Một số bài tập về đương tròn (Nguyễn Phú Khánh)

Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a.. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a.. Tìm tọa độ điểm M nằm trên ∆, sao cho từ M vẽ được hai tiếp tuyến MA, MB A, B là tiếp đ

Trang 1

Bài tập tự luyện

Bài tập 1 Viết phương trình đường tròn ( )C , biết:

a Đi qua A 3; 4( )và các hình chiếu của A lên các trục tọa độ

b Có tâm nằm trên đường tròn ( ) ( )2 2

c Đi qua các điểm H, M, N Biết A 0; 2 , B( ) (− −2; 2 ,) C 4; 2( − và H là chân )

đường cao kẻ từ B, M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC

d Tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với ( )C :

( ) (2 )2

x 6− + y 2− = 4

Bài tập 2 Viết phương trình đường tròn ( )C :

a Có tâm nằm trên đường thẳng 4x 5y 3 0− − = và tiếp xúc với các đường thẳng: 2x 3y 10 0,− − = 3x 2y 5 0− + =

b Qua điểm A(−1; 5) tiếp xúc với các đường thẳng 3x 4y 35 0,+ − =4x 3y 14 0+ + =

c Tiếp xúc với các đường thẳng: 3x 4y 35 0,+ − = 3x 4y 35 0,− − = x 1 0− =

d Có tâm M nằm trên d : x y 3 0− + = , bán kính bằng 2 lần bán kính đường tròn

( )C' : x2+y2−2x 2y 1 0− + = và tiếp xúc ngoài với đường tròn ( )C'

e Tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox,Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với đường tròn

( )C' : ( ) (2 )2

x 6− + y 2− = 4

Bài tập 3 Viết phương trình đường tròn ( )C

a Đi qua 3 điểm A, B, M 0; 6( ) Trong đó A, B là giao điểm 2 đường tròn

1

C : x +y −2x 2y 18− − = và 0 ( )C2 : ( ) (2 )2

x 1+ + y 2− = 8

b Đi qua hai điểm A 2;1 , B 4; 3( ) ( ) và có tâm thuộc đường thẳng ∆: x y 5 0− + =

c Đi qua hai điểm A 0; 5 , B 2; 3 và có bán kính ( ) ( ) R= 10

d Đi qua hai điểm A 1; 0 , B 2; 0( ) ( ) và tiếp xúc với đường thẳng d : x y− =0

e Đi qua A(−1;1 ,O) và tiếp xúc với d : x y 1− + − 2=0

Trang 2

Bài tập 4 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy,

a. Cho điểm A 0; 2 và đường thẳng d : x 2y 2( ) − + = Tìm trên đường thẳng d 0hai điểm B,C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB 2BC=

b. Cho đường thẳng d : x 3y 4− − =0 và đường tròn ( )C : x2+y2−4y= Tìm M 0

thuộc d và N thuộc ( )C sao cho chúng đối xứng qua A 3;1( )

c Cho đường tròn ( ) ( ) (2 )2 25

C : x 2 y 4

9

− + − = và đường thẳng d : 5x 2y 11 0 + − =Tìm điểm C trên d sao cho tam giác ABC có trọng tâm G nằm trên đường tròn

( )C biết A 1; 2 , B 3; 2 ( ) ( − )

d Cho điểm A(−1;14) và đường tròn ( )C có tâm I 1; 5( − và bán kính R 13) = Viết phương trình đường thẳng d đi qua A cắt ( )C tại M, N sao cho khoảng cách từ M đến AI bằng một nửa khoảng cách từ N đến AI

e Cho tam giác ABC có đường cao AH : x 3 3− = , phương trình 2 đường 0phân giác trong góc B và góc C lần lượt là : x− 3y= và x0 + 3y 6− = Viết 0phương trình các cạnh của tam giác, biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 3

Bài tập 5 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy,

a Cho đường tròn ( )C : ( ) (2 )2

x 1− + y 1− = và đường thẳng ∆: 4 x – 3y – 6 = 0 Tìm tọa độ điểm M nằm trên ∆, sao cho từ M vẽ được hai tiếp tuyến

MA, MB( A, B là tiếp điểm) thỏa ∆ ABM là tam giác vuông

b Cho đường thẳng d:x y− + =1 0 và đường tròn ( )C có phương trình

e Cho đường tròn ( )C :x2+y2−8x 2y− = và điểm 0 A 9; 6( ) Viết phương trình đường thẳng qua A cắt ( )C theo một dây cung có độ dài 4 3

Trang 3

Bài tập 6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,

d Cho điểm M 2;1 và hai đường thẳng ( ) d : 2x y 71 − + =0, d : x y 1 02 + + = Viết phương trình đường tròn ( )C có tâm nằm trên d , đi qua điểm M và cắt 1 d tại 2hai điểm phân biệt A, B sao cho AB 6 2=

Bài tập 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,

a Cho đường tròn ( )C : ( ) (2 )2

x 1− + y 2+ = và đường thẳng d : 3x 4y m 09 − + = Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến

PA, PB tới ( )C ( A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều

b Cho tam giác ABC có A(− −5; 2 ,) B(− −3; 4 ) Biết diện tích tam giác ABC bằng

8 và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 5 Tìm tọa độ điểm C có hoành độ dương

c Cho tam giác ABC có đỉnh A nằm trên đường thẳng ∆: x 2y 1 0,+ + = đường cao BH có phương trình x 1 0,+ = đường thẳng BC đi qua điểm M 5;1 và tiếp ( )

xúc với đường tròn ( )C : x2+y2= Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC 8biết các đỉnh B, C có tung độ âm và đoạn thẳng BC 7 2=

d Cho đường tròn ( )C : 2 ( )2

x + y 3− = và một đường tròn 4 ( )C′ cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A, B Giả sử đường thẳng AB có phương trình là x y 2 0,+ − = hãy viết phương trình của đường tròn ( )C′ có bán kính nhỏ nhất

e Cho đường tròn: ( )C : x2+y2− −x 4y 2− =0,A 3; 5 , B 7; 3 ( − ) ( − ) Tìm M thuộc đường tròn ( )C sao cho MA2+MB2 đạt giá trị nhỏ nhất

Trang 4

Bài tập 8 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy

1

K : x y 3x 4 0, hãy tìm tọa độ của E

c Cho tam giác ABC vuông tại A Đỉnh B 1;1 ,( ) đường thẳng AC có phương trình: 4x 3y 32 0+ − = , trên tia BC lấy điểm M sao cho BC.BM 75= Tìm đỉnh C biết bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC bằng 5 5

2

a Cho họ đường cong ( )Cm : x2+y2+2mx 2 m 1 y 1 0− ( − ) + = Định m để

( )Cm là đường tròn tìm tập hợp tâm các đường tròn khi m thay đổi

b. Cho đường tròn ( )C : ( ) (2 )2

x 1− + y 2+ = M là điểm di động trên đường thẳng 4

d : x – y + 1 = 0 Chứng minh rằng từ M kẻ được hai tiếp tuyến MT , MT1 2 tới

( )C ( T , T1 2 là tiếp điểm ) và tìm toạ độ điểm M , biết đường thẳng T T1 2 đi qua điểm A 1; 1 ( − )

c. Viết phương trình đường tròn ( )C qua A 1; 3 và tâm của đường tròn ( ) ( )C' :

2 2

x +y = Biết 1 ( )C cắt ( )C' tại B,C sao cho diện tích tam giác ABC bằng 2,7

d Cho đường thẳng d : 2x 4y 15 0+ − = và hai đường tròn có phương trình lần lượt

độ âm

Trang 5

a. Cho đường tròn ( )C : x2+y2−4x 2y 3+ − = Từ điểm 0 A 5; 3 kẻ được ( ) 2 tiếp tuyến với đường tròn ( )C Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 tiếp điểm

b. Cho đường tròn ( )C : x2+y2= và đường thẳng 4 ( )d : x y 4+ + = Tìm điểm 0

A thuộc ( )d sao cho từ A vẽ được 2 tiếp tuyến tiếp xúc ( )C tại M, N thoả mãn

diện tích tam giác AMN bằng 3 3

Bài tập 11 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ABC∆ có A(−1;1), trực tâm H(−31; 41) và tâm I 16; 18( − ) đưởng tròn ngoại tiếp ABC∆ Hãy tìm tọa

độ các đỉnh B,C

Bài tập 12 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn

( )C : x2+y2−2x 4y+ = và đường thẳng d : x y 00 − = Tìm tọa độ các điểm M trên đường thẳng d , biết từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA,MB đến ( )C ( A, B là các tiếp điểm) và đường thẳng AB tạo với d một góc ϕ với cos 3

2x my 1 2 0 Tìm m để diện tích tam giác IAB là lớn nhất

C : x 1− + y 1+ =25 và M 7; 3 Viếp phương trình đường thẳng qua M ( )

cắt ( )C tại A, B sao cho MA=3MB

Trang 6

Bài tập 17 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC là x2+y2− −x 5y 4+ = , 0

H thuộc đường thẳng ∆: 3x y 4 0− − = , trung điểm AB là M 2; 3 Xác định toạ ( )

độ các đỉnh của tam giác

Bài tập 18 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm A 1; 0 và ( )

các đường tròn ( )C : x2+y2= và 2 ( )C' : x2+y2= Tìm tọa độ các điểm B và 5

C lần lượt nằm trên các đường tròn ( )C và ( )C' để tam giác ABC có diện tích lớn nhất

Trang 7

Bài tập 22 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường thẳng

Δ : x + y + 2 = 0 và đường tròn ( )C : x2+y2−4x 2y− = Gọi I là tâm và M 0thuộc đường thẳng ∆ Qua M kẻ tiếp tuyến MA,MB Tìm M sao cho diện tích

tứ giác MAIB bằng 10

Bài tập 23 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn ( )C :

x 1− + y 2− =25

a Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C :

∗ Tại điểm M 4; 6 ( ) ∗ Xuất phát từ điểm N(−6;1)

b Từ E(−6; 3) vẽ hai tiếp tuyến EA,EB ( A, B là tiếp điểm) đến ( )C Viết phương trình đường thẳng AB

Bài tập 24 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A 3; 7( − , trực tâm là ) H 3; 1( − , tâm đường tròn ngoại tiếp là ) I(−2; 0) Xác định toạ độ đỉnh C , biết C có hoành độ dương

a. Cho hai đường thẳng d : 3x y1 + = và 0 d : 3x y2 − = Gọi 0 ( )T là đường tròn tiếp xúc với d tại A , cắt 1 d tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông 2

tại B Viết phương trình của ( )T , biết tam giác ABC có diện tích bằng 3

2 và điểm A có hoành độ dương

b Cho đường tròn ( )C : x2+y2−2x 4y+ =0 và đường thẳng d : x y− =0 Tìm tọa

độ các điểm M trên đường thẳng d , biết từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB đến ( )C ( A, B là các tiếp điểm) và khoảng cách từ điểm N 1; 1 đến AB bằng ( − )

3

5

Bài tập 26 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho cho điểm A 1; 4 ( )

Tìm hai điểm M, N lần lượt năm trên hai đường tròn

Trang 8

( )C2 theo dây cung có độ dài 2 2

b Cho đường tròn ( )C : ( ) (2 )2

x 1− + y 1+ = có tâm I Viết phương trình 9đường thẳng ∆ đi qua M(−6; 3) và cắt đường tròn ( )C tại hai điểm phân biệt

A, B sao cho tam giác IAB có diện tích bằng 2 2 và AB> 2

c Cho đường tròn ( )C : x2+y2−4x 4y 1 0− − = à đường thẳng d : y mx m 1= − + Đường thẳng d cắt ( )C tại hai điểm A, B Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại P Xác định các giá trị của m biết P thuộc đường thẳng

Bài tập 29 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,

a Cho hình vuông ABCD, có cạnh AB đi qua điểm M(− −3; 2 ,) và xA > Tìm 0tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD khi đường tròn

( ) ( ) (2 )2

C : x 2− + y 3− =10 nội tiếp ABCD

b Cho tam giác ABC, có A 2, 2 ,( − ) B 4,0 ,( ) C 3; 2 1( − )và ( )C là đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường thẳng d có phương trình 4x y 4+ − = Tìm trên d 0điểm M sao cho tiếp tuyến qua M tiếp xúc với ( )C tại N thỏa mãn SNAB đạt giá trị lớn nhất?

c Cho đường tròn ( )C : ( ) (2 )2

x 1− + y 2+ = và đường thẳng 1 ( )∆ : 2x y 1 0− + = Tìm điểm A thuộc đường thẳng ( )∆ sao cho từ A kẻ được các tiếp tuyến

Trang 9

AB, AC ( B,C là các tiếp điểm ) đến đường tròn ( )C đồng thời diện tích tam giác ABC bằng 2,7

d Cho đường tròn ( )C :x2+y2−2x 4y 4 0− − = có tâm I và điểm M 3; 0 Viết ( )

phương trình đường thẳng ∆ , biết ∆ cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A , B sao cho

tứ giác ABIM là hình bình hành

a Cho đường tròn ( ) ( ) (2 )2

C : x 4− + y 6− = Điểm 5 A 2; 5 ,B 6; 5 nằm trên ( ) ( ) ( )C Đỉnh C của tam giác ABC di động trên đường tròn ( )C Tìm tọa độ trực tâm

H của tam giác ABC biết H nằm trên đường thẳng ( )d : x y 1 0− + =

b Cho 2 đường tròn ( )C : x2+y2= và 9 ( )C' : x2+y2−18x 6y 65− + = Từ 0điểm M thuộc ( )C' kẻ 2 tiếp tuyến với ( )C , gọi A, B là các tiếp điểm Tìm tọa

a Cho đường tròn ( )C : x2+y2−2x 2my m− + 2−24= có tâm I và đường 0thẳng ∆ mx 4y 0.: + = Tìm m biết đường thẳng ∆ cắt đường tròn ( )C tại 2 điểm phân biệt A, B thoả mãn diện tích IAB 12=

b Cho tam giác ABC có trực tâm H thuộc đường thẳng 3x y 4 − − =0, biết đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC có phương trình :

2 2

x +y −x 5y 4 − + =0 ,trung điểm cạnh AB là M 2; 3 Tìm tọa độ 3 đỉnh ( )

tam giác ?

Trang 10

a Cho đường thẳng ( )d : x y 1 0− + = và đường tròn ( )C : x2+y2−2x 4y 4 0+ − = Tìm điểm M thuộc đường thẳng ( )d sao cho qua M kẻ được các tiếp tuyến MA,MB đến đường tròn với A, B là các tiếp điểm đồng thời khoảng cách từ điểm N 1;1

c Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ) ( ) (2 )2

C : x 1− + y 1− =10 Điểm

( )

M 0; 2 là trung điểm cạnh BC và diện tích tam giác ABC bằng 12 Tìm tọa độ

các đỉnh của tam giác ABC

d Cho 3 điểm M 2, 1 ,( − ) N 3;2 ,( ) P(−3;4) và đường tròn ( )C :

Trang 11

Do A,A , A1 2∈( )C nên ta có hệ:

3a

Giả sử phương trình đường tròn: x2+y2+ax by c+ + = 0

Ba điểm M, N, H thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình :

Trang 12

Vậy trường hợp này có 1 đường tròn là ( )' ( ) (2 )2

3

C : x 6− + y 6− =36 Tóm lại , có 3 đường tròn thỏa cần tìm là :

Trang 13

x 2− + y 2− =4, x 18− + y 18− =18 và ( ) (2 )2

x 6− + y 6− =36 Bài tập 3.a Tọa độ giao điểm của ( )C1 và ( )C2 là nghiệm của hệ:

Phương trình đường trung trực ∆ của đoạn AB : x 2y 3 0+ − =

Gọi I là tâm của đường tròn ( )C , suy ra I∈ ∆ ⇒I 2a 3; a( + − )

Trang 14

Vậy phương trình ( )C : x2+y2−10y 5 0+ =

c Gọi I a; b( ) là tâm của đường tròn ( )C

a b 4a 6b 3 0

b 6Vậy có hai đường tròn thỏa yêu cầu bài toán là:

2 2

x y 3x y 2 0 và x2+y2−3x 7y 2 0 + + =

Trang 15

Từ ( )1 và ( )2 giải hệ thu được =a 0, b 1,c= =0 hoặc =a 1, b=0,c=0

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn là : x2+y2−2y=0 và x2+y2−2x=0

Bài tập 4.a Ta có AB⊥ nên AB có phương trình : 2x y 2 0d + − =

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ : x 2y 2 0 B 2 6;

 thỏa yêu cầu bài toán

b Vì M d∈ ⇒M 3m 4; m( + ) Do N đối xứng với M qua A nên N 2 3m; 2 m( − − )

Vì N∈( )C nên ( ) (2 )2 ( ) 2

2 3m− + 2 m− −4 2 m− = ⇔0 10m −12m= 06

Trang 16

d Cách 1: PA/ C( )=AM.AN =AI2−R2=466>0, suy ra A nằm ngoài đường

tròn Hơn nữa PA/ C( )=2AM2=2MN2=466⇒MN= 233

Bài toán trở thành: “V iết phương trình đường thẳng qua A cắt đường tròn ( )C theo dây cung MN= 233”

Cách 2: Giả sử M x; y vì M thuộc đường tròn nên ta có: ( )

x 1− + y 5+ =169

Vì M là trung điểm của AN nên ta có: N 2x 1; 2y 14( + − )

Điểm N thuộc đường tròn nên ta có: ( ) (2 )2

e I 3; 3 là tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ( )

Viết phương trình BC đi qua điểm B b; c và vuông góc với AH , tọa độ B cần ( )

tìm thỏa B d : x∈ − 3y=0 và d I; BC( )= = r 3

Bài tập 5.a Đường tròn ( )C có tâm I(1; 1), bán kính R = 2

Vì ∆ ABM vuông và IM là đường phân

giác của góc AMB nên AMI=450

Trong tam giác vuông IAM , ta có:

IM=2 2, suy ra M thuộc đường tròn

tâm I bán kính R ' 2 2=

Mặt khác M ∈ ∆ nên M là giao điểm

A I

Trang 17

c Ta có OA2+OB2=AB2= ⇒ ∆2 OAB vuông tại O Mặt khác OI là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên A,B thuộc các trục toạ độ Vậy:

• A 1; 0 , B 0;1( ) ( ), phương trình đường thẳng AB : x y 1 0+ − =

• A(−1; 0 , B 0; 1) ( − , phương trình đường thẳng ) AB : x y 1 0 + + =

e Tọa độ tâm đường tròn là I 4;1 ;bán kính ( ) R= 17

Gọi ∆ là đường thẳng qua A và cắt đường tròn tại M,N phương trình của ∆

Trang 18

= − =

làm VTPT

H B

b Gọi R là bán kính đường tròn cần tìm và F,G lần lượt là hình chiếu vuông

góc của I trên d và 1 d Dễ thấy 2 IF 2 5, IG 6 5

Bài tập 7 a Đường tròn (C) có tâm và bán kính lần lượt là: I 1; 2 ; R( − ) = 3

Do tam giác PAB đều nên API=300⇒ IP 2IA 2R 6= = =

Suy ra P thuộc vào đường tròn (C’) có tâm I và

bán kính R’ = 6

d

30 0

I A

P

Trang 19

Mà P d∈ nên P chính là giao điểm của đường

thẳng d và đường tròn ( )C'

Suy ra trên d có duy nhất điểm P thỏa mãm

yêu cầu bài toàn khi và chỉ khi đường thẳng d

tiếp xúc với đường tròn ( )C' tại P, hay là

Theo bài toán, ta có: AB.d C; AB( )=16 ⇔ + +c d 7 = 8 ( )1

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp, suy ra: I x; x 1( + ) và IA=R=2 5

Trang 20

y 2 t A 1; 23

b Vì C,D thuộc đường tròn ( )K mà lại đối xứng với nhau qua trục tung nên tọa

độ 2 điểm có dạng là: C a;b , D( ) (−a;b) (a,b 0≠ )

Ta có: 2+ 2=

a b 4 ( )1 Phương trình đường thẳng: AC : b 2 x a y 2( − ) − ( − )=0,

4

b 2 x a y 2 0

yb

Vì E∈( )K1 nên có:   + −  − =

2 2

c Cách 1: Toạ độ đỉnh A 5; 4 Gọi E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp của ( )

tam giác AMC với BA thì ta có BA.BE BM.BC 75 = = ( vì M nằm trên tia BC ),

Định dạng
Số trang	40
Dung lượng	868,22 KB