Đang tải... (xem toàn văn)
Truyện
www.nguoithay.org Bài Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x y2 2x 8y Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 cắt đường tròn theo dây cung có độ dài Trang dạy học đầy video wwww.nguoithay.com Hướng dẫn: Đường thẳng d' song song với d : 3x+y+m=0 3 m m - IH khoảng cách từ I đến d' : IH 5 AB - Xét tam giác vng IHB : IH IB 25 16 m 1 A K x+2y-5=0 C m 19 d ' : 3x y 19 B(2;-1) H 16 m 20 25 m 21 d ' : 3x y 21 3x-4y+27=0 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho đường tròn (C) : x y x y đường thẳng d : x y Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho từ điểm M kẻ đến Trang dạy học đầy video wwww.nguoithay.com Hướng dẫn: - M thuộc d suy M(t;-1-t) Nếu tiếp tuyến vng góc với MAIB hình vng ( A,B tiếp điểm ) Do AB=MI= IA =R = - Ta có : MI 2 t 2 t 2 A 2t - Do : I(2;1) t M1 2; M 2t 12 t t M 2; x+y+1=0 * Chú ý : Ta cách khác - Gọi d' đường thẳng qua M có hệ số góc k suy d' có phương trình : y=k(x-t)-t-1, hay : kx-y-kt-t-1=0 (1) 2k kt t - Nếu d' tiếp tuyến (C) kẻ từ M d(I;d')=R 1 k 2 B t k t 2 1 k t 4t k t t k t 4t t 4t - Từ giả thiết ta có điều kiện : ' t t 4t t 4t t 4t 1 t 4t t k1 k2 2 - ' t 19 t t k1; k2 M 2 k1k2 1 t Bài Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x y 3x Tia Oy cắt (C) A Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = tiếp xúc ngồi với (C) A Hướng dẫn: - (C) có I( 2 3;0 ), R= Gọi J tâm đường tròn cần tìm : Trang dạy học đầy video wwww.nguoithay.com www.nguoithay.org J(a;b) C ' : x a y b -Do (C) (') tiếp xúc ngồi với khoảng cách IJ =R+R' a 3 2 y A(0;2) b a 3a b 28 2 - Vì A(0;2) tiếp điểm : a b I(-2 x ;0) a b 36 a 3a b 24 - Do ta có hệ : 2 2 a 4b b a b - Giải hệ tìm : b=3 a= C ' : x y 3 2 * Chú ý : Ta có cách giải khác - Gọi H hình chiếu vng góc J Ox suy OH a JH b IA IO OA - Xét tam giác đồng dạng : IOA IHJ suy : IJ IH HJ a2 b - Từ tỷ số ta tìm : b=3 a= Bài Trongmặtphẳngtoạđộ Oxy chođườngtròn (C) : x2 + y2 + 4x – 6y + = vàđiểm M( 1; 8).Viếtphươngtrìnhđườngthẳng d qua M saocho d cắt (C) tạihaiđiểm A,B phânbiệtmàdiệntích tam giác ABI đạtgiátrịlớnnhất Hướng dẫn: Bài Với I làtâmcủađườngtròn (C).Cho A(1 ; 4) vàhaiđườngthẳng b : x + y – = ; c : x + y – = Tìmđiểm B trênb ,điểm C c saocho tam giác ABC vngcântại A Trang dạy học đầy video wwww.nguoithay.com Hướng dẫn: Bài Hướng dẫn: * Dễ dàng xác định đỉnh C đối xứng với A qua tâm I(1,-2) => C(0;2) * Do diện tích ABC suy 104 d(B;AC)= B giao điểm đường thẳng song song với AC cách AC khoảng ; với đường tròn (C) Kết ta có điểm B có tọa độ (0.00, 0.00);;(2.00, –4.00) Bài A(2;0) O E I I C(0;-4) Trang dạy học đầy video wwww.nguoithay.com H 10 14 www.nguoithay.org 12 10 Hướng dẫn: * Đường tròn (C) có tâm H(1;-2); bán kính R=5 tiếp xúc với đường thẳng (d) A'(4;2) * Tam giác ABC có trực tâm H, hai đỉnh B C thuộc (d) A' chân đường cao thuộc BC A thuộc (C) nên AA' đường kính A(-2;-5) * trung 20 điểm F 15AB thuộc (C) nên 25 10 HF//= A'B =>A'B=10 Từ ta tìm tọa độ B= (12;-4) * Do C thuộc (d) nên tọa độ C thỏa mãn C A' E hệ thức:CA' =tA'B CH AB =0 => C(0;5) Tọa độ đỉnh tam giác : A=(-2;-5);B= (12;-4);C=(0;5) 10 15 H B F A 10 12 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn (C ) : x2 y – x – y 0, (C ') : x2 y x – qua M(1; 0) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C ), (C ') A, B cho MA= 2MB Trang dạy học đầy video wwww.nguoithay.com Hướng dẫn: * Cách x at - Gọi d đường thẳng qua M có véc tơ phương u a; b d : y bt - Đường tròn C1 : I1 1;1 , R1 C2 : I 2;0 , R2 , suy : C1 : x 1 y 1 2 1, C2 : x y t M 2ab 2b - Nếu d cắt C1 A : a b t 2bt A 1 ; b 2 t a b a b a b t M 6a 6ab 2 - Nếu d cắt C2 B : a b t 6at B 1 ; a t a b2 a b a b 2 - Theo giả thiết : MA=2MB MA 4MB * 2 2 2 6a 2 6ab 2 2ab 2b 2 2 2 - Ta có : 2 a b a b a b a b b 6a d : x y 4b2 36a b2 36a 2 a b a b b a d : x y * Cách - Sử dụng phép vị tự tâm I tỉ số vị tự k= ( Học sinh tự làm ) Bài Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình C1 : x2 y y C2 : x2 y x y 16 Lập phương trình tiếp tuyến chung C1 Trang y họ c đ ầ y video wwww.nguoithay.com Trang dạy học đầy video wwww.nguoithay.com C2 www.nguoithay.org Hướng dẫn: : - Ta có : C1 : x2 y 2 I1 0; 2 , R1 3, - Nhận xét : I1I C2 : x 3 y 4 13 C1 khơng cắt C2 2 I 3; 4 , R2 - Gọi d : ax+by+c =0 ( a b2 ) tiếp tuyến chung , : d I1 , d R1 , d I , d R2 2b c 1 2b c 3a 4b c 3a 4b c 2b c a b2 2b c 3a 4b c 2 2 a b a b 3a 4b c 2b c 3a 4b c a b2 a 2b Mặt khác từ (1) : 2b c a b2 3a 2b 2c - Trường hợp : a=2b thay vào (1) : 2b 5c b 2b c 4b2 b2 41b2 4bc c 0. 'b 4c 41c 45c 23 c b - Do ta có hai đường thẳng cần tìm : 2 x 2 y 1 2 x y 2 x 2 y 1 2 x y d : d1 : - Trường hợp : c 2b 3a , thay vào (1) : 2b 2b 3a a b 2 2b a a b a b0c b 0, a 2c 2 2 2b a a b 3b 4ab b 4a , a 6c a a b c - Vậy có đường thẳng : d3 : x , d4 : x y Bài 10 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn : (C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25 Hướng dẫn: - Ta có (C) với tâm I(5;-12) ,R=15 (C') có J(1;2) R'=5 Gọi d tiếp tuyến chung có phương trình : ax+by+c=0 ( a b2 ) 5a 12b c a 2b c 15 1 , h J , d 2 - Khi ta có : h I , d a b2 a b2 5a 12b c 3a 6b 3c - Từ (1) (2) suy : 5a 12b c a 2b c 5a 12b c 3a 6b 3c a 9b c Thay vào (1) : a 2b c a b2 ta có hai trường hợp : 2a b c - Trường hợp : c=a-9b thay vào (1) : 2a 7b 25 a b2 21a 28ab 24b2 Trang dạy học đầy video wwww.nguoithay.com www.nguoithay.org 14 10 14 10 175 10 d : 0 a x y 21 21 21 Suy : a 14 10 d : 14 10 x y 175 10 21 21 21 - Trường hợp : c 2a b 1 : 7b 2a 100 a b2 96a 28ab 51b2 Vơ nghiệm ( Phù hợp : IJ 16 196 212 R R ' 15 20 400 Hai đường tròn cắt ) Bài 11 Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + = điểm M (2;4) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt đường tròn điểm A B, cho M trung điểm AB Trang y họ c đ ầ y video wwww.nguoithay.com Hướng dẫn: - Đường tròn (C) : x 1 y 3 I 1;3 , R 2, PM /(C ) 2 M nằm hình tròn (C) x at - Gọi d đường thẳng qua M(2;4) có véc tơ phương u a; b d : y bt 2 - Nếu d cắt (C) A,B : at 1 bt 1 a b2 t a b t 1 ( có nghiệm t ) Vì điều kiện : ' a b a b2 3a 2ab 3b2 * - Gọi A at1;4 bt1 , B at2 ;4 bt2 M trung điểm AB ta có hệ : 4 a t1 t2 a t1 t2 t1 t2 Thay vào (1) áp dụng vi ét ta : 8 b t1 t2 b t1 t2 a b x2 y4 t1 t2 a b a b d : d : x y6 a b 1 Bài 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = có tâm I đường thẳng : mx + 4y = Tìm m biết đường thẳng cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB 12 2 Hướng dẫn: - (C) : x 1 y m 25 I (1; m), R m y x - Nếu d : mx +4y=0 cắt (C) điểm A,B 2 m 16 x m x m 24 1 16 m m - Điều kiện : ' m2 25 m R Khi gọi A x1 ; x1 , B x2 ; x2 m2 m2 16 m2 25 x x x x 1 16 m2 16 m 4m 5m - Khoảng cách từ I đến d = m2 16 m2 16 5m 1 m2 25 m2 25 5m 12 - Từ giả thiết : S AB.d 2 m2 16 m2 16 m2 16 AB x2 x1 Trang dạy học đầy video wwww.nguoithay.com www.nguoithay.org m2 25 25m2 m2 25 m2 16 m 16 - Ta có phương trình trùng phương , học sinh giải tiếp Bài 13 Viết phương trình đường tròn qua hai điểm A(2; 5), B(4;1) tiếp xúc với đường thẳng có phương trình 3x – y + = Hướng dẫn: Gọi M trung điểm AB suy M(3;3 ) d' đường trung trực AB d' có phương trình : 1.(x-3)2(y-3)=0 , hay : x-2y+3=0 - Tâm I (C) nằm đường thẳng d' I(2t-3;t) (*) 2t 3 t 5t 10 - Nếu (C) tiếp xúc với d h I , d R t R (1) 10 10 5m - Mặt khác : R=IA= 2t t - Thay (2) vào (1) : 2t t 2 2 (2) 10 t 5t 30t 50 10t 2 t 34 Thay giá trị t vào (*) (1) ta tìm tọa độ tâm I bán kính R t 12t t 34 (C) * Chú ý : Ta sử dụng phương trình (C) : x2 y 2ax 2by c ( có ẩn a,b,c) - Cho qua A,B ta tạo phương trình Còn phương trình thứ sử dụng điều kiện tiếp xúc (C) d : khoảng cách từ tâm tới d bán kính R Bài 14 Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết (C') A (C) điểm A, B cho AB Hướng dẫn: - Đường tròn (C) : H 2 x 1 y 2 I 1; 2 , R I M - Gọi H giao AB với (IM) Do đường tròn (C') tâm M B có bán kính R' = MA Nếu AB= IA R , tam giác 3 ( đường cao 2 tam giác ) Mặt khác : IM=5 suy HM= 2 AB 49 13 R '2 - Trong tam giác vng HAM ta có MA2 IH 4 2 - Vậy (C') : x 5 y 1 13 IAB tam giác , IH= Bài 15 Trong mỈt ph¼ng víi hƯ täa ®é Oxy cho ®-êng trßn (C) cã ph-¬ng tr×nh (x-1)2 + (y+2)2 = vµ ®-êng th¼ng d: x + y + m = T×m m ®Ĩ trªn ®-êng th¼ng d cã nhÊt mét ®iĨm A mµ tõ ®ã kỴ ®-ỵc hai tiÕp tun AB, AC tíi ®-êng trßn (C) (B, C lµ hai tiÕp ®iĨm) cho tam gi¸c ABC vu«ng x+y+m=0 Hướng dẫn: - (C) có I(1;-2) bán kính R=3 Nếu tam giác ABC B vng góc A ( có nghĩa từ A kẻ tiếp tuyến tới (C) tiếp tuyến vng góc với ) A ABIC hình vng Theo tính chất hình vng ta có I(1;-2) IA= IB (1) - Nếu A nằm d A( t;-m-t ) suy : C Trang dạy học đầy video wwww.nguoithay.com www.nguoithay.org IA t 1 t m 2 Thay vào (1) : t 1 t m 2t m 1 t m2 4m 13 (2) Để d có 2 điểm A (2) có nghiệm t , từ ta có điều kiện : m2 10m 25 m 5 m 5 Khi (2) có nghiệm kép : m 5 3 A 3;8 2 Bài 16 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = (d2): 4x + 3y - 12 = Tìm toạ độ tâm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có cạnh nằm (d1), (d2), trục Oy 4 x y 12 Hướng dẫn: - Gọi A giao d1 , d A : A 3;0 Ox 4 x y 12 - Vì (BC) thuộc Oy gọi B giao d1 với Oy : cho x=0 suy y=-4 , B(0;-4) C giao t1 t2 t0 d với Oy : C(0;4 ) Chứng tỏ B,C đối xứng qua Ox , mặt khác A nằm Ox tam giác ABC tam giác cân đỉnh A Do tâm I đường tròn nội tiếp tam giác thuộc Ox suy I(a;0) IA AC IA IO OA - Theo tính chất phân giác : IO AO IO IO 4OA 4.3 4 IO Có nghĩa I( ; ) 9 3 1 15 AB BC CA 5 18 r - Tính r cách : S BC.OA 5.3 2 2 r r 15 2 Bài 17 Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường tròn : C1 : x y 13 C2 : x y 25 cắt A(2;3).Viết phương trình đường thẳng qua A cắt C1 , C2 theo hai dây cung có độ dài Hướng dẫn: - Từ giả thiết : C1 : I 0;0 , R 13 C2 ; J 6;0 , R ' x at - Gọi đường thẳng d qua A(2;3) có véc tơ phương u a; b d : y bt x at 2a 3b - d cắt C1 A, B : y bt a b t 2a 3b t t a b2 x y 13 b 2b 3a a 3a 2b B 2 ; 2 Tương tự d cắt C2 A,C tọa độ A,C nghiệm hệ : a b a b x at 4a 3b 10a 6ab 2b 3a 8ab 3b y bt t C ; a b2 a b2 a b2 2 x y 25 - Nếu dây cung A trung điểm A,C Từ ta có phương trình : x a ; d : 2 2b 3ab 10a 6ab 2b 6a 9ab y 3t a b2 a b2 3 a b u b; b // u ' 3; 2 Trang dạy học đầy video wwww.nguoithay.com www.nguoithay.org x 3t Suy : d : Vậy có đường thẳng : d: x-2=0 d': 2x-3y+5=0 y 2t Bài 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm E(-1;0) đường tròn ( C ): x2 + y2 – 8x – 4y – 16 = Viết phương trình đường thẳng qua điểm E cắt ( C ) theo dây cung MN có độ dài ngắn 2 Hướng dẫn: - C : x y 36 I 4; , R - Nhận xét : P/(M,C)=1+8-16=-7 I’( y t 2 3t; 2t ), AI 2I ' A t I '( 3;3) (C’): x y 3 Bài 41 Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + = điểm M (2;4) a) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt đường tròn điểm A B, cho M trung điểm AB b) Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn, biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -1 Hướng dẫn: a (C) : I(1; 3), R= 2, A, B (C ) , M trung điểm AB => IM AB Đường thẳng d cần tìm đg thẳng AB; d qua M có vectơ pháp tuyến IM => d: x + y - =0 Trang dạy học đầy video wwww.nguoithay.com www.nguoithay.org b Đg thẳng tiếp tuyến có dạng : y = - x + m x + y – m =0 (d’)d’ tiếp xúc với (C) d ( I ; d ') R m 2 x y (4 2) Pt tiếp tuyến : m 2 x y (4 2) Bài 42 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = có tâm I đường thẳng : mx + 4y = Tìm m biết đường thẳng cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB 12 Hướng dẫn: Đường tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = Gọi H trung điểm dây cung AB Ta có IH đường cao tam giác IAB | m 4m | | 5m | I IH = d ( I , ) m 16 m2 16 (5m)2 20 H B A AH IA2 IH 25 m 16 m 16 Diện tích tam giác IAB SIAB 12 2S IAH 12 m 3 d ( I , ) AH 12 25 | m | 3( m 16) 16 m Bài 43 Viết phương trình đường tròn qua hai điểm A(2; 5), B(4;1) tiếp xúc với đường thẳng có phương trình 3x – y + = Hướng dẫn: Gọi I a; b tâm đường tròn ta có hệ a b a 1 b (1) IA IB 3a b 2 IA d I ; a b 2 10 1 a 2b vào (2) ta có b *) với 2 2 12b 20 b b 10 b a 1; R 10 C : x 1 y 10 2 *)với b 10 a 17; R 250 C : x 17 2 y 102 250 Bài 44 Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) điểm A, B cho AB Hướng dẫn: Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = có tâm I(1, –2) R Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) A, B nên AB IM trung điểm H đoạn AB AB Ta có AH BH Có vị trí cho AB đối xứng qua tâm I Gọi A'B' vị trí thứ AB ; 2 3 Gọi H' trung điểm A'B' ; Ta có: IH ' IH IA AH 13 2 Ta có: MI 1 1 MH MI HI ; MH ' MI H ' I 2 2 49 52 Ta có: R12 MA2 AH2 MH2 13 4 169 172 R22 MA'2 A' H'2 MH'2 43 4 Vậy có đường tròn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13 hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43 Trang dạy học đầy video wwww.nguoithay.com www.nguoithay.org Bà i 45 Trong mỈt ph¼ng víi hƯ täa ®é Oxy cho ®-êng trßn (C) cã ph-¬ng tr×nh (x-1)2 + (y+2)2 = vµ ®-êng th¼ng d: x + y + m = T×m m ®Ĩ trªn ®-êng th¼ng d cã nhÊt mét ®iĨm A mµ tõ ®ã kỴ ®-ỵc hai tiÕp tun AB, AC tíi ®-êng trßn (C) (B, C lµ hai tiÕp ®iĨm) cho tam gi¸c ABC vu«ng Hướng dẫn: Tõ ph-¬ng tr×nh chÝnh t¾c cđa ®-êng trßn ta cã t©m I(1;-2), R = 3, tõ A kỴ ®-ỵc tiÕp tun AB, AC tíi ®-êng trßn vµ AB AC => tø gi¸c ABIC lµ h×nh vu«ng c¹nh b»ng IA m 1 m 5 m 1 m Bài 46 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = (d2): 4x + 3y - 12 = Tìm toạ độ tâm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có cạnh nằm (d1), (d2), trục Oy Hướng dẫn: Gọi A giao điểm d1 d2 ta có A(3 ;0) ;Gọi B giao điểm d1 với trục Oy ta có B(0 ; - 4) Gọi C giao điểm d2 với Oy ta có C(0 ;4) ; Gọi BI đường phân giác góc B với I thuộc OA ta có I(4/3 ; 0), R = 4/3 Bài 47 Cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) đường thẳng (d): x - y - = Lập phương trình đường tròn qua điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng (d) Hướng dẫn: Giả sử phương trình cần tìm (x-a)2 + (x-b)2 = R2 Vì đường tròn qua A, B tiếp xúc với d nên ta có hệ phương trình (1 a) b R a 2 2 (1 a) (2 y ) R b Vậy đường tròn cần tìm là: x + (y - 1) = (a b 1) R R2 Bài 48 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn : (C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25 Hướng dẫn: Đường tròn (C1) có tâm I1(5 ; -12) bán kính R1 = 15 , Đường tròn (C2) có tâm I2(1 ; 2) bán kính R1 = Nếu đường thẳng Ax + By + C = (A2 + B2 0) tiếp tuyến chung (C1) (C2) khoảng cách từ I1 I2 đến đường thẳng R1 R2 , tức : 5A 12B C 15 1 A B2 Từ (1) (2) ta suy : | 5A – 12B + C | = 3| A + 2B + C | A 2B C 2 A B2 Hay 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C) TH1 : 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C) C = A – 9B thay vào (2) : 14 10 |2A – 7B | = A2 B2 21A2 28AB 24B2 A B 21 Nếu ta chọn B= 21 A = - 14 10 , C = 203 10 Vậy có hai tiếp tuyến :(- 14 10 )x + 21y 203 10 = 4A 3B TH2 : 5A – 12B + C = -3(A + 2B + C) C , thay vào (2) ta : 96A2 + 28AB + 51B2 = Phương trình vơ nghiệm ( xong đề 420) Bài 49 Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d : x y : x y Lập phương 10 , có tâm thuộc d tiếp xúc với Hướng dẫn: Tâm đường tròn thuộc d nên có dạng I (2a 3; a) Đường tròn tiếp xúc với nên trình đường tròn có bán kính d ( I , ) R a2 10 10 a 6; a 2 Với a ta có I (9;6) suy phương trình đường tròn: ( x 9) ( y 6) Trang dạy học đầy video wwww.nguoithay.com www.nguoithay.org với a 2 ta có I (7;2) ,suy phương trình đường tròn: ( x 7) ( y 2) 8 ( x 7) ( y 2) 5 Bài 50 Trong hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d : x y đường tròn C : ( x 1)2 ( y 1)2 10 Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn (C ) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d góc 450 Vậy có hai đường tròn thoả mãn là: ( x 9) ( y 6) Hướng dẫn: Đường tròn có tâm I (1;1) bán kính R 10 Gọi n(a, b) vectơ pháp tuyến tiếp tuyến (a b 0) , đường thẳng tạo với đường thẳng d góc 450 nên 2a b a2 b2 a 3b b 3a Với a 3b , phương trình tiếp tuyến có dạng 3x y c 0() 4c c 10 d ( I ; ) R 10 c 14 Với b 3a , phương trình tiếp tuyến có dạng x y c 0() 2c c 8 10 10 c 12 Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm là: 3x y 0; 3x y 14 ; x y 0; x y 12 Bài 51 Trong mp với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x – 2y + = đường thẳng(d): 3x + y – = Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn(C),biết tếp tuyến khơng qua gốc toạ độ O hợp với đường thẳng (d) góc 450 d (I , d ) Hướng dẫn: C) có tâm I(3;1), R = ; Tiếp tuyến (): ax + by + c = cos(d, ) = ==> 1: 2x – y – 10 = 0; 2: x + 2y – 10 = Bài 52 Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x – 2y + = Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(0;2) cắt (C) theo dây cung có độ dài l = Hướng dẫn: d1: 2x + y – = 0; d2: x – 2y + = Bài 53 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, xét tam giác ABC vuông A, phương trình đường thẳng BC 3x y , đỉnh A B thuộc trục hoành bán kính đường tròn nội tiếp Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Hướng dẫn: I tâm đường tròn ngoại tiếp ABC ==> yI = ± 1 BI: y = tan300(x – 1) ==> y = ==> x1 x 3 TH1: Nếu A O khác phía B x1 ==> A( 3 ;0) d ( I ; ) R ==> G1 TH2:Nếu A O phía B x1 ; 3 ==> A( ; 3 Bài 54 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 6) , phương trình đường thẳng chứa đường cao trung tuyến kẻ từ đỉnh C x y 13 x 13 y 29 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Hướng dẫn: ==> G2 Trang dạy học đầy video wwww.nguoithay.com www.nguoithay.org - Gäi ®-êng cao vµ trung tun kỴ tõ C lµ CH vµ CM Khi ®ã CH cã ph-¬ng tr×nh x y 13 , CM cã ph-¬ng tr×nh x 13 y 29 2 x y 13 - Tõ hƯ C (7; 1) 6 x 13 y 29 C(-7; -1) AB CH n AB u CH (1, 2) A(4; 6) x y 16 - Tõ hƯ M (6; 5) ; B(8; 4) 6 x 13 y 29 Gi¶ sư ph-¬ng tr×nh ®-êng trßn ngo¹i tiÕp ABC : x y mx ny p V× A, B, C thc ®-êng trßn nªn 52 4m 6n p m 4 80 8m 4n p n 50 7m n p p 72 M(6; 5) H B(8; 4) Suy pt ®-êng trßn: x y x y 72 hay ( x 2) ( y 3) 85 Bài 55 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) có phương trình x y x y đường thẳng ( ) có phương trình : x y Chứng minh ( ) ln cắt ( C ) hai điểm phân biệt A, B Tìm toạ độ điểm M đường tròn ( C ) cho diện tích tam giác ABM lớn Hướng dẫn: Đường tròn (C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = 13 Khoảng cách từ I đến đường thẳng ( ) d ( I , ) < R ; Vậy đường thẳng ( ) cắt (C) hai điểm A, 13 B phân biệt Gọi M điểm nằm (C), ta có S ABM AB.d ( M , ) Trong AB khơng đổi nên S ABM lớn d ( M , ) lớn Gọi d đường thẳng qua tâm I vng góc với ( ).PT đường thẳng d 3x + 2y - = Gọi P, Q giao điểm đường thẳng d vời đường tròn (C) Toạ độ P, Q nghiệm hệ phương trình: x y 2x y x 1, y 1 22 P(1; -1); Q(-3; 5) ; Ta có d ( P , ) ; d (Q , ) 13 13 x 3, y 3x y Ta thấy d ( M , ) lớn M trùng với Q Vậy tọa độ điểm M (-3; 5) Bài 56 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ): x y x y Viết phương trình đường tròn ( C ') tâm M (5, 1) biết ( C ') cắt ( C ) hai điểm A , B cho AB Hướng dẫn: Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = có tâm I(1, –2), bk R Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) A, B nên AB IM trung điểm H đoạn AB AB Ta có AH BH 2 Gọi Trường hợp 1: Có vị trí cho AB đối xứng qua tâm I Gọi A'B' vị trí thứ AB 3 Gọi H' trung điểm A'B' ; Ta có: IH ' IH IA AH Trang dạy học đầy video wwww.nguoithay.com www.nguoithay.org Ta có: MI 1 1 2 MH MI HI ; 2 MH ' MI H ' I 13 2 49 52 13 4 169 172 R22 MA'2 A' H'2 MH'2 43 4 Vậy có đường tròn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13 hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43 Bài 57 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I (4;0) , Ta có: R12 MA2 AH2 MH2 đường cao đường trung tuyến kẻ từ A có phương trình x y x y Tìm toạ độ đỉnh A, B, C x y x A(1;1) x y y 1 Hướng dẫn: Tọa độ A nghiệm hệ Gọi M trung điểm BC Do I tâm đường tròn ngoại tiếp ABC IM BC IM / / AH nIM nAH (1;1) Pt đường thẳng IM 1( x 4) 1( y 0) x y Do M trung điểm BC nên M thuộc trung tuyến kẻ từ A x y M (5; 1) x y Tọa độ M nghiệm hệ BC AH nBC u AH (1;1) Pt BC 1( x 5) 1( y 1) x y Ta có IA (1 4)2 12 10 Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( x 4)2 y 10 ( x 4)2 y 10 x x Tọa độ BC nghiệm hệ y 3 y 1 x y Vậy B(3; 3) C (7;1) , B(7;1) C (3; 3) Bài 58 Trong mỈt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho ®-êng trßn (C) cã ph-¬ng tr×nh x2 y x y 20 Tõ ®iĨm M (2; 4) kỴ c¸c tiÕp tun ®Õn ®-êng trßn (C), gäi c¸c tiÕp ®iĨm lµ T1vµ T2 ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng T1T2 Hướng dẫn: §-êng trßn cã t©m I(1; -2), b¸n kÝnh R = Cã IM (2 1)2 (4 2)2 37 IM =R Gi¶ sư T(x; y) lµ mét tiÕp ®iĨm , cã MT ( x 2; y 4) , IT ( x 1; y 2) cã MT IT x y 3x y T (C) nªn (1) x y x y 20 (2) x y 14 =>T thc ®-êng th¼ng d cã ph-¬ng tr×nh x + 6y – 14 = Do vai trß cđa T1 vµ 2 (1) – (2) T2 nh- nªn d lµ ®-êng th¼ng ®i qua T1T2 Bài 59 Trong mỈt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho ®-êng trßn (C) t©m I cã ph-¬ng tr×nh x2 y x y 20 ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng ®i qua ®iĨm M(8; 0), c¾t ®-êng trßn (C) t¹i hai ®iĨm A, B cho tam gi¸c IAB cã diƯn tÝch lín nhÊt Hướng dẫn: §-êng trßn cã t©m I(1; -2), b¸n kÝnh R = Trang dạy học đầy video wwww.nguoithay.com www.nguoithay.org 1 IA.IB.sin Iˆ R sin Iˆ suy IAB cã diƯn tÝch lín nhÊt sin Iˆ = Iˆ 900 , IAB vu«ng c©n, 2 R suy d ( I , AB) d ( I , ) §-êng th¼ng qua A(8; 0) cã ph-¬ng tr×nh : a(x – 8) +by = 0, 2 | 7a 2b | a b d ( I ; ) 73a2 56ab 17b2 a=b hc 73a = -17b 2 2 a b +) nÕu a = b chän a = b = 1, ®-êng th¼ng cã pt: x + y - =0 +) nÕu 73a = -17b chän a = 17, b = -73, ®-êng th¼ng cã pt: 17x -73y – 136 = Bài 60 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) có phương trình x y x y SIAB đường thẳng ( ) có phương trình : x y Chứng minh ( ) ln cắt ( C ) hai điểm phân biệt A, B Tìm toạ độ điểm M đường tròn ( C ) cho diện tích tam giác ABM lớn Hướng dẫn: Đường tròn (C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = 13 Khoảng cách từ I đến đường thẳng ( ) d ( I , ) < R ;Vậy đường thẳng ( ) cắt (C) hai điểm A, B phân 13 biệt.Gọi M điểm nằm (C), ta có S ABM AB.d ( M , ) Trong AB khơng đổi nên S ABM lớn d ( M , ) lớn nhất.Gọi d đường thẳng qua tâm I vng góc với ( ).PT đường thẳng d 3x + 2y - = Gọi P, Q giao điểm đường thẳng d vời đường tròn (C) Toạ độ P, Q nghiệm hệ phương trình: x y 2x y x 1, y 1 P(1; -1); Q(-3; 5) x , y x y 22 Ta có d ( P , ) ; d (Q , ) Ta thấy d ( M , ) lớn M trùng với Q 13 13 Vậy tọa độ điểm M (-3; 5) hay đường thẳng qua M vng góc với AM ; PT đường thẳng : x + y - = Bài 61 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ): x y x y Viết phương trình đường tròn ( C ') tâm M (5, 1) biết ( C ') cắt ( C ) hai điểm A , B cho AB Hướng dẫn: Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = có tâm I(1, –2), bk R Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) A, B nên AB IM trung điểm H đoạn AB Ta có AH BH AB ; Gọi 2 Trường hợp 1: Có vị trí cho AB đối xứng qua tâm I Gọi A'B' vị trí thứ AB ; Gọi H' trung điểm A'B' 3 Ta có: IH ' IH IA AH Ta có: MI Ta có: 1 1 2 MH MI HI ; 2 MH ' MI H ' I 49 52 13 4 169 172 R22 MA'2 A' H'2 MH'2 43 4 R12 MA2 AH2 MH2 Vậy có đường tròn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13 hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43 Trang dạy học đầy video wwww.nguoithay.com 13 2 www.nguoithay.org Bài 62 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 2;1 đường tròn (C): x 1 y 2 Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt B, C cho đoạn thẳng BC ngắn Hướng dẫn: Kiểm tra điểm A ta thấy A nằm đường tròn (C) Khi PA/(C) = AB.AC AB.AC IA2 R2 3 Suy AB.AC=3 Theo BĐT AM-GM ta có BC AB AC AB AC Đẳng thức xảy A trung điểm BC Đường thẳng d qua A(2;1) nhận IA (1; 1) vectơ pháp tuyến Vậy phương trình đường thẳng d x-y-1=0 Bài 63 Cho ABC có diện tích 3/2; A(2;–3), B(3;–2), trọng tâm G (d) 3x –y –8 =0 tìm bán kinh đường tròn nội tiếp ABC Hướng dẫn: Cho ABC có diện tích 3/2; A(2;–3), B(3;–2), trọng tâm G (d) 3x –y –8 =0 tìm bán kinh đường tròn nội tiếp ABC C(a; b) , (AB): x –y –5 =0 d(C; AB) = ab5 2SABC a b 8(1) ab5 AB a b 2(2) Trọng tâm G a ; b (d) 3a –b =4 (3); (1), (3) C(–2; 10) r = S 3 p 65 89 2 Bài 64 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC c A(4; 6) , phương trình đường thẳng chứa (2), (3) C(1; –1) r S p đường cao trung tuyến kẻ từ đỉnh C x y 13 x 13 y 29 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Hướng dẫn: - Gäi ®-êng cao vµ trung tun kỴ tõ C lµ CH vµ CM Khi ®ã CH cã ph-¬ng tr×nh x y 13 , CM cã ph-¬ng tr×nh x 13 y 29 - Tõ hƯ C(-7; -1) 2 x y 13 C (7; 1) 6 x 13 y 29 - AB CH n AB u CH (1, 2) pt AB : x y 16 x y 16 M (6; 5) - Tõ hƯ 6 x 13 y 29 B(8; 4) A(4; 6) H M(6; 5) - Gi¶ sư ph-¬ng tr×nh ®-êng trßn ngo¹i tiÕp ABC : x y mx ny p 52 4m 6n p m 4 V× A, B, C thc ®-êng trßn nªn 80 8m 4n p n 50 7m n p p 72 Suy pt ®-êng trßn: x y x y 72 hay ( x 2) ( y 3) 85 Bài 65 Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy, cho hai điểm A(1 ; 2), B(1 ; 6) đường tròn (C): (x - 2)2 + (y - 1)2 = Lập phương trình đường tròn (C’) qua B tiếp xúc với (C) A Hướng dẫn: (C) có tâm I(2 ; 1) phương trình đường thẳng AI: x + y – = Pt (C’) : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = có tâm I’(-a ; -b) A(1 ; 2), B(1 ; 6) thuộc (C’) tâm I’ thuộc đường thẳng AI Ta có hệ phương trình: Trang dạy học đầy video wwww.nguoithay.com B(8; 4) www.nguoithay.org 2a 4b c 5 2 2a 12b c 37 , giải hệ a = 1, b = -4, c = 9; Pt (C’) : x + y + 2x – 8y + = a b Bài 66 Trong măt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A(4;3), đường thẳng (d) : x – y – = (d’): x + y – = cắt M Tìm B (d ) C (d ') cho A tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC Hướng dẫn: Tìm tọa độ M giao d d’ Tìm tọa độ H,K hình chiếu A d d’ Từ tìm B thuộc d C thuộc d’ điểm đối xứng M qua H,K B H d A(4;3) M Bài 67 Trong mặt phẳng (Oxy), cho đường tròn (C ): 2x 2y2 7x hai điểm A(-2; 0), B(4; 3) Viết K C d' phương trình tiếp tuyến (C ) giao điểm (C ) với đường thẳng AB Trang y họ c đ ầ y video wwww.nguoithay.com 7 65 Hướng dẫn: + Đường tròn (C ) : 2x 2y 7x x y x x y 4 16 2 2 65 7 (C ) có tâm I ;0 bán kính R 4 + Đường thẳng AB với A(-2; 0) B(4; 3) có phương trình x2 y x2 , hay : y + Giao điểm (C ) với đường thẳng AB có tọa độ nghiệm hệ PT x2 2x 2y 7x 5x(x 2) 2x 7x x 0; y x2 x2 x2 x 2; y y = y = y = 2 Vậy có hai giao điểm M(0; 1) N(2; 2) 1 4 + Các tiếp tuyến (C ) M N nhận vectơ IM ;1 IN ; làm vectơ pháp tuyến , tiếp tuyến có phương trình : (x 0) 1(y 1) , hay : 7x 4y (x 2) 2(y 2) , hay : x 8y 18 Bài 68 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 1;3 nằm ngồi (C): x y x y Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt (C) hai điểm B C cho AB=BC Trang dạy học đầy video wwww.nguoithay.com www.nguoithay.org m 2a Hướng dẫn: Theo u cầu tốn A, B, C thẳng hàng AB=BC.Gọi B(a; b), C(m; n) n 2b a a a2 b2 6a 2b b b Do B, C nằm (C) nên m n 6m 2n m m n 1 n 13 Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn u cầu tốn x+y-4=0 7x+y-10=0 Bài 69 Cho hai đường tròn : (C1) : x2 + y2 – 4x +2y – = (C2) : x2 + y2 -10x -6y +30 = có tâm I, J a/.Chứng minh (C1) tiếp xúc ngồi với (C2) tìm tọa độ tiếp điểm H b/.Gọi (d) tiếp tuyến chung khơng qua H (C1) (C2) Tìm tọa độ giao điểm K (d) đường thẳng IJ Viết phương trình đường tròn (C) qua K tiếp xúc với hai đường tròn (C1) (C2) H Trang y họ c đ ầ y video wwww.nguoithay.com Hướng dẫn: a).Chứng minh (C1) tiếp xúc ngồi với (C2) tìm tọa độ tiếp điểm H (C1) cã t©m I( ; -1) vµ b¸n kÝnh R1= (C2) cã t©m J(5;3) vµ b¸n kÝnh R=2 Ta cã : IJ2 = ( – 2)2 + ( + 1)2 = 25 IJ = = R1 + R2 Suy (C1) vµ (C2) tiÕp xóc ngoµi víi Täa ®é tiÕp ®iĨm H ®-ỵc x¸c 19 x H x x x x J H I H ®Þnh bëi : 2HI 3HJ 2 y I y H 3 y J y H y H b).Gọi (d) tiếp tuyến chung khơng qua H (C1) (C2) Tìm tọa độ giao điểm K (d) đường thẳng IJ Viết phương trình đường tròn (C) qua K tiếp xúc với hai đường tròn (C1) (C2) H x 11 2 x I x K x J x K K y K 11 2 y I y K y J y K Cã : 2KI 3KJ 37 31 ; 5 §-êng trßn (C) qua K , tiÕp xóc víi (C1) , (C2) t¹i H nªn t©m E cđa (C) lµ trung ®iĨm cđa KH : E B¸n kÝnh (C) lµ EH = 6; Ph-¬ng tr×nh cđa (C) lµ : x 37 31 y 36 5 Bài 70 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(-1; 1), bán kính R=1, M điểm (d ) : x y Hai tiếp tuyến qua M tạo với (d) góc 450 tiếp xúc với (C) A, B Viết phương trình đường thẳng AB Trang y họ c đ ầ y video wwww.nguoithay.com Hướng dẫn: Dễ thấy I (d ) Hai tiếp tuyến hợp với (d) góc 450 suy tam giác MAB vng cân tam giác IAM vng cân Suy ra: IM Trang dạy học đầy video wwww.nguoithay.com www.nguoithay.org a0 M (d ) M ( a; a+2), IM (a 1; a 1) , IM a a 2 Suy có điểm thỏa mãn: M1(0; 2) M2 (-2; 0) + Đường tròn tâm M1 bán kinh R1=1 (C1): x y y Khi AB qua giao điểm (C ) (C1) nên AB: x2 y y x y x y x y + Đường tròn tâm M2 bán kinh R2=1 (C2): x y x Khi AB qua giao điểm (C ) (C2) nên AB: x2 y x x y x y x y + KL: Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: x y x y Bài 71 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-1)2 + (y+2)2 = đường thẳng d: x + y + m = Tìm m để đường thẳng d có điểm A mà từ kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C hai tiếp điểm) cho tam giác ABC vng Hướng dẫn: Từ phương trình tắc đường tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn AB AC => tứ giác ABIC hình vng cạnh IA m 5 m 1 m Bài 72 ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng trßn ®i qua hai ®iĨm A( 2;5 ), B9 4; 1) vµ tiÕp xóc víi ®-êng th¼ng cã ph-¬ng tr×nh: 3x y Hướng dẫn: Hai ®-êng trßn tho¶ m·n ®Ị bµi cã ph-¬ng tr×nh: m 1 C1 : x 12 y 22 10; C2 : x 172 y 102 250 Bài 73 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x y2 2x 8y Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 cắt đường tròn theo dây cung có độ dài Hướng dẫn: Đường tròn (C) có tâm I(-1;4), bán kính R=5; Gọi phương trình đường thẳng cần tìm , => : 3x+y+c=0, c≠2 (vì // với đường thẳng 3x+y-2=0) Vì đường thẳng cắt đường tròn theo dây cung có độ dài 6=> khoảng cách từ tâm I đến 52 32 d I , c 10 (thỏa mãn c≠2) 4 32 c 4 10 3 c Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: 3x y 10 3x y 10 Bài 74 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đường tròn ( C) : x2 y x y 15 đường thẳng (d) : mx y 3m ( m tham số) Gọi I tâm đường tròn Tìm m để đường thẳng (d) cắt (C) điểm phân biệt A,B thoả mãn chu vi IAB 5(2 2) Hướng dẫn: từ giả thiết ta tìm khoảng cách từ I(1;-3) đến đường thẳng (d) , từ tìm m ? Bài 75 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(-1; 1), bán kính R=1, M điểm (d ) : x y Hai tiếp tuyến qua M tạo với (d) góc 450 tiếp xúc với (C) A, B Viết phương trình đường thẳng AB Hướng dẫn: Dễ thấy I (d ) Hai tiếp tuyến hợp với (d) góc 450 suy tam giác MAB vng cân tam giác IAM vng cân Suy ra: IM a0 M (d ) M ( a; a+2), IM (a 1; a 1) , IM a a 2 Trang dạy học đầy video wwww.nguoithay.com www.nguoithay.org Suy có điểm thỏa mãn: M1(0; 2) M2 (-2; 0) + Đường tròn tâm M1 bán kinh R1=1 (C1): x y y Khi AB qua giao điểm (C ) (C1) nên AB: x2 y y x y x y x y + Đường tròn tâm M2 bán kinh R2=1 (C2): x y x Khi AB qua giao điểm (C ) (C2) nên AB: x2 y x x y x y x y + KL: Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: x y x y Bài 76 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + = đường thẳng : x + my – 2m + = với m tham số thực Gọi I tâm đường tròn (C) Tìm m để cắt (C) điểm phân biệt A B cho diện tích IAB lớn Hướng dẫn: (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + = có tâm I (-2; -2); R = Giả sử cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Kẻ đường cao IH ABC, ta có SABC = IA.IB.sin AIB = sin AIB Do SABC lớn sin AIB = AIB vuông I IH = 4m IA (thỏa IH < R) 1 m2 – 8m + 16m2 = m2 + 15m2 – 8m = m = hay m = 15 Bài 77 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho A(4; 3), đường thẳng (d):x – y – = (d’): x + y – = cắt M Tìm B(d); C(d’) cho A tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC Hướng dẫn: M(3;1), Lấy B(a; – a) (d) C(b;4 – b) (d’); Vì (d) (d’) ==> A trung điểm BC : B(6;4), C(2;2) Bài 78 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng : x 3y , ' :3x 4y 10 điểm A(-2 ; 1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng , qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng ’ Hướng dẫn: Tâm I đường tròn thuộc nên I(-3t – 8; t); Theo yc k/c từ I đến ’ k/c IA nên ta có 3( 3t 8) 4t 2 10 ( 3t 2)2 (t 1)2 ; Giải tiếp t = -3 I(1;-3) IA=5 … Bài 79 Trong mpOxy , cho đường tròn (C) có tâm I (2;4 ), bán kính R= 2 đường thẳng (D) có phương trình : x y Tìm toạ độ điểm M nằm (D) để từ M kẻ tới đường tròn (C) hai tiếp tuyến MA,MB ( A,B hai tiếp điểm ) cho tam giác IAB có diện tích lớn Hướng dẫn: khoảng cách từ I đến dường thẳng (D) S AB.d ( I ,( D)) Đặt IM=x x Diện tích tam giác IAB 2 B I K x Trang dạy học đầy video wwww.nguoithay.com A d= M www.nguoithay.org 8 KA ; KB x S x f ( x ) x x x với x 2 có f '( x ) 16 x x2 ;x 9 Suy f ( x ) f Các tự luyện Bài 80 Trong mặt phẳng 0xy chứng minh đường tròn (Cm ) : x2 y 2m2 x 4my 4m2 ln tiếp xúc với đường cố định mà ta phải rõ Bài 81 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 2x 4y = Gọi (C’) đường tròn tâm I( ; 3) cắt đường tròn (C) hai điểm A, B cho AB = Viết phương trình đường thẳng AB Bài 82 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(3; 5) đường tròn (C): x2 +y2 + 2x 4y 4 = Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN đến (C) (M, N tiếp điểm) Viết phương trình MN tính khoảng cách hai điểm M, N Bài 83 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M(4; 1) đường tròn (C): x2 +y2 2x = Viết phương trình đường thẳng (d) qua M cắt (C) theo dây cung có độ dài 2 Bài 84 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 +8x 6y = đường thẳng (d): 3x4x+10 = Viết phương trình đường thẳng vng góc với (d) cắt (C) hai điểm A, B thỏa AB = Bài 85 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 – 6x + = Tìm điểm M thuộc trục tung cho qua M kẻ hai tiếp tuyến với (C) mà góc hai tiếp tuyến 600 Bài 86 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x y đường tròn (C): x y Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d mà qua kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (A, B tiếp điểm) cho tam giác MAB Bài 87 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C): x 1 y 2 , A(2; 2 0), ABC 900 diện tích tam giác ABC Tìm toạ độ đỉnh A, B, C Bài 88 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 y Gọi I tâm (C).Tìm toạ độ điểm M có tung độ dương thuộc (C) cho tam giác OIM có diện tích Bài 89 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x + y + 4x + 6y +5 = hai đường thẳng 1: 2x 2 y 6 = 0, 2: x + y = Tìm điểm A thuộc 1 điểm B thuộc (C) cho A B xứng qua 2 Bài 90 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(5;1) đường tròn (C): x2 + y2 4x + 6y = Viết phương trình tiếp tuyến (C) cho khoảng cách từ M đến tiếp tuyến lớn Bài 91 (KD - 07)Trong mỈt ph¼ng vãi hƯ to¹ ®é Oxy, cho ®-êng trßn (C) : ( x - )2 + ( y + )2 = vµ ®-êng th¼ng d : 3x - 4y + m = 0;T×m m ®Ĩ trªn d cã nhÊt mét ®iĨm P mµ tõ ®ã cã thĨ kỴ ®-ỵc hai tiÕp tun PA, PB tíi (C) , ( A, B lµ c¸c tiÕp ®iĨm ) cho tam gi¸c PAB ®Ịu Bài 92 (DBKA - 07)Trong mỈt ph¼ng víi hƯ to¹ ®é Oxy ,cho ®-êng trßn (C) : x2 +y2 = §-êng trßn (C') t©m I(2;2) c¾t (C) t¹i hai ®iĨm A,B cho AB = 2 ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng AB Bài 93 (DBKB - 07)Cho ®-êng trßn (C) : x + y -8x +6y +21 = vµ ®-êng th¼ng d : x + y -1 = X¸c ®Þnh to¹ ®é c¸c ®Ønh cđa h×nh vu«ng ABCD ngo¹i tiÕp (C) ,biÕt A thc d Bài 94.(DBKB - 07)Cho ®-êng trßn C: x2 +y2 -2x+4y+2 = viÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng trßn (C') t©m M(5;1) ,biÕt (C') c¾t (C) t¹i c¸c ®iĨm A,B cho AB = Bài 95 (KB - 06) (KB - 06) Trong mỈt ph¼ng víi hƯ to¹ ®é Oxy ,Cho ®-êng trßn (C) : x2 +y2 -2x -6y +6 = vµ ®iĨm M(-3;1).Gäi T1 vµ T2 lµ c¸c tiÕp ®iĨm cđa c¸c tiÕp tun kỴ tõ M ®Õn (C) ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng T1T2 Trang dạy học đầy video wwww.nguoithay.com www.nguoithay.org Bài 96 (KD - 06) Trong mỈt ph¼ng víi hƯ täa ®é Oxy, cho ®-êng trßn (C): x2 + y2 - 2x - 2y + = vµ ®-êng th¼ng d: x-y+3=0 T×m täa ®é ®iĨm M n»m trªn d cho ®-êng trßn t©m M, cã b¸n kÝnh gÊp ®«i b¸n kÝnh ®-êng trßn (C), tiÕp xóc ngoµi víi ®-êng trßn (C) Bài 97(DBKD - 06) Trong mỈt ph¼ng víi hƯ to¹ ®é Oxy ,cho ®-êng th¼ng d: x -y +1- = vµ ®iĨm A(-1;1).ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng trßn (C) ®i qua A,gèc to¹ ®é O vµ tiÕp xóc víi ®-êng th¼ng d Bài 98 (DBKA - 05)Trong mỈt ph¼ng víi hƯ to¹ ®é Oxy cho ®-êng trßn (C1):x2+y2-12x-4y+36 = ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng trßn (C2) tiÕp xóc víi hai trơc to¹ ®é Ox ,Oy ,®ång thêi tiÕp xóc víi ®-êng trßn (C1) Bài 99 (DBKA - 05) Trong mỈt ph¼ng víi hƯ to¹ ®é Oxy cho ®-êng trßn (C) : x2 +y2 -4x-6y -12 = Gäi I lµ t©m vµ R lµ b¸n kÝnh cđa (C) T×m to¹ ®é ®iĨm M thc ®-êng th¼ng d: 2x -y +3 = cho MI = R Bài 100 (DBKD - 05)Trong mỈt ph¼ng víi hƯ täa ®é Oxy cho hai ®-êng trßn : (C1): x2 +y2 = vµ (C2) : x2 +y2 -2x -2y -23 =0 ViÕt ph-¬ng tr×nh trơc ®¼ng ph-¬ng d cđa hai ®-êng trßn (C1) vµ (C2).T×m to¹ ®é ®iĨm K thc d cho kho¶ng c¸ch tõ K ®Õn t©m (C1) b»ng Bài 101 (DB -KB-03)Trong mỈt ph¼ng víi hƯ to¹ ®é Oxy cho ®-êng th¼ng d: x -7y +10 = 0.ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng trßn cã t©m thc ®-êng th¼ng Δ : 2x + y = vµ tiÕp xóc víi ®-êng th¼ng d t¹i ®iĨm A(4;2) Bài 102 (CT -KD-03) Trong mỈt ph¼ng víi hƯ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxy cho ®-êng trßn : (C): (x-1)2 + (y-2)2 = vµ ®-êng th¼ng d: x - y – = ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn (C’) ®èi xøng víi ®êng trßn (C) qua ®êng th¼ng d T×m täa ®é c¸c giao ®iĨm cđa (C) v¯ (C’) Bài 103(DB -KA-02)Trong mỈt ph¼ng víi hƯ to¹ ®é 0xy cho ®-êng th¼ng d: x-y+1=0 vµ ®-êng trßn (C) :x2+y2+2x- 4y = T×m to¹ ®é ®iĨm M trc ®-êng th¼ng d mµ qua ®ã ta kỴ ®-ỵc hai ®-êng th¼ng tiÕp xóc víi (C) t¹i A vµ B cho gãc AMB =600 Bài 104 (DB -KB-02)Trong mỈt ph¼ng víi hƯ to¹ ®é Oxy cho hai ®-êng trßn (C1) : x2+y2 -4y -5 = vµ (C2) : x2 +y2 -6x +8y +16 = ViÕt ph-¬ng tr×nh c¸c tiÕp tun chung cđa hai ®-êng trßn (C1) vµ (C2) Bài 104 (DB -KD-02)Trong mỈt ph¼ng víi hƯ to¹ ®é Oxy cho hai ®-êng trßn (C1) : x2+y2 -10x =0 , (C2) : x2 +y2 +4x -2y -20 = (DB -KD-02)ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng trßn ®i qua c¸c giao ®iĨm cđa (C1) ,(C2) vµ cã t©m n»m trªn ®-êng th¼ng d: x +6y -6 = (DB -KD-02)ViÕt ph-¬ng tr×nh tiÕp tun chung cđa c¸c ®-êng trßn (C1),(C2) Bài 105 (CT -KA-09) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x 2y z mặt cầu S : x y2 z 2x 4y 6z 11 Chứng minh mặt phẳng (P) cặt mặt cầu (S) theo đường tròn Bài 106 CT -KA-09) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn C : x y2 4x 4y đường thẳng : x my 2m , với m tham số thực Gọi I tâm đường tròn (C) Tìm m để cắt (C) hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác IAB lớn Bài 107 (CT -KB-09) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x 2)2 y hai đường thẳng 1 : x – y = 0, 2 : x – 7y = Xác định toạ độ tâm K tính bán kính đường tròn (C1); biết đường tròn (C1) tiếp xúc với đường thẳng 1, 2 tâm K thuộc đường tròn (C) Bài 108 (CT -KD-09) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 1)2 + y2 = Gọi I tâm (C) Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) cho IMO = 300 Bài 109 (CT -KA-10) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1: 3x y d2: 3x y Gọi (T) đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai điểm B C cho tam giác ABC vng B Viết phương trình (T), biết tam giác ABC có diện tích Trang dạy học đầy video wwww.nguoithay.com điểm A có hồnh độ dương www.nguoithay.org : x+ y + = đường tròn (C): x2 + y2 – 4x – 2y = Gọi I tâm (C), M điểm thuộc Qua M kẻ đường tiếp tuyến MA, MB đến (C) ( A, B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích 10 Bài 110 (CT -KA-11) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng 1 Bài 111 (CT -KB-11) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B ;1 Đường tròn nội tiếp tam 2 giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng điểm D, E, F Cho D (3; 1) đường thẳng EF có phương trình y – = Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương Bài 112(CT -KD-11) Trong mặt phẳng tỏa độ Oxy, cho điểm A(1; 0) đường tròn (C) : x2 + y2 2x + 4y = Viết phương trình đường thẳng cắt (C) điểm M N cho tam giác AMN vng cân A Bài 113Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2;0) Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hồnh độ dương Bài 114 Cho ph-¬ng tr×nh ®-êng trßn (Cm) : x2 +y2 -4mx -2(m+1)y = a)T×m q tÝch t©m c¸c ®-êng trßn (Cm) b)Chøng minh r»ng q tÝch ®ã tiÕp xóc víi parabol (p) : y2 =2x Bài 115Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (T): x2 y x y đường thẳng (d): 3x+4y-5=0 Chứng minh (d) cắt (T) hai điểm phân biệt B, C Tìm (T) điểm A có hồnh độ âm cho tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r=1 Bài 116 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vng A, B(-5;0), C(7;0), bán kính đường tròn nội tiếp tam giác r 13 Tìm toạ độ tâm I vòng tròn nội tiếp tam giác biết điểm I có tung độ dương Bài 117 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn ( C ) : x y 13 ( C' ) : ( x )2 y 25 Gọi A giao điểm ( C ) ( C' ) với y A Viết phương trình đường thẳng (d) qua A cắt ( C ), ( C' ) theo hai dây cung có độ dài (hai dây cung khác nhau) Bài 114 Trong mỈt ph¼ng víi hƯ to¹ ®é Oxy cho ®-êng trßn (C) : x2 +y2 -4x-6y -12 = Gäi I lµ t©m vµ R lµ b¸n kÝnh cđa (C) T×m to¹ ®é ®iĨm M thc ®-êng th¼ng d: 2x -y +3 = cho MI = R ./// Trang dạy học đầy video wwww.nguoithay.com