Bài tập về đường tròn

Trờng THCS An Đà Vị trí tơng đối của hai đờng tròn Kiến thức cơ bản 1. Tính chất đờng nối tâm Đờng nối tâm là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đờng tròn . Từ đó suy ra : - Nếu hai đờng tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đờng nối tâm . - Nếu hai đờng tròn cắt nhau thì đờng nối tâm là đờng trung trực cua dây chung . 2. Sự liên hệ giữa vị trí của hai đờng tròn với đoạn nối tâm d và các bán kính R và r Vị trí tơng đối của hai đờng tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d và R , r * Hai đờng tròn cắt nhau 2 R r < d < R + r * Hai đờng tròn tiếp xúc nhau - Tiếp xúc ngoài - Tiếp xúc trong 1 d = R + r d = R - r * Hai đờng tròn không giao nhau - ở ngoài nhau - (O) đựng (O / ) Đặc biệt (O) và (O / ) đồng tâm 0 d > R + r d < R r OO / = 0 3. Giao điểm của hai tiếp tuyến chung ngoài , giao điểm của hai tiếp tuyến chung trong (nếu có) đều nằm trên đờng nối tâm . Các dạng bài tập Dạng 1: Các bài toán cho hai đờng tròn tiếp xúc nhau Dạng 2 :Các bài toán cho hai đờng tròn cắt nhau Dạng 3 : Xác định vị trí tơng đối của hai đờng tròn khi biết hệ thức giữa d với R , r và ngợc lại Dạng 4: Chứng minh hai đoạn thẳng trên cùng một day cung bằng nhau . Luyện tập: Bài tập 1: Cho hai đờng tròn (O) và (O / ) tiếp xúc nhau tại A . Qua Avẽ cát tuyến cắt đờng tròn (O) tại B và đờng tròn (O / ) tại C. Từ B vẽ tiếp tuyến xy với đờng tròn (O) . Từ C vẽ đgt uv //xy . Chứng minh rằng uv là tiếp tuyến của (O / ). Chng minh Ni OO / theo tính chất đờng nối tâm OO / đi qua A Xét tam giác AOB và AO / C có OB = OA ( cùng bằng bán kính tâm O) O / A = O / C ( cùng bằng bán kính (O / ) Suy ra tam giác AOB và AO / C cân A 1 = B 1 A 1 = C 1 Suy ra B 1 = C 1 Do đó OB // O / C Mà xy OB ( t/c của tiếp tuyến ) Và xy // uv nên suy ra uv O / C . Vậy uv là tiếp tuyến của (O / ). Bài tập 2: 1 c 1 j 2 2 1 2 1 O / O A C B y x B Trờng THCS An Đà Cho hình vuông ABCD . Vẽ đờng tròn (D;DC ) và đờng tròn (O) đờng kính BC , chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là E. Tia CE cắt AB tại M , tia BE cắt AD tại N . Chứng minh rằng a) N là trung điểm của AD b) M là trung điểm của AB Chứng minh : a)Gọi I là giao điểm của OD với CE , theo tính chất đờng nối tâm OD ta có OD CE và IE = IC Ta có OI là đờng trung bình của tam giác CEB Suy ra OI // BE Do đó B 1 = D 1 ( góc có cạnh tơng ứng song song) ABN = CDO ( cgv gn) => AN = CO = 2 1 BC = 2 1 AD Vậy N là trung điểm của AD. b) Chứng minh M là trung điểm của AB Ta có D 1 = C 1 ( cùng phụ với góc IOC) nên DOC = CMB (cgv gn) => BM = OC = 2 1 BC = 2 1 AB Vây M là trung điểm của AB. Bài tập 3: Cho hai đờng tròn (O) và (O / ) tiếp xúc ngoài tại A và một đờng thẳng d tiếp xúc với (O) và (O / ) lần lợt tại B và C a) Chứng minh tam giác ABC vuông b) Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh AM là tiếp tuyến chung của (O) và (O / ) c) Chứng minh OM O / M Chứng minh a) Chứng minh tam giác ABC vuông Giả sử tiếp tuyến chung tại A cắt BC tại N Khi đó theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau Ta có : NA = NB = NC Suy ra tam giác ABC vuông tại A (tính chất đờng trung tuyến trong tam giác vuông ) b)Chứng minh AM là tiếp tuyến chung của (O) và (O / ) Theo kết quả của câu a) ta có M trùng N Vậy AM là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn c) Chứng minh OM O / M Theo tính chất của hai tiép tuyến cắt nhau ta có OM AM và O / M AC Mà AB AC ( theo kq câu a tam giác ABC vuông ) Vậy OM O / M ( vì cùng vuông góc với hai đờng thẳng // ). Cách 2: Sử dụng tính chất đờng phân giác của hai góc kề bù 2 = A B CD E M N I O 1 1 1 = = d A B C MN (1 2)) O O / I Trờng THCS An Đà d) Hỏi thêm : Chứng minh rằng d là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính OO / . Gọi I là trung điểm của OO / Ta có IM là đờng trung bình của hình thang BOO / C nên IM // OB => OM d và IM = 2 1 (OB + O / C) = 2 1 OO / ( OO / = tổng hai bk ) Do đó M thuộc đờng tròn đờng kính OO / Lại có OM d Vậy d là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính OO / . Bài tập 4: Dựng đờng tròn tiếp xúc với một đờng tròn cho trớc tại một điểm cho trớc và tiếp xúc với một đgt cho truớc không cắt đờng tròn đã cho . Phân tích : Giả sử đờng tròn cho trớc là (O;R) có điểm A trên nó và đờng thẳng d không cắt (O). Giả sử đã dựng đợc đờng tròn (I) thoả mãn các đk Của đề bài Ta thấy có hai trờng hợp xảy ra TH1 : t // d TH2 : t cắt d Xét TH 1: Vì (I) tiếp xúc với (O) tại A thuộc (O) Nên OI t ( t/c đờng nối tâm ) Mà t // d Do đó OI d tại B Vậy I là trung điểm của AB * TH 2 t cắt d ở E Ta thấy OI t tại A ( t/c đờng nối tâm ) Lại có IB d (vì d tiếp xúc (I) ) Và IA = IB ( cùng bằng bán kính của (I)) Do đó I nằm trên tia phân giác của góc E Vậy I là giao của tia phân giác góc E với đờng OA vuông góc với đgt t tại A. Cách dựng - Dựng tiếp tuyến At với đờng trìn (O) - Nếu At // d thì lấy giao B của OA với đgt d rồi lấy trung điểm I của AB và vẽ đờng tròn tâm I bk AI - Nếu At cắt đgt d tại E ta kẻ phân giác của góc tEd cắt OA tại I . Vẽ đờng tròn tâm I bk AI Bài tập 5: Cho hai đờng tròn (O) và (O / ) cắt nhau tại hai điểm A và B . Gọi I là trung điểm của OO / . Đờng thẳng vuông góc với AI tại A cắt (O) tại C và cắt (O / ) tại D Gọi H , K là các hình chiếu vuông góc của O và O / xuống CD . Chứng minh AC = AD = HK Giải Tứ giác HKO / O là hình thang vuông . có AI là đờng trung bình nên AH = AK Mặt khác AH = HC và AK = KD ( theo t/c đgk và dây cung ) 3 O I A d E t O A I d t Trờng THCS An Đà Từ đó suy ra : CH = HA = AK = KD => AC = AD = KD . Cho hai đờng tròn đồng tâm (O;R) và (O;R / ) . Đờng tròn tâm I cắt (O;R) tại A , B . Chứng minh rằng a) Nếu (I) cắt (O; R / ) tại C , D thì CD // AB b) Nếu (I) tiếp xúc với (O;R / ) tại E thì tam giác EAB cân . Giải a)Vì (I) cắt (O;R) tại A , B => OI AB ( t/c đờng nối tâm ) Vì (I) cắt (O; R / ) tại C, D => OI CD ( t/c đờng nối tâm ) Suy ra AB // CD ( cùng vuông góc với OI ) b) Vì (I) tiếp xúc (O;R / ) tại E nên ba điểm O , E , I thẳng hàng I E O B A Mặt khác do (I)cắt (O;R) tại A , B nên IO trung trực của đoạn thẳng AB ; E thuộc IO suy ra EA = EB dẫn đến tam giác EAB cân tại E. Bài tập 6: Xét ram giác ABC có các góc B,C nhọn . Các đờng tròn đgk AB , AC cắt nhau tại điểm thứ hai H . Một đgt d bất kì qua A và cắt hai đờng tròn nói trên lần lợt tại M và N . a) Chứng minh H thuộc cạnh BC b) Tứ giác BCNM là hình gì c) Gọi P , Q lần lợt trung điểm BC , MN. Chứng minh bốn điểm A , H , P , Q thuộc một d- ờng tròn d) Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất . Giải 4 c 1 I B A D C O Trờng THCS An Đà A O / O H B N M Q P a)Chứng minh H , B , C thẳng hàng H thuộc đờng tròn đờng kính AB => AHB = 90 0 H thuộc đờng tròn đờng kính AC => AHC = 90 0 Suy ra H , B , C thẳng hàng b) Tứ giác BCNM là hình gì ? BCNM là hình thang vuông c)Chứng minh A , H , P , Q cùng nằm trên một đờng tròn AHP = 90 0 => A , H , P nằm trên đờng tròn đgk AP AQP = 90 0 => A , Q , P nằm trên đờng tròn đgk AP Vậy A , H , P , Q cùng nằm trên đờng tròn đgk AP d) Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất Xét tam giác ABC có OO / là đờng trung bình nên OO / = 2 1 BC hay BC = 2 OO / = không đổi Trong hình thang vuông BCNM có MN BC . do đó MN lớn nhất bằng BC lúc này BC // NM Vậy khi d // OO / thì dộ dài NM lớn nhất Bài tập 6: Cho đờng tròn tâm O dây cung AB . Trên đoạn AB lấy điểm P tuỳ ý vẽ các đờng tròn (C) và (D) đi qua P tiếp xúc với đơng tròn (O) theo thứ tự là A , B . Hai dờng tròn â và (D) cắt nhau tại điểm thứ hai N. Chứng minh a) tứ giác OCPD là hình bình hành b) PNO = 90 0 c) Khi P di động trên AB thì N chạy trên đờng nào ? Giải a)Theo t/c đờng nối tâm Vì (C) tiếp xúc (O) nên A, C , O thẳng hàng Vì (D) tiễp xúc (O) nên B , D , O thẳng hàng Tam giác ACP và AOB cân => CAP = CPA CAP = OBA Suy ra CPA = OBA => CP // OB C/m tơng tự PD // OA Vậy tứ giác CODP là hình bình hành . b)C/m PNO = 90 0 5 C / / //// Trêng THCS An §µ K H P D C N O BA Do (C) c¾t (D) t¹i N vµ P nªn theo t/c dêng nèi t©m ta cã CD ⊥ NP vµ HN = HP xÐt tam gi¸c PON cã HK lµ ®êng trung b×nh => HK // NO mµ HK ⊥ NP vËy NO ⊥ NP c) Khi P di ®éng trªn AB th× N ch¹y trªn ®êng nµo ? Bèn ®iÓm N , O , A , B cïng n»m trªn mét ®êng trßn VËy N n»m trªn ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AOB. 6 Trờng THCS An Đà Bài tập 7: ( đề 1 ôn tập và kiểm tra ) Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ các đờng tròn (B; BA) và (C ;CA) a) chứng minh rằng hai đờng tròn (B) và (C) cắt nhau b) Gọi D là giao điểm thứ hai của đòng tròn (B) và (C) . Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của (B) c) Vẽ đờng kính DCE của (C). Tiếp tuyến của đờng tròn (C) tại E cắt BA ở K . Chứng minh rằng CK vuông góc với BC d) Chứng minh rằng AD // DK e) Tính diện tích tứ giác BDEK , biết AB = 4 cm , AC = 6cm . Giải 1 2 3 4 D B C E K A a) Chứng minh hai đờng tròn (B) và (C) cắt nhau Giả sử tam giác ABC có CA > BA . Đặt CA = R , BA = r ta có CA BA < BC < CA + BA tức là R r < BC < R + r Vậy hai đờng tròn cắt nhau . b)C/m CD là tiếp tuyến của (B) Xét tam giác ABC và tam giác DBC có : BA = BD CA = CD BC cạnh chung Suy ra ABC = DBC ( c.c.c ) suy ra BAC = BDC Ta có BAC = 90 0 nên BDC = 90 0 Đờng thẳng CD đi qua điểm D của đờng tròn tâm B và CD vuông góc với BD nên CD là tiếp tuyến của đờng tròn (B). c) Chứng minh CK vuông góc với BC. ABC = DBC ( cmt) => C 1 = C 2 KA và KE là hai tiếp tuyến cắt nhau của (C) nên C 3 = C 4 (t/c tt) Ta có CB , CK là các tia phân giác của hai góc kề bù ACD và ACE nên CK CB. d) Chứng minh AD // DK Hai đờng tròn (B) va (C) cắt nhau nên AD BC Ta lại có CK BC ( câu c) . Suy ra AD // CK ( cùng vuông góc với BC ) e) Tính diện tích tứ giác BDEK 7 Trờng THCS An Đà Tam giác BCK vuông tại C , đờng cao CA nên CA 2 = AB . AK ( HTL trong tam giác vuông ) Suy ra AK = 9 4 6.6 2 == AB CA (cm) Do đó KE = AK = 9 cm Tứ giác BDEK có BD // EK ( cùng vuông góc với DE ) nên là hình thang , có diện tích bằng 7812. 2 94 . 2 = + = + DE KEBD (cm 2 ) Bài tập 8(4/172 ÔTVTKTĐG) Cho tam giác ABC cân tại A , góc A tù , điểm D thuộc cạnh BC , BD < DC. a) nêu cách dựng đờng tròn (O) đi qua B , D và có tâm nằm trên cạnh AB. b) Nêu cách dựng đờng trond (O / ) di qua C , D và có tâm nằm trên cạnh AC. c) Tứ giác AODO / là hình gì ? d) Chứng minh rằng hai đờng tròn (O) và (O / ) cắt nhau e) Gọi E là giao điểm thứ hai của (O) và (O / ). Chứng minh rằng EA // OO / f) Tính số đo góc AED. g) Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì AD là tiếp tuyến của (O). Giải a) cách dựng đ ờng tròn (O) đi qua B , D và có tâm nằm trên cạnh AB. Dựng đờng trung trực của đạn thẳng BD cắt AB ở O . Dựng đờng tròn (O; OB) b) cách dựng đ ờng trond (O / ) di qua C , D và có tâm nằm trên cạnh AC. Dựng đờng trung trực của đoạn thẳng DC , cắt AC ở O / .Dựng đờng tròn (O / ; DC). c) Tứ giác AODO / là hình gì Ta có ODB = B ( tam giác OBD cân ) C = B ( tam giác ABC cân ) Suy ra ODB = C nên OD // AC Tơng tự O / D // AB Tứ giác AODO / có OD // AC O / D // AB Nên là hình bình hành . d) Chứng minh rằng hai đ ờng tròn (O) và (O / ) cắt nhau Đặt O / D = R , OD = r , ta có : O / D OD < OO / < O / D + OD ( BĐT tam giác ) Suy ra R r < OO / < R + r Vậy hai đờng tròn (O) và (O / ) cá nhau e) Chứng minh rằng EA // OO / Gọi I , K lần lợt là giao điểm của DE , DA với OO / Theo tính chất đờng nối tâm của hai đờng tròn cắt nhau thì DI = IE Theo câu c) AODO / nên KD = KA ( t/c đờng chéo hbh) Do đó IK là đờng trung bình của tam giác DEA, suy ra IK // AE . Vậy EA // OO / f) Tính số đo góc AED. Theo tính chất hai đờng tròn cắt nhau ta có OO / ED 8 l m K I D E O / O B C A Trờng THCS An Đà Mà EA // OO / ( theo câu d) Do đó DE EA . Vậy AED = 90 0 . h) Tìm vị trí của điểm D AD là tiếp tuyến của (O) AD OD AD AC ( vì OD // AC ). Vậy D ở vị trí trên BC sao cho DA vuông góc với AC. Bài tập 9: Cho tamgiác ABC vuông tại A . Trên nửa mf chứa điểm A bờ BC, vẽ các tia Bx , Cy vuông góc với BC . Gọi M là trung điểm của BC . Qua M kẻ đờng vuông góc với AB , cắt Bx ở O . a) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đờng tròn (O; OA) b) Chứng minh rằng MA là tiếp tuyến của đờng tròn (O; OA) c) Nêu cách dựng đờng tròn đi qua A tiếp xúc với BC tại C d) Chíg minh rằng ba điểm O , A , O / thẳng hàng e) Tính số đo góc OMO / f) Cho BC = 2a . Tính tích OB. O / C. Giải a) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đ - ờng tròn (O; OA) Tam giác ABC vuông tại .Tam giác AMB cân tại M , OM AB nên MO là đờng trung trực của AB , suy ra OA = OB , do đó B thuộc đờng tròn (O; OA). Đờng thẳng BC đi qua đi qua điểm B của (O) và BC vuông góc với OB nên nên BC là tiếp tuyến của đờng tròn (O) b)Chứng minh rằng MA là tiếp tuyến của đ - ờng tròn (O; OA) OAM = OBM ( c.c.c) nên OAM = OBM = 90 0 hay MA OA Suy ra MA là tiếp tuyến của (O). c) Nêu cách dựng đ ờng tròn đi qua A tiếp xúc với BC tại C Qua M kẻ đờng thẳng vuông góc với AC , Cy tại O / . Đờng tròn (O / ;O / A) đi qua A tiếp xúc với BC tại C. d) Ch íg minh rằng ba điểm O , A , O / thẳng hàng Chng minh tơng tự câu b), ta có O / AM = 90 0 Ta có MAO + MAO / = 90 0 + 90 0 = 180 0 .Vậy ba điểm O , A , O / thẳng hàng . e) Tính số đo góc OMO / MO và MO / là tia phân giác của hai góc kề bù AMB và AMC nên OMO / = 90 0 f)Cho BC = 2a . Tính tích OB. O / C. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có OB = OA ; O / C = O / A suy ra : OB . O / C = OA. O / A Mà OA. O / A = MA 2 ( htl trong tam giác vuông OMO / ) MA = 2 1 BC = a .Vậy OB . O / C = a 2 9 c 2 M y x O ' O C B A A Trờng THCS An Đà Bài tập 10: ( 2/171 - ÔTVKTĐGT9) Cho hai đờng tròn (O;2cm)và (O / ;1cm)tiếp xúc ngoài tại A .Kẻ tiếp tuyến chung BC , B thuộc (O), C thuộc (O / ) . Kẻ tiếp tuyến chung tại A cắtBC ở I a) Tính số đo góc OIO / b) Tính độ dài BC c) Chứng minh OO / là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính BC d) Gọi K là giao điểm của BC và OO / . Tính độ dài OK? Giải a)Tính số đo góc OIO IO và IO / là hai tia phân giá của hai góc kề bù AIB và AIC nên OIO / = 90 0 b)Tính độ dài BC Tam giác OIO / vuông tại I , IA OO / nên IA 2 =OA. O / A= 2.1 = 2 Suy ra IA = 2 (cm) BC = 2IA = 2 2 (cm) c)Chứng minh OO / là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính BC Đờng tròn đgk BC tâmI , bán kính IA . Đờng thẳng OO / đi qua điểm A của (I) và OO / IA nên OO / là tiếp tuyến của đờng tròn tâm I d)Tính độ dài OK? Ta có:OB // O / C => 2 1 // == OB CO KO KO ( ĐL Talet) => 2 12 / = KO KOKO => 2 1 / = KO OO => KO = 2OO / = 2.3 = 6(cm) 10 C K A I B O / O . trên đờng nối tâm . Các dạng bài tập Dạng 1: Các bài toán cho hai đờng tròn tiếp xúc nhau Dạng 2 :Các bài toán cho hai đờng tròn cắt nhau Dạng 3 : Xác định. thuộc đờng tròn đờng kính OO / Lại có OM d Vậy d là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính OO / . Bài tập 4: Dựng đờng tròn tiếp xúc với một đờng tròn cho trớc