Hàm sinh và ứng dụng trong bài toán đếm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN HỒNG VÂN HÀM SINH VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TỐN ĐẾM KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Toán ứng dụng Hà Nội - 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN HỒNG VÂN HÀM SINH VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TỐN ĐẾM KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học TS Trần Vĩnh Đức Hà Nội - 2018 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo - TS Trần Vĩnh Đức người tận tình hướng dẫn để em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn, Đại học Sư phạm Hà Nội truyền thụ cho em nhiều kiến thức quý giá trường đời trường nghề suốt trình học tập trường Cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo cho em bạn có mơi trường học tập thân thiện, bổ ích Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, ngày 09 tháng 05 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Hồng Vân Lời cam đoan Em xin cam đoan nội dung trình bày khóa luận kết trình tìm hiểu, học tập nỗ lực thân, hướng dẫn, bảo thầy giáo - TS Trần Vĩnh Đức Các nội dung, kết nghiên cứu trung thực, không trùng với kết tác giả khác Ngồi em có sử dụng số nhận xét, đánh giá tác giả khác ( có ghi rõ phần trích dẫn tài liệu tham khảo) Nếu có sai sót em xin chịu hồn tồn trách nhiệm Hà Nội, ngày 09 tháng 05 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Hồng Vân Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời mở đầu HÀM SINH VÀ CÁC PHÉP TỐN 1.1 Bài tốn vé may mắn 1.2 Khái niệm hàm sinh 1.2.1 Hàm sinh thường 1.2.2 Một số hàm sinh khác 1.3 Các phép toán hàm sinh 1.3.1 Phép nhân 1.3.2 Phép cộng 1.3.3 Dịch chuyển sang phải 1.3.4 Đạo hàm tích phân 1.3.5 Các hàm sinh ( khai triển Taylor) 9 12 13 13 14 15 15 16 17 18 HÀM SINH CÁC CHUỖI NỔI TIẾNG 2.1 Chuỗi hình học 2.2 Dãy Fibonacci 2.3 Số Catalan 20 20 22 24 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SINH THƯỜNG VÀO GIẢI BÀI TOÁN ĐẾM TỔ HỢP 28 3.1 Ứng dụng toán đếm 28 3.2 3.3 3.4 3.1.1 Cơ sở lý thuyết 3.1.2 Ví dụ Ứng dụng tìm cơng thức tổng quát cho dãy số 3.2.1 Cơ sở lí thuyết 3.2.2 Ví dụ Ứng dụng chứng minh đẳng thức tổ hợp, tính tổng tổ hợp 3.3.1 Cơ sở lí thuyết 3.3.2 Ví dụ Ứng dụng toán phân hoạch 3.4.1 Cơ sở lí thuyết 3.4.2 Ví dụ Kết luận 28 32 37 37 38 43 43 44 48 48 49 53 Lời mở đầu Lí chọn đề tài Toán tổ hợp lĩnh vực toán học nghiên cứu từ sớm ngày quan tâm nhờ vai trò quan trọng nội toán học ngành khoa học khác Khi nói đến tốn tổ hợp ta khơng thể khơng nhắc tới nhánh tốn - tốn đếm Đây dạng tốn khó, đòi hỏi tính tư logic tư thuật toán cao, phù hợp với mục đích cho thi học sinh giỏi Hơn nội dung toán đếm ngày gần với thực tiễn, điều phù hợp với xu hướng toán học đại Trong thực tiễn giáo dục việc dạy học mơn quan trọng tính ứng dụng thiết thực như: tốn quản lí "lập kế hoạch làm việc, phân việc, xếp, ", mơ hình "bài tốn vận tải" giao thơng vận tải, Người học giải nhiều toán đếm dựa vào nguyên lí đếm Tuy nhiên, nhu cầu phát triển toán học, toán trở nên phức tạp Để giải được, cần sử dụng số phương pháp nâng cao như: phương pháp truy hồi, phương pháp sử dụng nguyên lí bù trừ, phương pháp song ánh, phương pháp quỹ đạo, phương pháp hàm sinh, Mỗi phương pháp có ưu điểm riêng, phương pháp hàm sinh có ưu điểm đại Có thể nói hàm sinh phát minh đáng ngạc nhiên hữu ích tốn rời rạc, cơng cụ mạnh mẽ việc giải nhiều tốn tổ hợp nói chung, tốn đếm nói riêng mà phương pháp khác khơng thể khó giải Phương pháp sử dụng kiến thức tổng hợp đại số giải tích Nó giúp ta chuyển toán dãy số thành toán đại số Mặc dù tiếp cận với phương pháp này, thân em nhận thấy phương pháp hàm sinh hay thú vị Chính vậy, với mong muốn khơng ngừng tìm tòi học hỏi, em nghiên cứu lựa chọn đề tài: "Hàm sinh ứng dụng toán đếm" Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu cách chi tiết lí thuyết hàm sinh nội dung có liên quan - Từ tảng tổng hợp được, ta xây dựng hệ thống phương pháp ứng dụng điển hình hàm sinh tốn đếm thường gặp Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ đề tài tập trung triển khai nội dung hàm sinh từ khái niệm, phép toán đến hàm sinh thường gặp mối liên hệ với công thức khai triển Taylor, khai triển Maclaurin Từ đưa hệ thống phương pháp vận dụng vào toán cụ thể Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Lý thuyết hàm sinh sở đại số giải tích - Giải tốn đếm phương pháp hàm sinh toán áp dụng - Nghiên cứu dựa tài liệu khoa học, sách báo tác giả nước vấn đề hàm sinh Phương pháp nghiên cứu Đề tài nghiên cứu dựa phương pháp tiếp cận logic, phân tích tổng hợp sử dụng kiến thức tích lũy q trình học tập Ngồi kết hợp việc thu thập thơng tin, tổng hợp sách báo, tài liệu đón nhận ý kiến đóng góp từ giảng viên hướng dẫn Cấu trúc khóa luận Nội dung khóa luận bao gồm chương : • Chương ( Hàm sinh phép tốn): nói sở lí thuyết hàm sinh Ngồi việc tập trung trình bày lí thuyết hàm sinh, em có đưa tốn mở đầu, khởi nguồn cho nghiên cứu nhà toán học phương pháp • Chương ( Hàm sinh chuỗi tiếng): hệ thống hàm sinh thường gặp tốn Ngồi ra, chương nhắc tới hai dãy số tiếng có liên quan là: dãy Fibonacci dãy Catalan • Chương ( Một số ứng dụng hàm sinh thường vào giải toán đếm tổ hợp): nội dung quan trọng khơng khóa luận Chương em phân dạng hệ thống ứng dụng hàm sinh theo dạng tốn Mỗi dạng có phương pháp giải ví dụ minh họa, phân tích cụ thể, rõ ràng Mặc dù cố gắng q trình làm khóa luận hạn chế thời gian trình độ kiến thức thân nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Vậy công thức tổng quát dãy an = 2n − n.2n−1 Nhận xét: ví dụ đại diện cho dãy ( an ) xác định công thức truy hồi:   a0 = a, a = b  a = p.a n n−1 + q.an−2 , n ≥ Ở hàm sinh G ( x ) dãy ( an ) có mẫu tam thức bậc hai có nghiệm thực Vậy trường hợp mẫu tam thức bậc hai vơ nghiệm sao? Ví dụ 3.2.3 Tìm công thức tổng quát cho dãy số ( an ) với:   a0 = 1, a = 1 a =a − a ,n ≥ n n −2 n −1 Lời giải: ∞ Đặt G ( x ) = ∑ an x n hàm sinh dãy ( an ) n =0 Ta có: G ( x ) = a0 + a1 x + a2 x2 + (1) − x.G ( x ) = − a0 x − a1 x2 − a2 x3 + (2) x2 G ( x ) = a0 x2 + a1 x3 + a2 x4 + (3) Cộng vế với vế ba phương trình (1), (2), (3) ta được: (1 − x + x2 ).G ( x ) = a0 + ( a1 − a0 ) x + ( a2 − a1 + a0 ) x2 + = − x Suy ra: 1− x 2−x 2−x G(x) = = = 2 1−x+x 2(1 − x + x ) 2(1 − x + x ) 2−x = √ √ 1−i 1+i 1− x · 1− x 2 40   1  2 1   1−i 1+i  1− x 1− x 2  √ k √ k ∞ 1+i  k 1−i x + = ∑ k =0 2 = ∞ = ∑ k =0 √ + −π cos ∞ = ∑ cos k =0 −kπ √ −π + i sin −kπ + i sin k + cos + cos π π + i sin 3 k x k kπ kπ k + i sin x 3 ∞ ∞ kπ k kπ = ∑ cos x = ∑ cos x k k =0 3 k =0 Vậy công thức tổng quát dãy cho an = cos nπ Ví dụ 3.2.4 Tìm cơng thức tổng qt dãy ( an ):   a0 =  a = 2a + n.3n , n ≥ n n −1 Lời giải: ∞ Đặt G ( x ) = ∑ an x n hàm sinh dãy ( an ) n =0 Ta có: G ( x ) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + = a0 + (2a0 + 3).x + (2a1 + 2.32 ).x2 + = + 3x + 2.(3x ) + 3.(3x )2 + + 2x a0 + a1 x + a2 x2 + = 1+ 3x (1 − 3x )2 + 2x.G ( x ) 41 ⇒ (1 − 2x ).G ( x ) = 9x2 − 3x + (1 − 3x )2 Suy ra: G(x) = 9x2 − 3x + (1 − 2x ).(1 − 3x ) ∞ = ∑ (2x )k + k =0 = ∞ ∑ + − − 2x (1 − 3x ) − 3x (n + 1).(3x )k − k =0 ∞ ∑ (3x)k k =0 Vậy số hạng tổng quát dãy an = 7.2n + 3.(n + 1).3n − 9.3n Ví dụ 3.2.5 Tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy   a0 = ( an ) :  a a + a a + + a a = n n −1 n ( theo [4]) (1) Lời giải: ∞ Đặt G ( x ) = ∑ an x n hàm sinh dãy ( an ) n =0 Ta thấy biểu thức truy hồi (1) gợi đến hệ số cn quy tắc xoắn Như cn = 1, ∀n = 0, 1, 2, Ta có: G ( x ).G ( x ) = ( a0 + a1 x + a2 x2 + + an x n + )2 = a20 + ( a0 a1 + a1 a0 ).x + + ( an a0 + an−1 a1 + + a0 an ).x n = + x + + x n + = 1−x Suy ra: 1 x2 2n − x n G(x) = √ = + x + · · + + · · · · · + 2 2! 2 n! 1−x ∞ ∞ Cn (2n − 1)!! n 2n = ∑ · x = · xn ∑ n 2n n! n =0 n =0 n C2n Vậy số hạng tổng quát sãy an = 2n 42 3.3 Ứng dụng chứng minh đẳng thức tổ hợp, tính tổng tổ hợp 3.3.1 Cơ sở lí thuyết Để giải toán chứng minh đẳng thức tổ hợp, tính tổng tổ hợp ta sử dụng phương pháp dầu rắn: phương pháp hữu hiệu việc đánh giá tổng tổ hợp khác chứng minh đẳng thức tổ hợp Nguyên tắc: Giả sử muốn tính tổng S = f (n) Ta xác định hàm sinh F ( x ) f (n) Nhân S với x n lấy tổng theo tất n Tại thời điểm ta có ( nhất) tổng kép: tổng ngồi theo n tổng theo S Khi ta tráo đổi thứ tự lấy tổng thu giá trị tổng theo n Các hệ số hàm sinh thu được, thực chất giá trị S phụ thuộc vào n ( theo [4]) Nhận xét: Nguyên tắc tóm tắt lại sau: Để tính tổng S(n) = ∑ f k (n) ta xét hàm sinh: k F(x) = ∑ S(n).xn = ∑ ∑ f k (n) n n x n (∗) k Sau sử dụng phương pháp đổi tổng để tính vế phải (*) đồng thức hai vế ta thu S(n) cần tìm Dạng tốn ta thường gặp số tổng sau đây: ∞ • ∑ Cnk x k = (1 + x )n k =0 43 ∞ • ∑ Cnk (− x )k = (1 − x )n k =0 ∞ n =0 (1 − x ) k +1 • ∑ Cnk +k x n = ∞ • ∑ n =0 Cnk x n = ∞ xk (1 − x ) k +1 n x n = √ • ∑ C2n n =0 1 − 4x Ngoài ta gặp tổng chứa số chẵn lẻ ∞ ∞ k =0 k =0 Ví dụ: Ta có (1 + x )n = ∑ Cnk x k (1 − x )n = ∑ Cnk (− x )k Thực phép cộng trừ lấy số có số mũ chẵn lẻ ta được: ∞ ∑ ∑ Cn2k+1 x2k+1 k =0 ∞ k =0 3.3.2 (1 + x ) n + (1 − x ) n = Cn2k x2k (1 + x ) n − (1 − x ) n = ( theo [4]) Ví dụ Ví dụ 3.3.1 (Đẳng thức Pascal) CMR: Cnk = Cnk −1 + Cnk− −1 , (1 ≤ k < n ) ( theo [4]) Nhận xét: Ý tưởng từ Cnk Ta thấy hàm sinh Cnk (1 + x )n Do ta xuất phát từ hàm sinh để chứng minh Lời giải: Xét hàm sinh Gn ( x ) = (1 + x )n 44 Ta có: Gn ( x ) = (1 + x )n = (1 + x ).(1 + x )n−1 = (1 + x )n−1 + x.(1 + x )n−1 = Gn−1 ( x ) + x.Gn−1 ( x ) ∞ Ta thấy vế trái: Gn ( x ) = (1 + x )n = ∑ Cnk x k nên hệ số x k khai triển Gn ( x ) k =0 Cnk Còn vế phải, Gn−1 ( x ) = (1 + x ) n −1 ∞ = ∑ Cnk −1 x k Do hệ số x k khai triển Gn−1 ( x ) + x.Gn−1 ( x ) k =0 Cnk −1 + Cnk− −1 Vậy Cnk = Cnk −1 + Cnk− −1 , (1 ≤ k < n ) m k C r −k = C r Ví dụ 3.3.2 ( Đẳng thức Vande Mone) CMR: ∑ Cm n m+n k =0 r Nhận xét: Cũng giống ví dụ 1, ta chọn hàm Cm +n , hàm có hàm sinh tương ứng F ( x ) = (1 + x )m+n Lời giải: ∞ r r r Xét đa thức F ( x ) = (1 + x )m+n = ∑ Cm +n x có hệ số x khai triển F ( x ) là: r cr = Cm +n r =0 (1) ∞ ∞ k =0 a =0 k x k Lại có: (1 + x )m+n = (1 + x )m (1 + x )n = ∑ Cm ∑ Cna x a , đó: k + a = r Đặt A( x ) = (1 + x )m+n k C r −k Khi hệ số xr khai triển hàm A( x ) là: br = Cm n (2) Từ (1,2) ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3.3.3 Chứng minh số Fibonacci viết dạng: ∞ f (n) = ∑ Ckn−k k =0 45 Nhận xét: Chúng ta biết số Fibonacci có cơng thức truy hồi là:   f = f n≥2 n −1 + f n −2 , n  f = f =1 Và có hàm sinh : F ( x ) = 1 − x − x2 Lời giải: ∞ Giả sử F ( x ) = ∑ f (n).x n hàm sinh dãy f (n) n =0 Ta có: ∞ F(x) = ∑ n f (n).x = n =0 = = ∞ ∞ n =0 ∞ k =0 k =0 ∞ n ∑ ∑ Ckn−k ∑ xk ∑ Ckn−k xn−k ∑ x k (1 + x ) k k =0 ∞ = x n ∑ ( x + x2 ) k =0 k = 1 − x − x2 hàm sinh dãy Fibonacci nên ta có điều − x − x2 phải chứng minh Mà F ( x ) = ∞ Ví dụ 3.3.4 Tính tổng sau: S(m) = ∑ (−1)k Cnk Ckm ( theo[1]) k=m Lời giải: Giả sử G ( x ) hàm sinh dãy {S(m)} Ta có: ∞ G(x) = ∑ S(m).x m = m =0 ∞ ∑ m =0 = ∑ (−1)k Cnk Ckm x m k=m ∑ (−1)k Cnk ∑ k≤n = ∞ Ckm x m m≤k ∑ (−1)k Cnk (1 + x)k k≤n 46 = (−1)n ∑ (−1)k−n Cnk (1 + x)k k≤n = (−1)n ∑ Cnk (1 + x)k (−1)n−k k≤n = (−1)n (1 + x − 1)n = (−1)n x n   (−1)n , m = n Đồng thức ta S(m) =  0, m < n Ví dụ 3.3.5 Tính tổng: S = 2.12 + 2.22 + 2.32 + + 2.n2 ( theo [4]) Lời giải: Ta xuất phát từ hàm sinh x Suy ra: = + 2x + 3x2 + + kx k−1 + (1 − x ) = 1.x + 2x2 + 3x3 + + kx k + (1 − x )2 Lấy đạo hàm hai vế phương trình nhân thêm với x ta được: x· d dx Đặt G1 ( x ) = x = x· d (1.x + 2.x2 + 3.x3 + + k.x k + ) dx (1 − x )2 x (1 + x ) ⇔ = x + 22 x + 32 x2 + + k2 x k−1 + (1 − x ) x (1 + x ) = x + 22 x2 + 32 x3 + + k2 x k + ⇔ (1 − x ) 2x (1 + x ) 2 2 k = x + x + + k x + = (1 − x ) ∞ G2 ( x ) = = ∑ xk 1−x k =0 k Hệ số x khai triển hàm G1 ( x ) ak = 2k2 Hệ số x k khai triển hàm G2 ( x ) bk = 2x (1 + x ) Xét hàm G ( x ) = G1 ( x ).G2 ( x ) = (1 − x )4 47 ∞ ∑ 2k2.xk k =0 Theo quy tắc xoắn, hệ số x n khai triển hàm G ( x ) cn = n n k =0 k =0 ∑ ak bn−k = ∑ 2k2 = S Mặt khác G(x) = 2x (1 + x ) (1 − x )4 = 2x (1 − x )4 ∞ = ∑ + 2x2 (1 − x )4 2.Ckk+3 x k+1 k =0 ∞ + ∑ 2.Ckk+3.xk+2 k =0 Do hệ số x n khai triển hàm G ( x ) là: −1 n −2 3 cn = 2.Cnn+ + 2.Cn+1 = 2.Cn+2 + 2.Cn+1 Vậy S = 2.Cn3 +2 + 2.Cn3 +1 3.4 3.4.1 Ứng dụng toán phân hoạch Cơ sở lí thuyết Định nghĩa: - Phân hoạch tập hợp: Cho S tập hợp gồm n phần tử Một phân hoạch S thành k phần (1 ≤ k ≤ n) họ tập hợp S 1 , S2 , , Sk thỏa mãn: k    Si = S    i =1 ( theo [3]) Si = ∅, ∀i = 1, k       Si ∩ S j = ∅, ∀i = j - Phân hoạch số tự nhiên: Một phân hoạch số tự nhiên a số nguyên dương không thứ tự ( a1 , a2 , ) thỏa mãn: ∑ = a ( nói cách khác cách viết số a thành tổng số 48 ngun dương) Ví dụ 1: Có phân hoạch tập hợp A = {1, 2, 3} {{1, 2, 3}}, {{1}, {2, 3}}, {{2}, {1, 3}}, {{3}, {1, 2}}, {{1}, {2}, {3}} Ví dụ 2: = = 1+1 = = 2+1 = 1+1+1 = = 3+1 = 2+2 = 2+1+1 = 1+1+1+1 Do có phân hoạch số {2}, {1, 1}, có phân hoạch số {3}, {2, 1}, {1, 1, 1} có phân hoạch số {4}, {3, 1}, {2, 2}, {2, 1, 1}, {1, 1, 1, 1} 3.4.2 Ví dụ Ví dụ 3.4.1 Có cách xếp 20 bóng giống hệt vào hộp riêng biệt cho hộp có khơng q quả, hộp lại số bóng tùy ý hộp phải có bóng Lời giải: Hàm sinh cho số cách xếp bóng vào hộp là: G1 ( x ) = x + x2 + + x7 Hàm sinh cho số cách xếp bóng vào hộp lại là: G2 ( x ) = ( x + x2 + x3 + )5 49 Do hàm sinh cho số cách chia 20 bóng là: G ( x ) = G1 ( x ).G2 ( x ) = ( x + x2 + + x7 ).( x + x2 + x3 + )5 = x6 (1 + x + + x6 ).(1 + x + x2 + )5 − x7 · =x · 1−x 1−x = x (1 − x ) 1−x 6 ∞ Đặt A( x ) = − B( x ) = = ∑ Ckk+5 x k , C ( x ) = x6 1−x k =0 Hệ số khai triển A( x ), B( x ) là: a0 = 1, a7 = −1, bk = Ckk+5 x7 , Hệ số khai triển C ( x ) là: c6 = Như toán xếp 20 bóng trở thành tốn tìm hệ số d20 x20 khai triển hàm G ( x ) Khi theo quy tắc xoắn thì: 14 d20 = a0 b14 c6 + a7 b7 c6 = C19 − C12 = 10836 Vậy có 10836 cách xếp thỏa mãn đề Ví dụ 3.4.2 Có cách đổi tờ tiền 100 nghìn đồng thành tờ tiền mệnh giá 1000 đồng 2000 đồng? Lời giải: Bài toán cho quy đếm số nghiệm nguyên dương phương trình: x + 2y = n Khi số nghiệm ngun dương phương trình hệ số x100 khai triển hàm sinh: G ( x ) = (1 + x + x2 + ).(1 + x2 + x4 + ) 50 Ta có: G ( x ) = (1 + x + x2 + ).(1 + x2 + x4 + ) = 1 1 · = · − x − x2 + x (1 − x )2 ∞ = ∞ ∑ (−1) x ∑ (n + 1).xk k k k =0 k =0 ∞ ∞ k =0 k =0 - Nếu k chẵn: ∑ (−1)k x k ∑ (n + 1).x k = ∞ ∞ k =0 k =0 - Nếu k lẻ: ∑ (−1)k x k ∑ (n + 1).x k = ∞ ∞ ∞ Suy ra: ∑ (−1)k x k ∑ (n + 1).x k = ∑ k =0 Như hệ số k =0 100 x k =0 ∞ ∑ (n + 2).x k k =2i =0 ∞ n.x k ∑ k =2i +1=1 n + x k khai triển hàm G ( x ) là: a100 = 100 + = 51 Vậy có tất 51 cách đổi tiền thỏa mãn đề Ví dụ 3.4.3 Cho số ngun dương n Tìm số đa thức P( x ) với hệ số thuộc {0, 1, 2, 3} thỏa mãn P(2) = n Lời giải: ∞ Đặt P( x ) = ∑ ak x k k =0 ∞ Theo giả thiết có P(2) = n nên: ∑ ak 2k = n k =0 ⇔ a0 + 2a1 + 22 a2 + + 2k ak + = n, ≤ ak ≤ 51 Khi hàm sinh cho dãy { ak } là: G ( x ) = (1 + x + x2 + x3 ).(1 + x2 + x4 + x6 ) ∞ = ∏ k =0 ∞ k k + x2 + x2.2 + x3.2 − x2 k k +2 (1 − x ).(1 − x ) k =0 − x 1 1 1 + = · + · · − x (1 − x )2 + x = ∏ 2k = ∞ k ∞ ∞ k = ∑ x + ∑ (k + 1).x + ∑ (−1)k x k k =0 k =0 k =0 ∞ = ∑ k =0 1 + · (k + 1) + · (−1)k x k 4 Do P(2) = n nên toán chuyển thành toán tìm hệ số x n khai triển G ( x ) Vậy số đa thức P( x ) thỏa mãn đề 1 + · (n + 1) + · (−1)n 4 Ví dụ 3.4.4 Cho số tự nhiên r Xây dựng hàm sinh đếm số phân hoạch r gồm thành phần xuất số 1, 2, 3, Hướng dẫn: Gọi x1 , x2 , x3 , x4 số lần xuất số 1, 2, 3, Suy ra: r = x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 Giả sử G ( x ) hàm sinh cần tìm Khi đó: G ( x ) = (1 + x + x2 + ).(1 + x2 + x4 + ).(1 + x3 + x6 + ).(1 + x4 + x8 + ) = (1 − x ).(1 − x ).(1 − x ).(1 − x ) 52 Kết luận Khóa luận trình bày cách rõ nét có hệ thống sở lí thuyết hàm sinh, tổng hợp phân dạng tập có liên quan Tuy dạng tập không mới, khóa luận mở rộng phân tích thêm số tốn hay khó Với nội dung vậy, khóa luận phần nêu lên ứng dụng hàm sinh giải tốn đếm Từ cho thấy vị trí quan trọng phương pháp với kiến thức toán học khác, ứng dụng thực tiễn đời sống Các vấn đề xoay quanh hàm sinh nhiều Tuy nhiên hạn chế thời gian dung lượng nên khóa luận chủ yếu dừng lại việc tìm hiểu hàm sinh thường Trong thời gian tới, điều kiện cho phép em nghiên cứu tìm hiểu kĩ hàm sinh lại ứng dụng thực tiễn khác để phục vụ cho q trình học tập nghiên cứu 53 Tài liệu tham khảo [1] Trương Nhật Lý (2011), “ Bài toán đếm nâng cao tổ hợp ứng dụng”, Luận văn thạc sĩ khoa học, Đại học Đà Nẵng, Đà Nẵng [2] Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tơ Thành (2003), “ Tốn rời rạc", Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội [3] Hoàng Văn Quý (2011), “ Chuỗi lũy thừa hình thức hàm sinh”, Luận văn thạc sĩ tốn học, Đại học khoa học Đại học Thái Nguyên, Thái Nguyên [4] Võ Văn Việt (2013), “ Hàm sinh ứng dụng”, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học khoa học Đại học Thái Nguyên, Thái Nguyên [5] Nguyễn Chu Gia Vượng (2015), “ Hàm sinh số ứng dụng”, báo Thơng tin tốn học số - tập 19 [6] Prof Albert R Meyer and Prof Ronitt Rubinfeld (2005), “ Generating Functions”, Massachusetts Institute of Technology [7] S.K.Lando (2003), “ Lectures on Generating Functions” [8] Milan Novakovic (2012), “ Generating functions Olympiad training materials ” 54 ... ỨNG DỤNG CỦA HÀM SINH THƯỜNG VÀO GIẢI BÀI TOÁN ĐẾM TỔ HỢP 3.1 3.1.1 Ứng dụng toán đếm Cơ sở lý thuyết Ý tưởng chung phương pháp sử dụng hàm sinh giải tốn đếm ta tìm hệ số x k khai triển hàm sinh, ... đầu HÀM SINH VÀ CÁC PHÉP TOÁN 1.1 Bài toán vé may mắn 1.2 Khái niệm hàm sinh 1.2.1 Hàm sinh thường 1.2.2 Một số hàm sinh khác 1.3 Các phép toán. ..TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN HỒNG VÂN HÀM SINH VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TỐN ĐẾM KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học TS Trần Vĩnh