bài toán nội suy và những kết quả của bài toán nội suy

Lời nói đầu 2 Mục lục Trang Lời nói đầu 4 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Hàm điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Hàm trội điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4 Không gian H p , lớp Nevanlinna và lớp Smirnov . . . . . . . . . 26 Chương 2. Bài toán nội suy cho lớp Nevanlinna và lớp Smirnov 35 2.1 Bài toán nội suy cho lớp Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Bài toán nội suy cho lớp Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3 Những tiêu chuẩn hình học của bài toán nội suy . . . . . . . . 60 Chương 3. Bài toán nội suy trên hình cầu đơn vị 66 3.1 Tự đẳng cấu của hình cầu đơn vị . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2 Hàm đa điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.3 Bài toán nội suy trên hình cầu đơn vị . . . . . . . . . . . . . . 68 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 3 Lời nói đầu Cho Λ là một dãy điểm rời rạc trong đĩa đơn vị và X không gian các hàm chỉnh hình trên . Ta xét bài toán miêu tả không gian vết của X trên Λ, tức là tập hạn chế X|Λ = {f(λ) : f ∈ X, λ ∈ Λ}, được gọi là bài toán nội suy. Có hai hướng tiếp cận bài toán nội suy: hướng thứ nhất là cố định không gian đích l và tìm điều kiện sao cho X|Λ = l; hướng tiếp cận thứ hai, được gọi là nội suy tự do, đòi hỏi X|Λ là ideal, tức là ổn định dưới phép nhân trong l ∞ . Trong trường hợp X = H ∞ là không gian các hàm chỉnh hình bị chặn trên thì các hướng tiếp cận trên là trùng nhau. Tuy nhiên trên lớp Nevanlinna N = {f ∈ Hol( ) : lim r→1 1 2π 2π  0 log + |f(re iθ )|dθ < +∞}, và lớp Smirnov N + = {f ∈ N : lim r→1 1 2π 2π  0 log + |f(re iθ )|dθ = 1 2π 2π  0 log + |f(e iθ )|dθ}, các khái niệm trên là khác nhau. Việc miêu tả vết của các lớp hàm này đã thu được những kết quả nhất định. Dựa vào kết quả: nếu f ∈ N thì sup z (1 − |z|) log + |f(z)| < ∞, Naftalevic[6] đã miêu tả được các dãy Λ nằm trong hợp hữu hạn của các góc Stolz mà không gian vết đối với lớp Nevanlinna trùng với không gian dãy l Na := {(a λ ) λ : sup λ (1 − |λ|) log + |a λ | < ∞}. Kết quả trên vẫn còn hạn chế vì phải giả thiết Λ nằm trong hợp hữu hạn các góc Stolz, trong khi nếu Λ là dãy Carleson, tức là dãy thỏa mãn H ∞ |Λ = l ∞ , có thể chứa dãy con hội tụ tiếp xúc tới biên. Như vậy không gian đích l Na là "quá lớn". Đối với lớp Smirnov, Yanagihara[11] đã chứng minh được rằng để N + |Λ chứa không gian l Y a := {(a λ ) λ :  λ (1 − |λ|) log + |a λ | < ∞}, điều kiện đủ là Λ là dãy Carleson. Tuy nhiên có những dãy Carleson sao cho N + |Λ không thuộc trong l Y a , và theo nghĩa này không gian đích l Y a là "quá nhỏ". Lời nói đầu 5 Gần đây, A.Hartmann, X.Massaneda, A.Nicolau và P.Thomas [5] đã đưa ra những đặc trưng của dãy nội suy cho lớp Nevanlinna và lớp Smirnov dựa vào hàm trội điều hòa và hàm trội điều hòa tựa chặn. Trong đó, hàm trội điều hòa và hàm trội điều hòa tựa chặn không những xác định được không gian vết của các dãy nội suy tự do của các lớp hàm trên mà còn quyết định những dãy điểm nào trong đĩa đơn vị là nội suy tự do. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày lại những kết quả trong bài báo trên và đưa ra một mở rộng tương ứng về đặc trưng của dãy nội suy cho lớp Nevanlinna lên hình cầu đơn vị, đó là kết quả mới của luận văn. Luận văn được chia làm ba chương Chương 1: dành để trình bày những kiến thức chuẩn bị về hàm điều hòa, hàm điều hòa dưới, hàm trội điều hòa, lớp Nevanlinna và lớp Smirnov. Cấu trúc của hàm thuộc lớp Nevanlinna và lớp Smirnov được phát biểu và chứng minh trong định lý phân tích Riesz-Smirnov. Chương 2: trình bày những kết quả quan trọng nhất về đặc trưng của dãy nội suy tự do cho lớp Nevanlinna và lớp Smirnov dựa trên hàm trội điều hòa và hàm trội điều hòa tựa chặn. Chương 3: trình bày đặc trưng của dãy nội suy cho lớp N( n ) trong hình cầu đơn vị n . Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của T.S Nguyễn Văn Trào. Chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy. Chúng tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy phản biện đã đọc bản thảo của luận văn và chỉ dẫn cho chúng tôi nhiều ý kiến quý báu. Nhân đây chúng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới bạn Dương Ngọc Sơn đã giúp đỡ chúng tôi rất nhiều trong quá trình làm luận văn, gửi lời cảm ơn tới gia đình và đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi để chúng tôi hoàn thành tốt luận văn của mình. Vì thời gian và trình độ có hạn, luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi hy vọng sẽ nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn. Hà Nội, ngày 01 tháng 11 năm 2006 Học viên Nguyễn Thị Nhung Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương 1 dành để trình bày những kiến thức sẽ được sử dụng ở các chương sau về: hàm điều hòa, hàm điều hòa dưới, hàm trội điều hòa, lớp Nevanlinna và lớp Smirnov. Các định lý của hàm điều hòa, hàm điều hòa dưới hay hàm trội điều hòa dùng để nghiên cứu những tính chất của hai lớp hàm chính của luận văn là lớp Nevanlinna và lớp Smirnov. Trong đó, cấu trúc của hai lớp hàm này được thể hiện qua định lý quan trọng nhất của chương: định lý phân tích Riesz - Smirnov. 1.1 Hàm điều hòa Định nghĩa 1.1.1 Cho U là một tập mở của . Hàm h : U −→ được gọi là hàm điều hòa nếu nó có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục và thỏa mãn điều kiện ∆h := ∂ 2 h ∂x 2 + ∂ 2 h ∂y 2 = 0. Ký hiệu, Har(U) là tập các hàm điều hòa trên U. Har + (U) là tập các hàm điều hòa dương trên U. Định lý 1.1.2 Cho Ω là một miền trong . Khi đó a. Nếu f là hàm chỉnh hình trên Ω và h = ref thì h là hàm điều hòa trên Ω. b. Nếu h là hàm điều hòa trên miền đơn liên Ω thì h là phần thực của một hàm chỉnh hình f trên Ω. 6 1.1. Hàm điều hòa 7 Chứng minh: a. Đặt f = h + ik, theo điều kiện Cauchy-Riemann, ta có ∂h ∂x = ∂k ∂y và ∂h ∂y = − ∂k ∂x . Do đó ∆h = ∂ 2 h ∂x 2 + ∂ 2 h ∂y 2 = ∂ 2 k ∂y∂x − ∂ 2 k ∂x∂y = 0. b. Nếu h = R ef với f là hàm chỉnh hình thì f = h + ik, khi đó f ′ = ∂h ∂x + i ∂k ∂x = ∂h ∂x − i ∂h ∂y . (1.1) Do đó nếu f tồn tại thì f ′ hoàn toàn được xác định bởi h và do đó f là duy nhất sai khác một hằng số. Phương trình (1.1) sẽ cho ta cách xác định hàm f. Xác định g : Ω −→ cho bởi g = ∂h ∂x − i ∂h ∂y . Khi đó g ∈ C 1 (Ω) và g thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann vì ∂ 2 h ∂x 2 = − ∂ 2 h ∂y 2 và ∂ 2 h ∂x∂y = ∂ 2 h ∂y∂x . Do đó, g là hàm chỉnhhình trên Ω. Cố địnhz 0 ∈ Ω vàxác định f : Ω −→ cho bởi f(x) = h(z 0 ) + z  z 0 g(ω)dω, ở đây, tích phân được lấy qua các đường trong Ω nối z 0 với z. Vì Ω là miền đơn liên nên theo định lý Cauchy tích phân không phụ thuộc vào việc chọn đường nối z 0 và z. Khi đó f là hàm chỉnh hình trên Ω và f ′ = g = ∂h ∂x − i ∂h ∂y . Đặt ˜ h = Ref, ta có ∂ ˜ h ∂x − i ∂ ˜ h ∂y = f ′ = ∂ ˜ h ∂x − i ∂ ˜ h ∂y . Suy ra ∂( ˜ h − h) ∂x ≡ 0 và ∂( ˜ h − h) ∂y ≡ 0. Như vậy, ˜ h − h là hằng số trên Ω. Cho z = z 0 ta thấy hằng số bằng không. Do đó h = Ref. 1.1. Hàm điều hòa 8 ✷ Định lý 1.1.3 (Tính chất giá trị trung bình) Cho h là hàm điều hòa trên một lân cận mở của đĩa D(ω, ρ). Khi đó h(ω) = 1 2π 2π  0 h(ω + ρe iθ )dθ. Chứng minh: Chọn ρ ′ > ρ, khi đó h là hàm điều hòa trên D(ω, ρ ′ ). Áp dụng định lý 1.1.2.b, tồn tại một hàm điều hòa f trên D(ω, ρ ′ ) sao cho h = Ref. Theo đẳng thức tích phân Cauchy, ta có f(ω) = 1 2πi  |ζ−ω|=ρ f(ζ) ζ − ω dζ = 1 2π 2π  0 f(ω + ρe iθ )dθ. Lấy phần thực hai vế của đẳng thức trên ta được h(ω) = 1 2π 2π  0 h(ω + ρe iθ )dθ. ✷ Định lý 1.1.4 (Nguyên lý đồng nhất) Cho h và k là các hàm điều hòa trên miền Ω trong . Nếu h = k trên một tập con mở khác rỗng của Ω thì h = k trên Ω. Chứng minh: Không mất tính tổng quát có thể giả sử k = 0. Đặt g = ∂h ∂x −i ∂h ∂y . Khi đó theo cách chứng minh của định lý 1.1.2 ta có g là hàm chỉnh hình trên Ω. Do h = 0 trên U nên g = 0 trên U. Theo nguyên lý đồng nhất cho các hàm chỉnh hình ta có g = 0 trên Ω và do đó ∂h ∂x = 0 và ∂h ∂y = 0 trên Ω. Như vậy h là hằng số trên Ω, vì h = 0 trên U nên h ≡ 0 trên Ω. ✷ Định lý 1.1.5 (Nguyên lý cực đại) Cho h là hàm điều hòa trên miền Ω trong . Khi đó a. Nếu h đạt cực đại địa phương trên Ω thì h là hằng số. b. Nếu h mở rộng liên tục tới Ω và h  0 trên ∂Ω thì h  0 trên Ω . 1.1. Hàm điều hòa 9 Chứng minh: a. Giả sử rằng h đạt cực đại địa phương tại ω ∈ Ω. Khi đó có r > 0 sao cho h  h(ω) trên D(ω, r). Theo định lý 1.1.2.b tồn tại hàm chỉnh hình trên D(ω, r) sao cho h = Ref. Từ đó |e f | đạt cực đại địa phương tại ω và có được e f là hàm hằng. Như vậy, h là hằng số trên D(ω, r) và theo nguyên lý đồng nhất h là hằng số trên toàn bộ Ω. b. Vì Ω là tập compact nên h đạt cực đại tại ω ∈ D. Nếu ω ∈ ∂D thì h(ω)  0 theo giả thiết và như vậy h  0 trên Ω. Nếu ω ∈ D theo kết quả phần (a) h là hàm hằng trên Ω do đó là hàm hằng trên Ω và ta cũng có h  0 trên Ω. ✷ Định nghĩa 1.1.6 Cho là đĩa đơn vị trong . i. Nhân Poisson P : × ∂ −→ được xác định bởi P z (ζ) := Re( ζ + z ζ − z ) = 1 − |z| 2 |ζ − z| 2 . ii. Giả sử u là hàm khả tích Lebesgue trên ∂D(ω, ρ), tích phân Poisson P u : D(ω, ρ) −→ được xác định bởi P u (z) := 1 2π  2π 0 u(ω + ρe iθ )P z − ω ρ (e iθ )dθ, z ∈ D(ω, ρ). Mệnh đề 1.1.7 Nhân Poisson và tích phân Poisson thỏa mãn các tính chất sau: a. P z (ζ) > 0, ∀|z| < 1, |ζ| = 1. b. 1 2π 2π  0 P z (e iθ )dθ = 1, ∀|z| < 1. c. sup |ζ−ζ 0 |δ P z (ζ) −→ 0 khi z −→ ζ 0 , |ζ 0 | = 1, δ > 0. d. Pu là hàm điều hòa trên (ω, ρ). e. Nếu u liên tục tại ζ 0 ∈ ∂ (ω, ρ) thì lim z→ζ 0 P u (z) = u(ζ 0 ). 1.1. Hàm điều hòa 10 Chứng minh: a. Ta có P z (ζ) = 1 − |z| 2 |ζ − z| 2 > 0, z ∈ , ζ ∈ ∂ . b. Đặt ζ = e iθ và sử dụng biểu thức tích phân Cauchy ta nhận được 1 2π 2π  0 P z (e iθ )dθ = Re( 1 2πi  |ζ|=1 ζ + z ζ − z dζ ζ ) = Re  1 2πi  |ζ|=1 ( 2 ζ − z − 1 ζ ) dζ ζ  = Re(2 − 1) = 1. Bằng những thay đổi phù hợp nếu cần, ta chỉ xét với ω = 0 và ρ = 1 trong các chứng minh ở (c) và (d) dưới đây. c. Nếu |z − ζ 0 | < δ thì sup |ζ−ζ 0 |δ P z (ζ) ≤ 1 − |z| 2 (δ − |ζ 0 − z|) 2 . Từ 1 − |z| 2 (δ − |ζ 0 − z|) 2 → 0 khi z → ζ 0 ta có sup |ζ−ζ 0 |δ P z (ζ) → 0 khi z → ζ 0 . d. Ta có P u (z) = Re( 1 2π 2π  0 e iθ + z e iθ − z u(e iθ )dθ), z ∈ . Vì u là hàm khả tích Lebesgue trên ∂ nên 1 2π 2π  0 e iθ + z e iθ − z u(e iθ )dθ, z ∈ là hàm chỉnh hình trên . Như vậy, P u là phần thực của hàm chỉnh hình trong nên nó là hàm điều hòa trên . 1.1. Hàm điều hòa 11 e. Sử dụng các khẳng định ở (a) và (b), ta có | P u(z) − u(ζ 0 ) | = | 1 2π 2π  0 P z (e iθ )  u(e iθ ) − u(ζ 0 )  dθ|  1 2π 2π  0 P z (e iθ )|u(e iθ ) − u(ζ 0 )|dθ. Do u là hàm liên tục tại ζ 0 ∈ ∂ nên ∀ε > 0, ∃δ > 0 :| ζ − ζ 0 |< δ ⇒| u (ζ) − u(ζ 0 ) |< ε. Từ đó 1 2π  |e iθ −ζ 0 |<δ P z (e iθ ) | (u(e iθ ) − u(ζ 0 ) | dθ  1 2π 2π  0 P z (e iθ )εdθ = ε. Mặt khác, theo (c) tồn tại δ ′ > 0 sao cho: nếu |z − ζ 0 | < δ ′ thì sup |ζ−ζ 0 |δ P z (ζ) < ε. Do đó, nếu |z − ζ 0 | < δ ′ thì 1 2π  |e iθ −ζ 0 |δ P z (e iθ ) | (u(e iθ ) − u(ζ 0 ) | dθ  1 2π 2π  0 ε | (u(e iθ ) − u(ζ 0 ) | dθ  ε  1 2π 2π  0 | (u(e iθ ) | dθ+ | Φ(ζ 0 ) |  . Như vậy, nếu | z − ζ 0 |< δ ′ thì |P u(z)| − u(ζ 0 )  ε(1 + 1 2π 2π  0 |φ(e iθ )|dθ + |φ(ζ 0 )|). Từ đó ta có điều phải chứng minh. ✷ Định lý 1.1.8 (Biểu thức tích phân Cauchy) Nếu h là hàm điều hòa trên một lân cận mở của đĩa D(ω, ρ) thì với r < ρ và 0  t < 2π ta có h(ω + re it ) = 1 2π 2π  0 P ω+re it (ω + ρe iθ )h(ω + ρe iθ )dθ. [...]... B(z)S(z) = CB(z)S(z), |C| = 1 2 Chương 2 Bài toán nội suy cho lớp Nevanlinna và lớp Smirnov Trong chương chính của luận văn này, phần đầu sẽ đưa ra khái niệm về dãy nội suy tự do và các điều kiện cần và đủ để một dãy là nội suy tự do cho lớp Nevanlinna và lớp Smirnov Phần cuối của chương dành để trình bày một số tiêu chuẩn hình học của dãy nội suy 2.1 Bài toán nội suy cho lớp Nevanlinna Định nghĩa 2.1.1... xác định bởi tích phân của nó Theo định nghĩa f ∈ N + nếu và chỉ nếu các độ đo dương ở hai vế của (1.4) có cùng tích phân Do đó f ∈ N + nếu và chỉ nếu log+ |f (θ)| log+ |f (eiθ )| dθ = dν 2π 2 và như vậy ta được (a) tương đương với (b) Nhận xét: i Từ (b) và (c) của định lý 1.4.8 ta có H p ⊂ N + ⊂ N ii Cho f ∈ N, f ̸= 0 Gọi B(z) là tích Blaschke hình thành từ các không f (z) điểm của f (z), đặt g(z) =... hòa của u(z) Ngược lại, nếu U (z) là hàm điều hòa trên D và nếu U (z) u(z) trên D Theo định lý 1.2.8 ta có U (z) ur (z) với mọi r Do đó sup ur (0) < ∞ và sup h(z) = lim ur (z) hữu hạn và điều hòa r r Từ ur (z) nhất U (z) ta có h(z) U (z) và như vậy h(z) là hàm trội điều hòa nhỏ 2 23 1.3 Hàm trội điều hòa Định lý 1.3.4 Cho f (z) là hàm chỉnh hình trên đĩa đơn vị D , f  0 và (zn )n là dãy không điểm của. .. nhỏ nhất u(z) và như vậy u(z) U (z) Ta viết u(z) = U (z) − (U (z) − u(z)) Khi đó u(z) là hiệu của hai hàm điều hòa dương và u(z) là tích phân Poisson của một độ đo hữu hạn 2 Định lý 1.4.5 Cho f ∈ N, f  0 Giả sử B(z) là tích Blaschke được tạo thành f (z) thuộc lớp N B(z) Hơn nữa, log |g(z)| là hàm trội điều hòa nhỏ nhất của log |f (z)| từ các không điểm của f (z) Khi đó B(z) hội tụ và g(z) = Chứng... Blaschke khác và 2π 2π ∫ ∫ B(0) | B(eiθ ) | 1 1 | B(eiθ ) | dθ dθ = iθ ) | Bn (0) 2π | Bn (e 2π 0 Cho n → ∞ ta có 1 2π 0 2π ∫ | B(eiθ ) | dθ = 1, 0 và như vậy | B(e ) |= 1 hầu khắp nơi iθ 2 Định lý 1.3.6 (F.Riesz) Cho 0 < p < ∞ Giả sử f (z) ∈ H p (D ), f  0, (zn )n là dãy các không điểm của f (z) và B(z) là tích Blaschke với các không điểm f (z) (zn )n Khi đó g(z) = thuộc vào H p (D ) và B(z) ∥g∥H... dưới và âm nên Bn 2π ∫ log | log(1 − ε) 0 f dθ (reiθ ) | Bn 2π 0 1.4 Không gian H p , lớp Nevanlinna và lớp Smirnov 26 Vậy ta có (b) f (z) , ở đây B(z) là tích Blaschke hình thành từ g(z) các không điểm của f (z) Khi đó Giả sử (c) đúng Đặt g(z) = log |f (z)| log |g(z)| 0 do ∥f ∥∞ 1 Vì log |g(z)| là hàm trội điều hòa của log |f (z)| nên từ (c) suy ra log |g(z)| = 0 Từ g(z) = λ, với λ là hằng số và |λ|... log |f (eiθ )|dθ (1.4) 0 và tổng quát hơn nữa nếu f (z0 ) ̸= 0 ta có log |f (z0 )| 1 2π 2π ∫ log |f (eiθ )|Pz0 (θ)dθ (1.5) 0 Chứng minh: Theo định lý 1.3.3 và tính điều hòa dưới của log |f (z)| ta có log |f (z)| 1 lim r→1 2π 2π ∫ log |f (reiθ )|Pz (θ)dθ 0 (1.6) 1.4 Không gian H p , lớp Nevanlinna và lớp Smirnov 27 Do log |f (reiθ )| hội tụ hầu khắp nơi đến log |f (eiθ )| và những hàm này bị 1 chặn trên... Hàm điều hòa U (z) được gọi là hàm trội điều hòa nhỏ nhất của ϕ(z) nếu U (z) là hàm trội điều hòa của ϕ(z) và U (z) h(z) với mọi hàm trội điều hòa h(z) của ϕ(z) Định lý 1.3.3 Cho u(z) là hàm điều hòa dưới trên đĩa đơn vị D Khi đó u(z) có hàm trội điều hòa nếu và chỉ nếu sup r 1 2π 2π ∫ u(reiθ )dθ = sup ur (0) < ∞ r 0 Hàm trội điều hòa nhỏ nhất của u(z) được cho bởi 2π ∫ Pz/r u(reiθ ) h(z) = lim r→1... giới hạn không tiếp xúc k(θ) hầu khắp nơi Như vậy, (1.8) và (1.9) được chứng minh Bây giờ ta chỉ cần chứng minh sự tồn tại giới hạn không tiếp xúc của f (z) Theo (1.10) ta có log |g(z)| là hiệu của hai hàm điều hòa dương, log |g| = u1 − u2 , uj 0 Đặt vj (z) là hàm điều hòa liên kết của uj (z) Vì D là miền đơn liên nên vj là hoàn toàn được xác định và vj (z) được xác định duy nhất nếu ta đặt vj (0) = 0... 2π 2π ∫ Pω+reit (ω + ρeiθ )h(ω + ρeiθ )dθ 0 2 Hệ quả 1.1.9 Mọi hàm điều hòa h trên D đều là tích phân Poisson của một độ đo trên ∂ D , tức là có một độ đo µ trên ∂ D sao cho ∫ Pz (ζ)dµ(ζ) h(z) = h[µ](z) := ∂ , Hơn nữa, mọi hàm điều hòa dương trên D là tích phân Poisson của một độ đo dương trên ∂ D Chứng minh: Xác định độ đo dµ(ζ) = h(ζ)dζ từ kết quả của định lý 1.1.8 ta có ∫ ∫ Pz (ζ)dµ(ζ) Pz (ζ)h(ζ)dζ . và lớp Smirnov . . . . . . . . . 26 Chương 2. Bài toán nội suy cho lớp Nevanlinna và lớp Smirnov 35 2.1 Bài toán nội suy cho lớp Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Bài toán nội suy. . . . . . . . . . . . 51 2.3 Những tiêu chuẩn hình học của bài toán nội suy . . . . . . . . 60 Chương 3. Bài toán nội suy trên hình cầu đơn vị 66 3.1 Tự đẳng cấu của hình cầu đơn vị . . . . hình trên . Ta xét bài toán miêu tả không gian vết của X trên Λ, tức là tập hạn chế X|Λ = {f(λ) : f ∈ X, λ ∈ Λ}, được gọi là bài toán nội suy. Có hai hướng tiếp cận bài toán nội suy: hướng thứ nhất