Hình học EUCLID trong không gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Hiền HÌNH HỌC EUCLID TRONG KHƠNG GIAN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Hà Nội – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN Nguyễn Thị Hiền HÌNH HỌC EUCLID TRONG KHƠNG GIAN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Hình học NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Nguyễn Năng Tâm Hà Nội – 2018 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, thầy tổ mơn Hình học thầy cô tham gia giảng dạy tận tình truyền đạt tri thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ để em hồn thành khóa luận Do thời gian, lực điều kiện thân hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi sai sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến góp ý q báu thầy bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Hiền LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan hướng dẫn thầy giáo Nguyễn Năng Tâm khóa luận em hồn thành khơng trùng với đề tài khác Trong thực đề tài em sử dụng tham khảo thành tựu nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Hiền Mục lục Lời nói đầu 1 Một số tiên đề khái niệm 1.1 Hệ tiên đề hình học Euclid 1.2 Hệ tiên đề vectơ hình học Euclide 10 Mơ hình vectơ khơng gian Euclid 18 Đường thẳng mặt phẳng không gian 24 3.1 Phương trình mặt phẳng 24 3.2 Phương trình đường thẳng 29 3.3 Vị trí tương đối hai đường thẳng 32 3.4 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng 34 3.5 Vị trí tương đối hai mặt phẳng 36 3.6 Khoảng cách 38 3.7 Góc 43 Mặt bậc hai khơng gian Euclid 46 4.1 Mặt tròn xoay bậc hai 46 4.2 Mặt bậc hai 49 Kết luận 54 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hiền Tài liệu tham khảo 55 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hiền LỜI NĨI ĐẦU Khoảng 300 năm TCN, nhà tốn học Euclid tiến hành nghiên cứu mối quan hệ khoảng cách góc Nhờ phát triển tốn học, ngày mối quan hệ tổng quát cho không gian n-chiều Vậy không gian n-chiều với khái niệm khoảng cách góc thỏa mãn quan hệ Euclid gọi không gian Euclid nchiều Tuy nhiên để gần gũi với hình học THPT em tập trung nghiên cứu hình học Euclid với số chiều hay gọi "Hình học Euclid khơng gian" Trong khóa luận này, em tập hợp nhiều nghiên cứu trình bày cách có hệ thống hệ tiên đề với số khái niệm đường thẳng mặt phẳng không gian; mặt bậc hai khơng gian Euclid Nội dung khóa luận gồm có chương: Chương 1: Một số tiên đề khái niệm: Trong chương này, em trình bày sơ lược hai hệ tiên đề với số định lí suy từ hệ tiên đề khái niệm hình học Euclid Chương 2: Mơ hình vectơ khơng gian Euclid: Trong chương này, em trình bày cách mơ hình vectơ khơng gian như: tọa độ điểm, vectơ, biểu thức tọa độ tích vơ hướng, tích có hướng, tích hỗn tạp, Chương 3: Đường thẳng mặt phẳng không gian: Chương trình bày khái niệm phương trình đường thẳng Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hiền mặt phẳng không gian, vị trí tương đối khoảng cách góc chúng Chương 4: Mặt bậc hai không gian Euclid: Trong chương này, em nghiên cứu 12 mặt bậc hai mặt xác định phương trình bậc hai x, y, z không gian Oxyz Chương Một số tiên đề khái niệm Chương trình bày sơ lược hai hệ tiên đề với số định lí suy từ hệ tiên đề khái niệm hình học Euclid Các kiến thức chương viết dựa tài liệu [1], [3] 1.1 Hệ tiên đề hình học Euclid Hệ tiên đề bao gồm: (a) Sáu khái niệm bản: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, thuộc, giữa, tồn đẳng (b) nhóm tiên đề: I: Các tiên đề liên thuộc I1 : Có hai điểm thuộc đường thẳng I2 : Có đường thẳng thuộc hai điểm phân biệt cho trước I3 : Có ba điểm khơng thuộc đường thẳng Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hiền I4 : Có mặt phẳng thuộc ba điểm không thẳng hàng (không thuộc đường thẳng) I5 : Đường thẳng có hai điểm thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng I6 : Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung có điểm chung thứ hai khác I7 : Tồn bốn điểm không thuộc mặt phẳng II: Các tiên đề thứ tự II1 : Nếu điểm B hai điểm A C A, B C ba điểm phân biệt thuộc đường thẳng điểm B nằm hai điểm A C II2 : Bất kì hai điểm A C có điểm B cho C A B II3 : Trong ba điểm thuộc đường thẳng khơng có q điểm hai điểm II4 : (Tiên đề Patso) Cho ba điểm A, B C không thuộc đường thẳng cho đường thẳng a khơng qua hai điểm ba điểm Khi đường thẳng a qua điểm A B qua điểm B C C A III: Các tiên đề toàn đẳng III1 : Cho điểm A thuộc đường thẳng a CD đoạn thẳng (đoạn thẳng hiểu tập hợp gồm hai điểm) Khi có hai Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hiền −−−→ Khi M0 M1 phương với vectơ pháp tuyến n0 (A0 , B0 , C0 ) mặt −−−→ phẳng (P ), tức là: M0 M1 = k.n0 Do −−−→ |M0 M1 | = |k.n0 | = |k|.|n0 | = |k| Vậy |k| khoảng cách từ điểm M1 đến mặt phẳng (P ) −−−→ −−−→ Từ M0 M1 = k.n0 ta có: M0 M1 n0 = k.n0 n0 = k.n0 = k hay k = A0 (x1 − x0 ) + B0 (y1 − y0 ) + C0 (z1 − z0 ) ⇔ k = A0 x1 + B0 y1 + C0 z1 − (A0 x0 + B0 y0 + C0 z0 ) (3.26) Vì M0 ∈ (P ) nên A0 x0 + B0 y0 + C0 z0 + D0 = ⇔ D0 = −(A0 x0 + B0 y0 + C0 z0 ) Thay vào (3.26) ta được: k = A0 x1 + B0 y1 + C0 z1 + D0 Vậy khoảng cách từ điểm M1 (x1 , y1 , z1 ) đến mặt phẳng (P ) : A0 x + B0 y + C0 z + D0 = không gian là: |k| = |A0 x1 + B0 y1 + C0 z1 + D0 | 41 (3.27) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hiền Nhận xét 3.3 Giả sử gốc n0 nằm (P ), ta có nhận xét sau: i Nếu k = A0 x1 + B0 y1 + C0 z1 + D0 > điểm M1 nằm phía với vectơ pháp tuyến n0 mặt phẳng (P ) ii Nếu k = A0 x1 + B0 y1 + C0 z1 + D0 < điểm M1 nằm khác phía với vectơ pháp tuyến n0 mặt phẳng (P ) Chú ý 3.4 Cho phương trình tổng quát mặt phẳng (P ) : Ax + By + Cz + D = Khi khoảng cách từ điểm M1 (x1 , y1 , z1 ) đến mặt phẳng cho là: |k| = |Ax + By + Cz + D| √ A2 + B + C (3.28) Ví dụ 3.9 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M1 (2, 0, 0), M2 (0, −1, 0) M3 (0, 0, −4) Lập phương trình mặt phẳng (P ) qua hai điểm O M3 cho khoảng cách từ điểm M1 đến (P ) khoảng cách từ điểm M2 đến (P ) Lời giải Gọi phương trình mặt phẳng (P ) là: Ax + By + Cz + D = 0, A2 + B + C = Vì (P ) qua điểm O nên ta có: D = Khi phương trình (P ) trở thành: Ax + By + Cz = Vì (P ) qua điểm M3 nên ta có: −4C = ⇔ C = Khi phương trình (P ) trở thành: Ax + By = Mặt khác, khoảng cách từ điểm M1 đến (P ) khoảng cách từ điểm M2 đến (P ) nên ta có:  √ 2A = B |2A| | − B| =√ ⇔ |2A| = | − B| ⇔  A2 + B A2 + B 2A = −B 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hiền Chọn A = ta có B = B = −2 Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: (P ) : x + 2y = (P ) : x − 2y = 3.7 Góc Định nghĩa 3.11 Góc hai đường thẳng ∆1 ∆2 không gian góc hai đường thẳng song song với chúng qua điểm Kí hiệu: (∆1 , ∆2 ) Nhận xét 3.4 Cho hai đường thẳng: ∆1 : x − x1 y − y1 z − z1 x − x2 y − y2 z − z2 = = ∆2 : = = a1 a2 a3 b1 b2 b3 Khi góc hai đường thẳng ∆1 ∆2 xác định sau: Ta thấy hai góc hai đường thẳng ∆1 ∆2 góc (a, b) hai vectơ phương a(a1 , a2 , a3 ) b(b1 , b2 , b3 ) chúng, góc π − (a, b) Gọi ϕ1 ϕ2 góc ∆1 ∆2 ta có: cos ϕ1 ,2 = ± a1 b + a2 b + a3 b a21 + a22 + a23 b21 + b22 + b23 Chú ý 3.5 Nếu ∆1 ⊥∆2 a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 Từ (3.29) suy ra: π cos ϕ1 ,2 = ⇔ ϕ1 = ϕ2 = Định nghĩa 3.12 Cho đường thẳng ∆: x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 mặt phẳng (P ) : Ax + By + Cz + D = 43 (3.29) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hiền Góc đường thẳng ∆ mặt phẳng (P ) xác định sau: Gọi góc đường thẳng ∆ mặt phẳng (P ) ϕ π i Nếu ∆⊥(P ) ϕ = ii Nếu ∆ khơng vng góc với (P ) góc đường thẳng ∆ mặt phẳng (P ) góc đường thẳng ∆ hình chiếu vng góc ∆ (P ) cho 0o ≤ ϕ ≤ 90o Ta thấy a(a1 , a2 , a3 ) vectơ phương đường thẳng ∆ n(A, B, C) vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P ) Khi ta có: (a, n) = Do đó, cos(a, n) = cos π ± ϕ π ± ϕ = ± sin ϕ Vậy sin ϕ = | cos(a, n)| = √ |Aa1 + Ba2 + Ca3 | A2 + B + C a21 + a22 + a23 (3.30) Định nghĩa 3.13 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: (P ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0; (3.31) (Q) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = (3.32) Góc hai mặt phẳng (P ) (Q) xác định sau: Ta thấy hai góc hai mặt phẳng (P ) (Q) góc (n1 , n2 ) hai vectơ pháp tuyến n1 (A1 , B1 , C1 ) n2 (A2 , B2 , C2 ) chúng, góc π − (n1 , n2 ) 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hiền Gọi ϕ1 ϕ2 góc hai mặt phẳng (P ) (Q) ta có: cos ϕ1 ,2 = ± A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 A21 + B12 + C12 A22 + B22 + C22 (3.33) Chú ý 3.6 Nếu (P )⊥(Q) A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 Từ (3.33) suy ra: π cos ϕ1 ,2 = ⇔ ϕ1 = ϕ2 = Ví dụ 3.10 Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A(−1, 2, −3) B(2, −1, −6) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB √ tạo với mặt phẳng (P ) : x + 2y + z − = góc α cho cos α = Lời giải Gọi phương trình mặt phẳng (Q) cần tìm là: Ax+By+Cz+D = 0, A2 + B + C = Vì (Q) chứa AB nên A, B ∈ (Q),   −A + 2B − 3C + D = ⇔  2A − B − 6C + D =0 ta có    C =A−B (1)   D = 4A − 5B Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến n(1, 2, 1) Từ (3.33) ta có √ |A + 2B + C| √ = cos α = √ A2 + B + C ⇔ 2(A + 2B + C)2 = A2 + B + C (2) Thay C D từ (1) vào (2) ta được: 2(2A + B)2 = 2A2 + 2B − 2AB ⇔ 6A2 + 10AB =   C = −B, D = −5B A=0  ⇒ ⇔ 8B 35B 5B A=− C=− , D=− 3 Vậy ta phương trình mặt phẳng cần tìm là: (Q) : y − z − = (Q) : 5x − 3y + 8z + 35 = 45 Chương Mặt bậc hai không gian Euclid Chương nghiên cứu 12 mặt bậc hai mặt xác định phương trình bậc hai x, y, z không gian Oxyz Các kiến thức chương viết dựa tài liệu [2], [4] 4.1 Mặt tròn xoay bậc hai Định nghĩa 4.1 Mặt tròn xoay bậc hai mặt tạo nên đường bậc hai quay vòng quanh trục đối xứng Định nghĩa 4.2 Trong khơng gian Oxyz, cho elip nằm mặt phẳng Oxy, nhận Ox Oy làm hai trục đối xứng, có độ dài nửa trục lớn nửa trục bé a b Khi phương trình x2 y z + + =1 a2 b2 b2 gọi phương trình elipxoit tròn xoay trục quay Ox 46 (4.1) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hiền Định nghĩa 4.3 Trong không gian Oxyz, cho hypebol nằm mặt phẳng Oxy, nhận Ox Oy làm hai trục đối xứng, có độ dài nửa trục thực nửa trục ảo a b Phương trình x2 y z − + =1 a2 b a2 (4.2) gọi phương trình hypeboloit tròn xoay tầng Phương trình x2 y z − − =1 a2 b b gọi phương trình hypeboloit tròn xoay hai tầng 47 (4.3) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hiền Định nghĩa 4.4 Quay parabol    y = 2px   z=0 quanh trục đối xứng Ox ta phương trình paraboloit tròn xoay là: y + z = 2px (4.4) Định nghĩa 4.5 Trong không gian Oxyz, cho cặp đường thẳng cắt gốc tọa độ O, nằm mặt phẳng Oxy, nhận hai trục Ox Oy làm hai đường phân giác hai góc tạo hai đường thẳng ấy:  2   x −y =0 a2 b2   z=0 Quay cặp đường thẳng quanh trục Ox ta mặt nón tròn xoay trục Ox có phương trình: x2 y z − − = a2 b b (4.5) Quay cặp đường thẳng quanh trục Oy ta mặt nón tròn xoay trục Oy có phương trình: x2 y z − + = a2 b a2 48 (4.6) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hiền Định nghĩa 4.6 Trong không gian Oxyz, cho cặp đường thẳng nằm mặt phẳng tọa độ Oxy, song song cách trục Oy:    x − a2 = z=0   Khi phương trình mặt trụ tròn xoay quay cặp đường thẳng quanh trục Oy có dạng: x2 + z = a2 (4.7) Định nghĩa 4.7 Quay cặp đường thẳng song song nhận Ox làm trục đối xứng quanh trục Ox ta cặp mặt phẳng song song xác định phương trình: x2 − a2 = (4.8) Định nghĩa 4.8 Quay hai đường thẳng trùng quanh trục đối xứng, ta nhận cặp mặt phẳng trùng xác định phương trình: x2 = hay y = hay z = 4.2 (4.9) Mặt bậc hai Định nghĩa 4.9 Trong không gian Oxyz, cho điểm M (x, y, z) bất kì, phép biến hình biến điểm M thành điểm M (X, Y, Z) cho    X=x    Y =y      Z = kz gọi phép co mặt phẳng Oxy với hệ số co k 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hiền Định nghĩa 4.10 Phương trình X2 Y Z2 + + =1 a2 b c (4.10) gọi phương trình tắc elipxoit qua phép co điểm c elipxoit tròn xoay (4.1) mặt phẳng Oxy với hệ số co k = b Chú ý 4.1 Với a = b = c (4.1) trở thành: X + Y + Z = a2 (4.11) (4.2) elipxoit đặc biệt gọi mặt cầu Định nghĩa 4.11 Phương trình X2 Y Z2 − − =1 a2 b c (4.12) gọi phương trình tắc hypeboloit hai tầng qua phép co điểm hypeboloit tròn xoay hai tầng (4.2) mặt phẳng Oxy với c hệ số co k = b Định nghĩa 4.12 Phương trình X2 Y Z2 − + =1 a2 b c (4.13) gọi phương trình tắc hypeboloit tầng qua phép co điểm hypeboloit tròn xoay tầng (4.3) mặt phẳng Oxy c với hệ số co k = a Định nghĩa 4.13 Phương trình Y Z2 + = 2X a2 b (4.14) gọi phương trình tắc paraboloit eliptic qua phép co điểm paraboloit tròn xoay (4.4) mặt phẳng Oxy với hệ số co b k = , p = a2 a 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hiền Định nghĩa 4.14 Phương trình Y Z2 − = 2X a2 b (4.15) gọi phương trình tắc paraboloit hypebolic hay gọi mặt yên ngựa Định nghĩa 4.15 Qua phép co điểm mặt nón tròn xoay (4.5) c c (4.6 ) với hệ số co k = k = ta phương trình b a tắc mặt nón bậc hai có dạng: X2 Y Z2 − − = 0; a2 b c (4.16) X2 Y Z2 − + = a2 b c (4.17) hay Định nghĩa 4.16 Trong không gian Oxyz, cho elip nằm măt phẳng Oxz có phương trình:      x2 z + =1 a2 c y=0 (4.18) đường thẳng l di động song song với trục Oy dựa lên elip (4.18) Khi elip đường thẳng l cho tạo nên mặt gọi mặt trụ eliptic có phương trình là: X2 Z2 + = 1, a2 c (4.19) elip (4.18) gọi đường chuẩn mặt trụ l gọi đường sinh thẳng mặt trụ Nếu ta lấy đường chuẩn mặt trụ hypebol parabol họ đường sinh thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường chuẩn ta 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hiền mặt trụ hypebolic mặt trụ parabolic có phương trình tắc là: X2 Z2 − = 1; a2 c (4.20) Y = 2pX (4.21) Chú ý 4.2 Ta coi cặp mặt phẳng cắt nhau, song song hay trùng mặt trụ bậc hai có đường chuẩn cặp đường thẳng cắt nhau, song song hay trùng Ví dụ 4.1 Gọi tên mặt bậc hai sau: a (S1 ) : x2 + y = 2(z + 1) x2 y − = 2z b (S2 ) : 16 Lời giải a Ta có: x2 y x + y = 2(z + 1) ⇔ + − z2 = 2 2 hay x2 y z + − = 2 Vậy (S1 ) hypeboloit tầng b Ta có: x2 y x2 y − = 2z ⇔ − = z 16 23 18 Vậy (S2 ) phương trình mặt paraboloit hypebolic (mặt n ngựa) Ví dụ 4.2 Viết phương trình paraboloit hypebolic qua đường thẳng z = 0, y = ±x, qua điểm M (1, 2, 3) nhận Oz làm trục đối xứng 52 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hiền Lời giải Phương trình paraboloit hypebolic nhận Oz làm trục đối xứng là: x2 y (P ) : − + 2pz = (p = 0) a b Vì (P ) qua đường thẳng y = ±x z = nên x2 x2 − = ⇔ a2 = b2 a b Vì (P ) qua M (1, 2, 3) nên ta có: − + 6p = ⇔ p = a2 b2 2a2 vào (1) ta được: x2 − y + z = 2a Vậy phương trình cần tìm là: x2 − y + z = Thay p = 53 (1) Kết luận Xuyên suốt khóa luận "Hình học Euclid khơng gian", em tập trung nghiên cứu đường mặt khơng gian Euclid Các kết mà em muốn đạt khóa luận là: (1) Nắm hai hệ tiên đề hình học Euclid với số khái niệm định lí suy từ tiên đề (2) Đưa mơ hình vectơ khơng gian Euclid (3) Lập phương trình đường thẳng mặt phẳng không gian, xác định vị trí tương đối, tính khoảng cách góc chúng khơng gian (4) Xác định tên gọi phương trình tương ứng số mặt bậc hai không gian Euclid Trước kết thúc khóa luận, lần nữa, em xin cảm ơn thầy giáo khoa Tốn tổ Hình học đặc biệt cảm ơn thầy giáo PGS.TS Nguyễn Năng Tâm hướng dẫn tận tình, giúp đỡ em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! 54 Tài liệu tham khảo [1] Vũ Tuấn, Nguyễn Văn Đồnh, Giáo trình Tốn sơ cấp, Nhà xuất Đại học Sư phạm [2] Đoàn Quỳnh, Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mẫn, Nguyễn Dỗn Tuấn, Giáo trình Đại số tuyến tính hình học giải tích, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Mộng Hy, Xây dựng hình học phương pháp tiên đề, Nhà xuất Giáo dục, 2003 [4] Lê Khắc Bảo, Hình học giải tích, Nhà xuất Giáo dục, 1978 [5] Trần Trọng Huệ, Giáo trình Đại số tuyến tính hình học giải tích tập 1, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội 55 ... khái niệm 1.1 Hệ tiên đề hình học Euclid 1.2 Hệ tiên đề vectơ hình học Euclide 10 Mơ hình vectơ không gian Euclid 18 Đường thẳng mặt phẳng khơng gian 24 3.1 Phương trình... n-chiều Vậy không gian n-chiều với khái niệm khoảng cách góc thỏa mãn quan hệ Euclid gọi không gian Euclid nchiều Tuy nhiên để gần gũi với hình học THPT em tập trung nghiên cứu hình học Euclid với...TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Hiền HÌNH HỌC EUCLID TRONG KHƠNG GIAN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Nguyễn Năng