MỘT HẰNG ĐẲNG THỨC THÚ VỊ.doc

MỘT HẰNG ĐẲNG THỨC THÚ VỊ Với mọi số thực a, b, c, ta có : (a + b)(a + c) = a 2 + (ab + bc + ca) = a(a + b + c) + bc (*). Với tôi, (*) là hằng đẳng thức rất thú vị. Trước hết, từ (*) ta có ngay : Hệ quả 1 : Nếu ab + bc + ca = 1 thì a 2 + 1 = (a + b)(a + c). Hệ quả 2 : Nếu a + b + c = 1 thì a + bc = (a + b)(a + c). Bây giờ, chúng ta đến với một vài ứng dụng của (*) và hai hệ quả trên. Bài toán 1 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Hãy tính giá trị của biểu thức : Lời giải : Theo hệ quả 1 ta có a 2 + 1 = a 2 + (ab + bc + ca) = (a + b)(a + c) ; b 2 + 1 = b 2 + (ab + bc + ca) = (b + a)(b + c) ; c 2 + 1 = c 2 + (ab + bc + ca) = (c + a)(c + b). Suy ra Vì vậy A = a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) = 2(ab + bc + ca) = 2. Vấn đề sẽ khó hơn khi ta hướng tới việc đánh giá các biểu thức. Bài toán 2 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn (a +b)(a +c) = 1. Chứng minh rằng : Lời giải : a) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a(a + b + c) ; bc : 1 = (a + b)( a + c) = a(a + b + c) + bc ≥ b) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương a 2 ; (ab + bc + ca)/2 ; (ab + bc + ca)/2 1 = (a + b)( a + c) = a 2 + (ab + bc + ca) = Bài toán 3 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng : Lời giải : Theo hệ quả 1 ta có Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a 2 + ab ; a 2 + ac : Tương tự ta có Từ các kết quả trên ta suy ra : Bài toán sau đây nguyên là đề thi Châu á - Thái Bình Dương năm 2002 đã được viết lại cho đơn giản hơn (thay (1/x ; 1/y ; 1/z) bởi (a ; b ; c)). Bài toán 4 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng : Lời giải : Theo hệ quả 2 và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski ta có Tương tự ta có Từ các kết quả trên ta suy ra : Để kết thúc, xin các bạn làm thêm một số bài tập : Bài tập 1 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Hãy tính giá trị của biểu thức : Bài tập 2 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng : Bài tập 3 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng : (a + bc)(b + ca)(c + ab) ≥ 64/81(ab + bc + ca) 2 . . MỘT HẰNG ĐẲNG THỨC THÚ VỊ Với mọi số thực a, b, c, ta có : (a + b)(a + c) = a 2 + (ab + bc + ca) = a(a + b + c) + bc (*). Với tôi, (*) là hằng đẳng thức. Theo hệ quả 2 và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski ta có Tương tự ta có Từ các kết quả trên ta suy ra : Để kết thúc, xin các bạn làm thêm một số bài tập : Bài