rằng X và Y độc lập.b) Lập bảng phân phối xác suất của Z = XY. Từ đó tính E(Z) và kiểm tra rằng E(Z) E(X)E(Y)=.Bài 9. Cho X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất đồng thời như sau YX-1 1-116140161811618Hãy tính E(X), E(Y), cov(X,Y) và (X, Y)ρ.Bài 10. Cho X,Y là hai đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất đồng thời như sau YX-1 0 1-141511541501152151151 02150a) Tìm µX, µY, cov(X,Y) và (X, Y)ρ.b) X và Y có độc lập không ?Bài 11. Có hai hộp, mỗi hộp đựng 6 bi. Trong hộp một có : 1 bi mang số 1, 2 bi mang số 2, 3 bi mang số 3. Trong hộp hai có : 2 bi mang số 1, 3 bi mang số 2, 1 bi mang số 3. Rút từ mỗi hộp 1 bi. Gọi X là số ghi trên bi rút ra từ hộp một, Y là số ghi trên bi rút ra từ hộp hai. a) Hãy lập bảng phân phối xác suất đồng thời của ( )V X, Y=.b) Bảng phân phối xác suất lề của X , Y.c) Kỳ vọng, phương sai của X , Y.3 d) Hiệp phương sai, hệ số tương quan.Bài 12. Tung ba lần độc lập một con xúc xắc. Gọi X là số lần mặt chẵn xuất hiện và Y là số lần mặt lẻ xuất hiện.a) Lập bảng phân phối xác suất của X và Y.b) Tính hệ số tương quan (X, Y)ρ. Nhận xét?ĐÁP ÁNBài 1.a) =A 2, µ =X23, σ =2X0.055,( )≤ ≤= <>2x khi 0 x 1F x 0 khi x 01 khi x 1.b) =A 0.5, πµ =X2, πσ = −22X24,( )( )− ≤ ≤ π= <> π11 cos x khi 0 x2F x 0 khi x 01 khi x.c) = πA, µ = −πX1 12, π −σ =π2X23,( )( )π ≤ ≤= <>1sin x khi 0 x2F x 0 khi x 011 khi x2.d) =A 3, µ =X32, σ =2X34,( )− ≥=<311 khi x 1F xx0 khi x 1.Bài 2.a) =3k64,4 1 2 3 40.10.20.30.4.b) 0.0508.Bài 3.a) =3k20.b) (i) µ =X2.4kg.(ii) ( )− +≤ ≤= <>3x 3x 2khi 1 x 320F x 0 khi x 11 khi x 3.(iii) 0.2.Bài 4.a) =1a2,( )+ π π− ≤ ≤π= < −π>sin x 1khi x2 2 2F x 0 khi x21 khi x2.b) 0.1465.Bài 5.a) =1a2, =1b2.b) [ ]=Mod x 0, [ ]=Me x 0, π > =  P X 0.14654,( )π π ∈ −   =π π ∉ −  1cos x khi x ,2 2 2f x0 khi x ,2 2.Vectơ ngẫu nhiên.5 Bài 6.a)YX0 1 2 3 40 0.04 0.12 0.16 0.06 0.021 0.03 0.09 0.12 0.045 0.0152 0.02 0.06 0.08 0.03 0.013 0.01 0.03 0.04 0.015 0.005b) 0.19.Bài 7.a)X 1 2 3PX0.16 0.48 0.36Y 4 5PY0.6 0.4b)YX4 5 1 0.17 0.152 0.5 0.45 3 0.33 0.4 XY1 2 34 0.625 0.625 0.565 0.375 0.375 0.44c) =cov(X, Y) 0.02, ρ =(X, Y) 0.059.Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên.Bài 8.b)Z 1 2 3 4 6P 0.12 0.43 0.03 0.35 0.07( )=E Z 2.89, ( )=E X 1.7, ( )=E Y 1.7.Bài 9.µ = −X18, µ =Y0, = −cov(X, Y) 0.125, ρ = −(X, Y) 0.1502.Bài 10.a) µ = −X0.467, µ =Y0, =cov(X, Y) 0, ρ =(X, Y) 0.b) X và Y độc lập.Bài 11.a)6 YX1 2 3123633613624366362363636936336b)X 1 2 3PX136236336Y 1 2 3PY236336136c) µ =X2.33, µ =Y1.83, σ =2X0.555, σ =2Y0.472.d) =cov(X, Y) 0.0139, ρ =(X, Y) 0.027.Bài 12.a)X 0 1 2 3PX0.125 0.375 0.375 0.125Y 0 1 2 3PY0.125 0.375 0.375 0.125b) ρ = −(X, Y) 1, X và Y phụ thuộc chặt, nghòch biến.7 . BT BIẾN NGẪU NHIÊNXác đònh biến ngẫu nhiên .Bài 1. Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạnga) [ ][ ]Ax khi x 0,1f. và Y.c) Tính covariance và hệ số tương quan của X và Y.Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên. 2 Bài 8. Các đại lượng ngẫu nhiên X và Y có bảng phân phối