Hình học AFIN trong không gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ THU HIỀN HÌNH HỌC AFIN TRONG KHƠNG GIAN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Hình học HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ THU HIỀN HÌNH HỌC AFIN TRONG KHƠNG GIAN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM HÀ NỘI – 2018 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy cô giáo bạn sinh viên, đến nay, khóa luận em hồn thành Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành, sâu sắc tới thầy giáo tổ Hình học thầy cô tham gia giảng dạy tận tình truyền đạt tri thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ để em hồn thành khóa luận Do thời gian, lực điều kiện thân hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi sai sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến góp ý q báu thầy bạn Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hiền LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình PGS.TS Nguyễn Năng Tâm với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu, em tham khảo kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học nhà nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn Em xin cam đoan kết nghiên cứu riêng thân, khơng có trùng lặp với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hiền Mục lục LỜI NÓI ĐẦU 1 Một số khái niệm 1.1 1.2 1.3 Vectơ 1.1.1 Định nghĩa vectơ 1.1.2 Một số tính chất vectơ Các vectơ độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 1.2.1 Các định nghĩa 1.2.2 Điều kiện để vectơ phụ thuộc tuyến tính Tích có hướng hai vectơ 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Tính chất 10 Không gian afin (3 chiều) 2.1 2.2 11 Không gian afin 11 2.1.1 Định nghĩa 11 2.1.2 Tính chất 12 Phẳng, độc lập afin phụ thuộc afin 14 2.2.1 Phẳng 14 2.2.2 Độc lập afin phụ thuộc afin 15 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.3 2.4 2.5 2.6 Nguyễn Thị Thu Hiền Tọa độ afin 17 2.3.1 Mục tiêu afin 17 2.3.2 Tọa độ afin điểm 17 2.3.3 Đổi mục tiêu afin 17 Phương trình mặt phẳng khơng gian A3 19 2.4.1 Phương trình tham số mặt phẳng 19 2.4.2 Phương trình tổng quát mặt phẳng 20 Vị trí tương đối phẳng 21 2.5.1 Định nghĩa 21 2.5.2 Định lý số chiều giao tổng hai phẳng 22 Một số ví dụ 24 Mặt bậc hai 3.1 3.2 3.3 26 Mặt bậc hai 26 3.1.1 Định nghĩa 26 3.1.2 Giao mặt bậc hai với đường thẳng 27 3.1.3 Tâm phương tiệm cận 28 3.1.4 Siêu phẳng kính liên hợp mặt bậc hai 30 3.1.5 Tiếp tuyến mặt bậc hai 32 Phân loại mặt bậc hai 34 3.2.1 Phương trình chuẩn tắc mặt bậc hai 34 3.2.2 Các loại mặt bậc hai 37 Một số ví dụ 38 KẾT LUẬN 43 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học afin mơn hình học khơng có bao hàm khái niệm tọa độ gốc, chiều dài hay góc, mà thay vào khái niệm phép trừ điểm véctơ Lý thuyết hình học afin tốn học phần khơng thể thiếu hình học Trong q trình học tập, tơi nghiên cứu hình học afin thấy có nhiều ứng dụng, vị trí quan trọng tương đối khó chương trình tốn phổ thơng Với mong muốn nghiên cứu sâu hình học tìm hiểu sâu hình học afin, tơi chọn đề tài “Hình học afin khơng gian” làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đặc trưng có nhìn sâu hình học afin khơng gian Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Nghiên cứu lý thuyết hình học afin khơng gian • Các tài liệu tham khảo liên quan đến hình học afin Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu giáo trình, sách tham khảo tài liệu liên quan đến hình học afin khơng gian Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chương : Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương Không gian afin Chương Mặt bậc hai Chương Một số khái niệm Chương trình bày sơ lược số khái niệm vectơ định lí liên quan đến vectơ Các kiến thức chương viết dựa tài liệu [3] 1.1 Vectơ 1.1.1 Định nghĩa vectơ Định nghĩa 1.1 Vectơ cặp điểm (A, B) thứ tự −→ kí hiệu AB, A gọi điểm đầu, B gọi điểm cuối vectơ −→ −−→ Định nghĩa 1.2 Hai vectơ AB CD gọi phương với đường thẳng AB đường thẳng CD song song trùng −→ −−→ Định nghĩa 1.3 Hai vectơ phương AB CD gọi hướng với chúng có hướng từ điểm đầu đến điểm cuối, ngược lại gọi hai vectơ ngược hướng với Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền Siêu phẳng gọi siêu phẳng kính (S), liên hợp với phương → −c Chứng minh − − − Giả sử A3 với mục tiêu chọn {O → e1 → e2 , → e3 } Mặt bậc hai (S) có phương trình: xt Ax + 2at x + a0 = Giả sử M1 , M2 ∈ (S) điểm I(b1 , b2 , b3 ) trung điểm đoạn thẳng M1 M2 Phương trình đường thẳng M1 M2 có dạng: xi − λci + bi (i = 1, 2), −c (c1 , c2 , c3 ) tọa độ vectơ → Để tìm tọa độ M1 , M2 ta giải phương trình: (ct Ac)λ2 + 2P λ + Q = Giả sử λ1 , λ2 nghiệm phương trình ứng với giao điểm M1 , M2 Vì I trung điểm M1 , M2 nên: −−→ −−→ → − IM1 + IM2 = → − −c + λ → − ⇔λ1 → c = − −c = → ⇔(λ1 + λ2 )→ − −c = → ⇔λ1 + λ2 = (vì → ) Vậy P = hay bt Ac + at c = hay ct (Ax + a) = Như tọa độ trung điểm I đoạn thẳng M1 M2 thỏa mãn phương trình: ct (Ax + a) = 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền Trong phương trình ct A = 0, ct A = ct Ac = tức → −c phương tiệm cận (trái với giả thiết) Vậy phương trình phương trình siêu phẳng Vì tâm (S) có tọa độ thỏa mãn phương trình Ab + a = nên thỏa mãn phương trình siêu phẳng nói 3.1.5 Tiếp tuyến mặt bậc hai Định nghĩa 3.4 Đường thẳng d gọi tiếp tuyến mặt bậc hai (S) nếu: + Hoặc phương d phương tiệm cận (S) d cắt (S) điểm (điểm kép), ta nói d tiếp xúc với (S) điểm + Hoặc phương d phương tiệm cận d nằm (S),ta nói d tiếp xúc với (S) điểm d Định lí 3.3 Nếu đường bậc hai (S) có phương trình: xt Ax + 2at x + a0 = cho điểm B(b1 , b2 , b3 ) nằm (S) đường thẳng d qua B −c (c , c , c ) tiếp tuyến bt Ax + at c = có phương → Chứng minh Theo mục 3.1.2 để tìm giao điểm đường thẳng d đường bậc hai (S) ta đến giải phương trình: (ct Ac)λ2 + 2P λ + Q = 0, P = bt Ac+at c = 3 aij bi cj + i,j=1 i=1 32 ci Q = bt Ab+2at b+a0 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền Vì B ∈ (S) nên Q = Vậy phương trình tương đương với phương trình (ct Ac)λ2 + 2P λ = −c phương tiệm cận Để đường + Nếu ct Ac = 0, tức → thẳng d tiếp tuyến (S) điều kiện cần đủ d cắt (S) điểm nhất, tức phương trình có nghiệm Điều tương đương với ∆ = hay P = hay bt Ac + at c = + Nếu ct Ac = đường thẳng d tiếp tuyến (S) d nằm (S), tức phương trình nhận giá trị λ nghiệm Điều tương đương với P = hay bt Ac + at c = Hệ 3.2 Nếu B điểm kì dị (S) đường thẳng qua B tiếp tuyến (S) Thật vậy, B = (b1 , b2 ) điểm kì dị (S) B tâm b ∈ (S) Do tọa độ B thỏa mãn phương trình Ab + a = −c (c , c ) phương đường hay bt A + at = ⇒ bt Ac + at c = (với → thẳng qua B) Định lí 3.4 Nếu B ∈ (S) B điểm khơng kì dị tiếp tuyến B (S) tạo thành siêu phẳng Siêu phẳng gọi siêu tiếp diện (S) điểm B Chứng minh Nếu B = (b1 , b2 , b3 ), M = (x1 , x2 , x3 ) M nằm tiếp tuyến 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền −−→ −c (λ = 0) thỏa mãn điều kiện (S) điểm B BM = λ→ bt Ac + at c = ⇔ bt A(x − b) + at (x − b) = ⇔ (bt A + at )(x − b) = Vì B điểm khơng kì dị nên B khơng phải tâm, tức Ab + a = hay bt a + at = Vậy phương trình cho ta siêu phẳng 3.2 3.2.1 Phân loại mặt bậc hai Phương trình chuẩn tắc mặt bậc hai Định lí 3.5 Trong A3 cách chọn mục tiêu thích hợp, mặt bậc hai (S) có phương trình thuộc dạng sau: ε2i x2i = ±1, εi = ±1, ≤ r ≤ 3, i=1 ε2i x2i = 0, εi = ±1, ≤ r ≤ 3, i=1 ε2i x2i = 2xr+1 , εi = ±1, ≤ r ≤ i=1 Ba dạng gọi phương trình chuẩn tắc mặt bậc hai Chứng minh − − − Trong không gian afin A3 , với mục tiêu afin {O, → e1 , → e2 , → e3 } cho mặt bậc hai (S) có phương trình tổng qt 3 aij xi xj + i,j=1 xj + a0 = i=1 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền → − − − − Ta gọi A không gian vectơ liên kết với A3 ε = {→ e1 , → e2 , → e3 } → − sở A aij xi xj Ta tìm sở Xét dạng toàn phương i,j=1 − − − ε = {→ e1 , → e2 , → e3 } cho dạng toàn phương sở trở thành chuẩn tắc, tức có dạng εi xi2 , với εi = ±1 εi = i=1 − − − Khi mục tiêu afin {O, → e1 , → e2 , → e3 } phương trình (S) có dạng 3 εi xi2 aij xi + a0 = +2 (3.3) i=1 i=1 Vì aij khơng đồng thời nên phải có dạng εi = Ta giả sử εi = 0, i = 1, 2, 3, r ≤ 3, ε3 = Dùng phép đổi mục tiêu   Xi  X3 = xi + εi , i = 1, 2, 3, = x3 , ta đưa phương trình (3.3) dạng εi Xi2 + i=1 a1 Xi + a0 = 0, r = 1, 2, i=1 Xét ba trường hợp sau: 35 (3.4) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền + Trường hợp Nếu a1 = a2 = a3 = a0 = ta phương trình (S) r εi Xi2 = 0, εi = ±1, r = 1, 2, (3.5) i=1 + Trường hợp Nếu a1 = a2 = a3 = a0 = cách εi đặt λi = − ta được: a0 r εi Xi2 = 1, r = 1, 2, (3.6) i=1 Sau dùng phép biến đổi mục tiêu  √    X = λi Xi , λi < 0,  i   Xj = −λj Xj , λj < 0,      Xk = Xk , r < k < Khi phương trình (3.3) đưa dạng εi Xi = 0, r = 1, 2, i=1 + Trường hợp Nếu (3.4) có hệ số aj = chẳng hạn ar+1 = 0, ta dùng phép đổi mục tiêu  b   Xr+1 = − aj X j − , j=r+1   X = Xi , i = r + i Ta đưa phương trình (3.4) dạng εi Xi = 2Xr+1 , r = 1, i=1 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.2.2 Nguyễn Thị Thu Hiền Các loại mặt bậc hai Phương trình tổng quát mặt bậc hai không gian Afin A3 là: a11 x21 + a22 x22 + a33 x23 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 + 2a1 x1 + 2a2 x2 + 2a3 x3 + a0 = Dựa phương trình chuẩn tắc mặt bậc hai ta xếp mặt bậc hai có 17 loại khác tên gọi tương ứng: x21 + x22 + x23 = : elipxoit; −x21 + x22 + x23 = : hypeboloit tầng; −x21 − x22 + x23 = : hypeboloit hai tầng; −x21 + x22 − x23 = : elipxoit ảo; x21 + x22 + x23 = : mặt nón ảo; −x21 + x22 + x23 = : x21 + x22 = 2x3 : paraboloit eliptic; −x21 + x22 = 2x3 : x21 + x22 = : mặt nón; paraboloit hypebolic; trụ eliptic; 10 −x21 + x22 = : trụ hypebolic; 11 −x21 − x22 = : trụ eliptic ảo; 12 x21 + x22 = : cặp mặt phẳng ảo cắt nhau; 13 −x21 + x22 = : 14 x21 = 2x2 : cặp mặt phẳng cắt nhau; trụ parabolic; 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 15 x21 = : cặp mặt phẳng song song; 16 −x21 = : 17 x21 = : 3.3 Nguyễn Thị Thu Hiền cặp mặt phẳng ảo song song; cặp mặt phẳng trùng Một số ví dụ Ví dụ 3.1 Tìm phương tiệm cận đường tiệm cận mặt bậc hai sau x21 + x22 − 2x23 + 2x1 x2 − x1 x3 + = Lời giải Ta có:     1 −1         A =  1  , a = 0 , a0 =     −1 −2 → − − Phương → v (v1 , v2 , v3 ) = phương tiệm cận (S) v t Av =     v12 + v22 + v22 >           v1   1 −1    ⇔          (v1 v2 v3 ) =  v 1                v3 −1 −2 ⇔    v12 + v22 + v32 >   v + v − 2v + 2v1 v2 − 2v1 v3 = 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền Tâm I(x1 , x2 , x3 ) mặt bậc hai thỏa mãn hệ phương trình Ax + a =    x1 + x2 + x3 =    ⇔ x1 + x2 =      − x1 − 2x3 =    x1 =    ⇔ x2 =      x3 = Do I(0, 0, 0) − Đường thẳng d qua I(0, 0, 0) có phương tiệm cận → v (v1 , v2 , v3 ) có phương trình     x1 = hv1    x2 = hv2       x3 = hv3 Tọa độ giao điểm d với (S) nghiệm phương trình: (hv1 )2 + (hv2 )2 − 2(hv3 )2 + (hv1 hv2 ) − 2(hv1 hv3 ) + = ⇔ h2 (v12 + v22 − 2v32 + 2v2 v2 − 2v1 v3 ) + = ⇔ + = (vơ lí) Từ suy (S) d khơng có điểm chung Vậy d đường tiệm cận (S) 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền Ví dụ 3.2 Xác định loại mặt bậc hai A3 có phương trình x21 + x22 + x23 + 2x1 x2 − 2x1 − 2x2 − 2x3 − = Lời giải Ta có x21 + x22 + x23 + 2x1 x2 − 2x1 − 2x2 − 2x3 − = ⇔(x21 + 2x1 x2 − 2x1 ) + x22 − 2x2 − 2x3 − + x23 ⇔[x21 + 2x1 (x2 − 1) + (x2 − 1)2 ] − (x2 − 1)2 + x22 + x23 − 2x2 − 2x3 − = ⇔(x1 + x2 − 1)2 − (x2 − 1)2 + x22 +23 −2x2 − 2x3 − = ⇔(x1 + x2 − 1)2 + x23 − 2x3 − = ⇔(x1 + x2 − 1)2 + (x3 − 1)2 − = Ta sử dụng phép đổi tọa độ   x1  x = x1 + x2 − 1, = x3 − Khi mặt bậc hai có dạng: x12 + x22 − = x    X1 = √1 , Tiếp tục sử dụng phép đổi tọa độ: x    X2 = √2 Khi mặt bậc hai có phương trình dạng X12 + X22 = Vậy (S) mặt trụ eliptic 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền Ví dụ 3.3 Trong A3 , cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình x21 − 2x22 + x23 + 4x1 x2 − 8x1 x3 − 14x1 − 14x2 + 14x3 − 11 = − − a Cho phương → v (1, 2, 3) Chứng tỏ → v không phương tiệm cận (S) Viết phương trình siêu phẳng kính liên hợp với − phương vectơ → v mặt phẳng (S) b Cho điểm M0 (1, −1, 2) ∈ (S) Chứng tỏ M0 khơng điểm kì dị (S) Viết phương trình siêu tiếp diện (S) điểm M0 Lời giải a Ta có:   −4     A =  −2  ,   −4   −7     a = −7 ,   a0 = −11 Từ có    −4       v t Av =  −2  2    −4       = −7 −2 −1 2   = −14 = − Nên suy → v (1, 2, 3) phương tiệm cận (S) 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền − Phương trình siêu phẳng kính liên hợp với phương → v thỏa mãn phương trình: v t (Ax + a) =       x −4 −7             ⇔  −2  x2  + −7 =       −4 x3   x + 2x2 − 4x3 −     ⇔  2x1 − 2x2 −  =   −4x1 + x3 + ⇔7x1 + 2x2 + x3 = − Vậy phương trình siêu phẳng kính liên hợp với phương → v (S) có phương trình: 7x1 + 2x2 + x3 = 14 63 35 ,− ,− tâm (S) 13 26 13 Mà M0 (1, −1, 2) = I, suy M0 không điểm kì dị M0 ∈ (S) b Ta có: I Phương trình siêu tiếp diện (S) điểm M0 (x − b)t (Ab + a) =      −4 −7             ⇔ x1 − x2 + x3 −  −2  −1 + −7 =       −4   −16     ⇔ x1 − x2 + x3 −  −3  =   ⇔16x1 + 3x2 − 5x3 − = 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền Phương trình siêu tiếp diện (S) điểm M0 16x1 + 3x2 − 5x3 − = 43 KẾT LUẬN Trên toàn nội dung đề tài “Hình học afin khơng gian” Trong khóa luận tốt nghiệp em trình bày hiểu biết cách hệ thống rõ ràng lý thuyết hình học afin không gian trở nên rõ ràng dễ hiểu Khóa luận đạt mục đích nhiệm vụ đề Tuy nhiên kiến thức thân thời gian nghiên cứu hạn chế, phần lần thực khóa luận nên khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý q báu thầy, giáo bạn sinh viên để khóa luận đầy đủ hồn thiện Trước kết thúc khóa luận lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy, cô giáo khoa toán đặc biệt thầy giáo PGS.TS Nguyễn Năng Tâm tận tình giúp đỡ hướng dẫn em làm khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! 44 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Khắc Ban, Phạm Bình Đơ, Hình học afin hình học Ơclit, NXB Đại học Sư phạm [2] Văn Như Cương, Tạ Mân, Hình học afin hình học Ơclit, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1998 [3] Lê Khắc Bảo, Hình học giải tích, NXB Giáo dục, 1982 [4] Hà Trầm, Bài tập hình học afin hình học Ơclit, NXB Đại học Sư phạm [5] Phan Hồng Trường, Đại số tuyến tính, Đại học Sư phạm Hà Nội 45 ... cứu sâu hình học tìm hiểu sâu hình học afin, tơi chọn đề tài Hình học afin khơng gian làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đặc trưng có nhìn sâu hình học afin không gian Đối... học Nguyễn Thị Thu Hiền Không gian afin (A, ϕ, V) gọi khơng gian afin A liên kết với khơng gian vectơ V gọi tắt khơng gian afin A trường R → − Không gian vectơ liên kết V3 thường kí hiệu V Không. .. A × A ) không gian afin trường R 2.2 2.2.1 Phẳng, độc lập afin phụ thuộc afin Phẳng Định nghĩa 2.2 Cho không gian afin A liên kết với không gian vectơ → − − A Gọi I điểm A → α không gian vectơ