Giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện phương pháp suy luận thông qua khai thác một số bài toán hình học đơn giản lớp 9

Lý do thực hiện đề tài - Trong quá trình giảng dạy nói chung và bồi dưỡng học sinh lớp 9 nói riêng thì việc khai thác, định hướng, liên kết, phát triển mở rộng bài toán hình học là một v

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do thực hiện đề tài

- Trong quá trình giảng dạy nói chung và bồi dưỡng học sinh lớp 9 nói riêng thì việc khai thác, định hướng, liên kết, phát triển mở rộng bài toán hình học là một vấn đề rất quan trọng, nó không chỉ giúp cho học sinh nắm bắt kĩ kiến thức của một dạng toán cơ bản mà còn nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt hoá một bài toán để từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo cho các em học sinh Hơn nữa, việc khai thác, mở rộng các bài toán hình khác nhau, tìm mối liên hệ chung giữa chúng sẽ giúp cho học sinh hứng thú và phát triển năng lực tự học một cách khoa học khi học môn hình học trong trường phổ thông

Qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh tôi được tiếp xúc với rất nhiều đối tượng học sinh và thấy rằng đa số học sinh không nhớ những bài đã làm thậm chí có những bài chỉ khác nhau bởi lời văn nhưng nội dung lại hoàn giống với bài toán cũ Đặc biệt là các bài toán phát triển và bài toán tổng quát học sinh thường không có kỷ năng nhận ra

Thực tế chất lượng học sinh đại trà và học sinh giỏi toán đặc biệt về môn hình học trong nhà trường còn thấp Học sinh còn ngại khi học toán đặc biệt là hình học Việc ôn tập và khai thác các bài hình cơ bản trong sách giáo khoa, tài liệu chưa thực sự kích thích được hứng thú học tập của học sinh

- Chưa có tài liệu cụ thể nhằm nghiên cứu, rèn luyện phương pháp suy luận nhằm cũng cố kiến thức, phát huy được vai trò sáng tạo của người học thông khai thác các bài toán trong chương trình hình học lớp 9

- Từ những nguyên nhân trên, tôi lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm:

“Giúp học sinh cũng cố kiến thức, rèn luyện phương pháp suy luận thông qua khai thác một số bài toán hình học đơn giản lớp 9”

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu nhằm mục đích: Nâng cao hiệu quả ôn tập củng cố kiến thức cho học sinh

- Cung cấp kiến thức và phương pháp tự học cho học sinh khi học bộ môn Hình học

- Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh Khơi dậy tính sáng tạo và giải toán của học sinh

- Phát triển năng lực tự học, biết khai thác và mở rộng các bài toán từ đó giúp các em hình thành phương pháp giải

- Giúp học sinh hứng thú hơn trong học tập đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như ôn tập đối với học sinh cuối cấp

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Phương pháp hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động và năng lực tự học của học sinh

- Các hướng phát triển bài toán trong sách giáo khoa cấp hai và một số bài toán cơ bản khác

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Lựa chọn một số bài tập cơ bản trong các lớp 9 trong chương trình học Hướng dẫn học sinh cách giải trên cơ sở vận dụng kiến thức thức, phát triển đến

sử dụng các nội dung kiến thức từ đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể đến khái quát bài toán,… hình thành những bài toán tương tự có cùng phương pháp giải

2 Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm:

2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

- Đặc điểm của lứa tuổi THCS là muốn tự mình khám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức Các em có khả năng điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy cô giáo Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động và đồng thời phát triển năng lực tự học của học là một quá trình lâu dài, kiên nhẩn và phải có phương pháp Tính tích cực, tự giác, chủ động và năng lực tự học của học sinh được thể hiện một số mặt sau:

- Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư tưởng rập khuôn, máy móc Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận một vấn đề ở nhiều khía cạnh Phải có óc hoài nghi, luôn đặt ra các câu hỏi tại sao? Do đâu? Như thế nào? Liệu có trường hợp nào nữa không? Các trường hợp khác thì kết luận trên có đúng nữa không? Và phải biết tổng hợp các bài toán liên quan Tính chủ động của học sinh còn thể hiện ở chổ biết nhìn nhận vấn đề và giải quyết vấn đề Có khả năng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã biết

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Xuất phát từ những ưu điểm của việc đổi mới SGK, đổi mới phương pháp dạy học của giáo viên đã đem lại hiệu quả nhất định của việc dạy học giải bài tập toán nói chung và bài tập Hình nói riêng hiện nay

Từ những nhược điểm nêu trên đã làm cho việc dạy học giải bài tập toán Hình gặp những khó khăn đó là: Nhiều tiết luyện tập trở nên khô cứng, nhàm chán đối với học sinh khá giỏi, nặng nề đối với học sinh yếu kém Việc dạy học giải toán Hình có khi là hoạt động vấn đáp giữa giáo viên với một số học sinh khá giỏi hoặc cũng có khi nó chỉ đơn thuần là giải bài tập Hình, chưa khai thác được chức năng của các bài tập toán, chưa phát triển các bài toán đó thành các dạng liên quan để giúp học sinh rèn luyện thói quen đưa lạ về quen, từ cụ thể hoá đến khái quát hoá Từ đó mà dễ gây ra tâm lí nhàm chán không ham thích môn học đối với học sinh yếu kém và sự coi thường bộ môn của một số học sinh khá giỏi, vì vậy không đáp ứng được mục tiêu về việc rèn luyện kĩ năng kĩ xảo

2

năng lực sáng tạo cho học sinh Vì lí do đó mà tiết học giải bài tập toán Hình chưa đạt hiệu quả theo mong muốn

Qua điều tra, tìm hiểu và thu thập các số liệu cụ thể ở các lần kiểm tra thường xuyên và định kỳ đối với hai lớp 9B2, 9B3,9B4 ở trường THCS Nguyễn

Du, tôi đã thu được kết quả sau:

- 70% học sinh chưa đạt được mức độ vận dụng

- 20% học sinh đạt được yêu cầu ở mức độ vận dụng

- 10% học sinh đạt yêu cầu mức độ vận dụng và khai thác tốt các bài toán

Từ thực trạng trên, bản thân tôi thấy phải có sự thay đổi cách thức giảng dạy bộ môn toán, đặc biệt là trong hoạt động giải bài tập toán Vì vậy, việc khai thác các chức năng của các bài tập toán trong dạy giải bài tập toán 9 ở trường THCS là rất cần thiết

2.3 Giải pháp

- Tiến hành dạy học đối với một nhóm học sinh lớp 9B3 trường THCS Nguyễn Du

- Khảo sát, đánh giá chất lượng học sinh

- Tiến hành ôn tập một số nội dung trong chương trình đã học; Mỗi nội dung kiến thức chọn một vài bài hình cơ bản

- Hướng dẫn học sinh giải và khai thác các bài toán hình học đó đồng thời củng cố và yêu cầu ghi nhớ kiến thức vận dụng

- Phát triển các bài toán tương tự có cùng cách giải

- Phát triển, khái quát hóa bài toán ở mức độ nâng cao vận dụng kiến thức

bổ sung theo chương trình học

- Đánh giá kết quả vào cuối đợt ôn tập

2.3.1 Giải pháp cụ thể:

2.3.1.1 Xác định mục tiêu, yêu cầu của hoạt động dạy học giải bài tập Hình.

Để đảm bảo được sự thành công cho một hoạt động giải toán hình, trước hết người giáo viên cần phải xác định được mục tiêu của cả giờ học và mục tiêu của từng bài cụ thể: Bài học cần đạt được những mục tiêu nào về kiến thức? Đạt được mục tiêu gì về kĩ năng và từ kiến thức của bài này có thể rút ra được những kiến thức nào có liên quan, các bài tập tương tự của nó như thế nào? Đồng thời thông qua các bài tập cụ thể, học sinh phải được khắc sâu hay lưu ý kiến thức nào Để đạt được điều đó, giáo viên cần phải có sự chuẩn bị như thế nào đối với các thiết bị dạy học là tương thích và đem lại hiệu quả cao nhất Từ các sự chuẩn

bị đó mà giáo viên sẽ lựa chọn được phương pháp giảng dạy phù hợp với từng nội dung của bài học

2.3.1.2 Xây dựng kế hoạch dạy học với các tình huống có vấn đề.

A B

C

D M

O

H

K

Dạy học đặt và giải quyết vấn đề là phương pháp dạy học mang đậm màu sắc của dạy học tích cực, nó kích thích được trí tò mò, muốn khám phá của học sinh, làm cho học sinh thấy được sự cần thiết phải làm việc và tìm hiểu để giải quyết vấn đề đó Vì vậy, học sinh sẽ có ý thức huy động vốn kiến thức của bản thân để phục vụ việc giải quyết vấn đề do giáo viên đặt ra

Làm tốt việc này sẽ giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách chủ động đồng thời phát triển được các năng lực tư duy hình thành phương pháp suy luận biện chứng

Xây dựng một vài tình huống điển hình trong việc dạy học giải bài tập hình học với các tình huống có vấn đề:

Bài toán 1:

Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính

AB Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến

CD Chứng minh rằng: CH = DK [1]

Gợi ý: Kẻ OM vuông góc với CD.

Phân tích:

Vì đây là bài tập ở trong phần bài “đường kính

và dây của đường tròn” nên khi có hướng dẫn kẻ

OM vuông góc với CD thì học sinh sẽ nhận thấy CM = MD.

Vậy để chứng minh CH = DK ta phải chứng minh điều gì?

Khi đó học sinh sẽ nghĩ đến việc chứng minh MK = MH

Việc chứng minh MK = MH không có khó khăn cả khi nhận xét được ABKH là hình thang có OM là đường trung bình của hình thang

Lời giải: Kẻ CM  CD tại M

Vì OM kéo dài là đường kính mà OM  CD => MC = MD (quan hệ giữa đường kính và dây)

Xét tứ giác AHKB có AH  HK, BK HK => AHKB là hình thang

Có: OM//AH//KB(cùng vuông góc với HK), mà OA = OB , suy ra MH =MK

Vì MC = MD và MH = MK => MH - MC = MK – MD => CH = DK

Nhận xét: Nếu dây CD cắt đường kính AB thì điều này có đúng không? Hãy vẽ

hình và dự đoán.

Học sinh sẽ nhận ra bài toán sau:

Bài toán 1 1 :

Cho đường tròn (O) đường kính AB,

4

D

C

O H

K M

B K

D

C

O H

K M

C

O H

D

K M

dây CD cắt đường kính AB Gọi H và K theo thứ

tự là chân các đường vuông góc kẻ từA và B đến

CD Chứng minh rằng: CH = DK.

Phân tích: Bài tập này tương tự như bài toán 1, rất tự nhiên học sinh sẽ kẻ OM

vuông góc với CD Khi đó CM = DM, bây giờ chứng minh HM = KM

Đây là bài toán cơ bản của lớp 8:

Cho hình thang AHBK (AH//BK), O là trung

điểm của AB, M là điểm thuộc HK sao cho

OM song với AH Chứng minh HM = MK

Như vậy bài toán 3 đó chứng minh xong

Tuy nhiên việc chứng minh bài toán 3 bằng cách trên không phải đơn giản

vì bài tập hình 8 nêu trên là một bài khó đối với học sinh yếu lớp 9

Chính vì vậy mà GV cần khơi dậy cho học sinh sự tò mò tìm ra cách khác

Đó là nghĩ ngay đến việc nối H với B, kéo dài OM cắt HB tại N

Lời giải : Nối H với B, gọi N là giao điểm của

OM với HB Xét tam giác AHB có ON//AH (cùng

vuông góc với CD), mà OA = OB => HN= NB

Xét tam giác HKB có MN//KB (cùng vuông góc

với CD), mà NH = NB => HM= MK

Mà OM  CD => MC = MD Suy ra MC – HM = MD – MK hay CH = DK

Cách này chứng minh đơn giản hơn nhưng

phải kẻ thêm đường phụ

Nhận xét :

Qua bài toán 1 nếu thay đổi giả thiết bài toán, từ C và D kẻ vuông góc với

CD thì bài toán có gì đặc biệt?

HS sẽ nhận thấy được bài toán mới tương tự:

Bài toán 1.2 :

Cho đường tròn (O) và đường kính AB dây CD không cắt AB, từ C và

D kẻ các đường thẳng vuông góc với CD cắt đường thẳng AB lần lượt tại H

và K Chứng minh rằng: AH = BK

Phân tích:

Tương tự như bài tập 1, rất tự nhiên học sinh sẽ nghĩ

đến việc kẻ OM vuông góc với CD

O H

D

K M

C

O H

D

K M

E F

C

D I

O

P

Q

HC  CD; DK  CD ÞHKDC là hình thang vuông,

vì OM CD nên CM = DM

Þ OM là đường trung bình của hình thang HKDC nên OH = OK

Từ đó suy ra AH = BK

Nhận xét: Nếu CD // AB thì bài toán sẽ đơn giản hơn nhiều, tương tự như bài

tập 2, không cần kẻ thêm đường phụ OM  CD ta cũng có thể chứng minh được dựa vào các trường hợp bằng nhau của tam giác.

Khi CD cắt AB thì bài toán này có đúng không? Hãy để cho học sinh suy nghĩ, tự vẽ hình và dự đoán AH = BK?

Khi đó GV cho học sinh làm bài tập mới tương tự:

Bài toán 1.3 :

Cho đường tròn (O) và đường kính AB dây CD cắt AB, từ C và D kẻ các đường thẳng vuông góc với CD cắt đường thẳng AB lần lượt tại H và K Chứng minh rằng: AH = BK.

Phân tích:

Kẻ OM vuông góc với CD,

HC  CD; DK  CD Þ HDKC

là hình thang, vì OM CD

nên CM = DM Þ OM là đường nối trung điểm hai đường chéo của hình thang HDKC nên OH = OK Từ đó suy ra AH = BK

Cách khác:

Kẻ thêm đường kính EF song song với

Dây CD, vì OM  với dây CD nên

CM = MD Þ FO = EO

Þ DHOF = DKOE (g.c.g)

Þ OH = OK Þ AH = BK

Nhận xét: Lại quay trở lại bài toán 1 nếu ta thay đổi đề thành bài tập có dạng

lạ hơn:

Bài toán 1.4 :

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, dây CD quay quanh điểm I cố định trong (O) (I ≠O) sao cho dây CD không cắt đường kính AB Vẽ AP  CD, BQ

 CD Chứng minh: P, Q nằm bên ngoài (O)

Phân tích:

6

M

C

D I

O

P

Q

O D

\\\\\

Bài toán này không có gì đặc biệt, rất dễ nhận

thấy sự tồn tại của bài toán nhưng chính sự hiển

nhầm này mà bài toán làm cho nhiều học sinh lúng

túng GV cần hướng dẫn chi tiết giúp cho học sinh

có thể giải quyết vấn đề thật tự nhiên và nhẹ nhàng:

Lời giải:

Nối O với P và O với Q

Vì ABQP là hình thang nên góc A + góc B = 1800

Giả sử góc A ≤ 900 thì góc B ³ 900

Xét DOBQ có góc B ³ 900 nên OQ > OB = R

vậy Q nằm ngoài đường tròn

ta lại có DOPQ cân tại O nên OP = OQ > R

vậy P nằm ngoài đường tròn

Nhận xét: Ngoài cách thay đổi giả thiết bài toán để tạo ra tình huống có vấn

đề cho học sinh phát hiện ra các bài toán khác như trên Có thể gợi ý để học sinh thấy được với cùng cách giải nhưng thay đổi yêu cầu của kết luận thì cũng tạo ra các bài toán tương tự từ đơn giản đến phức tạp Ta xét bài toán sau:

Bài toán 2:

Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O) và M là một điểm của cung nhỏ

BC Trên MA lấy điểm D sao cho MD = MB.

a) Hỏi tam giác MBD là tam giác gì?

b) So sánh hai tam giác BDA và BMC

c) Chứng minh MA = MB + MC [3]

Phân tích: Dễ thấy rằng tam giác ABC

đều => AB = BC = CA => sđ AB = sđ AC= sđ BC = 1200

suy ra BMA = 600 Từ đó dễ dàng dự đoán cách giải câu b,c

Lời giải:

a) Ta có AB = BC = CA => sđ AB = sđ AC= sđ BC = 1200

DMBD có MB = MD và BMD = ½ sđAB = 600=> DMBD đều

b) Xét DBDA và DBMC có BD =BM; ABD = CBM (cùng cộng với

DBC để bằng600); BA = BC => DBDA = DBMC (c.g.c)

c) DBDA = DBMC (c/m b,)=> DA = MC suy ra MA = MB + MC

A

M

D

H

H

H

\\\\\

Nhận xét: Nếu AM là đường kính thì AM lớn nhất.

Từ đó ta có bài toán sau

Bài toán 2.1 : Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R.

Hãy tìm trên đường tròn điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến ba

đỉnh của tam giác ABC lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó theo R

Lời giải:

Xét điểm M thuộc cung nhỏ BC của (O) Theo bài toán 7 thì AM = MB +

MC Do đó MA + MB + MC = 2MA ≤ 2R Đẳng thức xảy ra khi MA là đường

kính.Khi đó M là điểm chính giữa của cung BC

Từ đó suy ra M thuộc điểm chính giữa của các cung AB, BC, AC

và MA + MB + MC lớn nhất là 2R

Nhận xét: Có thể khai thác bài toán theo hướng quan sát

Hình vẽ, bằng cách bổ sung thêm điểm, đánh giá quan

Hệ giữa các đường thẳng nhằm vận dụng định lý

Ta lét

Nếu gọi H là giao điểm của AM và BC

Ta có MD – MH = MB -MH

Dễ suy ra BD// MC =>

MB

MC=

BD

MC=

DH

MH(hệ quả của định lý Ta lét) =

MD - MH

MB - MH MB

-1

MH MH Chia hai vế cho MB ta được

MB MC MH

Từ đó ta có bài toán sau:

Bài toán 2.2 : Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O M là một

điểm trên cung nhỏ BC Gọi H là giao điểm của AM với BC Chứng minh

rằng

MB MC MH

Lời

giải :

Ta có AB = BC = CA => sđ AB = sđ AC= sđ BC = 1200

DMBD có MB = MD và BMD = ½ sđAB = 600=> DMBD đều

=> MD – MH = MB – MH

Dễ suy ra BD// MC =>

MB

MC=

BD

MC=

DH

MH(hệ quả của định lý Ta lét)

8 H

=

MD - MH

MB - MH MB

-1

MH MH Suy ra

MB MC

MB -1 MH



Chia hai vế cho MB ta được

MB MC MH (đpcm)

Nhận xét: Từ kết quả của bài toán 9.Ta thấy,

1

MH nhỏ nhất nếu MH lớn nhất Khi đó H là trung điểm BC Từ đó có thể yêu cầu học sinh giải các bài toán sau:

Bài toán 2.3 : Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O M là điểm

chuyển động trên cung BC không chứa A Xác định vị trí của M để tổng

MB MC MA  đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải: Theo kết quả bài toán 9, ta có

MB MC MH Suy ra

MB MC MA 

=

MH MA nhỏ nhất khi MH và MA lớn nhất Từ đó suy ra M là điểm chính giữa cung BC và H là trung điểm BC thì

MB MC MA  đạt giá trị nhỏ nhất.

Nhận xét: Ở các bài toán trên ta cho điểm A cố định để tam giác ABC đều Giả

sử tam giác ABC không đặc biệt và ta chỉ cố định BC thì các kết quả trên còn có đúng hay không, và khi đó yêu cầu bài toán phải như thế nào cho phù hợp?

Từ quan điểm như trên, ta có bài toán:

Bài toán 2.4 : Cho BC là một dây cung cố định của đường tròn tâm O bán kính

R A là điểm chuyển động trên cung lớn BC , M là điểm chuyển động trên cung nhỏ BC.Xác định vị trí của A và M để tổng

MB MC MA  đạt giá trị nhỏ nhất

Nhận xét: Từ bài toán 10.Nếu ta xét sự liên quan đến tâm O thay cho điểm A thì

từ bài toán đã cho ta có bài toán mới dưới đây

Bài toán 2.5: Cho BC là một dây cung cố định của đường tròn tâm O bán kính R thỏa mãn BOC = 120 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

MB MC MA 

Phân tích: Chắc chắn rằng với kết quả của bài 11 như trên học sinh sẽ thấy

ngay được các vẽ thêm đường phụ để đưa về bài toán quen thuộc Đó là gọi A là điểm chính giữa trên cung lớn BC của (O) Suy ra tam giác ABC đều

Nhận xét : Nếu ta thay đổi độ lớn của góc A thì tổng

MB MC

và

1

MH thay đổi như thế nào ?

Từ nhận xét trên ta có bài toán sau

Bài toán 2.6: Trên cung BC không chứa điểm A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC(A ³ 60 0 , AB = AC) lấy một điểm M tùy ý, các đoạn thẳng

AM và BC cắt nhau tại H Chứng minh rằng

1

MH≤

MB MC

Lời giải: Kẻ BD // MC Dể chứng minh

DBMD cân tại B(có BMD =

BDM=ABC)

Do đó DBM = BAC ³ BMD = BDM

=> DM ³ BD=MB Nên

1

MD³

MB MC

Vì BD // MC =>

MB

MC=

BD

MC=

DH

MH(hệ quả của định lý Ta lét)

=>

BD

MC

MD - MH MD

1

1

MH



≤

MB MC

Bài toán 3: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Vẽ các đường cao AI, BK, CL cắt nhau tại H.

a) Chỉ ra các tứ giác nội tiếp có đỉnh lấy trong số các điểm A, B, C, H, I,

K, L.

b) Chứng minh LBH=LIH=KIH=KHC.

c) Chứng minh KB là tia phân giác của LKI [2]

Lời giải: Vì tam giác ABC có ba góc nhọn nên các đường cao cắt nhau tại H

nằm trong tam giác đó

a) LHIB, HICK, HKAL là các tứ giác nội

tiếp vì tổng hai góc đối diện bằng 1800

BLKC, CILA, AKIB là các tứ giác nội tiếp vì

có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới

một góc vuông

b) LHIB là tứ giác nội tiếp nên

LBH=LIH(cùng chắn cung LH) HICK là

tứ giác nội tiếp nên HIK = HCK (vì cùng

10

A

B

C M

H

A

B

C I

K L

H