Phân loại các dạng toán ứng dụng định lí vi ét chương trình toán 9 THCS

A MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Toán học mơn học có vị trí quan trọng chương trình trung học sở, tảng cho môn học khoa học tự nhiên mơn khoa học xã hội Tốn học khơng cung cấp cho người kĩ tính tốn cần thiết, mà rèn luyện cho người khả tư lơgíc, phương pháp luận khoa học Dạy học toán dạy cho học sinh phương pháp học toán giải toán giúp học sinh vận dụng kiến thức học vào giải toán thực tế sống Nội dung kiến thức toán học trang bị cho học sinh trung học sở ngồi việc dạy lí thuyết phải trọng tới việc dạy học sinh phương pháp giải số toán Để nắm vững cách giải dạng tốn đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức học cách linh hoạt, sáng tạo kết hợp với khéo léo, cẩn thận kinh nghiệm tích luỹ để giải tập có liên quan Thơng qua việc giải tập em rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức học vào giải tập, kĩ trình bày, kĩ ứng dụng máy tính bỏ túi, đồ dùng dạy học Từ nâng cao lực tư duy, óc tưởng tượng, sáng tạo, rèn khả phán đoán, suy luận học sinh Trong chương trình sách giáo khoa Tốn lớp THCS, học sinh làm quen với phương trình bậc hai, cơng thức nghiệm phương trình bậc hai, đặc biệt hệ thức Vi-ét Các toán vận dụng hệ thức Vi-ét có vị trí quan trọng chương trình dạy học tốn trung học sở Chính tốn thường xun có mặt kì thi học kì, thi học sinh giỏi lớp 9, kì thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông Tuy nhiên, nội dung thời lượng phần sách giáo khoa lại ít, lượng tập chưa đa dạng Nhiều năm dạy toán lớp 9, qua việc khảo sát trường THCS Trí Nang, tơi nhận thấy em nhận dạng vận dụng hệ thức Vi-ét chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác ứng dụng hệ thức vào giải nhiều loại tốn, hệ thức Vi-ét lại có phạm vi ứng dụng rộng rãi, nội dung quan trọng chương trình Toán Đối với giáo viên phần lớn truyền dạy cho học sinh kiến thức chung chung không rõ cho học sinh dạng toán cách vận dụng hệ thức Vi-ét vào dạng tốn Để giúp học sinh nắm vững kiến thức hệ thức Vi-ét gúp học sinh thấy rõ hệ thức Vi-ét có ứng dụng rộng rãi giải tốn phương trình bậc hai Trong q trình giảng dạy, tơi tổng hợp, phân dạng tốn có ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải nhằm giúp cho học sinh nắm phương pháp giải loại tốn Từ em có kỹ nhận dạng có phương pháp giải thích hợp trường hợp cụ thể Tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: " Phân loại dạng tốn ứng dụng Định lí Vi-ét chương trình tốn THCS" với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững ứng dụng thành thạo hệ thức Vi-ét, đồng thời làm tăng khả học toán, tạo hứng thú học tập học sinh Giúp đồng nghiệp tích lũy kiến thức, phương pháp từ có cách dạy phù hợp với đối tượng học sinh để kiến thức tốn khơng nhàm chán II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Bài tập toán học đa dạng phong phú Việc giải toán yêu cầu quan trọng học sinh Nhiệm vụ giáo viên phải làm cho học sinh nhận dạng, hiểu tốn, từ nghiên cứu tìm cách giải Làm để giúp em có kiến thức tổng thể, biết nhận dạng dạng toán liên quan hệ thức Vi-ét, biết cách giải hạn chế sai lầm trình bày tốn, tơi chọn đề tài: " Phân loại dạng toán ứng dụng Định lí Vi-ét chương trình tốn THCS" với mục đích: - Giúp em nhận dạng có phương pháp giải dạng toán cách dễ dàng Bổ sung nâng cao kiến thức giải tốn bậc hai có ứng dụng hệ thức Viét cho em học sinh THCS Từ em làm tốt toán bậc hai kỳ thi tuyển - Giúp em hiểu tầm quan trọng hệ thức Vi-ét việc giải tốn đặc biệt phương trình bậc hai - Rèn luyện cho học sinh tính tư logic, sáng tạo tốn; say mê u thích học mơn tốn nhiều III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Trong đề tài này, đưa nghiên cứu số dạng toán ứng dụng định lý Vi-ét thường gặp từ dễ đến khó kì thi cấp trung học sở Do đề cập đến số dạng tốn là: - Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai - Tìm giá trị tham số biết nghiệm phương trình cho tìm nghiệm lại - Lập phương trình bậc hai - Tìm hai số biết tổng tích chúng - Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình - Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số - Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm - Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai - Giải hệ phương trình đối xứng - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Căn vào mục đích nghiên cứu, tơi sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Tơi đọc chọn tốn có ứng dụng hệ thức Vi-ét, xếp thành dạng tốn từ dễ tới khó, từ đơn giản đến phức tạp: - Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai - Tìm giá trị tham số biết nghiệm phương trình cho tìm nghiệm lại - Lập phương trình bậc hai - Tìm hai số biết tổng tích chúng - Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình - Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số - Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm - Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai - Giải hệ phương trình đối xứng - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm Phương pháp điều tra, khảo sát: Trước thực đề tài điều tra tỉ lệ học sinh yêu thích phần kiến thức định lí Vi-ét số học sinh muốn tìm hiểu thêm dạng tốn liên quan đến hệ thức Vi-ét cách đưa số câu hỏi như: Em thấy phần kiến thức định lí Viét học khơng? Em thích tốn bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét khơng? Em có thích đọc nhiều sách tham khảo nội dung liên quan dạng tốn ứng dụng định lí Vi-ét khơng ? Em có muốn nâng cao kiến thức khơng ?, , Trước thực đề tài sau áp dụng dề tài vào giảng dạy đề kiểm tra khảo sát học sinh nắm vận dụng định lí Vi-ét thơng qua số tập Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tôi hướng dẫn học sinh nhận dạng phương pháp giải dạng tốn ứng dụng định lí Vi-ét thơng qua tiết dạy lí thuyết, tiết ơn tập, hay bồi dưỡng học sinh giỏi, phù đạo học sinh yếu Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Sau vận dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy thân đúc rút kinh nghiệm giảng dạy từ trải nghiệm dạy dự đồng nghiệp, bổ sung đề tài hoàn thiện, sát thực tiễn giảng dạy B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: Toán học nhà trường phổ thông môn học chiếm vị trí quan trọng Dạy tốn tức dạy phương pháp suy luận khoa học, học toán tức rèn khả tư lơgíc Giải tốn phương pháp tốt để nắm vững trí thức, phát triển tư hình thành kỹ kỹ xảo Kiến thức mơn tốn rộng, em lĩnh hội nhiều kiến thức, kiến thức có mối quan hệ chặt chẽ với Do vậy, học em khơng nắm lý thuyết bản, mà phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu mình, từ biết vận dụng để giải dạng tốn Trong chương trình Đại số bậc THCS, định lí Vi-ét có ứng dụng phong phú việc giải tốn như: Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai, tìm hai số biết tổng tích chúng, lập phương trình bậc hai có nghiệm cho trước, tìm mối liên hệ nghiệm phương trình bậc hai Các ứng dụng giúp học sinh củng cố nhiều kiến thức toán học rèn luyện kĩ trình bày, phân tích, tổng hợp Tuy nhiên giải tập hệ thức Vi-ét học sinh gặp nhiều lúng túng, khơng có kĩ phân tích đề, phương pháp giải khơng khoa học Nguyên nhân em chưa hướng dẫn cụ thể theo dạng Vậy làm để giúp học sinh nắm kiến thức phương pháp giải tập hệ thức Vi-ét tơi tiến hành tìm tòi nghiêm cứu, tập hợp tốn hệ thức Vi-ét từ tiến hành phân dạng, rõ ứng dụng dạng Trên sở tơi viết đề tài:" Phân loại dạng tốn ứng dụng Định lí Vi-ét chương trình tốn THCS" II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: Qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn trường THCS Trí Nang huyện Lang Chánh thân tơi nhận thấy: Những ứng dụng hệ thức Vi-ét học sinh THCS khó Những ứng dụng hệ thức Vi-ét như: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai trường hợp a + b + c = ; a - b + c = 0, trường hợp mà tổng tích hai nghiệm số nguyên với giá trị tuyệt đối khơng q lớn, tìm hai số biết tổng tích chúng,…, em thường gặp khó khăn việc tìm lời giải tốn này; có tốn em khơng biết đâu? Vận dụng kiến thức chương trình học? Làm để tìm giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện toán ấy? Với thực trạng sâu tìm hiểu nhận thấy nguyên nhân sau: *) Đối với giáo viên: - Khi dạy hệ thức Vi-ét, chương trình thời lượng khơng nhiều có tiết lí thuyết tiết luyện tập Thông thường giáo viên thực nhiệm vụ theo phân phối chương trình với nội dung SGK mà không đầu tư cho việc hệ thống, phân dạng tập ứng dụng hệ thức Vi-ét Bên cạnh tập thể SGK SBT số lượng không nhiều, chưa đề cập hết dạng cần thiết để học sinh có đủ kiến thức giải tập dạng đề thi vào THPT Do kết học tập học sinh dạng toán sử dụng hệ thức Vi-ét thường không cao - Giáo viên léo giảng dạy làm cho học sinh nhàm chán, thụ động máy móc vận dụng - Một số giáo viên chưa chủ động kiến thức, khả phân tích, khai thác tốn hạn chế - Giáo viên thiếu điều kiện thuận lợi, thiếu thời gian để phân tích, tìm tòi lời giải, hệ thống tốn giáo viên đưa dàn trải khơng mang tính đặc trưng *) Đối với học sinh: Trình độ nhận thức em chậm khơng đồng Đại đa số thụ động trước kiến thức giáo viên cung cấp không tự tìm tòi, tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nâng cao kiến thức Năm học 2015 - 2016 sau hoàn thành việc giảng dạy ơn tập tốn hệ thức Vi-ét chưa áp dụng sáng kiến, tiến hành kiểm tra khảo sát học sinh khối lớp với đề toán sau (thời gian làm 30 phút): Bài (3 điểm): Nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 2015x2 + x - 2016 = b) x2 + 10x + 21 = Bài (3 điểm): Tính tổng tích hai nghiệm phương trình: a) 25x2 + 10x + = b) x2 - 2x + m = Bài (4 điểm): Cho phương trình x2 - 6x + m = Tính giá trị m, biết phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 - x2 = Với ba toán đưa ra, kiểm tra kiến thức thấy số lượng em giải trọn vẹn hai chiếm ít, số em giải tốn nhiên em trình bày lời giải mắc nhiều sai lầm, ngộ nhận, thiếu sở dẫn chứng (bài 2, phần b) khơng tìm hướng làm Ngun nhân: - Không nắm hệ thức Vi-ét ứng dụng - Không biết làm để xuất mối liên hệ kiện cần tìm với yếu tố, điều kiện biết để giải tập Kết khảo sát khối lớp năm học 2015 – 2016 trường THCS Trí Nang cụ thể sau: Lớp Đối tượng Số học sinh - > điểm khảo sát SL % 25 23 92% Đối tượng - > điểm SL % 8% Đối tượng - > 10 điểm SL % 0% Qua kết tỉ lệ giỏi thấp, tỉ lệ trung bình nhiều Từ thực trạng vậy, dành nhiều thời gian để thử nghiệm áp dụng sáng kiến năm học 2016 - 2017, năm học 2017 - 2018 khẳng định kết đề tài III CÁC GIẢI PHÁP Đà SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: Trước giải tập cần yêu cầu học sinh học kĩ lí thuyết, nắm định lí Viét hệ định lí Vi-ét Muốn học sinh làm tập ứng dụng định lí Vi-ét giáo viên cần phải hệ thống, chia nhỏ thành dạng tập ứng dụng riêng, dạng học sinh học theo chuyên đề nhằm khắc sâu kiến thức, phương pháp kĩ làm Các dạng tập ứng dụng định lí Vi-ét đưa từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, phù hợp với trình độ học sinh, lôi học sinh hứng thú học tập Qua dạng cần cho học sinh tự nêu kiến thức kiến thức bản, kỹ cần rèn luyện dạng nhằm giúp em hiểu thành thạo kỹ làm Hệ thống kiến thức bản: * Định lý Vi-ét: Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) thì: b a c P = x1.x2 = a S = x1 +x2 = Lưu ý : Áp dụng hệ thức Vi-ét phương trình phải có nghiệm * Ứng dụng: + Nếu phương trình ax2 + bx + c =  a �0  có a + b + c = phương trình có c a + Nếu phương trình ax + bx + c =  a �0  có a - b + c = phương trình có c nghiệm x1  1 , nghiệm x2   a nghiệm x1  , nghiệm x2  + Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình x2 - Sx + P = Điều kiện để có hai số là: S  P �0 Phân loại dạng toán: 2.1 Dạng toán nhẩm nghiệm phương trình bậc hai biết hệ số a, b, c: a) Dạng: Phương trình bậc hai có hệ số đặc biệt thỏa mãn a +b +c = a - b+ c = *) Phương pháp: Bước 1: Xác định hệ số a, b, c Bước 2: Tính a + c so sánh với b - Nếu a + c = - b nhẩm a + b +c - Nếu a + c = b nhẩm a - b +c Bước 3: Kết luận nghiệm Cần lưu ý học sinh sai lầm xác định hệ số a,b,c phức tạp cách trình bày chưa hợp lí Ví dụ 1: Tính nhẩm nghiệm phương trình ( ?4/ SGK Tốn 9/Trang 52) a) - 5x + 3x + = ( ?4/ SGK Toán 9/Trang 54) b) 2004x2 + 2005x +1 = ( ?4/ SGK Toán 9/Trang 54) c) 3x  (1  ) x  0 (Bài 31/SGK Toán 9/trang 54) d) (m-1)x2 - (2m+3)x + m + = (Bài 31/SGK Tốn 9/trang 54) Học sinh thường có cách trình bày cách hiểu sai chẳng hạn : a) - 5x2 + 3x + = Nếu a + b + c = phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 =  Hoặc học sinh trình bày: a + b + c =  -5 + + = d) (m-1)x2 - (2m+3)x + m + = a = -1; b = 3; c =4 Và nhiều cách hiểu trình bày sai khác Do q trình giảng dạy giáo viên cần làm cho học sinh hiểu rõ chất kiến thức chỉnh sửa cách trình bày hợp lí cho học sinh Lời giải đúng: a) - 5x2 + 3x + = (a = - 5; b = 3; c = 2) Ta có: a + b + c =  5 + + = � phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 =  b) 2004x2 + 2005x +1 (a = 2004; b = 2005; c = 1) Ta có : a - b +c = 2004 - 2005 +1 = � phương trình có hai nghiệm là: x1 = -1 ; x  c) 3x -  -  x - = a    1 2004  3; b = - - ; c = - - -  �+  - 1  Ta có: a  b  c  3- � � � � � � phương trình có hai nghiệm là: x1  1 ; x2   �  � � 3� d)  m - 1 x -  2m + 3 x + m + = (Với m �1)  a   m - 1 ;b = -  2m + 3 ; c = m + 4 -  2m + 3 � Với m �1 ta có a + b + c =  m - 1  � � �+  m +  = � phương trình có hai nghiệm là: x1  ; x  m4 m b)Dạng: Phương trình bậc hai có a = 1; b = tổng hai số ; c = tích hai số ( nhẩm nghiệm nguyên đơn giản) Phương pháp: Nhẩm đầu tích hai nghiệm c mà tổng lại b + Nếu phương trình có dạng : x2 – (u+v)x + uv = phương trình có hai nghiệm u v + Nếu phương trình có dạng : x2 + (u+v)x + uv = phương trình có hai nghiệm - u - v Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm phương trình sau: a, x2 + 7x + 12 = b, x2 - 11x + 28 = Giải a, Ta có + = 3.4 = 12 nên phương trình có hai nghiệm x1 = 3; x2 = b, Ta có (- 4) + (- 7) = -11 (- 4).(- 7) = 28 nên phương trình có hai nghiệm x1 = - 4; x2 = - Sau tính nghiệm phương trình xong tơi u cầu em sử dụng máy tính bỏ túi Casio giải phương trình để kiểm tra nghiệm vừa tìm phần a b Lưu ý học sinh: - Khi giải phương trình bậc hai ta cần ý vận dụng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm phương trình Nếu khơng tính nhẩm nghiệm phương trình ta dùng công thức nghiệm để giải - Việc vận dụng hệ hệ thức Vi-ét tính tốn cho phép tính nhanh chóng nghiệm phương trình Bài tập tương tự: Hãy tìm nhanh nghiệm phương trình sau: a/ 35x2 - 37x + = b/ x2 - 49x - 50 = c/ x2 – 12x + 35 = d/ x2 + 10x + 21 = 2.2 Dạng tốn: Tìm giá trị tham số biết nghiệm phương trình cho tìm nghiệm lại * Phương pháp: + Cách 1: Thay giá trị nghiệm biết vào phương trình để tìm tham số, sau kết hợp với hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm lại + Cách 2: Thay giá trị nghiệm biết vào hai hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm lại, sau kết hợp với hệ thức Vi-ét lại để tìm giá trị tham số Ví dụ 3: Cho phương trình 2x2 - mx + = (m tham số) Biết phương trình có nghiệm Tìm m tìm nghiệm lại Giải: Cách 1: Thay x = vào phương trình ta m = x1x2 = 13 Theo hệ thức Vi-ét ta có 5 mà x1= nên x2 = Cách 2: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét ta có 5 mà x1 = nên x2 = 13 m m Mặt khác x1+ x2 =  =2+  m= 2 x1 x2 = Bài tập tương tự: a/ Phương trình x2 + 5x + q = có nghiệm x1 = 5, tìm q nghiệm b/ Phương trình x2 – 7x + q = có hiệu hai nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình c/ Tìm q hai nghiệm phương trình : x –qx +50 = 0, biết phương trình có hai nghiệm nghiệm lần nghiệm 2.3 Lập phương trình bậc hai *) Phương pháp: Bước 1: Sử dụng hệ thức Vi - ét tính S = x1 + x2 ; P = x1.x2 Bước 2: Lập phương trình dạng: x2 – Sx + P = a) Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1, x2 Ví dụ 4: Cho x1= 3; x2= Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm Giải: �S  x1  x2  �P  x1.x2  Theo hệ thức Vi-ét, ta có: � Vậy x1; x2 nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = � x2 – 5x + = b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trìnhcho trước Ví dụ 5: Cho phương trình x2 – 3x + = có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: y1  x2  1 y2  x1  x1 x2 Giải: Theo hệ thức Vi-ét, �1 � 1 x x  x1    x1  x2   �  �  x1  x2      x1 x2 x1 x2 �x1 x2 � � �� � 1 P  y1 y2  �x2  � �x1  � x1 x2      1 1  x1 x2 2 � x1 �� x2 � ta có: S  y1  y2  x2  Vậy phương trình cần lập có dạng: y  Sy  P  hay y  9 y   � y2  y   2 Bài tập áp dụng: 1/ Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm: a/ x1= x2= - b/ x1= 3a x2= a c/ x1= 36 x2= - 104 d/ x1= 1+ x2= - 2/ Cho phương trình 3x2 + 5x - = có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: y1  x1  1 y2  x2  x2 x1 3/ Cho phương trình: x2 - 5x - = có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: y1  x14 y2  x2 2.4 Dạng tốn: Tìm hai số biết tổng tích chúng * Phương pháp: Bước 1: Sử dụng định lí Vi - ét lập phương trình bậc hai dạng x2 – Sx + P = Bước 2: Giải phương trình bậc hai với đk: S2 - 4P ≥ Ví dụ 6: Tìm số biết tổng chúng 27 tích chúng 180 Giải: �x1  x2  27 �x1.x2  180 Ta có : � => x1 x2 nghiệm phương trình bậc hai x - 27x + 180 =  = 27 - 4.1.180 = 729 - 720 = > � � phương trình có nghiệm   3 27  x1   15 ; x2  27   12 Vậy hai số cần tìm 15 12 * Khai thác ví dụ tơi nêu ví dụ sau: Tìm cạnh hình chữ nhật có chu vi 20 cm diện tích 32cm2 Hướng dẫn cách giải: - Bài tốn cho biết ? cần tìm gì? - Nếu gọi cạnh hình chữ nhật a b ta có điều gì? - a b nghiệm phương trình bậc hai nào? Với gợi ý tơi cho em thảo luận phút đại diện em trình bày lời giải Giải: Gọi cạnh hình chữ nhật a b (0 < a,b < 10) �2  a  b   20 �a  b  10 � � �a.b  32 �a.b  32 ta có: � Nên a b nghiệm phương trình bậc hai: x - 10x + 32 = Ta có:  '   5   1.32  7  � phương trình vơ nghiệm Vậy khơng tồn hình chữ nhật có chu vi 20 cm diện tích 32 cm2 2.5 Dạng tốn: Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình *) Phương pháp: Bước 1: Xét điều kiện phương trình bậc hai có nghiệm (∆ ≥ ∆’ ≥ 0) Bước 2: Biến đổi biểu thức dạng chứa tổng tích hai nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét ta tính giá trị biểu thức chứa nghiệm Cách biến đổi số biểu thức thường gặp: x1  x2  ( x12  x1 x2  x2 )  x1 x2  ( x1  x2 )  x1 x2 x13  x23  ( x1  x2 )( x12  x1 x2  x22 )  ( x1  x2 ) � ( x1  x2 )  x1 x2 � � � x14  x2  ( x12 )  ( x2 )  ( x12  x2 )  x12 x2  [( x1  x2 )  x1 x2 ]  x12 x2 1 x  x2   x1 x2 x1 x2 Ví dụ 7: Cho phương trình x  x   x1 ; x2 hai nghiệm phương trình Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức sau: a) x1  x2 ; x1.x2 b) x13  x23 Giải: a) Ta có:    7   4.2.4  49  32  17  � Phương trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 áp dụng đinh lí Vi – ét ta có: � �x1  x2  � � �x1.x2  2 2 b) Ta có: x13  x23 =  x1  3x1 x1  3x1 x2  x2    3x1 x1  3x1 x2  10 =  x1  x2   3x1 x2  x1  x2  3 Vậy �7 � �7 � 343  42  343  168  175 = � � 3.2 � � = 8 �2 � �2 � 175 x13  x23 = Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Khơng giải phương trình, tính: a/  x12  x2  x1 x2 b/ x  x 2/ Cho phương trình: x2 - 3x + m = 0, với m tham số, có nghiệm x 1, x2 (x1> x2 ) Tính giá trị biểu thức : A  x13 x2  x1 x23 theo m 2.6 Dạng tốn: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số *) Phương pháp: Bước 1: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm x x2 (thường a ≠ ≥ 0) Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 P = x1 x2 theo tham số Bước 3: Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x x2 Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 Ví dụ : Cho phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - = có nghiệm x1 x2 Lập hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 x2 phương trình cho chúng khơng phụ thuộc vào m Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: m �1 � m �1 � m  �0 � �m �1 � � ��2 �� �� �  ' �0 5m  �0 m   m  1  m   �0 m� � � � � � 2m � � S  x1  x2  S  x1  x2   (1) � � � � m 1 m 1 �� Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: � �P  x x  m  �P  x x   (2) 2 � � m 1 m 1 2 Rút m từ (1), ta có: m   x1  x2  � m   x  x  (3) 3 Rút m từ (2), ta có: m    x1 x2 � m    x x (4) Từ (3) (4), ta có:  �   x1 x2    x1  x2   �  x1  x2   x1 x2   x1  x2   x1 x2 11 Ví dụ : Gọi x1 x2 nghiệm phương trình: (m - 1)x – 2mx + m - = chứng minh biểu thức A = 3(x + x2 ) + x1 x2 - không phụ thuộc giá trị m Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: m �1 � m �1 � m  �0 m �1 � � � � ��2 �� �� �  ' �0 5m  �0 m   m  1  m   �0 m� � � � � � 2m � S  x1  x2  � � m 1 Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: � �P  x x  m  m 1 � Thay vào biểu thức A, ta có: 2m m4 6m  2m   8( m  1)  8   0 m 1 m 1 m 1 m 1 Vậy A = với m �1 m � A = 3(x1 + x2 ) + x1 x2 – = Do biểu thức A không phụ thuộc giá trị m Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 có nghiệm x x2 Hãy lập hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 x2 phương trình cho x1 x2 độc lập m 2/ Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) =0 có nghiệm x x2 Hãy tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 x2 phương trình cho x1 x2 khơng phụ thuộc giá trị m 2.7 Dạng tốn: Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm *) Phương pháp: Bước 1: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm x x2 (thường a ≠ ≥ ∆’≥ 0) Bước 2: Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình (có ẩn tham số) Bước 3: Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ 10 : Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1  x2  x1 x2 Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì:  m 0     ' 0  m 0     '  3(m  1)  9m(m  3) 0  m 0   m  6(m  1) � S  x1  x2  � � m Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: � 9( m  3) �P  x x  � m Ta có: x1  x2  x1 x2 (giả thiết) 12 Nên 6(m  1) 9(m  3)  � 6(m  1)  9(m  3) � 3m  21 � m  ( thỏa mãn) m m Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x x2 thỏa mãn hệ thức: x1  x2  x1 x2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình: mx2 +2 (m - 4)x + m + =0 Tìm m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1  x2  2/ Cho phương trình: x2 + (m - 1)x + 5m - =0 Tìm m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1  3x2  3/ Cho phương trình: 3x2 - (3m - 2)x – (3m + 1) = Tìm m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1  x2  2.8 Dạng toán: Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai *) Phương pháp: Dựa vào quan hệ dấu tổng tích hai số với dấu hai số đó, kết hợp với hệ thức Vi-ét ta xét dấu hai nghiệm tìm điều kiện tham số để hai nghiệm thoả mãn điều kiện dấu Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm thoả mãn: a) P < hai nghiệm trái dấu b) P > S > hai nghiệm dương c) P > S < hai nghiệm âm Chú ý:  < khơng cần xét dấu nghiệm phương trình phương trình vơ nghiệm Khi P < kết luận phương trình có hai nghiệm trái dấu  > Khi P > ta phải xét đến hai yếu tố lại  S Ví dụ 11 : Khơng giải phương trình xét dấu nghiệm phương trình sau: a) x2 - x + = b) x2 + 5x - = c) x2 - x + =0 Giải: a) Ta có  '= -1 < nên phương trình vơ nghiệm b) Ta có P < nên phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Ta có ' = 2; S = > 0; P = > nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Ví dụ 12: Tìm điều kiện m để phương trình sau: 2x2 + (2m - 1)x + m - = a) Có hai nghiệm khác dấu b) Có hai nghiệm phân biệt âm c) Có hai nghiệm phân biệt dương d) Có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu Giải: a) Phương trình có hai nghiệm khác dấu: P < hay m - <  m < b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm khi: 13 �  � 2m  3   �m  � � � � �S  � �  2m  � � m� �P  � m 1  � � � � c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương khi: � �   2m  3  � � �S  � �  2m  � giá trị m thoả mãn �P  � m 1  � � d) Phương trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu hay phương trình có hai nghiệm đối Phương trình có hai nghiệm đối khi: � �0 � �S   - 2m =  m= Bài tập áp dụng: 1/ Khơng giải phương trình xét dấu nghiệm phương trình sau: a) x2 - 3x + = b) 2x2 - x + = 2/ Xác định tham số m cho phương trình: mx – 2(m + 2) x + 3(m - 2) = có nghiệm dấu 3/ Xác định tham số m cho phương trình: 3mx + 2(2m + 1) x + m = có nghiệm âm 4/ Xác định tham số m cho phương trình: (m - 1)x +2x + m = có nghiệm khơng âm 2.9 Dạng tốn: Giải hệ phương trình đối xứng *) Phương pháp: +) Biểu diễn phương trình qua x  y ; xy +) Đặt S  x  y ; P  xy ta hệ phương trình chứa ẩn S P +) Giải hệ phương trình tìm S P +) Các số x y nghiệm phương trình t  St  P  (Vận dụng hệ thức Vi – ét đảo- Tìm số biết tổng tích chúng) (Hệ cho có nghiệm hệ phương trình theo S P có nghiệm thỏa mãn S2  P �0 ) �x  a �x  b có nghiệm � �y  b �y  a Chú ý: Nếu hệ đối xứng loại I có nghiệm � Ví dụ 13: Giải hệ phương trình  x  y 11  x  y  yx 7 a)  b)  2  xy 31  xy  x y 12 Giải a) x,y nghiệm phương trình: X2 - 11X +31 = =(-11)2 - 4.1.31 = 121 – 124 = - < Phương trình vơ nghiệm Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm b) Đặt x + y = S xy = P 14  S  P 7  S.P12 Ta có :  Khi S P hai nghiệm phương trình: t2 – 7t + 12 = Giải phương trình t = t = + Nếu S = P = x, y nghiệm phương trình: u2 - 4u + =  u = u = Suy (x = 1; y = 3) (x = 3; y = 1) + Nếu S = P = x, y nghiệm phương trình: v2 – 3v + = Phương trình vơ nghiệm  = - 16 = - < Vậy hệ cho có hai nghiệm số là: (x = 1; y = 3) (x = 3; y =1) Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình : �  x  y   xy  19 � a) �  x  y   3xy  35 � �x y  18 �  c) �y x �x  y  12 � �x  xy  y  b) � �x  y  3 � �x  y  d) �  x  y  xy  2 � 2.10 Dạng toán : Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức nghiệm *) Phương pháp : +Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm + Biến đổi biểu thức dạng chứa tổng tích hai nghiệm, từ vận dụng hệ thức Vi-ét đưa biểu thức dạng chứa tham số Từ sử dụng phương pháp tìm cực trị ta giải tốn (chú ý điều kiện có nghiệm) Ví dụ 14: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: x2 - (2m - 1)x + m – = Tìm m để x12  x22 có giá trị nhỏ Giải Xét:  = 4m2 - 4m + - 4m + = 4m2 - 8m + = 4(m - 1)2 + > Nên phương trình cho có hai nghiệm với m Theo định lý Viét ta có: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m -  x12  x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (2m - 1)2 - 2(m - 2) 11 11 ) +  4 Dấu “=” xảy m = 11 Vậy Min(x12 + x22) = m = 4 = 4m2 - 6m + = (2m - Ví dụ 15: Gọi x1; x2 nghiệm phương trình: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = Tìm giá trị lớn biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2 Giải 15 Để phương trình cho có nghiệm thì: ' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5)   -  m  - (*) Khi theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = - m - m  4m  m  8m  Do đó: A =   x1 x2 = Ta có: m2 + 8m + = (m + 1)(m + 7) với điều kiện (*) thì: (m + 1)(m + 7)  Suy ra: A =  m  8m   (m  4) =  2 Dấu xảy (m + 4)2 = hay m = - Vậy A đạt giá trị lớn là: m = - 4, giá trị thoả mãn điều kiện (*) Bài tập tương tự: Bài 1: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2(m - 2)x - 2m + = Tìm m để x12+x22 có giá trị nhỏ Bài 2: Cho phương trình: x2 - m + (m - 2)2 = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bài 3: Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = (m tham số) Tìm m cho nghiệm x1; x2 phương trình thoả mãn 10x 1x2 + x12+x22đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị IV HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trên nội dung đề tài: " Phân loại dạng toán ứng dụng Định lí Vi-ét chương trình tốn THCS" mà tơi hệ thống q trình dạy cho học sinh lớp ơn thi học kì, ơn thi vào THPT vào trường chuyên, lớp chọn Bằng cách hệ thống rõ thành dạng: Dạng 1: Nhẩm nghiệm phương trình Dạng 2:Tìm giá trị tham số biết nghiệm phương trình cho tìm nghiệm lại Dạng 3:Lập phương trình bậc hai Dạng 4: Tìm hai số biết tổng tích chúng Dạng 5: Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số Dạng 7: Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm Dạng 8: Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai Dạng 9: Giải hệ phương trình đối xứng Dạng 10: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm 16 Tôi vận dụng phần sau tiết học lý thuyết tiết luyện tập hệ thức Vi-ét để học sinh củng cố khắc sâu thêm, đồng thời rèn luyện cho em kỹ trình bày gặp dạng Trong thời gian ôn thi, em hệ thống lại cách hoàn chỉnh theo dạng trên, đặc biệt ý cho học sinh nhận dạng nêu phương pháp giải dạng Vì thế, việc làm tốn có áp dụng hệ thức Vi-ét em gặp kỳ thi thi học kì, thi khảo sát vào THPT hay trường chun lớp chọn khơng khó khăn Các em hứng thú, say sưa học chuyên đề hệ thức Vi-ét ứng dụng Với việc áp dụng đề tài nêu trên, chất lượng mơn tốn lớp tơi dạy có tiến vượt bậc so với thời điểm chưa áp dụng sáng kiến Cụ thể: Các đề kiểm tra có phần tập hệ thức Vi-ét em làm tốt Tôi cho em làm kiểm tra với đề kiểm tra năm học 2015 – 2016 kết thu năm học 2016 – 2017, năm học 2017 – 2018 trường THCS Trí Nang sau: Lớp Năm học 9 2016 - 2017 2017 – 2018 Số HS khảo sát 25 21 Đối tượng - > điểm SL % 36% 28,57% Đối tượng Đối tượng - > điểm - > 10 điểm SL % SL % 12 48% 16% 11 52,38% 19,05% Không áp dụng sáng kiến vào trình giảng dạy cá nhân mà tơi chia sẻ cho đồng nghiệp trường Kết quả: bạn đồng nghiệp phản ánh đề tài nêu giáo viên tích lũy thêm kiến thức cho thân, hiệu tiết dạy nhẹ nhàng hơn, học sinh tích cực học tập sơi nổi, biết vận dụng tốt hệ thức Vi-ét vào giải toán học sinh yếu nắm kiến thức Chất lượng học học sinh nâng lên rõ rệt 17 C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I KẾT LUẬN Các dạng tốn ứng dụng định lí Vi-ét thường gặp chương trình tốn 9, bồi dưỡng học sinh giỏi THCS, thi vào 10 THPT Nếu dừng lại yêu cầu sách giáo khoa chưa đủ, đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo thường xun bổ sung kiến thức tích luỹ kinh nghiệm đề tài Để dạy học cho học sinh hiểu vận dụng tốt phương pháp giải toán liên quan đến phương trình bậc hai, định lí Vi - ét thân giáo viên phải phân dạng tốn liên quan đến định lí Vi-ét phương pháp giải cụ thể dạng toán, xếp phân loại tập theo trình tự lơgíc từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp Giáo viên cần khái quát cách giải dạng tập vận dụng linh hoạt phương pháp dạy học hình thức tổ chức dạy học phù hợp cho hiệu Cần đầu tư thời gian, với tìm tòi lựa chọn xây dựng hệ thống toán, phân dạng tập, xây dựng cách giải tổng quát trình giảng dạy rèn luyện kĩ vận dụng, trình bày lời giải Xây dựng cho em niềm đam mê, hứng thú học tập, phát huy tính tích cực chủ động em q trình học tập Từ giúp em thêm u thích mơn Tốn Đồng thời giáo viên cần tơn trọng suy nghĩ, ý kiến sáng tạo em Cần thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy kết hợp nhần nhuyễn, logíc toán khác Qua việc nghiên cứu đề tài: " Phân loại dạng tốn ứng dụng Định lí Vi-ét chương trình tốn THCS" bên cạnh việc giúp cho thân nâng cao kiến thức, nâng cao nghiệp vụ, phù đạo học sinh yếu kém, bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả, ngồi giúp thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu II KIẾN NGHỊ *) Đối với sở phòng giáo dục - Thường xuyên tổ chức lớp tập huấn, lớp bồi dưỡng chuyên môn cho giáo viên tham gia, giao lưu trao đổi vấn đề trăn trở công tác giảng dạy - Tạo sân chơi thi tìm hiểu mơn tốn, kiến thức tốn, bổ ích thu hút giáo viên học sinh để việc dạy học khơng nhàm chán, lý thuyết gắn liền với thực tiễn *) Đối với nhà trường - Chỉ đạo theo dõi chặt chẽ công tác bồi dưỡng học sinh, thực tốt vấn đề giáo dục ý thức đạo đức, ý thức học tập học sinh, quan tâm, đầu tư đến đề tài đươc ứng dụng công tác giảng dạy *) Đối với giáo viên - Giáo viên cần tâm huyết với nghề, tiết dạy cần tránh tạo khơng khí ngột ngạt cho học sinh, giúp em vận dụng linh hoạt nội dung kiến thức vào cho phù hợp để đạt hiệu tốt 18 - Khi giảng dạy đề tài cho học sinh, thầy cô cần nghiên cứu kỹ để vận dụng phù hợp với đối tượng học sinh mình, chia nhỏ tập để gợi ý cho học sinh - Trong việc dạy học mơn tốn, người thầy “ Phải nghiên cứu kỹ mục tiêu dạng toán cần truyền tải đến học sinh ” Qua nghiên cứu kỹ tài liệu liên quan, có định hướng rõ ràng, thảo luận tổ chn mơn trao đổi đồng nghiệp tìm giải pháp tối ưu triển khia, rút kinh nghiệm qua cụ thể, bổ sung kiến thức qua tài liệu *) Đối với quan quản lý giáo dục Đầu tư quan tâm đến sở vật chất nhà trường, xã khuyến khích động viên phong trào học tập học sinh Với kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều nên đề tài không tránh khỏi hạn chế định Rất mong góp ý chân thành từ quý thầy cô, đồng nghiệp! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 02 tháng 04 năm 2018 CAM KẾT KHÔNG COPY (Ký ghi rõ họ tên) Mai Thị Thảo 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO: 1) Sách giáo khoa Toán tập - NXB giáo dục 2) Sách ơn tập Tốn - NXB giáo dục 3) Sách tập Toán - NXB giáo dục 4) Kiến thức nâng cao Toán - NXB Hà Nội 5) Luyện giải ôn tập Toán - NXB giáo dục 6) Toán nâng cao chuyên đề Đại số - NXB giáo dục 7) Bài tập trắc nghiệm đề kiểm tra Toán - NXB giáo dục 8) 500 toán chọn lọc lớp - NXB đại học sư phạm 9) Ôn tập thi vào lớp 10 mơn Tốn - NXB giáo dục 10) Ơn tập thi vào lớp 10 - NXB đại học quốc gia Hà Nội 11) Tuyển chọn đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chun - mơn Tốn - NXB Hà Nội 12) Toán bồi dưỡng học sinh - Đại số - NXB giáo dục 13) Các toán đại số hay khó - NXB giáo dục 14) 50 đề Toán - NXB giáo dục 15) Bộ đề toán luyện thi vào lớp 10 - NXB giáo dục 16) Toán luyện thi lớp - NXB giáo dục 20 ... thức Vi- ét tơi tiến hành tìm tòi nghiêm cứu, tập hợp toán hệ thức Vi- ét từ tiến hành phân dạng, rõ ứng dụng dạng Trên sở tơi vi t đề tài:" Phân loại dạng toán ứng dụng Định lí Vi- ét chương trình. .. thể, biết nhận dạng dạng toán liên quan hệ thức Vi- ét, biết cách giải hạn chế sai lầm trình bày tốn, tơi chọn đề tài: " Phân loại dạng tốn ứng dụng Định lí Vi- ét chương trình tốn THCS" với mục... học kĩ lí thuyết, nắm định lí Vi t hệ định lí Vi- ét Muốn học sinh làm tập ứng dụng định lí Vi- ét giáo vi n cần phải hệ thống, chia nhỏ thành dạng tập ứng dụng riêng, dạng học sinh học theo chuyên