[HỌC VIỆN LIVE] CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒ THỊ (1)

Một ngày tuyệt vời nữa lại bắt đầu, và những cơ hội, trải nghiệm, thử thách đang chờ đón bạn ở phía trước. Chào mừng bạn đến với bài viết đầy tâm huyết của tôi. Và tôi tin rằng, chỉ cần làm theo từng bước. Việc dậy sớm sẽ trở thành thói quen, và ngủ nướng chỉ còn trong giấc mơ của bạn. Tôi chắc chắn điều này, bởi vì tôi đã từng tệ hơn bạn rất nhiều. Tôi biết rằng, bạn đã thử nhiều cách, áp dụng nhiều phương pháp khác nhau để có thể dậy sớm. Nhưng bạn vẫn chưa thành công, nút Snooze được bật liên tục. Cho dù bạn cố gắng bằng cách đặt 10 cái báo thức vẫn thất bại. Thậm chí, những kỹ thuật lên kế hoạch cho ngày hôm sau vẫn đưa bạn vào bế tắc. Tôi biết bạn đã rất cố gắng. Bạn đừng lo lắng, tôi cũng đã từng như bạn. Tôi muốn chắc rằng, việc bạn dậy trễ, ngủ nướng hoàn toàn bình thường. Nếu bạn lo lắng mình sẽ không bao giờ dậy sớm hơn, điều đó không đúng. Bạn chỉ cần một người hướng dẫn đúng đắn. Có thể người khác chỉ cho bạn các mẹo và thủ thuật. Nhưng đó chỉ là phần nổi của tảng băng. Bạn biết đấy, nó chỉ chiếm 10% sự thành công. Còn 90% quyết định nằm ở yếu tố khác. 1 Đấy chính xác là điều mà tôi giúp bạn trong bài viết ngày hôm nay. Và đó chính là lý ở đây. Tôi biết bạn thực sự muốn dậy sớm, sống một cuộc sống trọn vẹn và có tuổi trẻ tuyệt vời, và tôi ở đây để đồng hành, giúp đỡ bạn đạt được mục tiêu đó. Liệu bạn đang tự hỏi, tôi là ai mà có thể giúp bạn điều bạn thấy bại bấy lâu nay. Xin hãy cho tôi kể câu chuyện của chính mình…. Khoảng một năm trước. Đấy là học kỳ 2 đại học. Tôi học ca chiều… Mọi chuyện bắt đầu từ đây. Những ngày không đi học, tôi ngủ đến 10h sáng. Đôi khi đi học, nhưng tôi vẫn bị trễ, bởi vì ngủ quá nhiều. Trễ học ám ảnh tôi mỗi ngày trước khi đi ngủ. Bạn biết đấy, nếu không đủ buổi đi học, tôi sẽ phải học lại. Vài tháng sau, sự việc nghiêm trọng hơn. Tôi ngủ dậy trung bình là 11h trưa và trễ học ngay cả khi mình học buổi chiều. Báo thức ư? Tôi e rằng nó không hoạt động với mình. Bệnh của hầu hết mọi người là nghe được báo thức, sau đó tắt nó hoặc Snooze nhiều lần. Còn bệnh tôi tệ hơn rất nhiều. KHÔNG NGHE ĐƯỢC CHUÔNG BÁO THỨC. Thậm chí, sau vài tháng, 2

Một số toán tổng hợp đồ thị MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ ĐỒ THỊ HỌC VIỆN LIVE Nhím Còi Trước vào tốn tài liệu xin giới thiệu tới bạn viết thú vị nhà bác học tiếng Archimedes Archimedes Syracuse nhà toán học, nhà vật lý, kỹ sư, nhà phát minh, nhà thiên văn học người Hy Lạp Dù chi tiết đời ông biết, ông coi nhà khoa học hàng đầu thời kỳ cổ đại Tiểu sử Acsimet (284 - 212 trước Công nguyên) - nhà giáo, nhà bác học vĩ đại Hy Lạp cổ đại, ông sinh thành phố Syracuse, thành bang Hy Lạp cổ đại Cha Acsimet nhà thiên văn tốn học tiếng Phidias, đích thân giáo dục hướng dẫn ông sâu vào hai môn Năm tuổi ông học khoa học tự nhiên, triết học, văn học Mười tuổi ông du học Ai Cập, học sinh nhà toán học tiếng Ơclit; Tây Ban Nha định cư vĩnh viễn thành phố Cyracuse, xứ Sicile Ðược hồng gia tài trợ tài chính, ơng cống hiến hoàn toàn cho ACSIME nghiên cứu khoa học T Acsimet có nhiều đóng góp to lớn lĩnh vực Vật lý, Toán học Thiên văn học  Về Vật lý, ông người sáng chế máy bơm dùng để tưới tiêu nước cho đồng ruộng Ai Cập, người sử dụng hệ thống đòn bẩy ròng rọc để nâng vật lên cao, người tìm định luật sức đẩy nước  Về Toán học, Acsimet giải tốn tính độ dài đường cong, đường xoắn ốc, đặc biệt ơng tính số Pi cách đo hình có nhiều góc nội tiếp ngoại tiếp  Về Thiên văn học, ông nghiên cứu chuyển động Mặt Trăng Acsimet suốt đời say sưa học tập, nghiên cứu Tương truyền ơng tìm định luật sức đẩy nước tắm Ông sung sướng nhảy khỏi bồn tắm, chạy thẳng phòng làm việc mà quên mặc quần áo, miệng kêu lớn: "Ơrêca! Ơrêca (Tìm thấy rồi! Tìm thấy rồi!) Trong chiến tranh Hy Lạp chống quân xâm lược Rôma, Acsimet sáng chế nhiều loại vũ khí máy bắn đá, móc thuyền, đặc biệt có thứ vũ khí quang học để đốt thuyền giặc Thành Xicacudo Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng bảo vệ đến năm bị thất thủ Khi bọn xâm lược hạ thành, chúng thấy ông say sưa ngồi nghiên cứu hình vẽ đất Ơng thét lên: "Khơng xóa hình vẽ ta", trước bị giáo kẻ thù đâm vào ngực Acsimet anh dũng hi sinh chiến sĩ kiên cường Acsimet người yêu nước thiết tha Trong giai đoạn cuối đời mình, ơng tham gia bảo vệ q hương chống lại bọn xâm lược La Mã Ông lãnh đạo việc xây dựng cơng trình có kỹ thuật phức tạp chế tạo vũ khí kháng chiến Hơn hai nghìn năm trơi qua từ Acsimet bị quân La Mã giết hại, song người đời ghi nhớ hình ảnh nhà bác học thiết tha yêu nước, đầy sáng kiến phát minh lý thuyết thực hành, hình ảnh người hiến dâng đời cho khoa học, cho tổ quốc đến tận phút cuối Những công trình ơng tìm   Cơng thức tính diện tích thể tích hình lăng trụ hình cầu  Số thập phân số Pi Năm -250, ông chứng minh số Pi nằm 223/7 22/7  Phương pháp tính gần chu vi vòng tròn từ hình lục giác nội tiếp vòng tròn  Những tính chất tiêu cự Parabole  Phát minh đòn bẩy, đinh vis Acsimet (có thể Archytas de Tarente), bánh xe cưa  Chế máy chiến tranh Cyracuse bị quân La Mã vây Chế vòng xoắn ốc khơng ngừng Acsimet (có thể Conon de Samos)   Tính diện tích parabole cách chia thành tam giác vơ tận Nguyên lý Thủy tĩnh (hydrostatique), sức đẩy Acsimet, Trọng tâm Barycentre  Những khối Acsimet (Solides Acsimet)  Những dạng tích phân Nhiều cơng trình ông đến kỷ XVIIe, kỷ XIXe, Pascal , Monge Carnot làm cơng trình họ dựa cơng trình Acsimet Tác phẩm ông viết  Sự cân vật   Sự cân mặt phẳng ký thuyết học Phép cầu phương hình Parabole  Hình cầu khối cầu cho Tốn Tác phẩm xác định diện tích hình cầu theo bán kính, diện tích bề mặt hình nón từ diện tích mặt đáy  Hình xoắn ốc (đó hình xoắn ốc Acsimet, có nhiều loại xoắn ốc)  Hình nón hình cầu (thể tích tạo thành xoay tròn mặt phẳng quanh trục (surface de révolution), parabole quay quanh đường thẳng hay hyperbole  Tính chu vi đường tròn (Ơng cho cách tính gần số Pi mà Euclide khám phá  Sách chuyên luận phương pháp để khám phá Toán học Sách khám phá vào năm 1889 Jérusalem  Về trọng tâm mặt phẳng: sách viết trọng tâm barycentre (ý nghĩa văn chương "tâm nặng") Acsimet - Tôi phát Một hôm Quốc vương sứ cổ Hy Lạp muốn làm vương miện thật đẹp Vua cho gọi người thợ kim hồn tới, đưa cho thỏi vàng óng ánh yêu cầu phải làm nhanh cho vua vương miện Không lâu sau vương miện làm xong, làm tinh vi đẹp, Quốc vương hài lòng đội lên đi lại lại trước mặt đại thần Lúc có tiếng thầm: "Vương miện bệ hạ đẹp khơng biết có vàng thật khơng?" Quốc vương nghe xong liền cho gọi người thợ kim hoàn tới, hỏi: "Chiếc vương miện làm cho ta có tồn vàng khơng?" Người thợ kim hoàn đỏ mặt, cúi xuống thưa với vua rằng: "Thưa bệ hạ tơn kính, số vàng Người đưa dùng hết, vừa đủ không thừa không thiếu, không tin bệ hạ cho cân lại thử xem có nặng thỏi vàng Người đưa cho không ạ." Các đại thần đem vương miện cân thử, không thiếu, vua đành phải thả người thợ kim hồn Nhưng vua biết lời nói người thợ kim hồn khó tin dùng bạc để thay vàng với trọng lượng tương đương mà nhìn bề ngồi khơng thể phát Quốc vương buồn phiền chuyện nói với Acsimet, Acsimet nói với Quốc vương: "Đây tốn khó, xin giúp người làm rõ chuyện này." Về đến nhà, Acsimet cân lại vương miện thỏi vàng, trọng lượng Ông đặt vương miện lên bàn ngắm nghía suy nghĩ đến mức người phục vụ gọi ăn cơm mà khơng biết Ơng nghĩ: "Vương miện nặng thỏi vàng, bạc lại nhẹ vàng, vương miện có trộn lượng bạc nặng lượng vàng lấy ra, vương miện phải lớn vương miện làm hoàn toàn vàng Làm để biết thể tích vương miện thể tích vương miện làm toàn vàng lớn, nhỏ? Chẳng lẽ phải làm nữa, thật tốn cơng tốn sức." Acsimet lại nghĩ: "Đương nhiên nấu lại mũ đúc thành vàng thỏi để xem to thỏi vàng cũ không, chắn nhà vua không đồng ý, tốt phải nghĩ cách khác để so sánh thể tích chúng Nhưng cách đây?" Acsimet thơng minh trở lên trầm lặng, ơng vắt óc suy nghĩ mà chưa tìm cách Ơng thường lặng lẽ ngồi buổi, người nói ơng "đang bí" Một hơm Acsimet tắm, mải suy nghĩ để nước chảy đầy bồn tắm, tràn ngồi Ơng bước vào bồn tắm, nước tràn ngồi, ơng chìm người vào bể nhiều nước tràn nhiều Acsimet bừng tỉnh, mắt sáng lên, ơng nhìn nước tràn ngồi bể nghĩ rằng: Số nước tràn với thể tích phần thể ông chiếm bể nước không? Ông vui, cho đầy nước vào bồn tắm lại bước vào bồn, sau lại làm lại lần Đột nhiên, ông chạy ngồi vỗ tay reo lên: "Tơi phát rồi, phát rồi!"mà quên mặc quần áo Ngày thứ hai, Acsimet làm thực nghiệm trước mặt Quốc vương đại thần có người thợ kim hồn để người xem Ơng thả vương miện thỏi vàng trọng lượng vào hai dụng cụ đựng nước tích chứa đầy nước, sau thu nước tràn vào hai bình đựng Kết cho thấy nước bên vương miện tràn nhiều bên thả thỏi vàng nhiều Acsimet nói: "Mọi người nhìn thấy Rõ ràng vương miện chiếm chỗ nước nhiều so với thỏi vàng, vương miện vàng lượng nước tràn hai bên nhau, tức thể tích chúng nhau" Người thợ kim hồn khơng để minh nữa, Quốc vương bực tức trừng phạt Nhưng rui Acsimet giúp vua giải tốn khó Sau toán mà chuyên đề muốn giới thiệu cho bạn Trong tài liệu có số tơi sáng tác, sưu tầm từ đề thi thử, diễn đàn, bên cạnh cảm ơn bạn Nguyễn Kim Anh đóng góp số tốn hay để chun đề thêm hoàn thiện y 1 x O  Câu Cho hàm số f x có đồ thị hình vẽ đồng thời f  x  1  f  x   2x  2x   x Biết   *  hàm số f x  ax4  bx2  c ; g x  mx2  nx  p f  x   g  x 1 Tìm giá trị nhỏ hàm  số g  x  A  B  C 2 Từ * D 4 ta thay x   f 1  f Lời giải a  b  0 Ta có x   y  1  c  1, f 0  f 1  a  b  c  1   c  1 x  2, y  11  f x  x  x  Mặt khác x  x   g  x  1  m  x  1  n  x    p  mx  2mx  m  nx  2 2 2 n p m  m    2  n  1  g  x   x  x  1; g '  x  1  n  p   n    p  m    2x  1; g ' x    x   1 Vậy giá trị nhỏ g  x  Chọn ý A  Câu Cho hàm f x  mx4  nx3  px2  qx  r r  1, 25 số Hàm số yf có đồ thị 'x hình vẽ Tổng số phần tử S tập số nghiệm có phương trình f  x   là? r y  O x A Ta có B C g x  f x  r  g 'x 'x Lời giải f D   2r  5 13 15 f 'x  x  1 x  x  3  x3  x2  x    4    13  193 x  13 12  Lại f '' x    f ''  x    x  có  Mà 13  193 3x x   12 13  193 Nên cực đại hàm f '  x   1, 08 x  12 số f g Vì r  1, nên tịnh tiến đồ xuống 2,5 đơn vị thấy đồ 25 thị '  x thị ' x Từ đặtđồ thị ta cắt trục  hồnh điểm nên đồ thị có nghiệm Chọn ý C Câu Cho hàm số bậc f g x x x   x f  x  1  f  x   x3  có điểm cực trị! Nên có cực trị Cho hàm số f x  r có 1, x  thỏa mãn điều kiện g  x   2x  So sánh f '6  g '4 g '6  f ' 4 Lời giải Đạo hàm vế   2x   f  x    f '  x  1  x  x   f '  x  f  x   3x 2 Thay x   f 1  f '0  Hàm số có dạng y  a.x  bx  c với x  cực trị nên 2a.x  b   b  f 1    a  c  Thay x  1  f '  6   g '     6   4.4  Ta có    f '    g '  6   2.4  f 0  1 ( hàm số có dạng ax2  c nên  f '  6   g '    f '    g '  6   6   16 Câu Cho đồ thị hàm số f x hình vẽ f    f 1  ) y  O x yg y 'x yf 'x O  15  A  ;0     1  B ;   4  x yh 3  C '  x;   8  D 3  ;    8  Lời giải   15  3  4h ' 4x  0 k 'x  f 'x    2g ' 2x      2     Không thể giải trực tiếp bất phương trình Quan sát đồ thị hàm số y  f '  x  , y  g '  x  , y  ta nhận thấy Ta cần giải bất phương trình h 'x  f '  x   10, x   3;  ; g '  x   5, x, h '  x   5, x   3;  Do f '  a   g '  b   4h '  c   10  2.5  4.5  0, a, c   3;  , b  3  x   Vì ta cần chọn    x  Đối chiếu với đáp án ta chọn ý C  4x   8   x  1, x  Câu 20 Cho hàm f  x  , g có đồ thị hình vẽ bên Biết số x  điểm cực trị hàm số f x , g đồng thời f 1   g   , f 6   g 1   x  f 5x  16   3g 5x     *  Gọi M,m giá trị nhỏ biểu thức S  f  x   f  x   2g  x   1  g  x   g  x  Tính tổng P  M  m ? y g x f x 27 A B O 23 C 11 D x Lần lượt x  2, x  vào  *  đồng thời kết hợp điều kiện ban đầu ta có hệ phương thay 2 f    3g 6   f 1  g 6    trình2 f    3g     f 6  , g 1  2 f    4g      2 f  4g  4      Từ giả thiết kết hợp đồ thị ta nhận g  x  nghịch biến 1; f  x  đồng biến thấy 6  5 1; 6  g  x    1;  , f  x   1; để đơn giản ta đặt u  f  x  , y  g  x      Ta có S  u  2uy  y  u  y  f  u; y 2 f 'u; y  Coi hàm số theo ẩn u ta có   2u  2y    u  2y  u Ta có Xé t Với f 1; y  5  35 2   2y  y  y   y  y  2; f ; y  y  4y      5  f ; y  f 1; y   0, y 1; 2   2y     y  ;   u  1;  2  2   3 2y    y   ; 2    1;     3   5 y  1;3 1  khảo sát hàm số f  u; y  theo biến u  1;  2      35 23 5  2  f u; y   f 1; y   y  y   ,và f u; y   f ; y  y  4y   u u   4 Với 3  ; 2 y có  2       5 Lập bảng biến thiên cho hàm số f u; y  theo biến u  1; ta      2y  2  2y  2y 1 8y   f  u; y   f  y  2y  1  y 2  y   ; y  u     2   35 23 5    Và f u u; y   f ; y  y  4y  4 Từ 1     max S  M  23 , S  m   P  M  m  23   27 4 y  yf Câu 21 Cho yf liên tục x hàm số x   đoạn  2;  có đồ thị đoạn  2;  hình vẽ Hỏi phương trình f x có bao x   f  x  thực   2; 3? nhiêu nghiệm đoạn A C f B D 3 Lời giải   O  1 x Ta có đồ thị hàm y f x  2 hình vẽ ( phần trục Ox) y O Xét hàm số y  x 2, đoạn 0; 4 ta có x y  f  Xét hàm số y  f x đoạn 2; 2 ta có f 2    f  x    x     x x  Suy VT  VP dấu “=” 3xảy    2 x  2f  1  f x  Câu 22 Cho đồ thị f x  tích tạo hình vẽ.Diện f  x hàm số gần ? 'x 9 f   y   O x  A 23 B 65 C 50 D 43 Lời giải Đặ f x  ax  bx  cx  d  f x  3ax  2bx  c t  f  x   f '  x   ax3  b  3a x  c  2b x dc x  2  12a  4b  c  (1) Nhìn vào đồ thị ta có   x   27a  6b c 0 f 'x  có cực trị -4 , gọi x0 hoành độ điểm cực trị f  2 x  f ' 2x  1  f x f ''x  0  2b   b  x 6ax 0 b 3a  Từ (1)  a  2 3a  9a 3a.x  2bx 0  c  5 (2)   c  5 2b b  c  4  b 3a 3a b c  4b  12a , thay vào (2) ta b 2 b 2 24   4b  12a  5   4b  8b  5  b   a   c  3a 2b 15 6 24  f x  f 'x  x   có nghiệm , x x  4x  x 15 Vậy diện tích cần tìm x2  x 6 x  4x  15 Chọn ý x1 B Câu 23 Cho đồ thị hàm số nguyên hàm diện tích tạo 24  65, f x có dạng F x  ax  bx  5x  d Tính f x trục hoành? y  80 A x 70 C Lời giải Ta có F x'  3ax  2bx  nên F '0   f 0  B O D Từ điểm cực trị có hồnh độ -4 ta vẽ đại khái đồ thị x  4  16m  4n   Có   x   16m  4n  50 Suy   f  x    4  80 x 5   16  f x  x 16 16 m  80 Vậy diện tích cần tìm Chọn ý A 4 f  x   mx2  nx 5 5 5 5 f x sau Câu 24 Cho hai đồ y thị A I x1 x2 O B D C x C  : y  f  x   x  đồ thị hàm số ax  b C  : y  g  x  3 x  mx  nx  p hình vẽ Gọi B, D hai điểm cực trị C  , A C hai điểm cực đại cực tiểu , (A C đối xứng qua điểm C  U  Oy Biết hoành độ A B nhau, hoành độ C D Có giá trị nguyên AB  ? a để A B C D Ta có f '  x   4x3  2ax; f '  x  g 'x  3x2  2mx  n Ta có x1 , x2 Lời giải x  0  a x x2    nghiệm phương trình a 2, vói a  0, 1 , g 'x  Vì điểm U  0; b  trung điểm AC nên x1  x2   m  Mặt khác x  x  x  x x   1 n  n  3x ,   , 2 3a , Từ     ta suy     n  2 Ngoài U  0; b   C  nên suy b  p  a y  x  nx  p  2x  p  a  2 p 1 A a Ta có được y  x  ax  b    b n  B 1 Do AB   yB  Đặt t yA  a  a2  2t a 3 a t  0 a  a  3,  *  Từ *  t4  2t3   t4  2t3   t  0     t  1 t  3t  3t     t   2t  2  2  a  Câu 25 Cho hàm số 2 f x xác định, liên tục R có đồ thị hình vẽ Có   giá trị nguyên m để phương trình f   m  có nghiệm x  x O A 13 B 14 C 15 D 16 y Lời giải Điều kiện 6x  9x    x  Với x    0;  4 3 2 2 ta có  6 3 x 1   4  Dựa vào đồ thị ta suy 5  f x 34 9  3   x 1 2 6 4  33 x5  x  1 x 1 6 x  x Khi phương 3  có nghiệm  5 m    7  m  trình f  x  m 2 x 3 9 Vì m  nên m 7; 6; 5; 4; 2; x 1; 2; 3; 4; 5 1; 0; x   Vậy có 13 giá trị m thỏa mãn  Truy cập 1.Fanpage https://www.facebook.com/hocvienlive.vn/ 2.Group https://www.facebook.com/groups/229096162758180 0/ Để nhận thêm nhiều tài liệu bổ ích mơn tốn lý hóa ...   x  2 Một số toán tổng hợp đồ thị HỌC VIỆN LIVE Một số toán tổng hợp đồ thị Giả sử đồ thị hàm y  f x  ax  bx  cx  dx  e , a, b , số c, d, e  HỌC VIỆN LIVE  cắt trục ;a 0, b hoành...   1, 08 x  12 số f g Vì r  1, nên tịnh tiến đồ xuống 2,5 đơn vị thấy đồ 25 thị '  x thị ' x Từ đặtđồ thị ta cắt trục  hoành điểm nên đồ thị có nghiệm Chọn ý C Câu Cho hàm số bậc f g x... g  x   f mx  nx  p  m, n, p   y f  x  có đồ thị f  x g x hình dưới, đường nét liền đồ thị hàm f  x  , đồ thị hàm nét đứt đồ thị hàm g  x  , đường x  trục đối xứng hàm g 