CD bai toan dang thuc hinh hoc

A. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU 3 Phương pháp 1: Hai tam giác bằng nhau 3 Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của các hình đặc biệt (chỉ khai thác yếu tố bằng nhau, tránh nhầm sang dấu hiệu nhận biết) 6 Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của các đường đặc biệt, điểm đặc biệt 8 Phương pháp 4: Sử dụng các tính chất liên quan đến đường tròn. 9 Phương pháp 5: Sử dụng tỉ số, đoạn thẳng trung gian 9 B. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 10 1. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng 10 2. Tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác 10 3. Đường trung bình. 10 4. Định lý Talet 11 5. Tính chất đường phân giác của tam giác. 12 6. Các trường hợp đồng dạng của tam giác 13 7. Hệ thức lượng trong tam giác vuông 14 8. Tỉ số lượng giác của góc nhọn 14 C. PHẦN BÀI TẬP 15 I. CHỨNG MINH TAM GIÁC BẰNG NHAU 15 II. CHỨNG MINH TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 17 III. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU 19 VI. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 23 D. HƯỚNG DẪN GIẢI 26 I. CHỨNG MINH TAM GIÁC BẰNG NHAU 26

Về đường tròn: “Các tốn đẳng thức hình học” Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến Về đường tròn: “Các tốn đẳng thức hình học” Nợi dung A CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU Phương pháp 1: Hai tam giác Phương pháp 2: Sử dụng tính chất hình đặc biệt ( khai thác yếu tố nhau, tránh nhầm sang dấu hiệu nhận biết) Phương pháp 3: Sử dụng tính chất đường đặc biệt, điểm đặc biệt Phương pháp 4: Sử dụng tính chất liên quan đến đường tròn Phương pháp 5: Sử dụng tỉ số, đoạn thẳng trung gian B CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 10 Tính chất trung điểm đoạn thẳng 10 Tính chất ba đường trung tuyến tam giác 10 Đường trung bình 10 Định lý Talet 11 Tính chất đường phân giác tam giác 12 Các trường hợp đồng dạng tam giác 13 Hệ thức lượng tam giác vuông 14 Tỉ số lượng giác góc nhọn 14 C PHẦN BÀI TẬP 15 I CHỨNG MINH TAM GIÁC BẰNG NHAU 15 II CHỨNG MINH TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 17 III CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU 19 VI CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 23 D HƯỚNG DẪN GIẢI 26 I CHỨNG MINH TAM GIÁC BẰNG NHAU 26 II CHỨNG MINH TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 31 III CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU 36 VI CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 52 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến Về đường tròn: “Các tốn đẳng thức hình học” A CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU Phương pháp 1: Hai tam giác Lấy mợt tờ bìa mỏng, gấp đơi lại Trên nửa tờ bìa vẽ mợt tam giác Vẫn gấp đơi tờ bìa, cắt lấy tam giác, ta hai miếng tam giác đặt trùng khít lên Đó hình ảnh hai tam giác A A B B Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến C A' C Về đường tròn: “Các tốn đẳng thức hình học” A Kiến thức lý thuyết: B' C' a) Định nghĩa: Hai tam giác hai tam giác có cạnh tương ứng nhau, góc tương ứng  AB  AB; AC  AC , BC  BC  ABC  ABC   A  A; B  B;C  b) Các trường hợp hai tam giác *) Trường hợp 1: Cạnh - Cạnh - Cạnh (c.c.c) - Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác NÕu ABC vµ A'B'C' cã: AB  A 'B'   AC  A 'C'  ABC  A 'B'C'( c.c.c) BC  B'C'  A A' B' Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến C B C *) Trường hợp 2: Cạnh - Góc - Cạnh (c.g.c) - Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác NÕu ABC vµ A'B'C' cã: AB  A 'B'   B  B'   ABC  A 'B'C '( c.g.c) BC  B'C' A C B A'  C' B *) Trường hợp 3: Góc - Cạnh - Góc (g.c.g) A - Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác NÕu ABC vµ A'B'C' cã: B  B'   BC  B'C'   ABC  A 'B'C '(g.c.g )  C  C'   C B A' B c) Các trường hợp hai tam giác vuông  Trường hợp 1: Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng C'  Trường hợp 2: Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng hai giác vng  Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vng cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng  Trường hợp 4: Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng Phương pháp 2: Sử dụng tính chất hình đặc biệt (chỉ khai thác yếu tố nhau, tránh nhầm sang dấu hiệu nhận biết) Hai cạnh bên tam giác cân, tam giác (Hình học lớp 7) Tam giác cân: Hai cạnh bên tam giác cân Tam giác đều: Tam giác có cạnh Sử dụng tính chất cạnh đường chéo tứ giác đặc biệt: hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình vng, hình thoi (Hình học lớp 8) Hình thang cân: Hai cạnh bên nhau, hai đường chéo Hình bình hành: Hai cặp cạnh đối nhau, hai đường chéo cắt trung điểm đường Hình chữ nhật: Hai cặp cạnh đối nhau, hai đường chéo nhau, hai đường chéo cắt trung điểm đường Hình vng: Bốn cạnh nhau, hai đường chéo nhau, giao điểm hai đường chéo cắt trung điểm đường Hình thoi: Bốn cạnh nhau, giao điểm hai đường chéo cắt trung điểm đường A A ABCD hình thang cân AD = BC AC = BD ABC AB = AC= BC A B ABC cân AB = AC B B C ABCD hình bình hành AD = BC AB = CD OA = OC OD = OB A B A C ABCD hình chữ nhật AB = CD; AC = BC AC = BD OA = OB = OC = OD D B C ABCD hình vng AB = BC = CD = DA AC = BD OA = OC = OD = OB A O D B O O C D C D C ABCD hình thoi AB = BC = CD = DA OA = OC OD = OB A ABC vuông A A ABC , phân giác BD M thuộc MD MN  BA, MP  BC B MN = MP A N D M O C D B M B P C C G trọng tâm ABC AG cắt BC D AD trung tuyến  DB = DC A G B B F B A OE = OG  AB = CD O C D A A O O P D G C D C AB  CD  AB  CD B PA, PB tiếp tuyến (O) PA = PB Phương pháp 3: Sử dụng tính chất đường đặc biệt, điểm đặc biệt Sử dụng tính chất đường trung tuyến (đường thẳng qua trọng tâm tam giác), đường trung tuyến tam giác vng, đường trung bình tam giác, đường đồng quy tam giác đặc biệt + Trung tuyến tam giác đoạn thẳng nối từ đỉnh tam giác tới trung điểm cạnh đối diện + Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền - “Đường thẳng xuất phát từ đỉnh qua trọng tâm tam giác đường trung tuyến tam giác đó”  qua trung điểm cạnh đối diện - Về đường đồng quy tam giác đặc biệt: ví dụ: đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên tam giác cân nhau, đường trung tuyến tam giác nhau, … (phần sử dụng phải chứng minh) + Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh Định lí 1: Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba Điểm nằm tia phân giác mợt góc cách hai cạnh góc Điểm nằm tia phân giác cách cạnh góc Khoảng cách từ một điểm đường trung trực mợt đoạn thẳng đến hai đầu đoạn thẳng (Hình học lớp 7): Định lý thuận: Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng Nếu điểm M nằm đường trung trực đoạn thẳng AB MA = MB Sử dụng tính chất trung điểm (Hình học lớp 7) Trung điểm điểm nằm đoạn thẳng, chia đoạn thẳng làm hai đoạn dài Hình chiếu hai đường xiên ngược lại (Hình học lớp 7) Nếu hai đường xiên hai hình chiếu ngược lại hai hình chiếu hai đường xiên Phương pháp 4: Sử dụng tính chất liên quan đến đường tròn Sử dụng tính chất hai dây cách tâm đường tròn (Hình học lớp 9) Trong đường tròn: Hai dây cách tâm Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến giao đường tròn (Hình học lớp 9) Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm điểm cách hai tiếp điểm Sử dụng quan hệ cung dây cung mợt đường tròn (Hình học lớp 9) Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: Hai cung căng hai dây Phương pháp 5: Sử dụng tỉ số, đoạn thẳng trung gian … Dùng tính chất bắc cầu: Hai đoạn thẳng đoạn thẳng thứ ba Có đợ dài (cùng số đo) nghiệm một hệ thức Đường thẳng song song cách đều: - Nếu đường thẳng song song cách cắt đường thằng chúng chắn đường thẳng đoạn thẳng liên tiếp Sử dụng tính chất đẳng thức, hai phân số Sử dụng kiến thức diện tích (Hình học lớp 8) Sử dụng bình phương chúng (có thể sử dụng định lí Pitago, tam giác đồng dạng, hệ thức lượng tam giác, đường tròn để đưa bình phương chúng nhau) Trên AD lấy điểm k cho: ABK  ADC Dễ thấy AD  AK – DK ABK  ADC ; BAK  CAK  ABK ~ ADC g.g  AK  AB AC  AK.AD  AB.AC (1) AD BDK  ADC , BKD  ACD (do ABK ~ ADC )  BDK ~ ADC g.g   BD.DC BD AD  DK  DK.AD  (2) DC Trừ vế theo vế (1) (2), ta được: AK.AD  DK.AD  AB.AC  BD.DC Hay: AD  AB.AC  BD.DC (đpcm) Mức độ 3: Vận dụng thấp Bài 1: A cân A K B H M 12 I C O a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có AB  AC  ABC b) Theo giả thiết MI  BC  MIB  90 ; MK  AB  MKB  90  MIB  MKB  180 mà hai góc đối  tứ giác BIMK nợi tiếp * ( Chứng minh tứ giác CIMH nội tiếp tương tự tứ giác BIMK ) c) Theo tứ giác BIMK nội tiếp  KMI  KBI  180 , tứ giác CIMH nội tiếp  HMI  HCI  180 Mà  KBI  HCI (vì tam giác ABC cân A )  KMI  HMI 1 Theo tứ giác BIMK nội tiếp B1  I1 (nội tiếp chắn cung KM ); tứ giác CIMH nội tiếp H  C ( nội tiếp chắn cung IM ) Mà B  C (  sđ BM )  I  H 1 Từ 1,    MKI ~ MIH  MI  MH Bài 2: MK 2  MI  MH MK MI M E C O I B A N a) Ta có EIB  90 (giả thiết) ECB  90 (góc nợi tiếp chắn nửa đường tròn) Kết luận: Tứ giác IECB tứ giác nợi tiếp b) Ta có : sđ AM = sđ AN , AME  ACM Góc A chung, suy AME ~ ACM Do : AC AM  AM  AE.AC AM  AE c) MI đường cao tam giác vuông MAB nên MI  AI.IB Trừ vế hệ thức câu b) với hệ thức Ta có: 2 AE.AC  AI.IB  AM  MI  AI 2 1 Bài 3: A P E O H B a) Tứ giác AEHF hình chữ nhật có góc vng Góc HAF  EFA (vì AEHF hình chữ nhật) Góc OAC  OCA (vì OA  OC ) Do đó: góc OAC  AFE  90  OA  EF b) OA  PQ  PA  AQ Do đó: APE ~ ABP AP AE    AP  AE.AB AB AP K F I C Q D Ta có : (hệ thức lượng HAB vng H , có HE chiều cao) AH  AE.AB  AP  AH  APH cân A c) DCF ~ DEB g.g   DE.DF  DC.DB DC.DB  DK.DA (Phương tích điểm D )  DE.DF  DK.DA Do DFK ~ DAE  DKF  DEA  tứ giác AEFK nợi tiếp d) Góc ICF  AEF  DKF  ICF ~ IKH  FAH  FHI  IFH ~ Vậy IH  IC.ID IHK IKD  g.g  suy  g.g  suy IC.ID  IF.IK IH  IF.IK Mức độ 4: Vận dụng cao Bài 1: M O H N D K IF P E a) NEM ~ PE ( g.g) N NE ME    NE  ME.PE EP NE b) MNP  MPN ( tam giác MNP cân M ) PNE  NPD (  NMP )  DNE  DPE Hai điểm N , P thuộc nửa mặt phẳng bờ DE nhìn DE mợt góc nên tứ giác DNPE nội tiếp c) MPF đồng dạng MIP ( g.g )  MP MF  MI MP MNI ~ NI F   MP2  MF.MI (1) ( g.g ) NI IF  NI  MI.IF 2  MI NI Từ (1) (2) MP  NI  MI MF  IF   MI  4R 3 : NMI  KPN ( phụ Do tam giác MNP cân 2 HNP )  KPN  NPI  NK  NI 4 M  MN  MP 5 Từ (3), (4), (5) suy điều phải chứng minh Bài 2: D C I K H A B O a) DH  AC (gt) DHC  90 BD  AD  BD  BC  DBC  90  BC / /AD Hai đỉnh H , B nhìn đoạn DC mợt góc khơng đổi 90  nợi tiếp HBCD đường tròn đường kính DC b) D  C ( s® BH đường tròn đường kính DC ) 1 C1  A1 (so le trong, AD//BC)  D1  A1 DOK  2A1 (Góc tâm góc nợi tiếp chắn DK O )  DOK  2D1  2BDH c) AKB  90 (góc nợi tiếp chắn nửa đường tròn)  BKC  DHA  90 , C  A (c/m trên)  AHD CKB (cạnh huyền – góc nhọn)  AH  CK AD  BD ( ADB cân), AD  BC (c/m trên)  AD  BD  BC Gọi I  AC  BD Xét ADB vuông D , đường cao DH 2 Ta có : BD  AD  AH.AI  CK.AI (hệ thức tam giác vuông) (1) 2 Tương tự : BD  BC  CK.CI (2) Cộng vế theo vế (1) (2) ta được: 2 CK.AI  CK.CI  2BD  CK(AI  CI)  2BD  CK.CA  2BD (đpcm) Bài 3: A P Q B H M C a) Ta có MP  AB  APM  90 , MQ  AC  AQM  90 P Q nhìn BC mợt góc 90 nên P Q nằm đường tròn đường kính AM  APMQ tứ giác nợi tiếp Vì AM đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ nên tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ trung điểm AM b) Tam giác ABC có AH đường cao  S AB C Tam giác ABM có MP đường cao  S AB M Tam giác ACM có MQ đường cao  S AC M Ta có    BC.AH 2 AB.MP AC.MQ SABM  SACM  SABC 1  AB.MP  AC.MQ  BC.AH  AB.MP  AC.MQ  BC.AH 2 Mà AB  BC  CA (vì tam giác ABC đều) MP  MQ  AH Bài 4: B O K P C A D Gọi K giao điểm PB AC PCK  PBA (hai góc nợi tiếp chắn cung AP ) CPK  APB ( hai góc nợi tiếp chắn cung nhau)  PCK ~ PBA g.g   CK PC  (1) PB AB PAK  PBC (góc nợi tiếp chắn cung CP ) APK  CPB ( hai góc nợi tiếp chắn cung nhau)  PAK ~ PBC g.g   AK PA  (2) PB BC Cộng vế theo vế (1) (2), ta được: Hay PA  PC  : 2PB (đpcm) PA PC AK CK AK  CK AC  PB  PB  BC AB AB  AB Bài 5: A F B I E D Lấy K cạnh BC cho: CDK  ADB Ta có CDK  ADB (cách vẽ) DCK  DAB (góc nợi tiếp chắn cung BD ) K C CDK ~ ADB g.g  Mà DI, DE thứ tự hai đường cao CDK  CK AB  ADB nên: DI CK AB (1)  DE DI  DE Mặt khác: BDK  BDA  ADK ; ADC  ADK  CDK : CDK  ADB  BDK  ADC Lại có : BDK  ADC ; CBK  DAC  DBK ~ (góc nợi tiếp chắn cung CD ) DAC g.g  Mà DI, DF thứ tự hai đường cao tương ứng DBK  BK AC  DAC nên: DI BK AC (2)  DF DI  DF Cộng (1) (2) vế theo vế, ta được: CK DI  BK  DI BC  AB AC AB AC hay:  DE DF DI DE  DF Tài liệu sưu tầm – tổng hợp từ nhiều nguồn Internet Chân thành cảm ơn quý thầy cô giáo! ... điểm đường A A ABCD hình thang cân AD = BC AC = BD ABC AB = AC= BC A B ABC cân AB = AC B B C ABCD hình bình hành AD = BC AB = CD OA = OC OD = OB A B A C ABCD hình chữ nhật AB = CD; AC = BC AC =... CD; AC = BC AC = BD OA = OB = OC = OD D B C ABCD hình vng AB = BC = CD = DA AC = BD OA = OC = OD = OB A O D B O O C D C D C ABCD hình thoi AB = BC = CD = DA OA = OC OD = OB A ABC vuông A A ABC... tâm ABC AG cắt BC D AD trung tuyến  DB = DC A G B B F B A OE = OG  AB = CD O C D A A O O P D G C D C AB  CD  AB  CD B PA, PB tiếp tuyến (O) PA = PB Phương pháp 3: Sử dụng tính chất đường