Bài toán đếm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ ANH ĐÀO BÀI TỐN ĐẾM KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ ANH ĐÀO BÀI TỐN ĐẾM Chun ngành: Đại số KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC ThS: ĐỖ VĂN KIÊN Hà Nội – Năm 2018 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Anh Đào Lời cảm ơn Sau thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy cô giáo bạn sinh viên Đến nay, Khóa luận tơi hồn thành Tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc chân thành tới thầy cô giáo tổ đại Số (Khoa Tốn), thầy khoa Tốn đặc biệt thầy giáo - Thạc Sĩ Đỗ Văn Kiên người trực tiếp tạo điều kiện giúp đỡ, bảo tận tình cho tơi suốt thời gian nghiên cứu hồn thành khóa luận Do hạn chế thời gian kiến thức thân nên khóa luận tơi khơng thể tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận góp ý từ thầy cô bạn sinh viên Cuối xin cảm ơn gia đình, bạn bè ln bên cạnh, ủng hộ động viên tinh thần để hồn thành tốt khóa luận này! Hà Nội, ngày 17 tháng năm 2018 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Anh Đào i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Anh Đào Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp "Bài tốn đếm" hồn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy giáo - Thạc Sĩ Đỗ Văn Kiên Trong trình thực tham khảo số tài liệu viết phần tài liệu tham khảo Vì vậy, tơi xin cam đoan kết khóa luận trung thực không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, ngày 17 tháng năm 2018 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Anh Đào Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức tập hợp 1.1 Ánh xạ 1.2 Tập hợp hữu hạn 1.3 Các phép toán tập hợp 1.4 Chỉnh hợp, tổ hợp, hoán vị phần tử 11 1.4.1 Chỉnh hợp 11 1.4.2 Tổ hợp 13 1.4.3 Hoán vị 15 Bài toán đếm 2.1 2.2 17 Cơ sở phép đếm 17 2.1.1 Nguyên lí cộng (quy tắc cộng) 17 2.1.2 Nguyên lí nhân (quy tắc nhân) 19 Một số toán đếm mở rộng 21 2.2.1 Chỉnh hợp lặp 22 2.2.2 Tổ hợp lặp 23 2.2.3 Hốn vị tập hợp có phần tử giống 24 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.3 Nguyễn Thị Anh Đào Một số nguyên lí tốn đếm 25 2.3.1 Nguyên lí bù trừ 25 2.3.2 Nguyên lí Dirichlet 29 2.3.3 Hệ thức truy hồi 34 Bài tập áp dụng 44 3.1 Bài tập áp dụng nguyên lí cộng, nguyên lí nhân 44 3.2 Bài tập áp dụng nguyên lí bù trừ nguyên lí Dirichlet 45 3.3 Bài tập áp dụng hệ thức truy hồi 46 KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Anh Đào MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán tổ hợp lĩnh vực toán học nghiên cứu từ sớm ngày quan tâm nhờ vai trò quan trọng nội toán học ngành khoa học khác Đặc biệt, phần quan trọng toán học rời rạc chuyên nghiên cứu phân bố phần tử vào tập hợp Thông thường phần tử hữu hạn việc phân bố chúng phải thỏa mãn điều kiện định Liệt kê, đếm đối tượng có tính chất phần quan trọng lí thuyết tổ hợp Đếm đối tượng để giải nhiều toán khác Một vấn đề việc nghiên cứu tổ hợp đếm xem có cấu hình tổ hợp tạo với quy tắc nêu? Những toán gọi "bài toán đếm tổ hợp" Để đếm cấu hình cho, người ta tìm cách đưa cấu hình quen thuộc Nhiều toán đếm phân thành toán đếm nhỏ cách chia việc đếm thành lớp để áp dụng nguyên lý cộng phân tích cấu hình cần đếm việc ghép số cấu hình khác để áp dụng nguyên lý nhân Với lý chọn đề tài để nghiên cứu luận văn Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Anh Đào Mục đích nghiên cứu Q trình nghiên cứu thực đề tài giúp bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học có hội tìm hiểu sâu đại số, đặc biệt toán tổ hợp cụ thể tốn đếm Từ biết nhiều ứng dụng toán tổ hợp vào thực tiễn vào ngành khoa học khác Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu lý thuyết tổ hợp, ngun lý tốn có liên quan Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu giáo trình, sách tham khảo tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu Cấu trúc khóa luận Khóa luận chia làm chương • Chương 1: Kiến thức tổ hợp Trong Chương 1, chúng tơi trình bày số kiến thức sở tổ hợp là: Ánh xạ, tập hợp hữu hạn, phép tốn tích Đề-các tập hợp toán đếm học Các kiến Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Anh Đào thức phục vụ cho việc chứng minh mệnh đề định lý chương sau • Chương 2: Bài tốn đếm Trong Chương 2, chúng tơi đưa sở phép đếm, vài toán đếm mở rộng, nguyên lý Dirichlet ứng dụng với ví dụ minh họa Đồng thời nêu lên số kiến thức nói tổ hợp hệ thức truy hồi quan hệ chia để trị Dựa kiến thức này, vận dụng để giải tập chương sau • Chương 3: Bài tập áp dụng Trong Chương 3, chúng tơi trình bày dạng tập liên quan nhằm củng cố lại kiến thức nêu Chương Kiến thức tập hợp Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức ánh xạ, tổ hợp, phục vụ cho việc nghiên cứu toán đếm tổ hợp chương sau 1.1 Ánh xạ Định nghĩa 1.1.1 Cho hai tập hợp khác rỗng X Y Gọi f ánh xạ từ tập X đến tập Y quy tắc từ tập X đến tập Y cho x ∈ X có phần tử y ∈ Y tương ứng, thường ký hiệu f : X → Y x gọi tạo ảnh y qua ánh xạ f y gọi ảnh x qua ánh xạ f viết y = f (x) X gọi tập xác định tập nguồn ánh xạ f Y gọi tập giá trị hay tập đích ánh xạ f Định nghĩa 1.1.2 Ánh xạ f : X → Y gọi đơn ánh ... quy tắc nêu? Những toán gọi "bài tốn đếm tổ hợp" Để đếm cấu hình cho, người ta tìm cách đưa cấu hình quen thuộc Nhiều tốn đếm phân thành toán đếm nhỏ cách chia việc đếm thành lớp để áp dụng nguyên... 15 Bài toán đếm 2.1 2.2 17 Cơ sở phép đếm 17 2.1.1 Nguyên lí cộng (quy tắc cộng) 17 2.1.2 Nguyên lí nhân (quy tắc nhân) 19 Một số toán đếm mở rộng...T LUẬN Khóa luận nghiên cứu "Bài tốn đếm" gồm nội dung sau: (1) Trình bày khái niệm số tính chất ánh xạ, tập hợp kiến thức liên quan đến tổ hợp (2) Đưa sở toán đếm số toán đếm mở rộng (3) Nêu lê